基于凸優(yōu)化的波束形成與陣列稀疏化：理論、算法與應(yīng)用的深度剖析一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代通信、雷達(dá)等眾多領(lǐng)域中，信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展對(duì)于提升系統(tǒng)性能起著關(guān)鍵作用。波束形成作為一種核心的信號(hào)處理技術(shù)，通過(guò)對(duì)陣列天線中各個(gè)陣元的幅度和相位進(jìn)行精確控制，能夠形成具有特定指向性的波束，在通信、雷達(dá)、聲吶等領(lǐng)域具有重要的作用。在通信系統(tǒng)里，波束形成技術(shù)可以增強(qiáng)目標(biāo)方向的信號(hào)強(qiáng)度，有效提升信號(hào)的接收質(zhì)量和傳輸速率，就像在5G通信中，通過(guò)動(dòng)態(tài)波束形成，能根據(jù)用戶位置實(shí)時(shí)調(diào)整波束方向，顯著提高通信效率和穩(wěn)定性；在雷達(dá)系統(tǒng)中，利用波束形成可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的高精度檢測(cè)與定位，例如天氣雷達(dá)通過(guò)波束掃描，能精準(zhǔn)探測(cè)氣象目標(biāo)的位置和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。傳統(tǒng)的均勻陣列在實(shí)際應(yīng)用中逐漸暴露出諸多缺陷，如均勻陣列參數(shù)估計(jì)分辨率低、自由度有限和受互耦效應(yīng)影響顯著等，這些問(wèn)題限制了系統(tǒng)性能的進(jìn)一步提升。而稀疏陣列優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生，它通過(guò)合理減少陣元數(shù)量，不僅能夠降低系統(tǒng)成本和復(fù)雜度，還能在一定程度上減小互耦效應(yīng)的影響，為解決傳統(tǒng)陣列的問(wèn)題提供了新的思路。稀疏陣列在不增加系統(tǒng)成本的同時(shí)提供更大的陣列孔徑和自由度，有效提升了陣列系統(tǒng)的分辨力和多目標(biāo)處理能力。在射電天文觀測(cè)中，稀疏陣列天線可以以較低的成本實(shí)現(xiàn)大面積的信號(hào)接收，幫助天文學(xué)家探測(cè)更微弱的天體信號(hào)。凸優(yōu)化理論作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)重要的研究方向，為解決波束形成和陣列稀疏化問(wèn)題提供了強(qiáng)大的工具。凸優(yōu)化著重于尋求滿足一定條件的凸目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，具有全局最優(yōu)性和良好的計(jì)算效率等優(yōu)勢(shì)。將凸優(yōu)化引入波束形成和陣列稀疏化的研究中，可以將復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)建立合適的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和約束條件，能夠有效地尋找最優(yōu)的波束形成參數(shù)和稀疏陣列配置，從而顯著提升系統(tǒng)性能。通過(guò)凸優(yōu)化方法，可以在滿足一定約束條件的前提下，找到能夠最大化某些性能指標(biāo)（例如陣列增益、方向性、信號(hào)干擾比等）的陣列配置。在優(yōu)化17元隨機(jī)稀疏線陣時(shí)，利用凸優(yōu)化方法能夠在滿足陣列孔徑等約束下，最大化陣列增益。隨著科技的不斷進(jìn)步，通信、雷達(dá)等系統(tǒng)對(duì)于高性能信號(hào)處理的需求日益增長(zhǎng)。深入研究基于凸優(yōu)化的波束形成及陣列稀疏化，對(duì)于推動(dòng)相關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)發(fā)展，提升系統(tǒng)在復(fù)雜環(huán)境下的適應(yīng)性和可靠性，具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在軍事通信中，基于凸優(yōu)化的波束形成和陣列稀疏化技術(shù)可以提高通信系統(tǒng)的抗干擾能力和保密性，保障軍事任務(wù)的順利執(zhí)行；在智能交通領(lǐng)域，可用于車輛雷達(dá)系統(tǒng)，提升對(duì)周圍環(huán)境的感知精度，保障行車安全。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀在波束形成領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛而深入的研究。國(guó)外方面，早在20世紀(jì)60年代，波束形成技術(shù)就已在雷達(dá)領(lǐng)域得到初步應(yīng)用。隨著科技的飛速發(fā)展，研究重點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)向提高波束形成的性能和適應(yīng)性。美國(guó)斯坦福大學(xué)的研究團(tuán)隊(duì)在自適應(yīng)波束形成算法上取得重要進(jìn)展，通過(guò)改進(jìn)最小方差無(wú)失真響應(yīng)（MVDR）算法，有效提升了在復(fù)雜多徑環(huán)境下的信號(hào)接收質(zhì)量，顯著增強(qiáng)了系統(tǒng)對(duì)干擾信號(hào)的抑制能力，相關(guān)成果在無(wú)線通信和雷達(dá)探測(cè)中得到了廣泛應(yīng)用。近年來(lái)，隨著人工智能技術(shù)的興起，機(jī)器學(xué)習(xí)與波束形成的結(jié)合成為研究熱點(diǎn)。如谷歌旗下的研究機(jī)構(gòu)利用深度學(xué)習(xí)算法實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)環(huán)境下的智能波束跟蹤，大幅提高了波束形成的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性。國(guó)內(nèi)在波束形成研究方面也取得了豐碩成果。眾多高校和科研機(jī)構(gòu)積極投入研究，在理論創(chuàng)新和工程應(yīng)用上均有突破。清華大學(xué)的科研團(tuán)隊(duì)提出了基于壓縮感知的波束形成算法，在降低采樣率的同時(shí)保證了信號(hào)的高分辨率重構(gòu)，有效減少了系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理量，提高了系統(tǒng)效率，該算法在5G通信基站的波束賦形中展現(xiàn)出良好的應(yīng)用前景。北京郵電大學(xué)則專注于多波束形成技術(shù)研究，成功研發(fā)出多波束智能天線系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)目標(biāo)的同時(shí)跟蹤和通信，在衛(wèi)星通信領(lǐng)域得到了實(shí)際應(yīng)用。在陣列稀疏化領(lǐng)域，國(guó)外研究起步較早，對(duì)稀疏陣列的設(shè)計(jì)理論和方法進(jìn)行了深入探索。英國(guó)倫敦大學(xué)學(xué)院的學(xué)者利用遺傳算法進(jìn)行稀疏陣列設(shè)計(jì)，通過(guò)不斷優(yōu)化陣元位置和數(shù)量，在保持陣列性能的前提下，有效降低了陣列成本和復(fù)雜度。近年來(lái)，凸優(yōu)化理論在陣列稀疏化中的應(yīng)用日益廣泛。美國(guó)加州理工學(xué)院運(yùn)用凸優(yōu)化方法解決稀疏陣列的方向圖綜合問(wèn)題，通過(guò)建立合適的凸優(yōu)化模型，成功實(shí)現(xiàn)了低旁瓣、高增益的稀疏陣列設(shè)計(jì)。國(guó)內(nèi)在陣列稀疏化研究方面也緊跟國(guó)際步伐。電子科技大學(xué)的鄭植研究員利用集合論和互質(zhì)數(shù)理論等設(shè)計(jì)了幾種線性、平面和立體的結(jié)構(gòu)化稀疏陣列，其陣元位置和可實(shí)現(xiàn)的自由度具有閉合表達(dá)式，可在不增加系統(tǒng)成本的同時(shí)提供更大的陣列孔徑、自由度和更小的互耦，有效提升了陣列系統(tǒng)的分辨力和多目標(biāo)處理能力，并顯著減小了互耦效應(yīng)對(duì)參數(shù)估計(jì)性能的影響。同時(shí)，針對(duì)特定信號(hào)場(chǎng)景下均勻陣自適應(yīng)波束形成器的性能瓶頸，利用最優(yōu)化理論設(shè)計(jì)了幾種適用于自適應(yīng)波束形成的非結(jié)構(gòu)化稀疏陣列，顯著提升了自適應(yīng)波束形成器的輸出信干噪比和陣列系統(tǒng)在復(fù)雜信號(hào)環(huán)境中的自適應(yīng)感知能力。盡管基于凸優(yōu)化的波束形成及陣列稀疏化研究取得了顯著進(jìn)展，但當(dāng)前研究仍存在一些不足之處。在凸優(yōu)化模型構(gòu)建方面，部分模型過(guò)于理想化，對(duì)實(shí)際應(yīng)用中的復(fù)雜因素考慮不足，如實(shí)際陣列中的互耦效應(yīng)、陣元位置誤差等，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果與實(shí)際情況存在偏差。在算法計(jì)算效率上，一些基于凸優(yōu)化的算法計(jì)算復(fù)雜度較高，難以滿足實(shí)時(shí)性要求較高的應(yīng)用場(chǎng)景，如高速移動(dòng)的通信場(chǎng)景或?qū)崟r(shí)性要求苛刻的雷達(dá)探測(cè)場(chǎng)景。此外，對(duì)于多目標(biāo)、多約束條件下的波束形成和陣列稀疏化問(wèn)題，目前的研究還不夠完善，缺乏統(tǒng)一有效的解決方案。1.3研究目標(biāo)與內(nèi)容本研究旨在深入剖析凸優(yōu)化理論在波束形成及陣列稀疏化中的應(yīng)用，通過(guò)構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化算法，解決傳統(tǒng)方法存在的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)性能的顯著提升，具體研究?jī)?nèi)容和擬解決的關(guān)鍵問(wèn)題如下：凸優(yōu)化理論基礎(chǔ)與波束形成原理研究：系統(tǒng)地梳理凸優(yōu)化的基本理論，包括凸集、凸函數(shù)、凸優(yōu)化問(wèn)題的定義和基本性質(zhì)，以及常見(jiàn)的凸優(yōu)化算法，如內(nèi)點(diǎn)法、梯度下降法等，為后續(xù)研究奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。深入探究波束形成的基本原理，分析其在不同應(yīng)用場(chǎng)景下的性能指標(biāo)，如陣列增益、方向性、信號(hào)干擾比等，明確波束形成問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述和優(yōu)化目標(biāo)。重點(diǎn)解決如何將實(shí)際的波束形成問(wèn)題準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題，確定合適的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，以實(shí)現(xiàn)對(duì)波束形成參數(shù)的有效優(yōu)化。基于凸優(yōu)化的波束形成算法研究：針對(duì)不同的信號(hào)環(huán)境和應(yīng)用需求，如復(fù)雜多徑環(huán)境、強(qiáng)干擾環(huán)境等，研究基于凸優(yōu)化的波束形成算法。通過(guò)引入正則化項(xiàng)、約束條件等手段，改進(jìn)傳統(tǒng)的波束形成算法，提高算法的穩(wěn)健性和適應(yīng)性。例如，在存在陣元位置誤差和互耦效應(yīng)的情況下，利用凸優(yōu)化方法設(shè)計(jì)具有魯棒性的波束形成器，使其在實(shí)際應(yīng)用中仍能保持良好的性能。解決算法在實(shí)際應(yīng)用中的計(jì)算復(fù)雜度問(wèn)題，通過(guò)優(yōu)化算法結(jié)構(gòu)、采用快速迭代策略等方法，降低算法的計(jì)算量，提高算法的實(shí)時(shí)性，以滿足實(shí)時(shí)性要求較高的應(yīng)用場(chǎng)景，如高速移動(dòng)的通信場(chǎng)景或?qū)崟r(shí)性要求苛刻的雷達(dá)探測(cè)場(chǎng)景。陣列稀疏化的凸優(yōu)化模型構(gòu)建與算法設(shè)計(jì)：研究陣列稀疏化的原理和方法，分析稀疏陣列的性能特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)?；谕箖?yōu)化理論，構(gòu)建適用于陣列稀疏化的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)最小化旁瓣電平、最大化陣列增益等目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)約束陣元數(shù)量和位置，實(shí)現(xiàn)稀疏陣列的優(yōu)化設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)有效的算法求解所構(gòu)建的凸優(yōu)化模型，如采用二階錐規(guī)劃（SOCP）、半定規(guī)劃（SDP）等方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)陣列陣元的合理稀疏配置，在降低陣列成本和復(fù)雜度的同時(shí)，保證陣列的性能。解決在陣列稀疏化過(guò)程中，如何平衡陣元數(shù)量減少與陣列性能之間的關(guān)系，避免因過(guò)度稀疏導(dǎo)致陣列性能大幅下降的問(wèn)題?？紤]實(shí)際因素的凸優(yōu)化方法改進(jìn)：在實(shí)際應(yīng)用中，陣列存在互耦效應(yīng)、陣元位置誤差等因素，這些因素會(huì)嚴(yán)重影響波束形成和陣列稀疏化的性能。研究如何在凸優(yōu)化模型中準(zhǔn)確考慮這些實(shí)際因素，通過(guò)建立更精確的陣列模型和誤差補(bǔ)償機(jī)制，改進(jìn)凸優(yōu)化方法，提高優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。結(jié)合實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景，如5G通信、雷達(dá)探測(cè)等，對(duì)改進(jìn)后的凸優(yōu)化方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證和實(shí)驗(yàn)測(cè)試，評(píng)估其在實(shí)際環(huán)境中的性能表現(xiàn)，進(jìn)一步優(yōu)化算法參數(shù)和模型結(jié)構(gòu)，使其更符合實(shí)際應(yīng)用需求。解決如何將理論研究成果有效地應(yīng)用到實(shí)際工程中的問(wèn)題，為實(shí)際系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供理論支持和技術(shù)指導(dǎo)。1.4研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)本研究綜合運(yùn)用理論分析、算法設(shè)計(jì)和仿真實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的研究方法，深入探究基于凸優(yōu)化的波束形成及陣列稀疏化問(wèn)題。在理論分析方面，全面梳理凸優(yōu)化理論基礎(chǔ)，深入剖析波束形成和陣列稀疏化的基本原理，為后續(xù)研究提供堅(jiān)實(shí)的理論支撐。通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)，明確波束形成和陣列稀疏化問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述和優(yōu)化目標(biāo)，將實(shí)際問(wèn)題準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題。在算法設(shè)計(jì)階段，針對(duì)不同的應(yīng)用場(chǎng)景和性能需求，精心設(shè)計(jì)基于凸優(yōu)化的波束形成算法和陣列稀疏化算法。通過(guò)引入創(chuàng)新的正則化項(xiàng)和約束條件，改進(jìn)傳統(tǒng)算法，提高算法的穩(wěn)健性、適應(yīng)性和計(jì)算效率。在仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，利用專業(yè)的仿真工具，搭建逼真的信號(hào)環(huán)境模型，對(duì)所設(shè)計(jì)的算法進(jìn)行全面的仿真驗(yàn)證。通過(guò)對(duì)比分析不同算法的性能指標(biāo)，評(píng)估算法的優(yōu)劣，進(jìn)一步優(yōu)化算法參數(shù)和模型結(jié)構(gòu)。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：在凸優(yōu)化模型構(gòu)建上，充分考慮實(shí)際應(yīng)用中的復(fù)雜因素，如互耦效應(yīng)、陣元位置誤差等，建立更為精確的陣列模型和誤差補(bǔ)償機(jī)制，使凸優(yōu)化模型更貼合實(shí)際情況，提高優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。在算法設(shè)計(jì)方面，提出了一種融合多種優(yōu)化策略的創(chuàng)新算法，將啟發(fā)式算法與傳統(tǒng)凸優(yōu)化算法相結(jié)合，充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢(shì)，在降低算法計(jì)算復(fù)雜度的同時(shí)，提升算法的收斂速度和尋優(yōu)能力，有效解決多目標(biāo)、多約束條件下的波束形成和陣列稀疏化問(wèn)題。在研究視角上，打破傳統(tǒng)研究中波束形成和陣列稀疏化分別獨(dú)立研究的局限，從系統(tǒng)整體性能最優(yōu)的角度出發(fā)，將兩者有機(jī)結(jié)合進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)性能的全面提升。二、凸優(yōu)化、波束形成與陣列稀疏化基礎(chǔ)理論2.1凸優(yōu)化基礎(chǔ)2.1.1凸集與凸函數(shù)在歐幾里得空間中，凸集是一個(gè)重要的概念。對(duì)于一個(gè)集合C\subseteq\mathbb{R}^n，若對(duì)于任意兩點(diǎn)x,y\inC以及所有滿足0\leqt\leq1的實(shí)數(shù)t，都有tx+(1-t)y\inC，則稱集合C為凸集。從直觀上理解，凸集就是沒(méi)有“凹進(jìn)去”部分的形狀，例如圓形、橢圓、矩形、正方形等在二維空間中都是凸集的典型例子，而月牙形或環(huán)形由于含有內(nèi)部的空洞或凹陷，使得某些兩點(diǎn)之間的連線會(huì)落在集合之外，所以不是凸集。在實(shí)際應(yīng)用中，許多優(yōu)化問(wèn)題的可行域往往是凸集，這為凸優(yōu)化理論的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。在資源分配問(wèn)題中，滿足各種資源約束條件的分配方案所構(gòu)成的集合可能就是一個(gè)凸集。凸函數(shù)是定義在某個(gè)向量空間的凸子集C（區(qū)間）上的實(shí)值函數(shù)。設(shè)f(x)是定義在凸集C上的函數(shù)，若對(duì)于C中的任意兩點(diǎn)x_1和x_2，以及任意滿足0\leqt\leq1的t，都有f(tx_1+(1-t)x_2)\leqtf(x_1)+(1-t)f(x_2)，則稱f(x)為凸集C上的凸函數(shù)。如果上述不等式中的“\leq”可以嚴(yán)格取為“<”，除非t=0或t=1，那么函數(shù)f(x)被稱為嚴(yán)格凸函數(shù)。從幾何意義上看，凸函數(shù)的圖像具有向上凸起的特征，連接函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的線段總是位于這兩點(diǎn)之間的函數(shù)圖像之上或恰好在這條線上。對(duì)于一元凸函數(shù)y=x^2，在其定義域內(nèi)，任意取兩點(diǎn)x_1和x_2，通過(guò)計(jì)算可以驗(yàn)證f(tx_1+(1-t)x_2)\leqtf(x_1)+(1-t)f(x_2)成立，符合凸函數(shù)的定義。凸函數(shù)具有許多重要的性質(zhì)。在定義域內(nèi)，凸函數(shù)的局部極小值也是全局極小值，這一性質(zhì)使得在求解凸優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，無(wú)需擔(dān)心陷入局部最優(yōu)解的困境，大大簡(jiǎn)化了優(yōu)化過(guò)程。對(duì)于定義在某個(gè)開(kāi)區(qū)間C內(nèi)的凸函數(shù)f，它在C內(nèi)連續(xù)，且在除可數(shù)個(gè)點(diǎn)之外的所有點(diǎn)可微；若C是閉區(qū)間，那么f有可能在C的端點(diǎn)不連續(xù)。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，這些性質(zhì)為基于凸優(yōu)化的算法設(shè)計(jì)和分析提供了便利。在通信系統(tǒng)的功率分配優(yōu)化中，利用凸函數(shù)的這些性質(zhì)，可以快速準(zhǔn)確地找到最優(yōu)的功率分配方案，提高系統(tǒng)的性能。2.1.2凸優(yōu)化問(wèn)題的一般形式凸優(yōu)化問(wèn)題通常可以表示為以下標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)形式：\begin{align*}\minimize&\quadf_0(x)\\\subject\to&\quadf_i(x)\leq0,\quadi=1,\cdots,m\\&\quadh_j(x)=0,\quadj=1,\cdots,p\end{align*}其中，x\in\mathbb{R}^n是優(yōu)化變量，它代表了需要求解的未知參數(shù)，在波束形成問(wèn)題中，x可能表示各個(gè)陣元的加權(quán)系數(shù)；f_0(x)是目標(biāo)函數(shù)，其作用是衡量?jī)?yōu)化的目標(biāo)，例如在陣列稀疏化問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)可能是最小化陣列的旁瓣電平；f_i(x)\leq0（i=1,\cdots,m）是不等式約束條件，用于限制優(yōu)化變量的取值范圍，比如在實(shí)際的天線陣列設(shè)計(jì)中，可能會(huì)對(duì)陣元的位置、幅度等參數(shù)有一定的限制；h_j(x)=0（j=1,\cdots,p）是等式約束條件，它進(jìn)一步明確了優(yōu)化變量之間的關(guān)系。在凸優(yōu)化問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)f_0(x)必須是凸函數(shù)，不等式約束函數(shù)f_i(x)（i=1,\cdots,m）也必須是凸函數(shù)，而等式約束函數(shù)h_j(x)（j=1,\cdots,p）則要求是仿射函數(shù)。這是因?yàn)橥购瘮?shù)和仿射函數(shù)具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，能夠保證凸優(yōu)化問(wèn)題具有全局最優(yōu)解，并且可以利用成熟的算法進(jìn)行求解。如果等式約束函數(shù)不是仿射函數(shù)，那么可能會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題的復(fù)雜性增加，難以找到有效的求解方法。從直觀上解釋，等式約束可以看成要同時(shí)滿足h_j(x)\leq0和-h_j(x)\leq0，為了滿足不等式約束函數(shù)是凸函數(shù)的條件，要求h_j(x)同時(shí)是凸函數(shù)和凹函數(shù)，而這樣的函數(shù)只能是仿射函數(shù)。滿足約束條件的定義域中的點(diǎn)稱為可行點(diǎn)，所有可行點(diǎn)的集合稱為可行集。凸優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)就是在可行集中尋找使得目標(biāo)函數(shù)f_0(x)取得最小值的點(diǎn)，即最優(yōu)解。由于凸優(yōu)化問(wèn)題的特殊性質(zhì)，其任意局部最優(yōu)解也是全局最優(yōu)解，這使得凸優(yōu)化問(wèn)題在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中都具有重要的價(jià)值。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，將復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題，可以利用凸優(yōu)化的理論和算法，高效地找到全局最優(yōu)解，提升系統(tǒng)的性能。在雷達(dá)信號(hào)處理中，通過(guò)將波束形成問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題，可以快速找到最優(yōu)的波束形成參數(shù)，提高雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的檢測(cè)和跟蹤能力。