專題突破練19統(tǒng)計與概率解答題1.(2021·廣東廣州二模改編)根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計,2010年以后中國貧困人口規(guī)模呈逐年下降趨勢,2011~2019年全國農(nóng)村貧困發(fā)生率的散點圖如下:注:年份代碼1~9分別對應(yīng)年份2011年~2019年.(1)求y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(2)已知某貧困地區(qū)的農(nóng)民人均年純收入X(單位:萬元)滿足正態(tài)分布N(1.6,0.36),若該地區(qū)約有97.72%的農(nóng)民人均純收入高于該地區(qū)最低人均年純收入標準,則該地區(qū)最低人均年純收入標準大約為多少萬元?參考數(shù)據(jù)與公式:∑i=19yi=54.2,∑i=19tiyi經(jīng)驗回歸直線y^=b^t+若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.2.(2021·湖北黃岡適應(yīng)性考試改編)產(chǎn)品質(zhì)量是企業(yè)的生命線.為提高產(chǎn)品質(zhì)量,企業(yè)非常重視產(chǎn)品生產(chǎn)線的質(zhì)量.某企業(yè)引進了生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的A,B兩條生產(chǎn)線,為比較兩條生產(chǎn)線的質(zhì)量,從A,B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各自隨機抽取了100件產(chǎn)品進行檢測,把產(chǎn)品等級結(jié)果和頻數(shù)制成了如圖的統(tǒng)計圖.(1)依據(jù)小概率值α=0.025的獨立性檢驗,分析數(shù)據(jù),能否據(jù)此推斷是否為一級品與生產(chǎn)線有關(guān).(2)生產(chǎn)一件一級品可盈利100元,生產(chǎn)一件二級品可盈利50元,生產(chǎn)一件三級品則虧損20元,以頻率估計概率.①分別估計A,B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤;②你認為哪條生產(chǎn)線的利潤較為穩(wěn)定?并說明理由.附:①參考公式:χ2=n(ad-bc②臨界值表:α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.8283.(2021·福建寧德模擬改編)某工廠為了檢測一批新生產(chǎn)的零件是否合格,從中隨機抽測100個零件的長度d(單位:mm).該樣本數(shù)據(jù)分組如下:[57,58),[58,59),[59,60),[60,61),[61,62),[62,63],得到如圖所示的頻率分布直方圖.經(jīng)檢測,樣本中d大于61的零件有13個,長度分別為61.1,61.1,61.2,61.2,61.3,61.5,61.6,61.6,61.8,61.9,62.1,62.2,62.6.(1)求頻率分布直方圖中a,b,c的值及該樣本的平均長度x(結(jié)果精確到1mm,同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表);(2)視該批次樣本的頻率為總體的概率,從工廠生產(chǎn)的這批新零件中隨機選取3個,記ξ為抽取的零件長度在[59,61)的個數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)若變量X滿足|P(μσ≤X≤μ+σ)0.6827|<0.03且|P(μ2σ≤X≤μ+2σ)0.9545|≤0.03,則稱變量X滿足近似于正態(tài)分布N(μ,σ2)的概率分布.如果這批樣本的長度d滿足近似于正態(tài)分布N(x,12)的概率分布,則認為這批零件是合格的,將順利出廠;否則不能出廠.請問,能否讓該批零件出廠?4.(2021·山東濰坊期末)在一個系統(tǒng)中,每一個設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度,而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度,為了增加系統(tǒng)的可靠度,人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”(即正在使用的設(shè)備出故障時才啟動的設(shè)備).已知某計算機網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”(即一臺正常設(shè)備,兩臺備用設(shè)備)的配置,這三臺設(shè)備中,只要有一臺能正常工作,計算機網(wǎng)絡(luò)就不會斷掉.設(shè)三臺設(shè)備的可靠度均為r(0<r<1),它們之間相互不影響.(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992,求r的最小值;(2)當r=0.9時,求能正常工作的設(shè)備數(shù)X的分布列;(3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當前的計算機網(wǎng)絡(luò)中每臺設(shè)備的可靠度是0.7,根據(jù)以往經(jīng)驗可知,計算機網(wǎng)絡(luò)斷掉可能給該產(chǎn)業(yè)園帶來約50萬元的經(jīng)濟損失.