14.3角的平分線課時(shí)1角平分線的性質(zhì)第十四章全等三角形1.能準(zhǔn)確理解并完整表述角平分線的性質(zhì)，明確角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等這一核心內(nèi)容，清晰區(qū)分性質(zhì)定理中的條件與結(jié)論.2.

熟練掌握運(yùn)用尺規(guī)作已知角平分線的方法，規(guī)范操作步驟，理解作圖依據(jù)，能獨(dú)立完成不同角度的角平分線繪制.拿出一個(gè)小三角形紙，按照如圖所示的步驟，動(dòng)手折疊.問題1：折痕

BD

平分∠ABC

嗎？為什么呢？BDACM②BAM①問題2：在如圖所示的折疊過程中，按照先后順序保證了哪些條件相等，使得折痕平分∠ABC

？先

AB

=BC，后

AD=DC.

角的平分線上的點(diǎn)的特性是由其與角的兩邊的關(guān)系體現(xiàn)的.我們先來看角的平分線上的點(diǎn)與角兩邊上的點(diǎn)所連線段的數(shù)量關(guān)系.探究

如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的任意一點(diǎn)，M，N分別是OA，OB上的點(diǎn)，我們研究PM與PN的關(guān)系.CABOMNP知識(shí)點(diǎn)1角的平分線的作法

研究幾何圖形的關(guān)系時(shí)，我們往往關(guān)注其中的一些特殊情況.圖中當(dāng)OM與ON滿足什么關(guān)系時(shí)，PM=PN？CABOMNP在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON，

反過來，如圖，M，N分別是∠AOB的邊OA，OB上的點(diǎn)，OM=ON，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，PM=PN.連接OP.ABOMNOP=OP，OM=ON，PM=PN，在△OPM和△OPN中，

P即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.思考：由上述結(jié)論，你能想到如何作一個(gè)角的平分線嗎？1.先在角的兩邊上分別作出與角的頂點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn).2.在角的內(nèi)部作出與這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn).3.以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，作過這個(gè)點(diǎn)的射線.

ABOMC(1)以點(diǎn)

O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交

OA于點(diǎn)

M，交

OB于點(diǎn)

N．(3)畫射線

OC.射線

OC即為所求.作法：N

ABOMN知識(shí)點(diǎn)2角的平分線的性質(zhì)

在導(dǎo)入折疊的基礎(chǔ)上(在折疊狀態(tài)，未展開)將BC

自身重合對(duì)折(點(diǎn)

B

與點(diǎn)

C

重合)觀察折疊后的展開圖，你發(fā)現(xiàn)了什么?BDACM②BDACMP③知識(shí)點(diǎn)2角的平分線的性質(zhì)紙上又多了兩條折痕，設(shè)為

PE和

PF，兩條折痕相交于點(diǎn)

P，并且點(diǎn)

P在角平分線

BD上；觀察折痕與邊的關(guān)系得到：PE⊥BC，PF⊥AB，PE=PF.BDACMPEF對(duì)于任意角的平分線是否都有這樣的結(jié)論？如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P1，P2，P3，···在OC上，過點(diǎn)P1，P2P3，···分別畫OA與OB的垂線，垂足分別為D1

與E1、D2

與E2、D3

與E3······.CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4分別比較P1D1

與P1E1、P2D2

與P2E2、P3D3

與P3E3······，你有什么發(fā)現(xiàn)？P1D1

=

P1E1，P2D2

=

P2E2，P3D3

=

P3E3······猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.已知：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上.求證：這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.

為了更直觀、清楚地表達(dá)題意，我們通常在證明之前畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證.問題：寫出上述猜想的已知和求證.已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)

P在

OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為

D，E.求證：PD=PE.PAOBCDE已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)

P在

OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為

D，E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在

△OPD和

△OPE中，∠PDO=∠PEO，∠DOP=

∠EOP，OP=OP，

∴PD=PE.∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC=∠BOC.角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.符號(hào)語言：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點(diǎn)，∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、EPAOBCDE證明一個(gè)幾何命題的步驟：已知：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上求證：這個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等；第一步：明確命題中的已知和求證第二步：根據(jù)已知和求證，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；第三步：經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.1.如圖所示,是用尺規(guī)作圖作已知角的角平分線的示意圖,則說明OP是∠AOB的角平分線的依據(jù)是()A.SASB.ASAC.SSSD.AAS2.如圖，AM是∠BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PE=6，則PD=______.6MBCADEPC角平分線尺規(guī)作圖性質(zhì)添加輔助線

