第三篇思想方法篇思想01函數(shù)與方程思想（講）考向速覽方法技巧典例分析1.函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)思想是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí),建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,從而使問(wèn)題獲得解決的思想方法.(2)方程思想就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過(guò)解方程或方程組,或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,使問(wèn)題獲得解決的思想方法.(3)函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的．函數(shù)思想重在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行動(dòng)態(tài)的研究，方程思想則是在動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.方程思想與函數(shù)思想密切相關(guān):方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo);函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通過(guò)方程進(jìn)行研究;方程f(x)=a有解,當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域.函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要.2.高考把函數(shù)與方程思想作為思想方法的重點(diǎn)來(lái)考查,特別是在有關(guān)函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、平面向量、立體幾何等題目中.高考使用客觀題考查函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)算,而在主觀題中,則從更深的層次,在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處,從思想方法與相關(guān)能力相結(jié)合的角度深入考查.3.常見方法：（1）運(yùn)用函數(shù)相關(guān)概念的本質(zhì)解題在理解函數(shù)的定義域、值域、性質(zhì)等本質(zhì)的基礎(chǔ)上，主動(dòng)、準(zhǔn)確地運(yùn)用它們解答問(wèn)題．常見問(wèn)題有：求函數(shù)的定義域、解析式、最值，研究函數(shù)的性質(zhì)．（2）利用函數(shù)性質(zhì)求解方程問(wèn)題函數(shù)與方程相互聯(lián)系，借助函數(shù)的性質(zhì)可以解決方程解的個(gè)數(shù)及參數(shù)取值范圍的問(wèn)題．（3）構(gòu)造函數(shù)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題在一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中，可以通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式，把要研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的效果.01函數(shù)與方程思想在方程、不等式中的應(yīng)用【核心提示】1.函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y>0時(shí)，就化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式．2.含參不等式恒成立與存在性問(wèn)題函數(shù)(方程)法是指通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把恒成立問(wèn)題與轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題，從而得到關(guān)于參數(shù)的方程的方法．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①靈活轉(zhuǎn)化：（1）“關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立”轉(zhuǎn)化為“”；“關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立”轉(zhuǎn)化為“”；（2）“關(guān)于存在使得不等式成立”轉(zhuǎn)化為“”；“關(guān)于存在使得不等式成立”轉(zhuǎn)化為“”；②求函數(shù)值域，利用函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、圖象等求函數(shù)的值域；③得出結(jié)論，列出參數(shù)所滿足的方程，通過(guò)解方程，求出的值．【典例分析】典例1.（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，若對(duì)任意，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為，再結(jié)合畫圖求解．【詳解】由題意有：對(duì)任意的，有恒成立．設(shè)，，即的圖像恒在的上方（可重合），如下圖所示：由圖可知，，，或，，故選：D．典例2.（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)椋?故選：A.【整體點(diǎn)評(píng)】法一：通過(guò)基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．典例3.【多選題】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考一模）下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較即可；對(duì)于選項(xiàng)B，構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性比較即可；對(duì)于選項(xiàng)C，作差后運(yùn)用基本不等式判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，尋找中介值比較即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)，則，又因?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即：，又因?yàn)?，所?故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，因?yàn)椋?，所以，即?故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所?故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.02函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用【核心提示】數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題，常涉及最值問(wèn)題或參數(shù)范圍問(wèn)題，一般利用二次函數(shù)；等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本量的計(jì)算一般化歸為方程(組)來(lái)解決.【典例分析】典例4.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知，，若對(duì)任意都有成立，則的值是（）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程，求出和，進(jìn)而求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由解得∴．∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．∵對(duì)任意都有成立，∴為數(shù)列的最大值，∴．故選：B.典例5.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】由寫出的式子，通過(guò)兩式相減化簡(jiǎn)得出，再利用不等式恒成立問(wèn)題，得出，進(jìn)而分析右側(cè)式子的最值，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)棰伲援?dāng)時(shí)，②.①-②，得，所以，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，則.當(dāng)時(shí)，，則，符合式，從而，是首項(xiàng)為，公比為的等差數(shù)列，所以，由，得，即.令，因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，且為，所以.故答案為：.典例6.