第一篇熱點、難點突破篇專題17直線與圓及相關的最值問題（講）真題體驗感悟高考1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數(shù)的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.2．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點，當變化時，若的最小值為2，則

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長為，則當時，弦長取得最小值為，解得.故選：C.3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義設出直線的方程，再由直線與圓相切的性質，即可得出答案.【詳解】設直線在曲線上的切點為，則，函數(shù)的導數(shù)為，則直線的斜率，設直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.總結規(guī)律預測考向（一）規(guī)律與預測（1）直線、圓的方程及位置關系問題，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，此類試題難度中等偏下.有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大.

（2）和導數(shù)、圓錐曲線相結合，求直線的方程，考查點到直線的距離公式，中低難度.（3）和圓錐曲線相結合，求圓的方程或弦長、面積等，中高難度．（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一求直線方程【核心知識】直線方程的幾種形式：兩直線平行、垂直的條件：【典例分析】典例1.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）直線關于點對稱的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設對稱的直線方程上的一點的坐標為,則其關于點對稱的點的坐標為，代入已知直線即可求得結果.【詳解】設對稱的直線方程上的一點的坐標為，則其關于點對稱的點的坐標為，因為點在直線上，所以即.故選：D.典例2.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設直線方程為，于是，故①，于是或，再結合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點為，設過該點的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.【規(guī)律方法】解決直線方程問題的注意點(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性．(2)要注意直線方程每種形式的局限性，點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直，而截距式方程即不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線．(3)討論兩直線的位置關系時，要注意直線的斜率是否存在．(4)直線與圓相切時,利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關于切線斜率的等式，一般求切線方程時主要選擇點斜式．考向二求圓的方程【核心知識】圓的標準方程：圓的一般方程：【典例分析】典例3.（2023·全國·模擬預測）已知圓：與直線：，寫出一個半徑為，且與圓及直線都相切的圓的方程：______．【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)圓的圓心和半徑,結合直線和圓的位置關系及兩個圓的位置關系計算即可.【詳解】設圓心為,由已知圓與直線：相切,圓與圓：相切,可得,即得或或,且已知半徑為,所以圓的方程可以為:或或故答案為:(答案不唯一)典例4.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設點M在直線上，點和均在上，則的方程為______________．【答案】【分析】設出點M的坐標，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】[方法一]：三點共圓∵點M在直線上，∴設點M為，又因為點和均在上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：[方法二]：圓的幾何性質由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線y=3x-4與直線的交點(1,-1).,的方程為.故答案為：典例5.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為____________．【答案】或或或．【分析】方法一：設圓的方程為，根據(jù)所選點的坐標，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設圓的方程為，（1）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）設（1）若圓過三點，圓心在直線，設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過三點，設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優(yōu)解．【總結提升】求圓的方程一般有兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程．(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．考向三直線、圓的距離問題【核心知識】點到直線不同時為零)的距離.【典例分析】典例6.（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）已知直線與圓相交于兩點，是線段的中點，則點到直線的距離的最大值為（

）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求得點的軌跡，結合圓與直線的位置關系求解即可.【詳解】如圖所示，設，直線過定點，圓的圓心為，半徑為2，因為，是線段的中點，所以，所以，即，整理得，所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，原點除外，所以點到直線距離的最大值，故選：C典例7.（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）已知，點A為直線上的動點，過點作直線與相切于點，若，則最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】設，由切線長公式、兩點間距離公式計算，轉化為點到和的距離之和，即，利用關于直線的對稱點，得最小值為，此時共線．【詳解】設，由已知，圓半徑為，由切線長公式得，所以，它表示點到和的距離之和，即，設關于直線的對稱點為,，易知當三點共線時，取得最小值．故選：C．典例8.【多選題】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點在圓上，點、，則（

）A．點到直線的距離小于B．點到直線的距離大于C．當最小時，D．當最大時，【答案】ACD【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.【點睛】結論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.典例9.（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知圓：上恰有3個點到直線：的距離等于2，則的值為_________．【答案】【分析】根據(jù)圓上個點到直線的距離等于,可得圓心到直線的距離為,利用點到直線的距離公式解出即可.【詳解】解:因為圓的方程為,所以圓心為,半徑為,因為圓上恰有個點到直線的距離都等于,所以只需要圓心到直線的距離為即可,直線方程為所以圓心到直線的距離為:,且解得,故答案為:【規(guī)律方法】（1）求點到直線的距離時，應先將直線方程化為一般式.（2）求兩平行線之間的距離時，應先將兩直線方程化為一般式且的系數(shù)對應相等.（3）求曲線上任意一點到已知直線的最小距離時，要利用數(shù)形結合和轉化與化歸的思想解題.

考向四直線與圓、圓與圓位置關系判斷【核心知識】1．直線與圓的位置關系：相交、相切和相離，判斷的方法(1)點線距離法．(2)判別式法：設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程組消去y，得到關于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2．圓與圓的位置關系有五種，即內含、內切、相交、外切、外離．【典例分析】典例10.【多選題】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉化點與圓、點與直線的位置關系為的大小關系，結合點到直線的距離及直線與圓的位置關系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.典例11.【多選題】（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知直線與圓，則（