依據(jù)：SSS一個(gè)點(diǎn)：二距離：兩相等：角平分線上的點(diǎn)點(diǎn)到角兩邊的距離兩條垂線段相等過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段1.如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，且點(diǎn)P到射線OA和OB的距離相等.解：如圖所示：作∠AOB的平分線與MN交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求.ABONMP2.如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，則PE=________cm.6

證明:由題可得∠OAP=∠OBP，∠AOP=∠BOP，在△AOP和△BOP中，

∠AOP=∠BOP，∠OAP=∠OBP，AP=BP，

4.如圖，AD

為∠BAC

的平分線，DF⊥AC

于點(diǎn)

F，∠B=90°，DE=DC，試說明：BE=FC.解：∵∠B=90°，∴BD⊥AB.∵AD

為∠BAC

的平分線，且

DF⊥AC，∴DB=DF.在Rt△BDE

和Rt△FDC

中，

DE=DC，DB=DF，14.3角的平分線課時(shí)2角平分線的判定第十四章全等三角形1.探索并證明角的平分線的判定定理，感受互逆的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展推理能力和解題能力；2.能夠運(yùn)用角的平分線的判定定理解決相關(guān)問題.

如圖，要在

S

區(qū)建一個(gè)風(fēng)箏主題公園，使它到公路和鐵路的距離相等，這個(gè)風(fēng)箏主題公園應(yīng)建于何處？S

實(shí)際問題幾何問題AOB在∠AOB內(nèi)是否存在點(diǎn)

P

，過點(diǎn)

P作

OA、OB

的垂線并交

OA、OB

于點(diǎn)

D、E，使得

DP=EP？

我們知道，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，如果交換這個(gè)命題的條件和結(jié)論，得到的命題還成立嗎？猜想：到角兩邊距離相等的點(diǎn)一定在角的平分線上.知識(shí)點(diǎn)1角的平分線的判定AOBP

DE已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是

D、E，PD=PE.求證：點(diǎn)

P在∠AOB的平分線上.證明：作射線

OP.∴點(diǎn)

P在∠AOB

的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，OP=OP(公共邊)，PD=PE(已知)，BADOPE∵

PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).∴∠DOP=∠EOP(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.符號(hào)語言：如圖，∵P為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，即OP平分∠AOB.PAOBCDE位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系所有到角兩邊距離相等的點(diǎn)組成這個(gè)角的平分線角的平分線的性質(zhì)及判定的關(guān)系點(diǎn)在角的平分線上角的內(nèi)部，點(diǎn)到角兩邊距離相等性質(zhì)判定角的平分線（頂點(diǎn)除外）可以看成到角兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合.1.如圖，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，PC⊥OA于點(diǎn)C，PD⊥OB于點(diǎn)D，PC＝5cm，當(dāng)PD＝____cm時(shí)，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．5知識(shí)點(diǎn)2三角形三條角平分線的關(guān)系探究：如圖，

S

區(qū)內(nèi)有兩條公路和一條鐵路，它們兩兩相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)

A，B，C，如果要在△ABC

區(qū)域內(nèi)建一個(gè)風(fēng)箏主題公園，使它到三條路的距離相等，這個(gè)風(fēng)箏主題公園應(yīng)建在何處？AB

C

分析：由前面的探究可知，到

AB，AC距離相等的點(diǎn)在∠BAC

的角平分線上，則到

BA，BC距離相等的點(diǎn)在∠ABC

的角平分線上

，它們交于一點(diǎn)

P.P

那么這一點(diǎn)

P是否到三邊的距離都相等呢？例2如圖，△ABC

的角平分線

BM，CN

相交于點(diǎn)

P.求證：(1)點(diǎn)P到三邊

AB，BC，CA

的距離相等；證明：(1)過點(diǎn)

P作

PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分別為

D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC

的角平分線，

點(diǎn)

P

在

BM

上，∴PD=PE.同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)

P到三邊

AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

(2)由

(1)得，點(diǎn)

P

到邊

AB，CA的距離相等，∴點(diǎn)

P

在∠A

的平分線上.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.∴△ABC

的三條角平分線交于一點(diǎn).例2如圖，△ABC

的角平分線

BM，CN

相交于點(diǎn)

P.求證：(2)△ABC

的三條角平分線交于一點(diǎn).D

E

F

A

B

C

P

N

M

2.如圖，O

是△ABC

內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)

O

到三邊

AB，AC，BC

的距離相等，即

OF

=

OE

=

OD，若∠BAC

=

100°，則∠BOC

的度數(shù)是(

)A.140°

B.130°C.120°

D.110°A課堂總結(jié)角平分線的判定定理內(nèi)容角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的_______上作用判斷一個(gè)點(diǎn)是否在角的平分線上相關(guān)結(jié)論三角形的角平分線相交于內(nèi)部一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三邊的距離_____

平分線相等1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝4