隱圓幾何模型專題訓(xùn)練題匯編在平面幾何的解題實踐中，我們常常會遇到一類看似與圓無關(guān)的問題，但若能深入挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出相應(yīng)的輔助圓，往往能化繁為簡，柳暗花明。這類問題的核心在于“隱圓”的發(fā)現(xiàn)與運用。本專題旨在通過對典型模型的梳理與針對性訓(xùn)練，幫助讀者掌握“隱圓”問題的分析方法與解題技巧，提升幾何思維的靈活性與深刻性。一、隱圓模型分類與典型例題解析（一）定點定長模型（圓的定義）模型特征：若平面內(nèi)一動點到某一定點的距離始終為一個定值，則該動點的軌跡是以定點為圓心，定值為半徑的圓。典型例題：已知點A為定點，點B是直線l上的一動點，且AB長度恒為a，試判斷點B的軌跡形狀，并說明理由。解析：由題意可知，點B到定點A的距離始終為a（定值），根據(jù)圓的定義，點B的軌跡是以點A為圓心，a為半徑的圓（若直線l與該圓有交點，則軌跡為交點或線段；若無交點，則軌跡不存在。此處僅從純幾何軌跡角度分析，不考慮直線l的具體位置限制）。解題反思：此類模型的關(guān)鍵在于尋找“定點”和“定長”。題目中可能直接給出，也可能通過線段相等、等腰三角形等條件間接給出。變式訓(xùn)練1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P是斜邊AB上的一個動點，以點P為圓心，PC為半徑作圓。當(dāng)點P在AB上運動時，⊙P的大小也隨之變化，請問：在點P運動過程中，是否存在某個位置，使得⊙P經(jīng)過點B？若存在，求出此時AP的長；若不存在，請說明理由。（二）定弦定角模型（同弧所對圓周角相等）模型特征：若一條線段（定弦）的同側(cè)有兩個點，使得這兩個點對該線段的張角（定角）相等，則這兩個點與線段的兩個端點共圓?；蛘哒f，線段長度固定，其對角大小固定（且角的頂點在弦的同側(cè)），則角的頂點的軌跡是該線段為弦的一段圓弧。典型例題：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=25°，∠CAD=75°，求∠BDC的度數(shù)。解析：因為AB=AC=AD，所以點B、C、D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上?！螧AC是弧BC所對的圓心角，∠BDC是弧BC所對的圓周角。已知∠BAC=25°，所以弧BC的度數(shù)為25°，故∠BDC=1/2∠BAC=12.5°。解題反思：本題的關(guān)鍵在于識別出B、C、D三點到A點的距離相等，從而確定它們共圓。對于“定弦定角”模型，要注意區(qū)分圓心角和圓周角，以及角的頂點在弦的同側(cè)還是兩側(cè)（兩側(cè)則可能為兩個不同的圓?。Ｗ兪接?xùn)練2：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(0,3)，點B(4,0)，點C是x軸上一個動點，連接AC，將線段AC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD。在點C運動過程中，求點D運動的路徑長。（提示：先確定點D的軌跡形狀）（三）直角圓周角模型（直徑所對圓周角是直角）模型特征：若一個三角形中，有一個角是直角，則這個直角的頂點在以斜邊為直徑的圓上。反之，若一個點在以某線段為直徑的圓上（非線段端點），則該點與線段兩端點構(gòu)成的三角形是直角三角形。典型例題：已知點A(-3,0)，點B(3,0)，點P是平面內(nèi)一動點，且滿足∠APB=90°，求點P的軌跡方程。解析：因為∠APB=90°，所以點P在以AB為直徑的圓上（A、B兩點除外）。AB的中點為原點O(0,0)，AB長度為6，故半徑為3。因此，點P的軌跡方程為x2+y2=9(x≠±3)。解題反思：看到直角，要聯(lián)想到直徑所對的圓周角是直角，從而構(gòu)造以斜邊為直徑的圓。這是處理直角頂點運動軌跡問題的常用方法。變式訓(xùn)練3：在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點E是邊CD上的一個動點，連接AE，過點B作BF⊥AE于點F。在點E運動過程中，線段BF的長度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由。（四）四點共圓模型（對角互補(bǔ)或外角等于內(nèi)對角）模型特征：若四邊形的一組對角互補(bǔ)，或一個外角等于其內(nèi)對角，則該四邊形的四個頂點共圓。典型例題：如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求證：B、E、F、C四點共圓。解析：連接EF。因為DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED=∠AFD=90°。因此，A、E、D、F四點共圓（四個點到AD中點的距離相等）。所以∠AEF=∠ADF。又因為AD⊥BC，DF⊥AC，所以∠ADF+∠CDF=90°，∠C+∠CDF=90°，故∠ADF=∠C。因此，∠AEF=∠C。而∠AEF是△BEF的一個外角，∠C是△BEF的內(nèi)對角，根據(jù)“外角等于內(nèi)對角，則四點共圓”，可得B、E、F、C四點共圓。