（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和，，．設(shè)，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過(guò)等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)的更為簡(jiǎn)潔.（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.03函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用【核心提示】1.解析幾何中求斜率、截距、半徑、點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率等幾何量經(jīng)常要用到方程(組)的思想；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式進(jìn)行解決；求變量的取值范圍和最值問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、最值，用函數(shù)的思想分析解答.2.直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，通常借助根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，這是方程思想在解析幾何中的重要應(yīng)用．解析幾何問(wèn)題的方程(函數(shù))法可以拓展解決解析幾何問(wèn)題的思維，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算、方程判定等解決解析幾何中的位置關(guān)系、參數(shù)取值等問(wèn)題．【典例分析】典例7.（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)B是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，由依題意可知，，，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，而，所以?dāng)時(shí)，的最大值為．故選：A．典例8.（2023春·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）卵圓是常見的一類曲線，已知一個(gè)卵圓的方程為：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為卵圓上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是________.①卵圓關(guān)于軸對(duì)稱②卵圓上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱③線段長(zhǎng)度的取值范圍是④的面積最大值為【答案】①③④【分析】利用點(diǎn)和均滿足方程，即可判斷①；設(shè)和都在卵圓上，再解即可判斷②；利用兩點(diǎn)間的距離公式表示，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，即可判斷③；利用三角形的面積公式表示出，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，設(shè)是卵圓上的任意一個(gè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)也在卵圓上，又點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以卵圓關(guān)于軸對(duì)稱，故①正確；對(duì)于②，設(shè)在卵圓上，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)也在卵圓上，則，解得或，所以卵圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由，得，所以，又，所以，設(shè)點(diǎn)，則，令，則，令，則或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，又，且，所以，即，所以，故③正確；對(duì)于④，點(diǎn)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，此時(shí)的面積取得最大值，故④正確.故答案為：①③④.典例9.（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值由題意知，，設(shè)圓M上的點(diǎn)，則．所以．從而有．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．又，解之得，因此．[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；（2）[方法一]：切點(diǎn)弦方程+韋達(dá)定義判別式求弦長(zhǎng)求面積法拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.[方法二]【最優(yōu)解】：切點(diǎn)弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值同方法一得到．過(guò)P作y軸的平行線交于Q，則．．P點(diǎn)在圓M上，則．故當(dāng)時(shí)的面積最大，最大值為．[方法三]：直接設(shè)直線AB方程法設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得．判別式，即，且．拋物線C的方程為，即，有．則，整理得，同理可得．聯(lián)立方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即．將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得，整理得．由弦長(zhǎng)公式得．點(diǎn)P到直線的距離為．所以，其中，即．當(dāng)時(shí)，．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用兩點(diǎn)間距離公式求得關(guān)于圓M上的點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值，進(jìn)而求得的值；方法二，利用圓的性質(zhì)，與圓上點(diǎn)的距離的最小值，簡(jiǎn)潔明快，為最優(yōu)解；（2）方法一設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，由切點(diǎn)弦方程思想得到直線的坐標(biāo)滿足方程，然手與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，，利用弦長(zhǎng)公式求得的長(zhǎng)，進(jìn)而得到面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，利用圓的方程轉(zhuǎn)化得到關(guān)于的二次函數(shù)最值問(wèn)題；方法二，同方法一得到，，過(guò)P作y軸的平行線交于Q，則．由求得面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，并利用三角函數(shù)換元求得面積最大值，方法靈活，計(jì)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三直接設(shè)直線，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理判別式得到，且．利用點(diǎn)在圓上，求得的關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，解方程組求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式求得面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；04函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應(yīng)用【核心提示】立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決．【典例分析】典例10.（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又設(shè)四棱錐的高為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立)所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高.故選：C．[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)求最值由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設(shè)，則，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．故選：C.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問(wèn)題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通性通法．典例11.