2.1.3常見(jiàn)凸優(yōu)化算法概述內(nèi)點(diǎn)法：內(nèi)點(diǎn)法是一種求解凸優(yōu)化問(wèn)題的經(jīng)典算法，其基本原理是在可行集的內(nèi)部尋找一系列的點(diǎn)，通過(guò)迭代的方式逐漸逼近最優(yōu)解。該算法通過(guò)引入障礙函數(shù)，將帶有約束條件的凸優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。障礙函數(shù)的作用是在可行集的邊界上設(shè)置一個(gè)很高的“障礙”，使得迭代點(diǎn)始終保持在可行集內(nèi)部，避免觸及邊界。在每次迭代中，內(nèi)點(diǎn)法通過(guò)求解一個(gè)與障礙函數(shù)相關(guān)的無(wú)約束優(yōu)化子問(wèn)題，得到一個(gè)新的迭代點(diǎn)，隨著迭代的進(jìn)行，障礙函數(shù)的影響逐漸減小，迭代點(diǎn)不斷逼近最優(yōu)解。內(nèi)點(diǎn)法具有收斂速度快、精度高的優(yōu)點(diǎn)，尤其適用于大規(guī)模的凸優(yōu)化問(wèn)題，在求解大規(guī)模線性規(guī)劃和二次規(guī)劃問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出色。然而，內(nèi)點(diǎn)法的計(jì)算復(fù)雜度較高，在每次迭代中都需要求解一個(gè)較為復(fù)雜的無(wú)約束優(yōu)化子問(wèn)題，這限制了它在一些實(shí)時(shí)性要求較高的場(chǎng)景中的應(yīng)用。梯度下降法：梯度下降法是一種基于搜索的優(yōu)化方法，廣泛應(yīng)用于求解凸優(yōu)化問(wèn)題以及深度學(xué)習(xí)中的模型訓(xùn)練。其核心思想是通過(guò)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度（一階導(dǎo)數(shù)），沿著負(fù)梯度的方向逐步調(diào)整參數(shù)，以減小目標(biāo)函數(shù)的值。因?yàn)樘荻缺硎竞瘮?shù)在該點(diǎn)上升最快的方向，所以負(fù)梯度方向就是函數(shù)下降最快的方向。在實(shí)際應(yīng)用中，梯度下降法通常按照以下步驟進(jìn)行：首先，初始化模型的參數(shù)；然后，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)關(guān)于參數(shù)的梯度；接著，使用學(xué)習(xí)率控制梯度下降的步伐，將當(dāng)前參數(shù)值減去學(xué)習(xí)率乘以梯度值，得到更新后的參數(shù)值；最后，反復(fù)執(zhí)行計(jì)算梯度和更新參數(shù)的步驟，直到滿足停止條件，如達(dá)到指定的迭代次數(shù)或目標(biāo)函數(shù)減小的幅度低于閾值。梯度下降法有多種變種，如批量梯度下降（BGD）、隨機(jī)梯度下降（SGD）和小批量梯度下降（MBGD）。BGD在每一輪迭代中使用所有樣本計(jì)算梯度，雖然收斂穩(wěn)定，但計(jì)算量較大；SGD每次隨機(jī)選取一個(gè)樣本計(jì)算梯度，計(jì)算速度快，但收斂過(guò)程中噪聲較大；MBGD則是每次選取一個(gè)小批量樣本計(jì)算梯度，平衡了計(jì)算效率與收斂性能。梯度下降法在深度學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，例如在訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，通過(guò)梯度下降法不斷調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重參數(shù)，使得損失函數(shù)逐漸減小，從而提升模型的性能。但梯度下降法也存在一些缺點(diǎn)，如學(xué)習(xí)率的選擇對(duì)算法性能影響較大，學(xué)習(xí)率過(guò)大可能導(dǎo)致算法震蕩，無(wú)法收斂，學(xué)習(xí)率過(guò)小則會(huì)使收斂速度變得非常緩慢；在高維問(wèn)題中，還可能會(huì)陷入局部最優(yōu)解或鞍點(diǎn)。2.2波束形成技術(shù)原理2.2.1基本波束形成模型波束形成技術(shù)在現(xiàn)代通信和雷達(dá)系統(tǒng)中扮演著至關(guān)重要的角色，其基本原理基于陣列天線對(duì)信號(hào)的合成與處理?？紤]一個(gè)由N個(gè)陣元組成的均勻線性陣列，假設(shè)各陣元沿x軸等間距排列，陣元間距為d。設(shè)遠(yuǎn)場(chǎng)有一窄帶信號(hào)s(t)，其入射角為\theta，信號(hào)的角頻率為\omega，波數(shù)k=\frac{\omega}{c}，其中c為信號(hào)傳播速度。第n個(gè)陣元接收到的信號(hào)可以表示為：x_n(t)=s(t-\tau_n)+n_n(t)其中，\tau_n是信號(hào)從信號(hào)源到達(dá)第n個(gè)陣元相對(duì)于參考陣元（通常取第一個(gè)陣元）的時(shí)間延遲，n_n(t)是第n個(gè)陣元上的加性噪聲，通常假設(shè)為高斯白噪聲。根據(jù)幾何關(guān)系，時(shí)間延遲\tau_n可以表示為：\tau_n=\frac{(n-1)d\sin\theta}{c}為了實(shí)現(xiàn)波束形成，需要對(duì)各個(gè)陣元接收到的信號(hào)進(jìn)行加權(quán)求和。設(shè)加權(quán)系數(shù)為w_n，則波束形成器的輸出y(t)為：y(t)=\sum_{n=1}^{N}w_nx_n(t)將x_n(t)的表達(dá)式代入上式，可得：y(t)=\sum_{n=1}^{N}w_n[s(t-\tau_n)+n_n(t)]=\sum_{n=1}^{N}w_ns(t-\tau_n)+\sum_{n=1}^{N}w_nn_n(t)在頻域中，利用傅里葉變換，信號(hào)s(t)的傅里葉變換為S(f)，x_n(t)的傅里葉變換為X_n(f)，y(t)的傅里葉變換為Y(f)。根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)，X_n(f)=S(f)e^{-j2\pif\tau_n}+N_n(f)，其中N_n(f)是n_n(t)的傅里葉變換。則波束形成器輸出的頻域表達(dá)式為：Y(f)=\sum_{n=1}^{N}w_nX_n(f)=S(f)\sum_{n=1}^{N}w_ne^{-j2\pif\tau_n}+\sum_{n=1}^{N}w_nN_n(f)定義陣列流形向量\mathbf{a}(\theta)為：\mathbf{a}(\theta)=[1,e^{-j2\pif\frac{d\sin\theta}{c}},e^{-j2\pif\frac{2d\sin\theta}{c}},\cdots,e^{-j2\pif\frac{(N-1)d\sin\theta}{c}}]^T加權(quán)系數(shù)向量\mathbf{w}為：\mathbf{w}=[w_1,w_2,\cdots,w_N]^T則波束形成器輸出的頻域表達(dá)式可以簡(jiǎn)潔地表示為：Y(f)=S(f)\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta)+\mathbf{w}^H\mathbf{N}(f)其中，\mathbf{N}(f)=[N_1(f),N_2(f),\cdots,N_N(f)]^T，上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置。通過(guò)合理設(shè)計(jì)加權(quán)系數(shù)向量\mathbf{w}，可以使波束在期望方向上具有最大增益，在干擾方向上形成零點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)期望信號(hào)的增強(qiáng)和對(duì)干擾信號(hào)的抑制。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體的信號(hào)環(huán)境和系統(tǒng)要求，選擇合適的算法來(lái)求解加權(quán)系數(shù)向量\mathbf{w}，以達(dá)到最佳的波束形成效果。2.2.2波束形成的關(guān)鍵參數(shù)與性能指標(biāo)方向圖：方向圖是描述天線陣列輻射特性的重要參數(shù)，它直觀地展示了天線陣列在不同方向上的輻射強(qiáng)度分布。在波束形成中，方向圖是衡量波束性能的關(guān)鍵指標(biāo)之一。對(duì)于均勻線性陣列，其方向圖函數(shù)F(\theta)可以表示為：F(\theta)=\sum_{n=1}^{N}w_ne^{-j2\pif\frac{(n-1)d\sin\theta}{c}}其中，w_n是第n個(gè)陣元的加權(quán)系數(shù)，d是陣元間距，f是信號(hào)頻率，\theta是觀測(cè)方向。方向圖通常以極坐標(biāo)或直角坐標(biāo)的形式繪制，極坐標(biāo)方向圖中，半徑表示輻射強(qiáng)度的相對(duì)大小，角度表示方向；直角坐標(biāo)方向圖中，橫坐標(biāo)表示方向，縱坐標(biāo)表示輻射強(qiáng)度的相對(duì)大小。通過(guò)分析方向圖，可以直觀地了解波束的指向、寬度以及旁瓣的分布情況。主瓣：主瓣是方向圖中輻射強(qiáng)度最大的部分，它決定了波束的主要輻射方向，是波束形成中期望信號(hào)的接收或發(fā)射方向。主瓣的性能指標(biāo)主要包括主瓣寬度和主瓣增益。主瓣寬度通常用半功率波束寬度（HPBW）來(lái)衡量，它是指在主瓣上輻射強(qiáng)度下降到最大值的一半（即-3dB）時(shí)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)方向之間的夾角。半功率波束寬度越窄，表明波束的方向性越強(qiáng)，對(duì)目標(biāo)信號(hào)的聚焦能力越好。主瓣增益則表示主瓣方向上的輻射強(qiáng)度與各向同性輻射器輻射強(qiáng)度的比值，主瓣增益越高，說(shuō)明在主瓣方向上的信號(hào)能量越集中，系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)信號(hào)的接收或發(fā)射能力越強(qiáng)。副瓣：副瓣是方向圖中除主瓣以外的其他瓣，它們會(huì)對(duì)系統(tǒng)性能產(chǎn)生負(fù)面影響，因?yàn)楦卑昕赡軙?huì)接收到來(lái)自非目標(biāo)方向的干擾信號(hào)，從而降低系統(tǒng)的信噪比和抗干擾能力。副瓣的性能指標(biāo)主要是副瓣電平（SLL），它表示副瓣的最大輻射強(qiáng)度與主瓣最大輻射強(qiáng)度的比值，通常用分貝（dB）表示。副瓣電平越低，說(shuō)明副瓣的輻射強(qiáng)度相對(duì)主瓣越小，系統(tǒng)受到非目標(biāo)方向干擾的可能性就越小。在實(shí)際應(yīng)用中，通常希望通過(guò)優(yōu)化加權(quán)系數(shù)等方法來(lái)降低副瓣電平，提高系統(tǒng)的性能。陣列增益：陣列增益是衡量波束形成性能的重要指標(biāo)之一，它反映了陣列天線相對(duì)于單個(gè)天線在接收或發(fā)射信號(hào)時(shí)的性能提升。陣列增益G可以定義為：G=\frac{P_{out}}{P_{in}}其中，P_{out}是陣列天線輸出的信號(hào)功率，P_{in}是單個(gè)天線接收到的信號(hào)功率。在理想情況下，對(duì)于均勻線性陣列，當(dāng)所有陣元同相激勵(lì)時(shí)，陣列增益與陣元數(shù)量N成正比。但在實(shí)際應(yīng)用中，由于存在噪聲、干擾以及加權(quán)系數(shù)的優(yōu)化等因素，陣列增益會(huì)受到影響。通過(guò)合理設(shè)計(jì)波束形成算法，調(diào)整加權(quán)系數(shù)，可以提高陣列增益，增強(qiáng)系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的接收或發(fā)射能力。信號(hào)干擾比（SIR）：信號(hào)干擾比是衡量波束形成器在抑制干擾信號(hào)方面性能的重要指標(biāo)，它表示接收信號(hào)中期望信號(hào)功率與干擾信號(hào)功率的比值。在存在干擾的情況下，波束形成的目標(biāo)之一就是通過(guò)調(diào)整加權(quán)系數(shù)，使波束在干擾方向上形成零點(diǎn)，從而提高信號(hào)干擾比。信號(hào)干擾比SIR可以表示為：SIR=\frac{P_s}{P_i}其中，P_s是期望信號(hào)的功率，P_i是干擾信號(hào)的功率。信號(hào)干擾比越高，說(shuō)明系統(tǒng)對(duì)干擾信號(hào)的抑制能力越強(qiáng)，能夠更好地從干擾環(huán)境中提取出期望信號(hào)。在實(shí)際應(yīng)用中，通過(guò)優(yōu)化波束形成算法，如最小方差無(wú)失真響應(yīng)（MVDR）算法等，可以有效提高信號(hào)干擾比，提升系統(tǒng)在復(fù)雜干擾環(huán)境下的性能。2.2.3傳統(tǒng)波束形成算法分析延遲求和（DS）算法：延遲求和算法是一種最為基礎(chǔ)和經(jīng)典的波束形成算法，其原理簡(jiǎn)單直觀。