第3章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)本章內(nèi)容3.1剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)3.2力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律3.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能和動(dòng)能定理3.3角動(dòng)量角動(dòng)量矩守恒定律研究方法：牛頓質(zhì)點(diǎn)力學(xué)；任一物體都是質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng).理想化模型：剛體

物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),物體自身大小與形狀所不可以忽略，引入剛體模型。質(zhì)點(diǎn)模型基本上只能描述物體的平動(dòng)特征。是指在任何情況下，都沒有形變的物體(理想模型).剛體:什么是剛體？3.1剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)3.1.1剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)可用質(zhì)點(diǎn)模型描述.

1

平動(dòng)：2轉(zhuǎn)動(dòng):剛體的一般運(yùn)動(dòng)可看作：隨質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+的合成定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng).定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng).3.1.2角速度和角加速度大?。?角速度矢量方向：右手螺旋拇指方向.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：

由于組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)均在各自的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)繞軸作圓周運(yùn)動(dòng)，因此前面關(guān)于質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的全套描述方法，此處全部可用。此處注意方向性。角速度的正負(fù)表示方向.可沿轉(zhuǎn)軸設(shè)正方向，2角加速度：方向沿轉(zhuǎn)軸3角量與線量的關(guān)系法向加速度切向加速度與角速度方向相同為加速；相反為減速角速度：角加速度：方向：方向：角量與線量的關(guān)系我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么？定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：角速度的正負(fù)表示方向.可沿轉(zhuǎn)軸設(shè)正方向，右手螺旋拇指方向沿轉(zhuǎn)軸3.1.2角速度和角加速度例3-1

一飛輪以初角速度繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角加速度為，其中比例系數(shù)k為常量。求：

經(jīng)過多長時(shí)間，飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度減少為的二分之一？力矩是力對物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)作用的物理量，3.2力矩剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)所繞的點(diǎn)或軸稱為支點(diǎn)或轉(zhuǎn)軸。

A有力矩B無力矩（力矩為零）C不清楚1力的方向平行門軸向上，該力相對于門軸

。2力的延長線通過門軸，該力相對于門軸

。3力與門軸線不在同一平面上,此力相對于門軸

。4地球所受太陽引力指向太陽中心點(diǎn)O，該力相對于O點(diǎn)

。②①③④O力作用在剛體上一定能改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)嗎？無論力多么大都不能對剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)產(chǎn)生影響，我們稱為該力無力矩（零力矩）。請同學(xué)們用手邊的物品分析！分析力矩為零的情況，請選擇3.2.1力矩

對定軸：

力對固定點(diǎn)：

當(dāng)力的作用線通過該點(diǎn)，或有心力的力矩為零。當(dāng)力的作用線與軸平行或相交時(shí)，該力對剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不影響，相對于該軸的力矩為零。力矩為零的情況：3.2.1力矩

A力的大?。?/p>

B力的方向；C力的大小和方向；

D力的大小、力的方向、力的作用點(diǎn)；1力矩與哪些因素有關(guān)？請同學(xué)們實(shí)踐一下，嘗試用不同方向與不同作用點(diǎn)的力推動(dòng)一個(gè)靜止的門，看看有什么不同？力矩的影響因素分析，請選擇：3.2.1力矩1.力對點(diǎn)o的力矩O.力臂

:從參考點(diǎn)o到力F作用線的垂直距離。:力臂單位：牛頓米方向：右手螺旋拇指方向，大小：將會(huì)產(chǎn)生質(zhì)點(diǎn)繞以該方向?yàn)檩S的逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。3.2.1力矩3.2.1力矩

剛體所受對點(diǎn)o的合力矩dA

對定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，力矩用正負(fù)表示方向。平行于轉(zhuǎn)軸，相對轉(zhuǎn)軸無力矩；力F對Z軸的力矩等于對Z軸的力矩。

2.力F對轉(zhuǎn)軸的力矩力臂

:力矩方向：力矩大?。河沂致菪粗阜较?與所引起轉(zhuǎn)動(dòng)方向成右手螺旋關(guān)系.轉(zhuǎn)軸與力

作用線的距離。3.2.1力矩3.合力矩對同一定軸的合力矩等于各分力矩的代數(shù)和與正方向相同的力矩取正值，相反的取負(fù)值.3.2.1力矩看看我們對概念的掌握情況：（1）以下合力矩與合力均為零的情形是ABC3.2.1力矩Olm重力對棒力矩等于重力全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩。（2）粗細(xì)均勻、質(zhì)量均勻的棒，重力對O軸的力矩？

