七年級數(shù)學(xué)變量關(guān)系詳解課件同學(xué)們，從小學(xué)升入初中，我們接觸的數(shù)學(xué)知識開始從具體的數(shù)字向更抽象的概念過渡。今天我們要探討的“變量關(guān)系”，就是初中數(shù)學(xué)這座大廈中一塊非常重要的基石。它不僅能幫助我們更深刻地理解現(xiàn)實世界中各種變化的規(guī)律，也是我們后續(xù)學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)。別擔(dān)心，只要我們一步步來，就能輕松掌握它。一、走進“變化”的世界——變量與常量在我們的生活中，變化無處不在。想一想：*每天上學(xué)，你從家走到學(xué)校，行走的路程隨著時間的推移在改變。*去商店買鉛筆，買的支數(shù)不同，付的錢數(shù)也不同。*一個裝滿水的容器，如果底部有一個小孔，水面的高度會隨著時間的變化而降低。在這些變化的過程中，我們會遇到各種各樣的量。有些量，它們的值是固定不變的，比如一支鉛筆的單價（如果不打折的話），我們稱之為常量。而有些量，它們的值是在不斷變化的，比如行走的時間和路程，買鉛筆的支數(shù)和總價，漏水容器中水面的高度和時間，這些我們稱之為變量。歸納一下：*常量：在一個變化過程中，數(shù)值保持不變的量叫做常量。*變量：在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量。小練習(xí)：指出下列問題中的常量與變量。1.汽車以60千米/小時的速度勻速行駛，行駛的路程和時間。2.一個長方形的長為5厘米，它的面積隨著寬的變化而變化。（思考片刻后，我們一起分析）在第一個問題中，汽車行駛的速度60千米/小時是固定不變的，所以它是常量；而行駛的路程和時間，會隨著行駛過程的持續(xù)而不斷變化，所以路程和時間是變量。在第二個問題中，長方形的長5厘米是固定的，所以它是常量；長方形的寬可以取不同的值，相應(yīng)的面積也會改變，所以寬和面積是變量。二、變量之間的“悄悄話”——變量間的關(guān)系我們已經(jīng)認(rèn)識了變量和常量。在一個變化過程中，往往不是只有一個變量，而是有兩個或多個變量。更重要的是，這些變量之間不是孤立存在的，它們之間常常存在著某種依賴關(guān)系。核心概念：在某個變化過程中，如果有兩個變量，例如x和y，當(dāng)x在它的取值范圍內(nèi)取定一個值時，y就有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的因變量，此時也稱y與x具有函數(shù)關(guān)系（這個概念我們后續(xù)會深入學(xué)習(xí)，現(xiàn)階段重點理解“對應(yīng)”和“依賴”）。簡單來說，自變量是主動變化的量，因變量是隨著自變量的變化而發(fā)生變化的量。舉例說明：1.路程(s)、速度(v)、時間(t)：當(dāng)汽車勻速行駛時（速度v是常量），路程s會隨著時間t的變化而變化。這里，時間t是自變量，路程s是因變量，s依賴于t。2.總價(C)、單價(p)、數(shù)量(n)：當(dāng)鉛筆單價p固定時，買鉛筆的總價C會隨著購買數(shù)量n的變化而變化。這里，數(shù)量n是自變量，總價C是因變量，C依賴于n。3.圓的面積(S)與半徑(r)：圓的面積S會隨著半徑r的變化而變化。這里，半徑r是自變量，面積S是因變量，S依賴于r。思考與辨析：在“你的年齡和身高”這個變化過程中，哪個是自變量，哪個是因變量？（引導(dǎo)學(xué)生思考：通常年齡增長導(dǎo)致身高變化，而不是身高變化導(dǎo)致年齡增長。所以年齡是自變量，身高是因變量。）三、如何表示變量之間的關(guān)系？了解了變量之間存在關(guān)系，那么我們用什么方法來清晰地表示它們之間的這種依賴關(guān)系呢？常用的方法有三種：列表法、關(guān)系式法和圖像法。我們今天重點學(xué)習(xí)前兩種，圖像法會在后續(xù)章節(jié)詳細(xì)介紹。（一）列表法——一目了然的對應(yīng)什么是列表法？就是將自變量的一些取值和與之對應(yīng)的因變量的值列成表格，以此來表示變量之間的關(guān)系。例如：某種筆記本每本3元，購買數(shù)量與總價的關(guān)系如下表：購買數(shù)量（本）n1234...:--------------:--:--:--:--:--總價（元）C36912...列表法的優(yōu)點：簡單明了，能夠直接看出部分自變量與因變量的對應(yīng)值。局限性：只能列出部分?jǐn)?shù)據(jù)，不能完整地反映兩個變量之間的全部關(guān)系，也不便于進行精確的計算和分析。小試牛刀：小明為了鍛煉身體，堅持每天跑步。他平均每分鐘跑200米。請你用列表法表示他跑步的時間t（分鐘）和路程s（米）之間的關(guān)系（至少列出t=1,2,3,4,5時的情況）。（二）關(guān)系式法——精準(zhǔn)描述的橋梁什么是關(guān)系式法？就是用數(shù)學(xué)式子（等式）來表示兩個變量之間的關(guān)系。