2025年高一物理下學(xué)期臨界與極值問題挑戰(zhàn)題一、運(yùn)動(dòng)學(xué)中的臨界與極值問題（一）追及相遇問題中的臨界條件例1：一輛汽車在平直公路上以10m/s的速度勻速行駛，前方20m處有一輛自行車同向勻速行駛，其速度為4m/s。若汽車以大小為0.5m/s2的加速度剎車，兩車是否會(huì)相撞？若不相撞，求出兩車的最小距離。解析：汽車剎車后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，自行車做勻速直線運(yùn)動(dòng)。兩車速度相等時(shí)是判斷是否相撞的臨界條件：若此時(shí)汽車未追上自行車，則之后汽車速度小于自行車，兩車距離逐漸增大，不會(huì)相撞；若此時(shí)恰好追上，則為臨界相撞狀態(tài)；若此時(shí)已超過，則會(huì)相撞。設(shè)經(jīng)過時(shí)間t兩車速度相等，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：[v_{\text{汽}}-at=v_{\text{自}}]代入數(shù)據(jù)：[10-0.5t=4]，解得(t=12,\text{s})。此時(shí)汽車的位移：[x_{\text{汽}}=v_{\text{汽}}t-\frac{1}{2}at^2=10\times12-\frac{1}{2}\times0.5\times12^2=120-36=84,\text{m}]自行車的位移：[x_{\text{自}}=v_{\text{自}}t=4\times12=48,\text{m}]兩車初始距離為20m，自行車在汽車前方，故汽車相對(duì)自行車的位移為(x_{\text{汽}}-(x_{\text{自}}+20)=84-(48+20)=16,\text{m}>0)，說明此時(shí)汽車已追上自行車，會(huì)發(fā)生相撞。變式訓(xùn)練：若汽車剎車加速度大小為0.4m/s2，其他條件不變，求兩車的最小距離。提示：先判斷速度相等時(shí)是否追上，若未追上，此時(shí)距離最小。（二）傳送帶問題中的極值分析例2：如圖所示，水平傳送帶以2m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，傳送帶兩端距離為10m?，F(xiàn)將一質(zhì)量為1kg的物塊無初速度放在傳送帶左端，物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，g取10m/s2。求物塊從左端運(yùn)動(dòng)到右端的時(shí)間。解析：物塊剛放上時(shí)，相對(duì)傳送帶向左滑動(dòng)，受到向右的滑動(dòng)摩擦力，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。摩擦力(f=\mumg=ma)，故加速度(a=\mug=2,\text{m/s}^2)。物塊加速至與傳送帶共速的時(shí)間：[t_1=\frac{v}{a}=\frac{2}{2}=1,\text{s}]此過程物塊的位移：[x_1=\frac{1}{2}at_1^2=\frac{1}{2}\times2\times1^2=1,\text{m}<10,\text{m}]之后物塊與傳送帶共速，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移(x_2=10-x_1=9,\text{m})，時(shí)間：[t_2=\frac{x_2}{v}=\frac{9}{2}=4.5,\text{s}]總時(shí)間：(t=t_1+t_2=5.5,\text{s})。臨界拓展：若傳送帶長度僅為0.8m，物塊能否與傳送帶共速？此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少？解析：物塊加速到共速需位移1m，而傳送帶長度僅0.8m，故物塊全程做勻加速運(yùn)動(dòng)。由(x=\frac{1}{2}at^2)得：[t=\sqrt{\frac{2x}{a}}=\sqrt{\frac{2\times0.8}{2}}=\sqrt{0.8}\approx0.89,\text{s}]二、力學(xué)平衡中的臨界與極值問題（一）彈力突變時(shí)的臨界狀態(tài)例3：如圖所示，質(zhì)量為m的小球用輕繩懸掛在天花板上，并用輕彈簧連接在右側(cè)墻壁上，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知繩與豎直方向夾角為30°，彈簧水平。若突然剪斷輕繩，求剪斷瞬間小球的加速度大小。解析：剪斷繩前，小球受重力mg、繩拉力T、彈簧彈力F，三力平衡。