桿下擺過程中力矩逐漸減?。?.2.1力矩力矩大小=力乘以支點(diǎn)或軸到力的作用線垂直距離兩個(gè)力的力矩平衡時(shí)，可撬動(dòng)石頭.是省力杠桿！

請思考：建筑工地上經(jīng)常要移動(dòng)比人的體重大得多的石塊，如果你只有一根長鐵桿和一些小石塊與木塊，如何移動(dòng)？3.2.1力矩角速度：角加速度：方向：方向：角量與線量的關(guān)系我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么？定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：角速度的正負(fù)表示方向.可沿轉(zhuǎn)軸設(shè)正方向，右手螺旋拇指方向沿轉(zhuǎn)軸2.力F相對O點(diǎn)力矩：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么？3.力F相對z軸力矩：大?。貉剞D(zhuǎn)軸，與所引起轉(zhuǎn)動(dòng)方向成右手螺旋.方向：d力臂d：轉(zhuǎn)軸到力的作用線的垂直距離4.相對定軸的合力矩與正方向相同的力矩取正值，相反的取負(fù)值.1什么情況下所施加的力無力矩（零力矩）：

對定軸：

對固定點(diǎn)：

當(dāng)力的作用線通過該點(diǎn)。當(dāng)力的作用線與軸平行或相交時(shí)，該力對剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不影響，相對于該軸的力矩為零。合力矩剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2)

力矩相同，實(shí)驗(yàn)證明(3)

與牛頓定律比較：討論:3.2.2剛體對定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律(1)

M正比于

，力矩越大，剛體的

越大；注意：合力矩與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相對于同一軸。

作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，在合外力矩M的作用下，所獲得的角加速度與合外力矩的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。質(zhì)量連續(xù)分布影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小的因素:總質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：單位：kg·m23.2.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理zdCmz':剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:剛體繞通過質(zhì)心的軸:兩軸間垂直距離3.2.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，同學(xué)們自己看書，第54頁例3-3.教材第55頁表3-1給出幾種常見均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。不規(guī)則形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量需要通過實(shí)驗(yàn)測量得到。請思考：如果你是走鋼絲的雜技演員，采取什么辦法讓自己走得穩(wěn)一些？請選擇：質(zhì)量相同，外半徑相同，猜想相對各自中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是否相同？A①大于②

；B①小于②C①等于②；D其它②①實(shí)心的金屬圓柱和相同質(zhì)量的同種金屬圓筒哪個(gè)更容易推動(dòng)？3.2力矩剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么？1.轉(zhuǎn)動(dòng)定律2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J：質(zhì)量連續(xù)分布：單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：平行軸定理zdCmz'影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小的因素:總質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸的位置

1.隔離物體，分析受力：質(zhì)點(diǎn)畫出所的有力；剛體畫出相對于同一轉(zhuǎn)軸有力矩的力。2.設(shè)定正方向（轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)的正方向要一致,如運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍?。對于質(zhì)點(diǎn)，將力分解在相互垂直的方向上，求每個(gè)垂直方向上的合力，根據(jù)牛頓第二定律列出表達(dá)式。對于剛體，求相對于同一轉(zhuǎn)軸的合力矩，并應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律。3.根據(jù)運(yùn)動(dòng)定律寫出表達(dá)式剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題

例3-5

一長為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O

相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng).由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉(zhuǎn)動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成角時(shí)的角加速度與角速度。

解細(xì)桿受重力和鉸鏈對細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得式中得例3-6一根細(xì)繩跨過固定在電梯頂部的定滑輪，滑輪的質(zhì)量為m′，半徑為R。在繩的兩側(cè)各懸掛有質(zhì)量為M和m的小球(M>m)，設(shè)細(xì)繩的質(zhì)量忽略不計(jì)，且細(xì)繩不可伸長。求：當(dāng)電梯靜止時(shí)，兩球的加速度和細(xì)繩的張力。解：？受力分析剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題根據(jù)牛頓第二定律，有根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有且有滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