（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是典例12.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四面體ABCD中，，，．若四面體ABCD的體積為，則四面體ABCD外接球的表面積的最小值為______．【答案】【分析】證明四面體ABCD外接球的球心O是AD的中點(diǎn)，連接OB，OC，設(shè)的中心H．連接OH，AH，設(shè)，，根據(jù)四面體的體積得到，設(shè)四面體ABCD外接球O的半徑為R，求出，再利用導(dǎo)數(shù)求的最值即得解.【詳解】由，知，四面體ABCD外接球的球心O是AD的中點(diǎn)，連接OB，OC，則．因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以的外接圓的圓心為的中心H．連接OH，AH，則平面ABC．設(shè)，，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為2h，所以四面體ABCD的體積為，即，．設(shè)四面體ABCD外接球O的半徑為R，則，即．設(shè)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即最小值，所以當(dāng)時(shí)，R取得最小值，為，所以四面體ABCD外接球O的表面積的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)，其一是能準(zhǔn)確求出四面體ABCD外接球的表面積的解析式，其二是能利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.05函數(shù)與方程思想在平面向量中的應(yīng)用【核心提示】1.平面向量問(wèn)題的函數(shù)(方程)法是把平面向量問(wèn)題，通過(guò)模、數(shù)量積等轉(zhuǎn)化為關(guān)于相應(yīng)參數(shù)的函數(shù)(方程)問(wèn)題，從而利用相關(guān)知識(shí)結(jié)合函數(shù)或方程思想來(lái)處理有關(guān)參數(shù)值問(wèn)題．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①向量代數(shù)化，利用平面向量中的模、數(shù)量積等結(jié)合向量的位置關(guān)系、數(shù)量積公式等進(jìn)行代數(shù)化，得到含有參數(shù)的函數(shù)(方程)；②代數(shù)函數(shù)(方程)化，利用函數(shù)(方程)思想，結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)(方程)的性質(zhì)求解問(wèn)題；③得出結(jié)論，根據(jù)條件建立相應(yīng)的關(guān)系式，并得到對(duì)應(yīng)的結(jié)論．2.平面向量中含函數(shù)(方程)的相關(guān)知識(shí)，對(duì)平面向量的模進(jìn)行平方處理，把模問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問(wèn)題，再利用函數(shù)與方程思想來(lái)分析與處理，這是解決此類問(wèn)題一種比較常見的思維方式．【典例分析】典例13.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；故選：D典例14.【多選題】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1是一款家居裝飾物——博古架，它始見于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于書架式的木器，其每層形狀不規(guī)則，前后均敞開，無(wú)板壁封擋，便于從各個(gè)位置觀賞架上放置的器物.某博古架的部分示意圖如圖2中實(shí)線所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則C．D．設(shè)Z為線段AK上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】AD【分析】根據(jù)已知條件建立平面直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量垂直的條件及向量相等的條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AJ所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.A選項(xiàng)：易知，，，，所以，，則，所以，所以A正確.B選項(xiàng)：易知，，，，，，所以，，，所以，得，解得，，所以，所以B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：由選項(xiàng)A，B知，則，，，所以C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)：易知，，設(shè)，則，，所以.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值40.所以的取值范圍是，所以D正確.故選：AD.典例15.（2023秋·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，P是對(duì)角線上一點(diǎn)，且，則__________，若點(diǎn)M為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得正方形各頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，可得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得；設(shè)，表示出，可得坐標(biāo)，繼而求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得的最小值.【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，∴，∵P是對(duì)角線上一點(diǎn)，且，可得，∴，，∴；因?yàn)辄c(diǎn)M為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則設(shè),故，所以，，故，由于，所以時(shí)，取到最小值，即的最小值為，故答案為：；.06函數(shù)與方程思想在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用【核心提示】利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，尤其是生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)問(wèn)題，其實(shí)與一般的應(yīng)用題在本質(zhì)上沒(méi)有什么不同，只是因?yàn)閭€(gè)別因素由確定變量變成不確定變量，從而導(dǎo)致結(jié)果的不確定性，所以才需要作決策優(yōu)化，拋開概率的煙霧彈，其實(shí)題目反映的都是最簡(jiǎn)單的公式（比如利潤(rùn)=收入—成本），所以面對(duì)復(fù)雜題目要學(xué)會(huì)審題，還是要回歸常識(shí).【典例分析】典例16.（2023春·山西晉城·高三?？茧A段練習(xí)）已知小李每天在上班路上都要經(jīng)過(guò)甲、乙兩個(gè)路口，且他在甲、乙兩個(gè)路口遇到紅燈的概率分別為.記小李在星期一到星期五這5天每天上班路上在甲路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為，在甲、乙這兩個(gè)路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為，則（

）A．B．C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的最大值為D．當(dāng)時(shí)，【答案】BC【分析】確定，即可求出和，判斷A，B；表示一天至少遇到一次紅燈的概率為，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)可求得其最大值，判斷C；計(jì)算一天中遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即可求得，判斷D.【詳解】對(duì)于A，B，小李在星期一到星期五這5天每天上班路上在甲路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為，則，則，，A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，由題意可設(shè)一天至少遇到一次紅燈的概率為，星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率為，設(shè)，則，令，則（舍去）或或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取得最大值，即，即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的最大值為，此時(shí)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，一天中不遇紅燈的概率為，遇到一次紅燈