為減少對該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟損失,有以下兩種方案:方案1:更換部分設(shè)備的硬件,使得每臺設(shè)備的可靠度維持在0.9,更新設(shè)備硬件總費用為8萬元;方案2:對系統(tǒng)的設(shè)備進行維護,使得設(shè)備可靠度維持在0.8,設(shè)備維護總費用為5萬元.請從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策?專題突破練19統(tǒng)計與概率解答題1.解(1)t=1+2+3+4+5+6+7+8+9y=12.b^=∑a^=y?b^t=6.02(1.46)故y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程為y^=1.46t+13.32(2)因為P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,所以P(X>μ2σ)=0.9545+1-0.954因為某貧困地區(qū)的農(nóng)民人均年純收入X滿足正態(tài)分布N(1.6,0.36),所以μ=1.6,σ=0.6,μ2σ=0.4,P(X>0.4)=0.97725,故該地區(qū)最低人均年純收入標準大約為0.4萬元.2.解(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)可建立列聯(lián)表如下:生產(chǎn)線是否一級品合計一級品非一級品A2080100B3565100合計55145200零假設(shè)為H0:是否為一級品與生產(chǎn)線無關(guān).χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c依據(jù)小概率值α=0.025的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為是否為一級品與生產(chǎn)線有關(guān).(2)A生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品為一、二、三級品的概率分別為1記A生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為X,則X的取值為100,50,20,其分布列為X1005020P131B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品為一、二、三級品的概率分別為7記B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為Y,則Y的取值為100,50,20,其分布列為Y1005020P721①E(X)=100×15+50×35+(E(Y)=100×720+50×25+(20)故A,B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤分別為46元、50元.②D(X)=(10046)2×15+(5046)2×35+(2046)2×1D(Y)=(10050)2×720+(5050)2×25+(2050)2×1因為D(X)<D(Y),所以A生產(chǎn)線的利潤更為穩(wěn)定.3.解(1)由題意可得P(61≤d<62)=10100=0.P(62≤d≤63)=3100=0.P(59≤d<60)=P(60≤d<61)=12(12×0.030.140.1)=0.所以a=0.031=0.03,b=0.11=0.1,c=x=(57.5+62.5)×0.03+58.5×0.14+(59.5+60.5)×0.35+61.5×0.1=59.94≈60.(2)由(1)可知從該工廠生產(chǎn)的新零件中隨機選取1件,長度d在(59,61]的概率P=2×0.35=0.7,且隨機變量ξ服從二項分布ξ~B(3,0.7),所以P(ξ=0)=C30×(10.7)3=P(ξ=1)=C31×0.7×(10.7)2=P(ξ=2)=C32×0.72×(10.7)=P(ξ=3)=C33×0.73=所以隨機變量ξ的分布列為ξ0123P0.0270.1890.4410.343E(ξ)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.(3)由(1)及題意可知x=60,σ=1.所以P(xσ≤X≤xσ)=P(59≤X≤61)=0.7|P(xσ≤X≤x+σ)0.6827|=|0.70.6827|=0.0173≤0.P(x2σ≤X≤x2σ)=P(58≤X≤62)=0.14+0.35+0.35+0.1=0.|P(x2σ≤X≤x+2σ)0.9545|=|0.940.9545|=0.0145≤0.03所以這批新零件的長度d滿足近似于正態(tài)分布N(x,12)的概率分布.所以能讓該批零件出廠.4.解(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992,則P(X≥1)=1P(X<1)=1P(X=0)=1(1r)3≥0.992,解得r≥0.8,故r的最小值為0.8.(2)X為正常工作的設(shè)備數(shù),由題意可知,X~B(3,r),P(X=0)=C30×0.90×(10.9)3=P(X=1)=C31×0.91×(10.9)2=P(X=2)=C32×0.92×(10.9)1=P(X=3)=C33×0.93×(10.9)0=從而X的分布列為X0123P0.0010.0270.2430.729(3)設(shè)方案1、方案2的總損失分別為X1,X2,采用方案1,更換部分設(shè)備的硬件,使得設(shè)備可靠度達