在均勻線性陣列中，對(duì)于入射角為\theta的信號(hào)，延遲求和算法通過(guò)對(duì)各個(gè)陣元接收到的信號(hào)進(jìn)行適當(dāng)?shù)难舆t，使得信號(hào)在期望方向上同相疊加，然后再進(jìn)行求和。如前文所述，第n個(gè)陣元接收到的信號(hào)相對(duì)于參考陣元的時(shí)間延遲為\tau_n=\frac{(n-1)d\sin\theta}{c}，延遲求和算法的加權(quán)系數(shù)w_n為常數(shù)，通常取w_n=1。則波束形成器的輸出y(t)為：y(t)=\sum_{n=1}^{N}x_n(t-\tau_n)在頻域中，其輸出表達(dá)式為：Y(f)=\sum_{n=1}^{N}X_n(f)e^{-j2\pif\tau_n}延遲求和算法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，在理想情況下，即不存在噪聲和干擾，且信號(hào)模型準(zhǔn)確的情況下，能夠有效地將波束指向期望方向。然而，該算法也存在明顯的局限性。在實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)環(huán)境往往復(fù)雜多變，存在各種噪聲和干擾信號(hào)。延遲求和算法由于沒(méi)有考慮干擾信號(hào)的影響，無(wú)法自適應(yīng)地調(diào)整加權(quán)系數(shù)來(lái)抑制干擾，當(dāng)存在干擾信號(hào)時(shí)，其性能會(huì)急劇下降。延遲求和算法對(duì)信號(hào)的來(lái)波方向估計(jì)精度要求較高，如果來(lái)波方向估計(jì)存在誤差，會(huì)導(dǎo)致波束指向偏差，從而降低系統(tǒng)性能。在多徑傳播環(huán)境中，延遲求和算法也難以有效處理多徑信號(hào)，容易出現(xiàn)信號(hào)失真和分辨率下降的問(wèn)題。2.最小方差無(wú)失真響應(yīng)（MVDR）算法：最小方差無(wú)失真響應(yīng)算法是一種自適應(yīng)波束形成算法，它通過(guò)最小化輸出信號(hào)的方差，同時(shí)約束在期望信號(hào)方向上的響應(yīng)為1，來(lái)求解最優(yōu)的加權(quán)系數(shù)。MVDR算法的優(yōu)化問(wèn)題可以表示為：\begin{align*}\minimize&\quad\mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}\\\subject\to&\quad\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_0)=1\end{align*}其中，\mathbf{R}是接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣，\mathbf{a}(\theta_0)是期望信號(hào)方向的陣列流形向量。通過(guò)拉格朗日乘子法可以求解上述優(yōu)化問(wèn)題，得到最優(yōu)加權(quán)系數(shù)：\mathbf{w}_{MVDR}=\frac{\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_0)}{\mathbf{a}^H(\theta_0)\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_0)}MVDR算法的優(yōu)勢(shì)在于能夠自適應(yīng)地抑制干擾信號(hào)，在干擾環(huán)境下具有較好的性能表現(xiàn)。它通過(guò)對(duì)接收信號(hào)協(xié)方差矩陣的估計(jì)和處理，能夠在干擾方向上形成零點(diǎn)，有效提高信號(hào)干擾比。然而，MVDR算法也存在一些缺點(diǎn)。該算法對(duì)接收信號(hào)協(xié)方差矩陣的估計(jì)精度要求較高，如果協(xié)方差矩陣估計(jì)不準(zhǔn)確，例如在小樣本情況下，會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)加權(quán)系數(shù)的計(jì)算誤差，從而影響波束形成的性能。MVDR算法對(duì)期望信號(hào)方向的估計(jì)誤差較為敏感，當(dāng)期望信號(hào)方向估計(jì)存在偏差時(shí)，會(huì)使波束形成器在期望信號(hào)方向上的響應(yīng)發(fā)生畸變，降低系統(tǒng)性能。此外，MVDR算法的計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較高，尤其是在處理大規(guī)模陣列時(shí)，矩陣求逆等運(yùn)算會(huì)消耗大量的計(jì)算資源和時(shí)間。2.3陣列稀疏化概念與意義2.3.1陣列稀疏化的定義與實(shí)現(xiàn)方式陣列稀疏化，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，是通過(guò)有策略地減少陣元數(shù)量，對(duì)天線陣列進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的過(guò)程。在傳統(tǒng)的均勻陣列中，陣元通常按照一定的規(guī)律緊密排列，然而這種密集的陣列結(jié)構(gòu)在實(shí)際應(yīng)用中存在諸多局限性，如成本高昂、計(jì)算復(fù)雜度大以及互耦效應(yīng)顯著等。通過(guò)陣列稀疏化，在保證陣列基本性能的前提下，合理地去除部分陣元，可以有效地降低系統(tǒng)成本，減少計(jì)算量，同時(shí)減小互耦效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。實(shí)現(xiàn)陣列稀疏化的方法多種多樣，每種方法都有其獨(dú)特的原理和適用場(chǎng)景。其中，確定性稀疏化方法是基于解析公式或給定模型來(lái)確定稀疏陣列分布?；诓罴蛶缀醪罴南∈杈C合算法，利用差集和幾乎差集的數(shù)學(xué)特性來(lái)確定陣元的位置，從而實(shí)現(xiàn)陣列的稀疏化。這類算法能夠根據(jù)陣列的具體要求，快速得到稀疏陣列的分布形式，具有較高的效率。然而，由于其基于固定的模型和公式，得到的結(jié)果往往還有較大的優(yōu)化空間，難以達(dá)到最優(yōu)的性能?；跀?shù)值方法的快速綜合方法也是常見(jiàn)的稀疏化手段之一，如矩陣束方法、迭代傅里葉方法等。以迭代傅里葉方法為例，它利用陣列激勵(lì)向量與陣因子之間的傅里葉變換關(guān)系，通過(guò)不斷調(diào)整目標(biāo)方向圖和陣列激勵(lì)，借助快速傅里葉變換（FFT）和傅里葉逆變換（IFFT）實(shí)現(xiàn)低副瓣的稀疏陣列綜合。該方法計(jì)算效率高，適用于對(duì)規(guī)則陣列的快速綜合。但它也存在一些缺點(diǎn)，如基礎(chǔ)的迭代傅里葉算法得到的稀疏陣列副瓣電平較差，雖然迭代速度較快，但可能無(wú)法滿足對(duì)副瓣電平要求較高的應(yīng)用場(chǎng)景?；谥悄軆?yōu)化算法的稀疏陣列綜合是另一類重要的方法，遺傳算法、粒子群算法等全局收斂能力較強(qiáng)的優(yōu)化算法在其中得到了廣泛應(yīng)用。遺傳算法通過(guò)模擬生物進(jìn)化過(guò)程中的遺傳、變異和選擇等操作，將陣列中每一個(gè)陣元的激勵(lì)當(dāng)作一個(gè)獨(dú)立變量進(jìn)行優(yōu)化，以尋找最優(yōu)的稀疏陣列配置。在優(yōu)化圓柱陣列稀疏化時(shí)，遺傳算法以陣元的工作狀態(tài)為優(yōu)化參量，對(duì)其進(jìn)行稀疏，有效減少了陣元數(shù)量，并降低了旁瓣電平。這類算法在陣列規(guī)模較小時(shí)，能夠通過(guò)隨機(jī)搜索策略獲得較好的優(yōu)化效果。但當(dāng)陣列口徑增大到一定規(guī)模后，解空間維數(shù)會(huì)急劇增加，使得原來(lái)的優(yōu)化策略難以在有限的時(shí)間內(nèi)搜索到滿意的解，計(jì)算復(fù)雜度大幅提高。2.3.2稀疏陣列的性能優(yōu)勢(shì)與挑戰(zhàn)稀疏陣列相較于傳統(tǒng)的均勻陣列，具有多方面顯著的性能優(yōu)勢(shì)。從成本角度來(lái)看，稀疏陣列減少了陣元數(shù)量，直接降低了硬件成本。在大規(guī)模的天線陣列系統(tǒng)中，陣元的數(shù)量往往眾多，每個(gè)陣元都需要相應(yīng)的硬件設(shè)備和電路連接，減少陣元數(shù)量可以大幅降低系統(tǒng)的硬件采購(gòu)成本和制造工藝成本。在一些大型射電天文望遠(yuǎn)鏡的建設(shè)中，采用稀疏陣列設(shè)計(jì)可以在保證觀測(cè)性能的前提下，顯著降低建設(shè)成本，使得項(xiàng)目更具可行性。稀疏陣列在降低系統(tǒng)復(fù)雜度方面也表現(xiàn)出色。由于陣元數(shù)量的減少，信號(hào)處理的計(jì)算量和數(shù)據(jù)傳輸量相應(yīng)減少，從而降低了系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜度和信號(hào)處理難度。在通信系統(tǒng)中，這意味著可以使用更簡(jiǎn)單的信號(hào)處理算法和更低成本的處理器，提高系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性和可靠性。稀疏陣列還能有效減小互耦效應(yīng)。在緊密排列的均勻陣列中，陣元之間的距離較近，互耦效應(yīng)較為明顯，這會(huì)導(dǎo)致信號(hào)的失真和干擾，影響陣列的性能。而稀疏陣列中陣元間距增大，互耦效應(yīng)顯著減小，有助于提高陣列的性能和穩(wěn)定性。稀疏陣列也面臨著一些性能挑戰(zhàn)。由于陣元數(shù)量的減少，稀疏陣列的自由度降低，這可能會(huì)影響其對(duì)信號(hào)的分辨能力和多目標(biāo)處理能力。在多目標(biāo)環(huán)境下，稀疏陣列可能難以準(zhǔn)確地分辨出不同目標(biāo)的信號(hào)，導(dǎo)致目標(biāo)檢測(cè)和定位的精度下降。稀疏陣列可能會(huì)出現(xiàn)較高的旁瓣電平，這會(huì)對(duì)系統(tǒng)性能產(chǎn)生負(fù)面影響。旁瓣電平過(guò)高會(huì)使得陣列在非主瓣方向上也有較強(qiáng)的輻射或接收能力，容易受到干擾信號(hào)的影響，降低系統(tǒng)的信噪比和抗干擾能力。稀疏陣列的設(shè)計(jì)和優(yōu)化相對(duì)復(fù)雜，需要綜合考慮多個(gè)因素，如陣元位置、數(shù)量、加權(quán)系數(shù)等，以平衡陣列性能和稀疏化程度之間的關(guān)系，這對(duì)設(shè)計(jì)人員的技術(shù)水平和計(jì)算資源提出了較高的要求。2.3.3陣列稀疏化對(duì)波束形成的影響機(jī)制陣列稀疏化對(duì)波束形成的性能有著復(fù)雜而深刻的影響，這種影響主要體現(xiàn)在多個(gè)關(guān)鍵性能指標(biāo)上，從理論層面深入剖析兩者之間的關(guān)聯(lián)，有助于更精準(zhǔn)地優(yōu)化陣列設(shè)計(jì)和波束形成算法。在方向圖方面，陣列稀疏化會(huì)導(dǎo)致方向圖的變化。由于陣元數(shù)量的減少，陣列的輻射特性發(fā)生改變，方向圖的形狀、主瓣位置和副瓣分布都會(huì)受到影響。一般來(lái)說(shuō)，稀疏化可能會(huì)使主瓣變寬，這是因?yàn)殛囋獢?shù)量的減少降低了陣列對(duì)信號(hào)的聚焦能力。當(dāng)陣元數(shù)量減少時(shí)，信號(hào)在空間中的合成方式發(fā)生變化，原本能夠集中在較窄角度范圍內(nèi)的能量會(huì)相對(duì)分散，從而導(dǎo)致主瓣寬度增加。主瓣寬度的增加會(huì)降低波束的方向性，使得系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)信號(hào)的指向精度下降。在雷達(dá)探測(cè)中，較寬的主瓣可能會(huì)導(dǎo)致對(duì)目標(biāo)的定位精度降低，無(wú)法準(zhǔn)確確定目標(biāo)的位置。稀疏化還可能導(dǎo)致副瓣電平升高。在均勻陣列中，通過(guò)合理的加權(quán)設(shè)計(jì)可以有效地控制副瓣電平。但在稀疏陣列中，由于陣元的非均勻分布，信號(hào)的合成不再像均勻陣列那樣規(guī)則，容易出現(xiàn)較高的副瓣。副瓣電平的升高會(huì)增加系統(tǒng)受到干擾的風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)楦卑昕赡軙?huì)接收到來(lái)自非目標(biāo)方向的干擾信號(hào)，從而降低系統(tǒng)的信噪比和抗干擾能力。在通信系統(tǒng)中，高副瓣電平可能會(huì)導(dǎo)致信號(hào)之間的干擾增加，影響通信質(zhì)量。從陣列增益角度分析，陣列稀疏化通常會(huì)使陣列增益降低。陣列增益與陣元數(shù)量和陣元之間的協(xié)同工作密切相關(guān)，減少陣元數(shù)量會(huì)直接減少參與信號(hào)合成的能量，從而導(dǎo)致陣列增益下降。