）A．直線必過定點 B．當時，被圓截得的弦長為C．直線與圓可能相切 D．直線與圓不可能相離【答案】ABD【分析】將直線變形為，即可求定點坐標，即可判斷A；根據(jù)弦長公式求弦長，判斷B；根據(jù)直線所過定點與圓的關系，再結合直線方程的形式，即可判斷CD.【詳解】A.，聯(lián)立，得，所以直線過點，故A正確；B.當時，，圓心到直線的距離，弦長，故B正確；C.直線所過定點在圓上，過點與圓相切的直線是，但直線，表示斜率存在的直線，表示不了直線，故不存在直線與圓相切，故C錯誤；D.直線所過定點在圓上，所以直線與圓總有公共點，不可能相離，故D正確.故選：ABD典例12.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】首先求出點關于對稱點的坐標，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：【總結提升】判斷直線與圓的位置關系主要通過比較圓心到直線的距離和半徑的大小，兩個圓的位置關系的判斷依據(jù)是兩個圓的圓心距與兩個圓的半徑差的絕對值或和的大小關系.過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點的距離，再結合半徑利用勾股定理計算．考向五直線與圓、圓與圓弦長問題【核心知識】半徑、弦心距、弦長構成的直角三角形，構成三者間的關系(其中為弦長，為圓的半徑,為圓心到弦的距離).【典例分析】典例13.【多選題】（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）過圓：內一點作兩條互相垂直的弦，，得到四邊形，則（

）A．的最小值為4B．當時，C．四邊形面積的最大值為16D．為定值【答案】ABD【分析】當為中點時最小，即可求出，從而判斷A；設到，的距離分別為，，則，求出，即可得到，從而求出，即可判斷B；根據(jù)利用基本不等式求出四邊形面積的最大值，即可判斷C；分別取，的中點，，根據(jù)數(shù)量積的運算律求出的值，即可判斷D.【詳解】解：當為中點時最小，，，故A正確；設到，的距離分別為，，，∴，又，∴，，故B正確；因為，所以，則，當且僅當時取等號，所以，故C錯誤.分別取，的中點，，則為定值，故D正確.故選：ABD.典例14.（2023秋·天津河西·高三?？计谀┤暨^點的直線和圓交于兩點，若弦長，則直線的方程為______.【答案】或【分析】根據(jù)題意結合垂徑定理求得，再利用點到直線的距離公式運算求解，注意討論直線的斜率是否存在.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑，設圓心到直線的距離為，若弦長，則，可得，當直線的斜率不存在時，即直線為，故圓心到直線的距離為，符合題意；當直線的斜率存在時，設為，則直線為，即，故圓心到直線的距離為，解得此時直線為；綜上所述：直線為或.故答案為：或.典例15.（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知圓與圓交于A，B兩點，則直線的方程為______；的面積為______.【答案】

【分析】兩圓相減得到相交弦方程，即直線的方程，求出圓心，得到到直線的距離，利用垂徑定理得到，得到三角形面積.【詳解】兩圓相減得：，化簡得：，故直線的方程為，圓變形得到，圓心，半徑為2，故圓心到直線的距離為，由垂徑定理得：，故的面積為.故答案為：，.【總結提升】求解圓的弦長的方法1.幾何法:根據(jù)半徑、弦心距、弦長構成的直角三角形，構成三者間的關系(其中為弦長，為圓的半徑,為圓心到弦的距離).2.公式法:根據(jù)公式求解(其中為弦長直線與圓相交所得兩個交點的橫坐標，為直線的斜率).3.距離法:聯(lián)立直線與圓的方程，解方程組先求出兩交點坐標，再利用兩點間的距離公式求解.考向六直線、圓與圓錐曲線【核心知識】圓錐曲線方程及其幾何性質【典例分析】典例16.（2023·全國·高三對口高考）設、分別為橢圓的左右焦點，與直線相切的圓交橢圓于點，且是直線與圓相切的切點，則橢圓焦距與長軸長之比為________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，利用橢圓性質可得，結合，即可求得.【詳解】如圖所示，連接，易得，圓的半徑，所以，而，所以，，所以，且有，化簡可得，所以，所以，可得．故答案為：.典例17.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．【答案】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．典例18.（2021·全國·高考真題）拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關系，并說明理由．【答案】（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與相交，可得出拋物線開口向右，設出標準方程，再利用對稱性設出坐標，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結論；（2）方法一：先考慮斜率不存在，根據(jù)對稱性，即可得出結論；若斜率存在，由三點在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標表示，再由與圓相切，得出與的關系，最后求出點到直線的距離，即可得出結論.【詳解】（1）依題意設拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）[方法一]：設若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對稱性不妨設，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對稱性不妨設則過與圓相切的直線為，又，，此時直線關于軸對稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.[方法二]【最優(yōu)解】：設．當時，同解法1．當時，直線的方程為，即．由直線與相切得，化簡得，同理，由直線與相切得．因為方程同時經(jīng)過點，所以的直線方程為，點M到直線距離為．所以直線與相切．綜上所述，若直線與相切，則直線與相切．【整體點評】第二問關鍵點：過拋物線上的兩點直線斜率只需用其縱坐標（或橫坐標）表示，將問題轉化為只與縱坐標（或橫坐標）有關；法一是要充分利用的對稱性，抽象出與關系，把的關系轉化為用表示，法二是利用相切等條件得到的直線方程為，利用點到直線距離進行證明，方法二更為簡單，開拓學生思路考向七隱圓問題【核心知識】1.在題設中沒有明確給出圓的相關信息，而是隱含在題目中的，要通過分析、轉化發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而利用圓的知識來求解，稱這類問題為隱圓問題.

2.發(fā)現(xiàn)隱圓的方法（1）利用圓的定義或圓的幾何性質確定隱圓.（2）在平面上給定相異的兩點，設點與點在同