這種數(shù)學(xué)式子也常被稱為“函數(shù)關(guān)系式”或“解析式”。承接上面的例子：*筆記本每本3元，總價C與數(shù)量n的關(guān)系式可表示為：C=3n（其中n為正整數(shù)）。這里，3是單價，是常量。*小明每分鐘跑200米，路程s與時間t的關(guān)系式可表示為：s=200t（其中t為非負(fù)數(shù)，實際問題中時間不能為負(fù)）。如何理解和書寫關(guān)系式？1.明確變量：首先要確定哪個是自變量，哪個是因變量。通常，我們用含自變量的代數(shù)式來表示因變量。2.找出等量關(guān)系：根據(jù)題目描述的實際意義，找出兩個變量之間的數(shù)量關(guān)系。例如，“總價=單價×數(shù)量”，“路程=速度×?xí)r間”。3.書寫規(guī)范：一般把因變量單獨寫在等號的左邊，右邊是含有自變量的代數(shù)式。例如，s=200t，而不是200t=s。關(guān)系式的強大作用——由已知求未知：一旦我們得到了變量之間的關(guān)系式，就可以根據(jù)自變量的取值，求出對應(yīng)的因變量的值；或者在知道因變量的值時，求出相應(yīng)的自變量的值（這會涉及到解方程）。例題解析：已知一個長方形的長為8cm，它的寬為bcm，面積為Scm2。(1)寫出S與b之間的關(guān)系式。(2)當(dāng)寬b為5cm時，面積S是多少？(3)當(dāng)面積S為48cm2時，寬b是多少？解答：(1)因為長方形面積=長×寬，所以S=8b（其中b>0）。(2)當(dāng)b=5cm時，代入關(guān)系式S=8b，得S=8×5=40cm2。(3)當(dāng)S=48cm2時，代入關(guān)系式48=8b，解得b=48÷8=6cm。練一練：一個三角形的底邊長為6cm，它的高為hcm，面積為Scm2。(1)寫出S與h之間的關(guān)系式。（提示：三角形面積=底×高÷2）(2)當(dāng)高h(yuǎn)為4cm時，面積S是多少？（三）圖像法——直觀感知變化趨勢（初步認(rèn)識）除了列表和關(guān)系式，我們還可以用圖像來表示變量之間的關(guān)系。圖像通常是在平面直角坐標(biāo)系中繪制的，它能非常直觀地反映出因變量隨自變量變化的趨勢（是上升、下降，還是保持不變）。簡單介紹：例如，我們可以把“路程-時間”的關(guān)系在坐標(biāo)系中描點連線，得到一條直線（勻速運動時），這條直線就能直觀地告訴我們物體運動的快慢和方向。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，我們會專門學(xué)習(xí)如何繪制和解讀這類圖像。四、從實際問題中抽象出變量關(guān)系學(xué)習(xí)變量關(guān)系，關(guān)鍵在于能從紛繁復(fù)雜的實際問題中，識別出變量，分析它們之間的關(guān)系，并能用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎境鰜怼２襟E小結(jié)：1.審題：仔細(xì)閱讀題目，理解題意。2.找量：找出題目中涉及的量，區(qū)分哪些是常量，哪些是變量。3.辨關(guān)系：分析變量之間的依賴關(guān)系，確定自變量和因變量。4.列關(guān)系式（或列表、畫圖）：根據(jù)實際意義和數(shù)量關(guān)系，選擇合適的方法表示變量間的關(guān)系。5.用關(guān)系：運用得到的關(guān)系解決問題，如求值、判斷等。生活中的數(shù)學(xué)：*電費的計算：電費=單價×用電量。*手機話費套餐：可能包含月租（常量）和超出部分的費用（與通話時間或流量相關(guān)的變量）。*彈簧的伸長：在彈性限度內(nèi)，彈簧的伸長量與所掛重物的質(zhì)量成正比。五、總結(jié)與思考今天我們一起探索了變量關(guān)系的世界。我們認(rèn)識了常量與變量，理解了自變量和因變量的概念，重點學(xué)習(xí)了如何用列表法和關(guān)系式法來表示變量之間的關(guān)系，特別是關(guān)系式法，它是解決問題的有力工具。思考：是不是所有的兩個變量之間都存在我們今天所學(xué)的這種“確定的依賴關(guān)系”呢？（可以引導(dǎo)學(xué)生思考一些不確定的關(guān)系，如“人的身高與體重”，身高高的人體重不一定就重，沒有嚴(yán)格的一一對應(yīng)，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的嚴(yán)格定義埋下伏筆，但現(xiàn)階段不展開。）溫馨提示：*在書寫關(guān)系式時，要注意式子的規(guī)范性和實際意義對變量取值范圍的限制（例如，數(shù)量不能為負(fù)，人數(shù)必須為整數(shù)等）。*要多結(jié)合生活實例來理解變量關(guān)系，數(shù)學(xué)源于生活，也應(yīng)用于生活。希望同學(xué)們通過今天的學(xué)習(xí)，能夠用一雙“數(shù)學(xué)的眼睛”去觀察世界，發(fā)現(xiàn)更多變量之間的奧秘，并能用所學(xué)知識去解釋和解決一些簡單的實際問題。