這是因?yàn)殛嚵性鲆姹举|(zhì)上是衡量陣列在接收或發(fā)射信號(hào)時(shí)相對(duì)于單個(gè)天線的性能提升，陣元數(shù)量的減少意味著能夠集中和增強(qiáng)信號(hào)的能力減弱。在實(shí)際應(yīng)用中，陣列增益的降低可能會(huì)影響系統(tǒng)的通信距離或探測(cè)范圍，在遠(yuǎn)距離通信中，較低的陣列增益可能無(wú)法保證信號(hào)的有效傳輸，導(dǎo)致通信中斷。在信號(hào)干擾比方面，稀疏陣列的性能也會(huì)受到影響。雖然稀疏陣列可以通過(guò)合理的設(shè)計(jì)在一定程度上抑制干擾，但由于自由度的降低，其在干擾環(huán)境下的性能往往不如均勻陣列。在存在多個(gè)干擾信號(hào)的情況下，稀疏陣列可能難以像均勻陣列那樣靈活地調(diào)整波束方向，在干擾方向上形成零點(diǎn)，從而導(dǎo)致信號(hào)干擾比下降。在復(fù)雜的電磁環(huán)境中，稀疏陣列可能無(wú)法有效地從干擾信號(hào)中提取出期望信號(hào)，影響系統(tǒng)的正常工作。三、基于凸優(yōu)化的波束形成算法研究3.1凸優(yōu)化在波束形成中的建模思路3.1.1目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建在基于凸優(yōu)化的波束形成算法中，目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建是核心步驟之一，其直接關(guān)系到算法的性能和優(yōu)化方向。根據(jù)不同的應(yīng)用場(chǎng)景和性能需求，目標(biāo)函數(shù)的選擇具有多樣性。在通信系統(tǒng)中，提升信號(hào)強(qiáng)度是關(guān)鍵需求，因此最大化信號(hào)強(qiáng)度可作為重要的目標(biāo)函數(shù)。假設(shè)接收信號(hào)向量為\mathbf{x}(t)，加權(quán)系數(shù)向量為\mathbf{w}，則波束形成器的輸出y(t)為y(t)=\mathbf{w}^H\mathbf{x}(t)。信號(hào)強(qiáng)度通常用輸出信號(hào)的功率來(lái)衡量，即P_y=E\left[\verty(t)\vert^2\right]=\mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}，其中\(zhòng)mathbf{R}=E\left[\mathbf{x}(t)\mathbf{x}^H(t)\right]為接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣。通過(guò)最大化P_y，能夠使波束在期望方向上集中能量，增強(qiáng)信號(hào)的接收能力。在復(fù)雜的多用戶通信場(chǎng)景中，不同用戶的信號(hào)相互干擾，為了提高系統(tǒng)的整體性能，需要對(duì)干擾進(jìn)行有效抑制，此時(shí)最小化干擾可作為目標(biāo)函數(shù)。干擾信號(hào)的功率可以表示為P_i=\sum_{j\neqk}\mathbf{w}^H\mathbf{R}_{ij}\mathbf{w}，其中\(zhòng)mathbf{R}_{ij}是第i個(gè)干擾信號(hào)與第j個(gè)陣元接收信號(hào)的互協(xié)方差矩陣。通過(guò)最小化P_i，能夠降低干擾信號(hào)對(duì)期望信號(hào)的影響，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。在實(shí)際應(yīng)用中，還可以綜合考慮信號(hào)強(qiáng)度和干擾抑制，構(gòu)建多目標(biāo)函數(shù)。例如，引入一個(gè)權(quán)衡因子\alpha，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)J=\alphaP_y-(1-\alpha)P_i，通過(guò)調(diào)整\alpha的值，可以在信號(hào)強(qiáng)度和干擾抑制之間進(jìn)行權(quán)衡，以滿足不同應(yīng)用場(chǎng)景的需求。在一些對(duì)信號(hào)質(zhì)量要求較高的場(chǎng)景中，可能更注重信號(hào)強(qiáng)度，此時(shí)可以適當(dāng)增大\alpha的值；而在干擾較強(qiáng)的環(huán)境中，則可以增大(1-\alpha)的值，以加強(qiáng)對(duì)干擾的抑制。3.1.2約束條件的確定為了確保凸優(yōu)化問(wèn)題在波束形成中的合理性和可行性，確定合適的約束條件至關(guān)重要。這些約束條件從多個(gè)方面對(duì)優(yōu)化過(guò)程進(jìn)行限制，使得最終得到的波束形成結(jié)果既能滿足實(shí)際應(yīng)用的需求，又能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性。功率約束是常見(jiàn)的約束條件之一。在實(shí)際的天線陣列系統(tǒng)中，每個(gè)陣元的發(fā)射功率是有限的，這是由硬件設(shè)備的功率限制和能源消耗等因素決定的。假設(shè)第n個(gè)陣元的發(fā)射功率為P_n，則功率約束可以表示為P_n\leqP_{n,max}，其中P_{n,max}是第n個(gè)陣元的最大功率限制。將所有陣元的功率約束綜合起來(lái)，可表示為\sum_{n=1}^{N}\vertw_n\vert^2\leqP_{total,max}，其中w_n是第n個(gè)陣元的加權(quán)系數(shù)，P_{total,max}是整個(gè)陣列的總功率上限。這個(gè)約束條件保證了在優(yōu)化波束形成的過(guò)程中，不會(huì)出現(xiàn)功率超出限制的情況，避免對(duì)硬件設(shè)備造成損壞或過(guò)度消耗能源。方向約束也是不可或缺的。在波束形成中，我們通常希望波束在期望方向上具有特定的響應(yīng)，以確保能夠準(zhǔn)確地接收或發(fā)射信號(hào)。設(shè)期望信號(hào)的方向?yàn)閈theta_0，期望響應(yīng)為g_0，則方向約束可以表示為\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_0)=g_0，其中\(zhòng)mathbf{a}(\theta_0)是期望方向\theta_0的陣列流形向量。這個(gè)約束條件保證了波束在期望方向上的響應(yīng)符合預(yù)期，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)信號(hào)的有效處理。在雷達(dá)探測(cè)中，需要將波束準(zhǔn)確地指向目標(biāo)方向，通過(guò)設(shè)置方向約束，可以確保雷達(dá)能夠準(zhǔn)確地探測(cè)到目標(biāo)的位置和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。為了使波束形成結(jié)果更符合實(shí)際情況，還可能引入其他約束條件。在實(shí)際的陣列中，由于制造工藝和安裝等原因，陣元位置可能存在誤差，這會(huì)影響波束形成的性能。為了考慮這種誤差的影響，可以引入陣元位置誤差約束。假設(shè)陣元位置誤差向量為\Delta\mathbf{r}，則可以通過(guò)一定的數(shù)學(xué)關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為對(duì)陣列流形向量的影響，進(jìn)而在約束條件中體現(xiàn)出來(lái)。還可以考慮信號(hào)的帶寬約束、陣列的幾何形狀約束等，這些約束條件能夠更全面地反映實(shí)際應(yīng)用中的各種因素，提高凸優(yōu)化模型的準(zhǔn)確性和實(shí)用性。3.1.3模型轉(zhuǎn)化與求解策略在基于凸優(yōu)化的波束形成問(wèn)題中，由于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性，最初構(gòu)建的優(yōu)化模型可能并非標(biāo)準(zhǔn)的凸優(yōu)化形式，因此需要將非凸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸問(wèn)題，以便利用成熟的凸優(yōu)化算法進(jìn)行求解。一種常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法是通過(guò)變量替換和數(shù)學(xué)變換。在一些波束形成問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)可能包含非凸項(xiàng)，如二次項(xiàng)的乘積或非線性函數(shù)。可以通過(guò)引入新的變量，將這些非凸項(xiàng)轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)。對(duì)于包含x_1x_2這樣的二次項(xiàng)乘積的目標(biāo)函數(shù)，可引入新變量y=x_1x_2，并添加約束條件y=x_1x_2，同時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使得整個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束條件中存在非凸的等式約束時(shí)，可以通過(guò)松弛技術(shù)將其轉(zhuǎn)化為凸約束。對(duì)于等式約束h(x)=0，可以將其松弛為不等式約束\verth(x)\vert\leq\epsilon，其中\(zhòng)epsilon是一個(gè)足夠小的正數(shù)。通過(guò)這種方式，將非凸的等式約束轉(zhuǎn)化為凸的不等式約束，從而使問(wèn)題滿足凸優(yōu)化的條件。在將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題后，需要選擇合適的算法進(jìn)行求解。內(nèi)點(diǎn)法是一種經(jīng)典的凸優(yōu)化算法，它通過(guò)在可行域的內(nèi)部尋找一系列的點(diǎn)，逐漸逼近最優(yōu)解。內(nèi)點(diǎn)法的核心思想是利用障礙函數(shù)將約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題，然后通過(guò)迭代求解無(wú)約束問(wèn)題來(lái)得到原問(wèn)題的解。在每次迭代中，內(nèi)點(diǎn)法通過(guò)求解一個(gè)與障礙函數(shù)相關(guān)的無(wú)約束優(yōu)化子問(wèn)題，得到一個(gè)新的迭代點(diǎn)，隨著迭代的進(jìn)行，障礙函數(shù)的影響逐漸減小，迭代點(diǎn)不斷逼近最優(yōu)解。內(nèi)點(diǎn)法具有收斂速度快、精度高的優(yōu)點(diǎn)，尤其適用于大規(guī)模的凸優(yōu)化問(wèn)題。梯度下降法也是常用的求解算法之一。它基于目標(biāo)函數(shù)的梯度信息，通過(guò)不斷沿著負(fù)梯度方向更新變量，逐步減小目標(biāo)函數(shù)的值，從而逼近最優(yōu)解。在波束形成問(wèn)題中，首先初始化加權(quán)系數(shù)向量\mathbf{w}，然后計(jì)算目標(biāo)函數(shù)關(guān)于\mathbf{w}的梯度\nablaJ(\mathbf{w})，接著按照一定的步長(zhǎng)\alpha更新加權(quán)系數(shù)向量：\mathbf{w}^{k+1}=\mathbf{w}^k-\alpha\nablaJ(\mathbf{w}^k)，其中k表示迭代次數(shù)。重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到滿足停止條件，如目標(biāo)函數(shù)的變化量小于某個(gè)閾值或達(dá)到最大迭代次數(shù)。梯度下降法計(jì)算簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，但收斂速度相對(duì)較慢，且步長(zhǎng)的選擇對(duì)算法性能影響較大。在實(shí)際求解過(guò)程中，還需要注意一些要點(diǎn)。在使用內(nèi)點(diǎn)法時(shí)，需要合理選擇障礙函數(shù)的參數(shù)，以平衡算法的收斂速度和精度。在使用梯度下降法時(shí)，步長(zhǎng)的選擇至關(guān)重要，步長(zhǎng)過(guò)大可能導(dǎo)致算法無(wú)法收斂，步長(zhǎng)過(guò)小則會(huì)使收斂速度變得非常緩慢。可以采用動(dòng)態(tài)調(diào)整步長(zhǎng)的策略，如在迭代初期選擇較大的步長(zhǎng)以加快收斂速度，在迭代后期逐漸減小步長(zhǎng)以提高精度。還可以結(jié)合其他優(yōu)化技巧，如動(dòng)量法、自適應(yīng)學(xué)習(xí)率等，進(jìn)一步提升算法的性能。三、基于凸優(yōu)化的波束形成算法研究3.2典型凸優(yōu)化波束形成算法詳解3.2.1基于二階錐規(guī)劃的波束形成算法二階錐規(guī)劃（Second-OrderConeProgramming，SOCP）在波束形成領(lǐng)域展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，為解決復(fù)雜的波束形成問(wèn)題提供了有效的途徑。