水平方向：(F=T\sin30^\circ)豎直方向：(T\cos30^\circ=mg)解得：(T=\frac{2mg}{\sqrt{3}})，(F=\frac{mg}{\sqrt{3}})剪斷繩瞬間，彈簧彈力F不突變（彈簧形變需要時(shí)間），此時(shí)小球受重力mg和彈簧彈力F，合力方向沿繩的反方向（斜向右下方），大小等于原繩拉力T：[F_{\text{合}}=T=\frac{2mg}{\sqrt{3}}]加速度：[a=\frac{F_{\text{合}}}{m}=\frac{2g}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}g}{3}]（二）摩擦力方向突變的極值問題例4：質(zhì)量為10kg的物塊靜止在傾角為37°的斜面上，物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5。現(xiàn)用沿斜面向上的拉力F拉動(dòng)物塊，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：（1）使物塊沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng)的拉力F大小；（2）使物塊沿斜面向下勻速運(yùn)動(dòng)的拉力F大?。唬?）拉力F的取值范圍（使物塊保持靜止）。解析：（1）向上勻速時(shí)，摩擦力沿斜面向下：[F=mg\sin37^\circ+f=mg\sin37^\circ+\mumg\cos37^\circ]代入數(shù)據(jù)：(F=10\times10\times0.6+0.5\times10\times10\times0.8=60+40=100,\text{N})（2）向下勻速時(shí)，摩擦力沿斜面向上：[F+mg\sin37^\circ=\mumg\cos37^\circ]代入數(shù)據(jù)：(F+60=40)，解得(F=-20,\text{N})（負(fù)號(hào)表示方向沿斜面向上）（3）靜止時(shí)，靜摩擦力可沿斜面向上或向下，極值對(duì)應(yīng)最大靜摩擦力。拉力最大時(shí)，物塊有向上滑動(dòng)趨勢，靜摩擦力向下：[F_{\text{max}}=mg\sin37^\circ+f_{\text{max}}=60+40=100,\text{N}]拉力最小時(shí)，物塊有向下滑動(dòng)趨勢，靜摩擦力向上：[F_{\text{min}}+f_{\text{max}}=mg\sin37^\circ]即(F_{\text{min}}+40=60)，解得(F_{\text{min}}=20,\text{N})若拉力方向沿斜面向下，則靜摩擦力向上，此時(shí)F可更小，但題目未限定方向，此處默認(rèn)拉力沿斜面向上，故F的取值范圍為20N≤F≤100N。三、曲線運(yùn)動(dòng)中的臨界與極值問題（一）圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界速度例5：用長為L的輕繩系一質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，g取10m/s2。求：（1）小球在最高點(diǎn)的最小速度；（2）若小球在最低點(diǎn)的速度為(v_0=\sqrt{5gL})，求最高點(diǎn)的速度及繩的拉力。解析：（1）最高點(diǎn)時(shí)，向心力由重力和繩拉力提供：(T+mg=m\frac{v^2}{L})。最小速度對(duì)應(yīng)繩拉力T=0（臨界狀態(tài)），此時(shí)：[mg=m\frac{v_{\text{min}}^2}{L}\impliesv_{\text{min}}=\sqrt{gL}]（2）由機(jī)械能守恒定律（取最低點(diǎn)為零勢能面）：[\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv^2+mg\cdot2L]代入(v_0=\sqrt{5gL})：[\frac{1}{2}m\cdot5gL=\frac{1}{2}mv^2+2mgL\implies\frac{5}{2}gL=\frac{v^2}{2}+2gL\impliesv^2=gL\impliesv=\sqrt{gL}]此時(shí)最高點(diǎn)繩拉力T=0（恰好達(dá)到臨界速度）。拓展：若將輕繩換為輕桿，最高點(diǎn)的最小速度為多少？（答案：0，此時(shí)桿可提供支持力）（二）平拋運(yùn)動(dòng)中的極值范圍例6：如圖所示，小球從傾角為θ的斜面上A點(diǎn)以初速度(v_0)水平拋出，落在斜面上的B點(diǎn)。已知A點(diǎn)到斜面底端的距離為L，求小球拋出后多長時(shí)間離斜面最遠(yuǎn)？