解題反思：證明四點共圓是平面幾何中的一個難點，需要靈活運用判定定理。本題通過中間量∠ADF，將∠AEF與∠C聯(lián)系起來，從而應(yīng)用“外角等于內(nèi)對角”的判定方法。變式訓(xùn)練4：已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，PB交⊙O于點B、D，連接CD。若∠PAB=∠ACD，求證：PA∥CD。（五）到兩定點距離平方和為定值模型模型特征：若平面內(nèi)一動點到兩個定點的距離的平方和為一個定值，則該動點的軌跡是以兩定點連線的中點為圓心的圓。（可由兩點間距離公式推導(dǎo)得出）典型例題：已知點A(1,0)，點B(-1,0)，點P(x,y)滿足PA2+PB2=4，求點P的軌跡方程，并判斷其形狀。解析：根據(jù)兩點間距離公式，PA2=(x-1)2+y2，PB2=(x+1)2+y2。由PA2+PB2=4，可得(x-1)2+y2+(x+1)2+y2=4?；喌茫?x2+2y2+2=4，即x2+y2=1。所以點P的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓。解題反思：此類模型直接給出了距離平方和為定值的條件，通過代數(shù)運算（坐標(biāo)法）可以很容易推導(dǎo)出圓的方程。這體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。變式訓(xùn)練5：在平面直角坐標(biāo)系中，點M(0,2)，點N(4,0)，點P(x,y)是平面內(nèi)的一個動點，且滿足PM2+PN2=20。求△PMN面積的最大值。二、專題訓(xùn)練提升綜合練習(xí)1：如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，點D是邊BC上的一動點（不與B、C重合），以AD為邊向右作等邊△ADE，連接CE。（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）在點D運動過程中，線段CE的長度是否存在最大值或最小值？若存在，求出相應(yīng)的最值；若不存在，說明理由。（3）在點D運動過程中，∠DCE的大小是否發(fā)生變化？若不變，求出其度數(shù)；若變化，說明理由。（提示：可考慮點E的軌跡）綜合練習(xí)2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點P是平面內(nèi)一個動點，且滿足∠APB=60°，求線段CP長度的取值范圍。綜合練習(xí)3：已知點O是正方形ABCD對角線的交點，點P是正方形ABCD所在平面內(nèi)的一點，且滿足PD=1，PC=3。求線段PO長度的最大值和最小值。綜合練習(xí)4：如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點M是BC邊上的一個動點，連接AM，將△ABM沿AM折疊得到△AB'M。在點M運動過程中，求點B'運動的路徑長，并求出線段CB'長度的最小值。綜合練習(xí)5：在平面直角坐標(biāo)系中，點A(0,2)，點B(2,0)，點C是x軸上一個動點（不與點B重合），連接AC，過點B作BD⊥AC于點D。（1）求證：∠ADB為定值；（2）在點C運動過程中，點D的運動軌跡是什么圖形？請說明理由，并求出該圖形的周長。綜合練習(xí)6：已知點P是矩形ABCD內(nèi)一點，且PA=1，PB=2，PC=3。求PD的長。（提示：可利用坐標(biāo)系或旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造四點共圓或利用勾股定理）綜合練習(xí)7：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，點C是⊙O上一點，且AC=BC，點D是⊙O上的一個動點（不與A、B、C重合），連接AD、BD、CD。過點C作CE⊥AD于點E，CF⊥BD于點F。（1）求證：EF是△ABD的中位線；（2）在點D運動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出其長度；若變化，說明理由。綜合練習(xí)8：在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，AC=10，點D是邊AC上的一個動點，以BD為邊作等邊△BDE（點E與點A在BD的同側(cè)），連接CE。在點D運動過程中，求線段CE長度的最小值。三、總結(jié)與展望隱圓問題的核心在于“隱”，即圓的存在性需要通過題目條件的細(xì)致分析和合理聯(lián)想才能得以揭示。上述模型是初中幾何中常見的隱圓類型，但實際題目往往是多種模型的綜合或條件的巧妙包裝。解決隱圓問題的一般步驟為：1.審題聯(lián)想：仔細(xì)閱讀題目，觀察是否存在與圓的定義、性質(zhì)相關(guān)的隱含條件（如定長、定角、直角、等角、互補(bǔ)角等）。2.構(gòu)造輔助圓：根據(jù)識別出的模型特征，準(zhǔn)確構(gòu)造出相應(yīng)的輔助圓。3.運用圓的性質(zhì)：利用圓的性質(zhì)（如圓心角與圓周角關(guān)系、直徑所對圓周角、切線性質(zhì)、弦長公式、點與圓的位置關(guān)系等）解決問題。4.反思驗證：解題完畢后，回顧整個過程，確認(rèn)輔助圓的構(gòu)造是否