選運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題將上面方程聯(lián)立，可解得若將m′略去，即可得到第二章例題1中的結(jié)果。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題(1)飛輪的角加速度；(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計(jì)算飛輪的角加速。解

(1)(2)兩者區(qū)別練習(xí)求一輕繩繞在半徑r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.5kg·m2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì)，剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題2.力F相對O點(diǎn)力矩：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么？3.力F相對z軸力矩：大?。貉剞D(zhuǎn)軸，與所引起轉(zhuǎn)動(dòng)方向成右手螺旋.方向：d力臂d：轉(zhuǎn)軸到力的作用線的垂直距離4.相對定軸的合力矩與正方向相同的力矩取正值，相反的取負(fù)值.1什么情況下所施加的力無力矩（零力矩）：

對定軸：

對固定點(diǎn)：

當(dāng)力的作用線通過該點(diǎn)。當(dāng)力的作用線與軸平行或相交時(shí)，該力對剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不影響，相對于該軸的力矩為零。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么？5.轉(zhuǎn)動(dòng)定律6轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J：質(zhì)量連續(xù)分布：單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：平行軸定理zdCmz'影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小的因素:總質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸的位置

1.隔離物體，分析受力：質(zhì)點(diǎn)畫出所的有力；剛體畫出相對于同一轉(zhuǎn)軸有力矩的力。2.設(shè)定正方向（轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)的正方向要一致,如運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍?。對于質(zhì)點(diǎn)，將力分解在相互垂直的方向上，求每個(gè)垂直方向上的合力，根據(jù)牛頓第二定律列出表達(dá)式。對于剛體，求相對于同一轉(zhuǎn)軸的合力矩，并應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律。3.根據(jù)運(yùn)動(dòng)定律寫出表達(dá)式剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題3.3

角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量在描述行星的軌道運(yùn)動(dòng)，自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星的軌道運(yùn)動(dòng)及微觀粒子的運(yùn)動(dòng)中都具有獨(dú)特作用。衛(wèi)星地球+

你知道嗎？

A質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量；

B質(zhì)點(diǎn)的位置；C質(zhì)點(diǎn)的位置和動(dòng)量.1質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量與哪些因素有關(guān)？2上圖質(zhì)點(diǎn)以動(dòng)量沿直線運(yùn)動(dòng)，在軌跡上A點(diǎn)相對O點(diǎn)的角動(dòng)量

其在B點(diǎn)相對與同一點(diǎn)O的角動(dòng)量.O.ABA大于；B小于；C等于；D其它看一下自我學(xué)習(xí)效果O.①②3質(zhì)點(diǎn)以動(dòng)量沿直線運(yùn)動(dòng)，在軌跡①相對O點(diǎn)的角動(dòng)量

其在②軌道上的角動(dòng)量.A大于；B小于；C等于；D其它質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)相對中心點(diǎn)的角動(dòng)量：1.質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)O的角動(dòng)量定義：大?。悍较颍河沂致菪粗阜较?.3.1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量(動(dòng)量矩)結(jié)論：角動(dòng)量與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及位置有關(guān).2剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量：O3.3.2角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

作用于質(zhì)點(diǎn)的對參考點(diǎn)O的合外力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)O

的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率.1質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理：

2剛體相對定軸z的角動(dòng)量定理：

剛體所受的相對z軸的合外力矩，等于剛體對該軸的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率.你知道嗎，角動(dòng)量定理也適用于非剛體。3.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律

請討論以下幾種情況

作用于質(zhì)點(diǎn)的對參考點(diǎn)

O的合外力矩為零，質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)O

的角動(dòng)量守恒.恒矢量

3.3.2角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

1忽略阻力矩，質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，那么其動(dòng)量

；2上題相對于圓心O點(diǎn)角動(dòng)量

；3轉(zhuǎn)動(dòng)半徑在變化的過程中，相對于圓心的角動(dòng)量

；A守恒B不守恒C不清楚BAA對守恒的判斷，請選擇：3.3.2角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