解析：小球做平拋運(yùn)動(dòng)，可分解為水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)（(x=v_0t)）和豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)（(y=\frac{1}{2}gt^2)）。離斜面最遠(yuǎn)時(shí)，小球的速度方向與斜面平行（臨界條件），即豎直分速度與水平分速度的比值等于斜面傾角的正切值：[\tan\theta=\frac{v_y}{v_x}=\frac{gt}{v_0}]解得：[t=\frac{v_0\tan\theta}{g}]證明：此時(shí)小球在垂直斜面方向的速度為零（類比斜拋運(yùn)動(dòng)中垂直斜面方向的“豎直上拋”運(yùn)動(dòng)，速度為零時(shí)達(dá)最高點(diǎn)）。四、綜合應(yīng)用題例7：如圖所示，質(zhì)量M=4kg的木板靜止在光滑水平面上，木板右端固定一輕彈簧，彈簧左端與質(zhì)量m=1kg的物塊接觸（不連接），物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，g取10m/s2。現(xiàn)給物塊一個(gè)水平向左的初速度v?=5m/s，使物塊壓縮彈簧至最短后又被彈回，最終物塊與木板相對(duì)靜止。求：（1）彈簧的最大彈性勢能；（2）物塊最終的速度大小。解析：（1）物塊壓縮彈簧過程中，木板與物塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒（水平方向無外力），當(dāng)兩者速度相等時(shí)，彈簧壓縮至最短，彈性勢能最大。設(shè)共同速度為v，由動(dòng)量守恒：[mv_0=(M+m)v\impliesv=\frac{mv_0}{M+m}=\frac{1\times5}{4+1}=1,\text{m/s}]由能量守恒，系統(tǒng)初動(dòng)能等于末動(dòng)能與摩擦生熱及彈簧彈性勢能之和：[\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}(M+m)v^2+Q+E_p]其中摩擦生熱(Q=\mumg\cdotx)（x為物塊相對(duì)木板的位移），但此時(shí)無法直接求x，需結(jié)合后續(xù)過程。（2）物塊被彈回后最終與木板相對(duì)靜止，系統(tǒng)動(dòng)量仍守恒，最終共同速度仍為v=1m/s（全過程動(dòng)量守恒）。對(duì)全過程，物塊從開始到最終靜止，動(dòng)能損失全部轉(zhuǎn)化為摩擦生熱：[\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}(M+m)v^2=Q_{\text{總}}=\mumg\cdotx_{\text{總}}]代入數(shù)據(jù)：[\frac{1}{2}\times1\times25-\frac{1}{2}\times5\times1=0.2\times1\times10\timesx_{\text{總}}][12.5-2.5=2x_{\text{總}}\impliesx_{\text{總}}=5,\text{m}]壓縮過程與彈回過程相對(duì)位移相等（對(duì)稱性），故壓縮過程相對(duì)位移(x=\frac{x_{\text{總}}}{2}=2.5,\text{m})，則：[Q=\mumgx=0.2\times1\times10\times2.5=5,\text{J}]代入彈性勢能公式：[E_p=\frac{1}{2}\times1\times25-\frac{1}{2}\times5\times1-5=12.5-2.5-5=5,\text{J}]答案：（1）5J；（2）1m/s五、挑戰(zhàn)題（共3題，每題20分）追及相遇綜合：甲車以10m/s的速度在平直公路上勻速行駛，乙車在甲車后方200m處以20m/s的速度同向勻速行駛，且同時(shí)開始以1m/s2的加速度剎車。（1）求乙車剎車后多久兩車速度相等；（2）通過計(jì)算判斷兩車是否會(huì)相撞，若相撞，求出相撞時(shí)間；若不相撞，求出兩車的最大距離。力學(xué)平衡極值：質(zhì)量為m的均勻正方體物塊靜止在粗糙水平地面上，物塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。現(xiàn)用一水平力F作用于物塊上表面的邊緣，使物塊緩慢翻轉(zhuǎn)（不打滑），求翻轉(zhuǎn)過程中水平力F的最小值及對(duì)應(yīng)的力臂。曲線運(yùn)動(dòng)與能量結(jié)合：如圖所示，半徑為R的光滑半圓軌道固定在豎直平面內(nèi)，底端與水平軌道相切，質(zhì)量為m的小球從