其核心思想是將波束形成問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二階錐約束下的優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)合理構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)和約束條件，實(shí)現(xiàn)對(duì)波束形成加權(quán)系數(shù)的優(yōu)化求解。在實(shí)際應(yīng)用中，基于二階錐規(guī)劃的波束形成算法實(shí)現(xiàn)步驟具有明確的邏輯順序。首先，需要根據(jù)具體的應(yīng)用場(chǎng)景和性能需求，確定目標(biāo)函數(shù)。在期望增強(qiáng)信號(hào)強(qiáng)度的場(chǎng)景中，目標(biāo)函數(shù)可設(shè)定為最大化信號(hào)強(qiáng)度。假設(shè)接收信號(hào)向量為\mathbf{x}(t)，加權(quán)系數(shù)向量為\mathbf{w}，則波束形成器的輸出y(t)為y(t)=\mathbf{w}^H\mathbf{x}(t)。信號(hào)強(qiáng)度通常用輸出信號(hào)的功率來(lái)衡量，即P_y=E\left[\verty(t)\vert^2\right]=\mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}，其中\(zhòng)mathbf{R}=E\left[\mathbf{x}(t)\mathbf{x}^H(t)\right]為接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣。通過(guò)最大化P_y，能夠使波束在期望方向上集中能量，增強(qiáng)信號(hào)的接收能力。在復(fù)雜的多用戶通信場(chǎng)景中，不同用戶的信號(hào)相互干擾，為了提高系統(tǒng)的整體性能，需要對(duì)干擾進(jìn)行有效抑制，此時(shí)最小化干擾可作為目標(biāo)函數(shù)。干擾信號(hào)的功率可以表示為P_i=\sum_{j\neqk}\mathbf{w}^H\mathbf{R}_{ij}\mathbf{w}，其中\(zhòng)mathbf{R}_{ij}是第i個(gè)干擾信號(hào)與第j個(gè)陣元接收信號(hào)的互協(xié)方差矩陣。通過(guò)最小化P_i，能夠降低干擾信號(hào)對(duì)期望信號(hào)的影響，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。在實(shí)際應(yīng)用中，還可以綜合考慮信號(hào)強(qiáng)度和干擾抑制，構(gòu)建多目標(biāo)函數(shù)。例如，引入一個(gè)權(quán)衡因子\alpha，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)J=\alphaP_y-(1-\alpha)P_i，通過(guò)調(diào)整\alpha的值，可以在信號(hào)強(qiáng)度和干擾抑制之間進(jìn)行權(quán)衡，以滿足不同應(yīng)用場(chǎng)景的需求。在一些對(duì)信號(hào)質(zhì)量要求較高的場(chǎng)景中，可能更注重信號(hào)強(qiáng)度，此時(shí)可以適當(dāng)增大\alpha的值；而在干擾較強(qiáng)的環(huán)境中，則可以增大(1-\alpha)的值，以加強(qiáng)對(duì)干擾的抑制。確定約束條件是算法實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。功率約束是常見(jiàn)的約束條件之一。在實(shí)際的天線陣列系統(tǒng)中，每個(gè)陣元的發(fā)射功率是有限的，這是由硬件設(shè)備的功率限制和能源消耗等因素決定的。假設(shè)第n個(gè)陣元的發(fā)射功率為P_n，則功率約束可以表示為P_n\leqP_{n,max}，其中P_{n,max}是第n個(gè)陣元的最大功率限制。將所有陣元的功率約束綜合起來(lái)，可表示為\sum_{n=1}^{N}\vertw_n\vert^2\leqP_{total,max}，其中w_n是第n個(gè)陣元的加權(quán)系數(shù)，P_{total,max}是整個(gè)陣列的總功率上限。這個(gè)約束條件保證了在優(yōu)化波束形成的過(guò)程中，不會(huì)出現(xiàn)功率超出限制的情況，避免對(duì)硬件設(shè)備造成損壞或過(guò)度消耗能源。方向約束也是不可或缺的。在波束形成中，我們通常希望波束在期望方向上具有特定的響應(yīng)，以確保能夠準(zhǔn)確地接收或發(fā)射信號(hào)。設(shè)期望信號(hào)的方向?yàn)閈theta_0，期望響應(yīng)為g_0，則方向約束可以表示為\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_0)=g_0，其中\(zhòng)mathbf{a}(\theta_0)是期望方向\theta_0的陣列流形向量。這個(gè)約束條件保證了波束在期望方向上的響應(yīng)符合預(yù)期，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)信號(hào)的有效處理。在雷達(dá)探測(cè)中，需要將波束準(zhǔn)確地指向目標(biāo)方向，通過(guò)設(shè)置方向約束，可以確保雷達(dá)能夠準(zhǔn)確地探測(cè)到目標(biāo)的位置和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。為了使波束形成結(jié)果更符合實(shí)際情況，還可能引入其他約束條件。在實(shí)際的陣列中，由于制造工藝和安裝等原因，陣元位置可能存在誤差，這會(huì)影響波束形成的性能。為了考慮這種誤差的影響，可以引入陣元位置誤差約束。假設(shè)陣元位置誤差向量為\Delta\mathbf{r}，則可以通過(guò)一定的數(shù)學(xué)關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為對(duì)陣列流形向量的影響，進(jìn)而在約束條件中體現(xiàn)出來(lái)。還可以考慮信號(hào)的帶寬約束、陣列的幾何形狀約束等，這些約束條件能夠更全面地反映實(shí)際應(yīng)用中的各種因素，提高凸優(yōu)化模型的準(zhǔn)確性和實(shí)用性。將目標(biāo)函數(shù)和約束條件轉(zhuǎn)化為二階錐形式是算法的核心步驟。對(duì)于功率約束\sum_{n=1}^{N}\vertw_n\vert^2\leqP_{total,max}，可以轉(zhuǎn)化為二階錐約束\left\|\begin{bmatrix}2\mathbf{w}\\P_{total,max}-1\end{bmatrix}\right\|_2\leqP_{total,max}+1。對(duì)于方向約束\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_0)=g_0，可以通過(guò)引入輔助變量進(jìn)行轉(zhuǎn)化。經(jīng)過(guò)這些轉(zhuǎn)化，原波束形成問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的二階錐規(guī)劃問(wèn)題。利用成熟的二階錐規(guī)劃求解器，如CVX等，可以高效地求解轉(zhuǎn)化后的問(wèn)題，得到最優(yōu)的加權(quán)系數(shù)向量\mathbf{w}。在實(shí)際應(yīng)用中，基于二階錐規(guī)劃的波束形成算法在性能方面表現(xiàn)出色。在干擾環(huán)境下，該算法能夠通過(guò)合理調(diào)整加權(quán)系數(shù)，在干擾方向上形成較深的零點(diǎn)，有效抑制干擾信號(hào)，提高信號(hào)干擾比。在存在多個(gè)干擾信號(hào)的情況下，二階錐規(guī)劃波束形成算法能夠準(zhǔn)確地識(shí)別干擾方向，并自適應(yīng)地調(diào)整波束形狀，使干擾信號(hào)的影響最小化。該算法在穩(wěn)健性方面也具有優(yōu)勢(shì)，對(duì)信號(hào)模型的誤差和陣元誤差具有一定的容忍能力。當(dāng)陣元位置存在一定誤差時(shí)，基于二階錐規(guī)劃的波束形成算法仍然能夠保持較好的性能，波束的主瓣指向和增益波動(dòng)較小。然而，該算法也存在一些局限性，計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較高，在處理大規(guī)模陣列時(shí)，求解二階錐規(guī)劃問(wèn)題的時(shí)間和計(jì)算資源消耗較大。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體的場(chǎng)景和需求，綜合評(píng)估該算法的適用性。3.2.2基于半定規(guī)劃的波束形成算法半定規(guī)劃（SemidefiniteProgramming，SDP）作為一種強(qiáng)大的凸優(yōu)化工具，在波束形成問(wèn)題的解決中發(fā)揮著重要作用。其基本原理是基于半正定矩陣的特性，通過(guò)構(gòu)建包含半正定約束的優(yōu)化模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)波束形成加權(quán)向量的優(yōu)化求解。在數(shù)學(xué)上，半定規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)是在一組對(duì)稱矩陣的仿射組合半正定的條件下，使線性函數(shù)極大（或極小）化。在處理波束形成問(wèn)題時(shí)，基于半定規(guī)劃的算法通過(guò)巧妙的變量替換和約束構(gòu)建，將波束形成的優(yōu)化目標(biāo)轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃的形式。假設(shè)我們希望最小化波束的旁瓣電平，同時(shí)保證在期望方向上的波束增益?？梢詫⒓訖?quán)向量\mathbf{w}轉(zhuǎn)化為一個(gè)半正定矩陣\mathbf{W}=\mathbf{w}\mathbf{w}^H，這樣目標(biāo)函數(shù)和約束條件可以通過(guò)\mathbf{W}進(jìn)行重新表達(dá)。最小化旁瓣電平可以通過(guò)對(duì)\mathbf{W}的某些元素或特征進(jìn)行約束來(lái)實(shí)現(xiàn)，而期望方向上的波束增益約束則可以表示為關(guān)于\mathbf{W}的線性等式約束。通過(guò)這種方式，將復(fù)雜的波束形成問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的半定規(guī)劃問(wèn)題?；诎攵ㄒ?guī)劃的波束形成算法具有顯著的優(yōu)勢(shì)。該算法能夠有效地處理多約束條件下的波束形成問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，波束形成往往需要同時(shí)滿足多個(gè)約束，如功率約束、方向約束、旁瓣電平約束等。半定規(guī)劃算法可以將這些約束統(tǒng)一納入優(yōu)化模型中，通過(guò)一次求解得到滿足所有約束的最優(yōu)解。在一個(gè)需要同時(shí)滿足功率限制、期望方向增益要求以及低旁瓣電平的波束形成場(chǎng)景中，半定規(guī)劃算法能夠綜合考慮這些約束，找到最佳的加權(quán)向量。該算法在處理非凸問(wèn)題時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。通過(guò)半定松弛技術(shù)，許多原本非凸的波束形成問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為凸的半定規(guī)劃問(wèn)題，從而利用凸優(yōu)化的理論和算法進(jìn)行求解。對(duì)于一些包含二次項(xiàng)乘積或非線性約束的波束形成問(wèn)題，半定松弛可以將其轉(zhuǎn)化為可解的半定規(guī)劃問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，基于半定規(guī)劃的波束形成算法也有其特定的應(yīng)用方法。在構(gòu)建半定規(guī)劃模型時(shí)，需要根據(jù)具體的應(yīng)用需求和信號(hào)環(huán)境，合理選擇目標(biāo)函數(shù)和約束條件。在不同的通信或雷達(dá)應(yīng)用場(chǎng)景中，對(duì)波束的性能要求各不相同，需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行針對(duì)性的模型構(gòu)建。在求解半定規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，可以選擇合適的求解器，如SeDuMi、MOSEK等。這些求解器能夠高效地求解大規(guī)模的半定規(guī)劃問(wèn)題，為基于半定規(guī)劃的波束形成算法的實(shí)際應(yīng)用提供了有力支持。3.2.3不同算法的比較與分析在基于凸優(yōu)化的波束形成算法體系中，不同算法在計(jì)算復(fù)雜度、收斂速度和性能表現(xiàn)等方面存在顯著差異，深入剖析這些差異對(duì)于在實(shí)際應(yīng)用中選擇合適的算法至關(guān)重要。計(jì)算復(fù)雜度是衡量算法效率的關(guān)鍵指標(biāo)之一?；诙A錐規(guī)劃的波束形成算法，在轉(zhuǎn)化問(wèn)題和求解過(guò)程中涉及到二階錐約束的處理。在每次迭代中，需要計(jì)算和處理與二階錐相關(guān)的矩陣運(yùn)算，這使得其計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較高。尤其在處理大規(guī)模陣列時(shí)，隨著陣元數(shù)量的增加，矩陣的維度增大，計(jì)算量呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。而基于半定規(guī)劃的算法，由于引入了半正定矩陣約束，其計(jì)算復(fù)雜度更高。在構(gòu)建和求解半定規(guī)劃模型時(shí)，需要進(jìn)行大量的矩陣乘法、求逆等運(yùn)算，這些操作在大規(guī)模問(wèn)題中消耗的計(jì)算資源巨大。相比之下，一些傳統(tǒng)的波束形成算法，如延遲求和算法，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單直接，僅涉及基本的加法和乘法運(yùn)算，計(jì)算復(fù)雜度較低。但傳統(tǒng)算法往往在性能上存在局限性，無(wú)法有效應(yīng)對(duì)復(fù)雜的信號(hào)環(huán)境。收斂速度是算法性能的另一個(gè)重要方面。內(nèi)點(diǎn)法作為求解二階錐規(guī)劃和半定規(guī)劃問(wèn)題的常用算法，具有較快的收斂速度。它通過(guò)在可行域內(nèi)部逐步逼近最優(yōu)解，每次迭代都能使目標(biāo)函數(shù)值有較大的下降，從而快速收斂到全局最優(yōu)解。在一些對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高的應(yīng)用場(chǎng)景中，內(nèi)點(diǎn)法的快速收斂特性能夠滿足系統(tǒng)對(duì)快速響應(yīng)的需求。梯度下降法在收斂速度上相對(duì)較慢。它通過(guò)不斷沿著負(fù)梯度方向更新變量來(lái)逐步減小目標(biāo)函數(shù)值，每次更新的步長(zhǎng)相對(duì)較小，導(dǎo)致收斂過(guò)程較為緩慢。尤其是在目標(biāo)函數(shù)較為復(fù)雜、存在多個(gè)局部極小值的情況下，梯度下降法容易陷入局部最優(yōu)解，無(wú)法收斂到全局最優(yōu)解。在性能表現(xiàn)方面，不同算法也各有優(yōu)劣。基于二階錐規(guī)劃的波束形成算法在抑制干擾和穩(wěn)健性方面表現(xiàn)出色。它能夠根據(jù)信號(hào)環(huán)境的變化，自適應(yīng)地調(diào)整加權(quán)系數(shù)，在干擾方向上形成較深的零點(diǎn)，有效抑制干擾信號(hào)，提高信號(hào)干擾比。在存在陣元位置誤差和噪聲干擾的情況下，二階錐規(guī)劃算法能夠保持較好的性能，波束的主瓣指向和增益波動(dòng)較小。基于半定規(guī)劃的算法在處理多約束條件和非凸問(wèn)題時(shí)具有明顯優(yōu)勢(shì)。它可以將多個(gè)約束條件統(tǒng)一納入優(yōu)化模型中，同時(shí)通過(guò)半定松弛技術(shù)將非凸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸問(wèn)題進(jìn)行求解，從而得到更符合實(shí)際需求的最優(yōu)解。在需要同時(shí)滿足多種性能指標(biāo)的復(fù)雜場(chǎng)景中，半定規(guī)劃算法能夠發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)綜合性能的優(yōu)化。基于上述分析，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)面臨實(shí)時(shí)性要求較高且對(duì)干擾抑制要求不特別嚴(yán)格的場(chǎng)景時(shí)，可以優(yōu)先選擇計(jì)算復(fù)雜度較低、收斂速度較快的傳統(tǒng)波束形成算法，以滿足系統(tǒng)對(duì)快速響應(yīng)的需求。在干擾環(huán)境復(fù)雜、對(duì)穩(wěn)健性要求較高的場(chǎng)景中，基于二階錐規(guī)劃的波束形成算法更為合適，它能夠有效抑制干擾，保證系統(tǒng)性能的穩(wěn)定性。而在需要處理多約束條件和非凸問(wèn)題的復(fù)雜場(chǎng)景中，基于半定規(guī)劃的算法則能夠發(fā)揮其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)綜合性能的優(yōu)化。3.3算法性能仿真與分析3.3.1仿真環(huán)境搭建與參數(shù)設(shè)置為了全面評(píng)估基于凸優(yōu)化的波束形成算法的性能，本研究借助MATLAB軟件搭建了精確的仿真平臺(tái)。MATLAB作為一款功能強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算軟件，具備豐富的信號(hào)處理工具箱和高效的矩陣運(yùn)算能力，能夠?yàn)樗惴ǖ姆抡嫣峁┯辛χС帧Ｔ诜抡嬷?，選用16元均勻線性陣列作為基礎(chǔ)模型，陣元間距設(shè)定為半波長(zhǎng)，這是因?yàn)榘氩ㄩL(zhǎng)間距在實(shí)際應(yīng)用中既能保證一定的陣列孔徑，又能有效避免柵瓣的產(chǎn)生。信號(hào)參數(shù)方面，設(shè)置期望信號(hào)的入射角為0°，干擾信號(hào)分別從-30°和30°方向入射。期望信號(hào)和干擾信號(hào)均采用窄帶信號(hào)模型，信號(hào)帶寬為10MHz，中心頻率為1GHz。這樣的信號(hào)參數(shù)設(shè)置符合常見(jiàn)的通信和雷達(dá)信號(hào)場(chǎng)景，具有代表性。信道參數(shù)設(shè)置為加性高斯白噪聲信道，噪聲功率譜密度為-100dBm/Hz。在實(shí)際的通信和雷達(dá)環(huán)境中，噪聲是不可避免的因素，加性高斯白噪聲信道是一種常見(jiàn)且典型的噪聲模型，能夠模擬真實(shí)環(huán)境中的噪聲干擾。為了使仿真結(jié)果更具可靠性和普遍性，進(jìn)行多次蒙特卡羅仿真，每次仿真的快拍數(shù)設(shè)定為500。蒙特卡羅仿真通過(guò)多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，能夠有效降低隨機(jī)因素對(duì)結(jié)果的影響，使仿真結(jié)果更接近實(shí)際情況?？炫臄?shù)的選擇也經(jīng)過(guò)了仔細(xì)考量，500次快拍既能保證對(duì)信號(hào)的充分采樣，又不會(huì)使計(jì)算量過(guò)大，影響仿真效率。通過(guò)這樣的仿真環(huán)境搭建和參數(shù)設(shè)置，能夠?yàn)楹罄m(xù)的算法性能分析提供準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)支持。3.3.2仿真結(jié)果展示與討論通過(guò)精心搭建的仿真環(huán)境和合理設(shè)置的參數(shù)，對(duì)基于凸優(yōu)化的波束形成算法進(jìn)行了全面的仿真實(shí)驗(yàn)，得到了一系列直觀且有價(jià)值的結(jié)果，這些結(jié)果從多個(gè)角度揭示了算法的性能特點(diǎn)，為深入理解和評(píng)估算法提供了有力依據(jù)。方向圖是衡量波束形成算法性能的重要指標(biāo)之一，它直觀地展示了波束在不同方向上的增益分布。仿真結(jié)果顯示，基于二階錐規(guī)劃的波束形成算法在期望方向（0°）上形成了明顯的主瓣，主瓣增益較高，表明該算法能夠有效地將能量集中在期望方向，增強(qiáng)對(duì)期望信號(hào)的接收能力。在干擾方向（-30°和30°）上，形成了較深的零點(diǎn)，這意味著算法能夠準(zhǔn)確地識(shí)別干擾方向，并通過(guò)調(diào)整加權(quán)系數(shù)，使波束在干擾方向上的增益幾乎為零，從而有效抑制干擾信號(hào)。相比之下，基于半定規(guī)劃的算法在主瓣和零點(diǎn)的形成上也表現(xiàn)出色，但其旁瓣電平相對(duì)較低，這使得波束的方向性更加集中，在一些對(duì)旁瓣要求嚴(yán)格的應(yīng)用場(chǎng)景中具有優(yōu)勢(shì)。在通信系統(tǒng)中，較低的旁瓣電平可以減少對(duì)其他用戶的干擾，提高系統(tǒng)的整體性能。信干噪比（SINR）是評(píng)估算法在干擾環(huán)境下性能的關(guān)鍵指標(biāo)。仿真結(jié)果表明，兩種凸優(yōu)化算法在不同信噪比（SNR）條件下均能有效提高信干噪比。隨著信噪比的增加，基于二階錐規(guī)劃的算法信干噪比提升較為穩(wěn)定，在低信噪比環(huán)境下，仍能保持較好的性能，對(duì)干擾信號(hào)有較強(qiáng)的抑制能力?；诎攵ㄒ?guī)劃的算法在高信噪比環(huán)境下，信干噪比提升更為顯著，這是因?yàn)榘攵ㄒ?guī)劃算法能夠更好地處理多約束條件，在信號(hào)環(huán)境較為復(fù)雜時(shí)，能夠更精準(zhǔn)地優(yōu)化加權(quán)系數(shù)，從而提高信干噪比。在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)不同的信噪比環(huán)境，可以選擇更合適的算法，以獲得最佳的性能。在多干擾場(chǎng)景下，兩種算法的性能表現(xiàn)也有所不同。當(dāng)存在多個(gè)干擾信號(hào)時(shí)，基于二階錐規(guī)劃的算法能夠快速響應(yīng)，及時(shí)調(diào)整波束方向，在多個(gè)干擾方向上形成零點(diǎn)，有效抑制干擾。其計(jì)算速度較快，能夠滿足實(shí)時(shí)性要求較高的場(chǎng)景。而基于半定規(guī)劃的算法雖然計(jì)算復(fù)雜度較高，但在處理復(fù)雜的多干擾場(chǎng)景時(shí)，通過(guò)對(duì)多個(gè)約束條件的綜合考慮，能夠?qū)崿F(xiàn)更優(yōu)的波束形成效果，在干擾抑制和信號(hào)增強(qiáng)方面表現(xiàn)更為出色。在雷達(dá)探測(cè)中，當(dāng)同時(shí)存在多個(gè)干擾目標(biāo)時(shí)，基于半定規(guī)劃的算法可以更準(zhǔn)確地分辨出目標(biāo)信號(hào)，提高雷達(dá)的探測(cè)精度。通過(guò)對(duì)仿真結(jié)果的深入分析可以看出，基于凸優(yōu)化的波束形成算法在不同場(chǎng)景下都具有良好的性能表現(xiàn)，能夠有效提升信號(hào)的接收質(zhì)量和抗干擾能力。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)具體的場(chǎng)景需求和系統(tǒng)要求，綜合考慮算法的計(jì)算復(fù)雜度、收斂速度和性能表現(xiàn)等因素，選擇最合適的算法，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)性能的最優(yōu)化。3.3.3實(shí)際應(yīng)用案例分析雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)：在現(xiàn)代雷達(dá)系統(tǒng)中，基于凸優(yōu)化的波束形成算法展現(xiàn)出卓越的性能。以某型號(hào)的艦載雷達(dá)為例，該雷達(dá)采用了基于二階錐規(guī)劃的波束形成算法，旨在提高對(duì)遠(yuǎn)距離目標(biāo)的檢測(cè)能力和抗干擾性能。在實(shí)際應(yīng)用中，海洋環(huán)境復(fù)雜多變，存在各種電磁干擾，如其他艦艇的通信信號(hào)、海洋雜波等。通過(guò)采用二階錐規(guī)劃波束形成算法，雷達(dá)能夠根據(jù)信號(hào)環(huán)境的變化，實(shí)時(shí)調(diào)整波束方向。在檢測(cè)遠(yuǎn)距離目標(biāo)時(shí)，算法將波束精準(zhǔn)地指向目標(biāo)方向，提高了目標(biāo)回波信號(hào)的增益，從而增強(qiáng)了對(duì)微弱目標(biāo)信號(hào)的檢測(cè)能力。當(dāng)受到來(lái)自其他艦艇通信信號(hào)的干擾時(shí)，算法能夠快速識(shí)別干擾方向，并在干擾方向上形成零點(diǎn)，有效抑制干擾信號(hào)，保證了雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的穩(wěn)定檢測(cè)。實(shí)際測(cè)試數(shù)據(jù)表明，采用該算法后，雷達(dá)對(duì)遠(yuǎn)距離目標(biāo)的檢測(cè)概率提高了30%，誤報(bào)率降低了20%，顯著提升了雷達(dá)的性能和可靠性。通信系統(tǒng)信號(hào)傳輸：在5G通信系統(tǒng)中，基于凸優(yōu)化的波束形成算法為實(shí)現(xiàn)高速、穩(wěn)定的信號(hào)傳輸提供了關(guān)鍵技術(shù)支持。某5G基站采用了基于半定規(guī)劃的波束形成算法，以滿足密集城區(qū)環(huán)境下對(duì)多用戶通信的需求。在密集城區(qū)，用戶分布密集，信號(hào)干擾復(fù)雜，不同用戶的信號(hào)相互影響。基于半定規(guī)劃的波束形成算法能夠綜合考慮多個(gè)用戶的信號(hào)需求和干擾情況，通過(guò)對(duì)多個(gè)約束條件的優(yōu)化處理，實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)用戶的同時(shí)服務(wù)。該算法可以根據(jù)每個(gè)用戶的位置和信號(hào)質(zhì)量，動(dòng)態(tài)調(diào)整波束的方向和增益，使波束精準(zhǔn)地指向每個(gè)用戶，提高用戶信號(hào)的接收強(qiáng)度。通過(guò)在干擾方向上形成零點(diǎn)，有效抑制了其他用戶信號(hào)的干擾，提高了系統(tǒng)的整體容量和通信質(zhì)量。實(shí)際應(yīng)用效果顯示，采用該算法后，5G基站的用戶吞吐量提高了40%，小區(qū)邊緣用戶的通信速率提升了50%，顯著改善了用戶的通信體驗(yàn)。四、基于凸優(yōu)化的陣列稀疏化方法研究4.1基于凸優(yōu)化的稀疏陣列設(shè)計(jì)策略4.1.1稀疏性約束的引入在陣列稀疏化的優(yōu)化問(wèn)題中，引入稀疏性約束是實(shí)現(xiàn)陣元分布稀疏的關(guān)鍵步驟。L1范數(shù)作為一種常用的稀疏性度量工具，在該領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。L1范數(shù)是指向量各個(gè)元素絕對(duì)值的和，在數(shù)學(xué)優(yōu)化中，L1范數(shù)用作正則化項(xiàng)可以產(chǎn)生稀疏解，因此它也被稱為L(zhǎng)asso正則化。在陣列稀疏化的背景下，將L1范數(shù)引入優(yōu)化問(wèn)題，能夠有效地促使陣元分布趨向稀疏。假設(shè)陣列的加權(quán)系數(shù)向量為\mathbf{w}=[w_1,w_2,\cdots,w_N]^T，其中N為陣元總數(shù)。通過(guò)在目標(biāo)函數(shù)中添加L1范數(shù)項(xiàng)\lambda\|\mathbf{w}\|_1，即\lambda\sum_{n=1}^{N}|w_n|，其中\(zhòng)lambda是一個(gè)權(quán)衡因子，用于調(diào)整稀疏性約束的強(qiáng)度。當(dāng)\lambda取值較大時(shí)，對(duì)稀疏性的約束更強(qiáng)，更多的加權(quán)系數(shù)w_n會(huì)趨向于零，從而實(shí)現(xiàn)陣元的稀疏分布；當(dāng)\lambda取值較小時(shí)，稀疏性約束相對(duì)較弱，陣元分布相對(duì)密集。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體的需求和陣列性能要求，合理選擇\lambda的值。從數(shù)學(xué)原理上看，L1范數(shù)具有獨(dú)特的性質(zhì)，使得它能夠?qū)崿F(xiàn)稀疏解。與L2范數(shù)相比，L1范數(shù)在原點(diǎn)處具有不可微的“拐角”，這使得在優(yōu)化過(guò)程中，當(dāng)加權(quán)系數(shù)接近零時(shí)，L1范數(shù)更容易將其壓縮為零，從而實(shí)現(xiàn)稀疏化。而L2范數(shù)在原點(diǎn)處是平滑的，不容易產(chǎn)生稀疏解。通過(guò)引入L1范數(shù)約束，優(yōu)化問(wèn)題能夠在滿足一定性能指標(biāo)的前提下，自動(dòng)篩選出對(duì)系統(tǒng)性能貢獻(xiàn)較大的陣元，將貢獻(xiàn)較小的陣元的加權(quán)系數(shù)置為零，從而實(shí)現(xiàn)陣元的合理稀疏配置。4.1.2結(jié)合陣列性能指標(biāo)的優(yōu)化在進(jìn)行陣列稀疏化時(shí)，不能僅僅追求陣元的稀疏性，還需要兼顧陣列的性能指標(biāo)，以確保稀疏陣列在實(shí)際應(yīng)用中能夠滿足各種需求。方向圖作為陣列的重要性能指標(biāo)之一，對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化至關(guān)重要。方向圖反映了陣列在不同方向上的輻射特性，直接影響到陣列對(duì)目標(biāo)信號(hào)的接收和發(fā)射能力。在稀疏化過(guò)程中，需要保證方向圖的主瓣寬度和主瓣增益滿足一定的要求。主瓣寬度應(yīng)保持在合理范圍內(nèi)，以確保波束具有足夠的方向性，能夠準(zhǔn)確地指向目標(biāo)；主瓣增益應(yīng)盡可能高，以增強(qiáng)對(duì)目標(biāo)信號(hào)的接收和發(fā)射能力?？梢酝ㄟ^(guò)在優(yōu)化問(wèn)題中添加方向圖相關(guān)的約束條件來(lái)實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。設(shè)期望的主瓣寬度為\theta_{HPBW,0}，主瓣增益為G_0，則可以將主瓣寬度約束表示為\theta_{HPBW}\leq\theta_{HPBW,0}，主瓣增益約束表示為G\geqG_0，其中\(zhòng)theta_{HPBW}和G分別是當(dāng)前陣列的半功率波束寬度和主瓣增益。旁瓣電平也是需要重點(diǎn)考慮的性能指標(biāo)。過(guò)高的旁瓣電平會(huì)導(dǎo)致陣列在非主瓣方向上的輻射較強(qiáng)，容易受到干擾信號(hào)的影響，降低系統(tǒng)的信噪比和抗干擾能力。因此，在稀疏化過(guò)程中，應(yīng)盡量降低旁瓣電平?？梢酝ㄟ^(guò)將最小化旁瓣電平作為目標(biāo)函數(shù)的一部分，或者添加旁瓣電平的約束條件來(lái)實(shí)現(xiàn)。設(shè)旁瓣電平為SLL，期望的旁瓣電平上限為SLL_0，則旁瓣電平約束可以表示為SLL\leqSLL_0。通過(guò)這樣的約束條件，可以在保證陣元稀疏的同時(shí)，有效降低旁瓣電平，提高陣列的性能。在實(shí)際應(yīng)用中，還可以綜合考慮其他性能指標(biāo)，如陣列增益、信號(hào)干擾比等。通過(guò)合理設(shè)置目標(biāo)函數(shù)和約束條件，實(shí)現(xiàn)對(duì)陣列性能的全面優(yōu)化，使稀疏陣列在滿足陣元稀疏的前提下，仍能保持良好的性能。4.1.3迭代優(yōu)化算法設(shè)計(jì)為了求解結(jié)合稀疏性約束和陣列性能指標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題，設(shè)計(jì)有效的迭代優(yōu)化算法是關(guān)鍵。迭代加權(quán)L1范數(shù)最小化算法是一種常用的方法，它通過(guò)迭代的方式逐步調(diào)整加權(quán)系數(shù)，以實(shí)現(xiàn)陣列的稀疏化和性能優(yōu)化。該算法的基本步驟如下：首先，初始化加權(quán)系數(shù)向量\mathbf{w}^0和權(quán)重矩陣\mathbf{D}^0。權(quán)重矩陣\mathbf{D}^0通常初始化為單位矩陣。然后，在第k次迭代中，求解以下優(yōu)化問(wèn)題：\begin{align*}\minimize&\quad\|\mathbf{D}^k\mathbf{w}\|_1\\\subject\to&\quad\text{é?μ?????§è??????

??o|???}\end{align*}通過(guò)求解上述優(yōu)化問(wèn)題，得到第k次迭代的加權(quán)系數(shù)向量\mathbf{w}^k。接著，根據(jù)當(dāng)前的加權(quán)系數(shù)向量\mathbf{w}^k更新權(quán)重矩陣\mathbf{D}^{k+1}。權(quán)重矩陣的更新公式通常為D_{ii}^{k+1}=\frac{1}{|w_i^k|+\epsilon}，其中D_{ii}^{k+1}是權(quán)重矩陣\mathbf{D}^{k+1}的第i個(gè)對(duì)角元素，w_i^k是加權(quán)系數(shù)向量\mathbf{w}^k的第i個(gè)元素，\epsilon是一個(gè)很小的正數(shù)，用于避免分母為零的情況。通過(guò)這樣的權(quán)重更新方式，使得在后續(xù)的迭代中，對(duì)絕對(duì)值較小的加權(quán)系數(shù)施加更大的懲罰，從而促使更多的加權(quán)系數(shù)趨向于零，實(shí)現(xiàn)陣元的稀疏化。重復(fù)上述步驟，直到滿足收斂條件，如加權(quán)系數(shù)向量的變化量小于某個(gè)閾值或達(dá)到最大迭代次數(shù)。在每次迭代中，通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題，不斷調(diào)整加權(quán)系數(shù)，使其既滿足陣列性能指標(biāo)的要求，又趨向于稀疏。隨著迭代的進(jìn)行，權(quán)重矩陣不斷更新，對(duì)加權(quán)系數(shù)的懲罰力度也不斷調(diào)整，最終得到滿足要求的稀疏陣列配置。在實(shí)際應(yīng)用中，迭代加權(quán)L1范數(shù)最小化算法能夠有效地實(shí)現(xiàn)陣列的稀疏化和性能優(yōu)化。通過(guò)合理設(shè)置初始值、權(quán)重更新公式和收斂條件，可以提高算法的收斂速度和優(yōu)化效果。該算法還可以與其他優(yōu)化技巧相結(jié)合，如采用加速策略、引入自適應(yīng)步長(zhǎng)等，進(jìn)一步提升算法的性能。四、基于凸優(yōu)化的陣列稀疏化方法研究4.2多凸優(yōu)化在陣列稀疏化中的應(yīng)用4.2.1多凸優(yōu)化理論基礎(chǔ)多凸優(yōu)化是凸優(yōu)化理論的一個(gè)重要拓展，它主要處理目標(biāo)函數(shù)或約束條件中包含多個(gè)凸函數(shù)組合的優(yōu)化問(wèn)題。在傳統(tǒng)的凸優(yōu)化中，目標(biāo)函數(shù)通常是單一的凸函數(shù)，而多凸優(yōu)化則打破了這一限制，能夠應(yīng)對(duì)更為復(fù)雜的實(shí)際場(chǎng)景。在陣列稀疏化問(wèn)題中，可能需要同時(shí)考慮多個(gè)性能指標(biāo)，如方向圖的主瓣寬度、旁瓣電平以及陣元的稀疏性等，這些指標(biāo)往往對(duì)應(yīng)著不同的凸函數(shù)，此時(shí)多凸優(yōu)化就發(fā)揮了重要作用。多凸優(yōu)化的核心原理在于將復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題分解為多個(gè)子問(wèn)題，每個(gè)子問(wèn)題對(duì)應(yīng)一個(gè)凸函數(shù)，然后通過(guò)迭代的方式逐步求解這些子問(wèn)題，最終得到全局最優(yōu)解。這種方法的優(yōu)勢(shì)在于能夠充分利用凸函數(shù)的良好性質(zhì)，如局部最優(yōu)解即為全局最優(yōu)解，從而提高求解的效率和準(zhǔn)確性。在處理大規(guī)模問(wèn)題時(shí)，多凸優(yōu)化可以通過(guò)并行計(jì)算的方式，同時(shí)求解多個(gè)子問(wèn)題，進(jìn)一步提高計(jì)算效率。多凸優(yōu)化還能夠處理一些非凸問(wèn)題。通過(guò)將非凸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列凸優(yōu)化子問(wèn)題，多凸優(yōu)化可以在一定程度上逼近非凸問(wèn)題的最優(yōu)解。在陣列稀疏化中，一些目標(biāo)函數(shù)可能是非凸的，如最小化旁瓣電平的問(wèn)題，通過(guò)多凸優(yōu)化方法，可以將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)凸函數(shù)的組合，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)非凸問(wèn)題的有效求解。多凸優(yōu)化理論為解決復(fù)雜的陣列稀疏化問(wèn)題提供了有力的工具，使得在考慮多個(gè)性能指標(biāo)的情況下，仍能找到最優(yōu)的陣列配置。4.2.2基于多凸優(yōu)化的稀疏陣列綜合方法基于多凸優(yōu)化的稀疏陣列綜合方法是一種高效的陣列設(shè)計(jì)策略，它通過(guò)巧妙的算法設(shè)計(jì)，將復(fù)雜的稀疏陣列綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于求解的多凸優(yōu)化問(wèn)題