例3.6

在地球繞太陽公轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)?shù)厍蛱幱谶h(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)，地日之間的距離為1.52×1011m，軌道速度為2.93×104m·s-1。半年后，地球到達(dá)近日點(diǎn)，地日之間的距離為1.47×1011m。求地球在近日點(diǎn)時(shí)的軌道速度和角速度。

解：以太陽為參考點(diǎn)，地球的公轉(zhuǎn)滿足角動(dòng)量守恒定律

。

遠(yuǎn)日點(diǎn)角動(dòng)量

近日點(diǎn)角動(dòng)量

由得2.剛體相對定軸的角動(dòng)量守恒定律

剛體所受的相對z軸的合外力矩為零，剛體對該軸的角動(dòng)量守恒.角動(dòng)量守恒定律也適用于非剛體。3.3.2角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

2.

剛體系統(tǒng)：內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量.

守恒條件：合外力矩對于剛體不變，其不變；說明

在沖擊等問題中常量應(yīng)是對同一軸而言的.角動(dòng)量方向與正方向相同取正值，相反取負(fù)值1.一個(gè)物體：對于非剛體變，也變，但不變.3.3.2角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

應(yīng)用：許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來說明.花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水

J

變，ω

亦變，但仍有Jω=常數(shù)，故有3.3.2角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

3.3.2角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

慣性導(dǎo)航儀（陀螺）

角動(dòng)量守恒定律在技術(shù)中的應(yīng)用

你知道飛行器在浩瀚的宇宙如何確定方向？來復(fù)線自然界中存在多種守恒定律

動(dòng)量守恒定律能量守恒定律角動(dòng)量守恒定律電荷守恒定律質(zhì)量守恒定律飛輪你知道航天器如何改變運(yùn)動(dòng)方向嗎？你知道直升機(jī)是如何穩(wěn)定的？直升機(jī).wmv所以，我們應(yīng)掌握角動(dòng)量守恒定律！角動(dòng)量守恒定律在技術(shù)中的應(yīng)用

1質(zhì)點(diǎn)相對定點(diǎn)的角動(dòng)量：大?。悍较颍河沂致菪粗阜较騽傮w對軸的角動(dòng)量2角動(dòng)量定理

3角動(dòng)量守恒條件：相對于某軸(或點(diǎn)）的合外力矩相對該軸(或點(diǎn)）的角動(dòng)量守恒對定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角動(dòng)量與正方向相同為正，相反的取負(fù).我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么？方向：沿軸以下軸是光滑的，角動(dòng)量守恒的是？OlmOlm豎直軸水平軸3.3.2角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

例3-8一質(zhì)量為m的人站在一質(zhì)量為m、半徑為R的水平圓盤上，圓盤可無摩擦地繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng).系統(tǒng)原來是靜止的，后來人沿著與圓盤同心，半徑為r(r<R)的圓周走動(dòng)。求：當(dāng)人相對于地面的走動(dòng)速率為v時(shí)圓盤的角速度為多大？

解：選地面為慣性參照系，對于轉(zhuǎn)軸，人與圓盤組成的系統(tǒng)

角動(dòng)量守恒.圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為或人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為負(fù)號表示圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)方向和人的走動(dòng)方向相反。練習(xí)有一半徑為R的水平圓轉(zhuǎn)臺，可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，開始時(shí)轉(zhuǎn)臺以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)有一質(zhì)量為m的人站在轉(zhuǎn)臺中心．隨后人沿半徑向外跑去，當(dāng)人到達(dá)轉(zhuǎn)臺邊緣時(shí)，轉(zhuǎn)臺的角速度為

(A)．(B)．(C)．(D)

．［A］

(A)．(B)．(C)．(D)

．

11.如圖所示，一靜止的均勻細(xì)棒，長為L、質(zhì)量為M，可繞通過棒的端點(diǎn)且垂直于棒長的光滑固定軸O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．一質(zhì)量為m、速率為v的子彈在水平面內(nèi)沿與棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，設(shè)穿過棒后子彈的速率為，則此時(shí)棒的角速度應(yīng)為．(B)(C)(D)(A)

［B］

3.3.2角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

1質(zhì)點(diǎn)相對定點(diǎn)的角動(dòng)量：大小：方向：右手螺旋拇指方向剛體對軸的角動(dòng)量2角動(dòng)量定理

3角動(dòng)量守恒條件：相對于某軸(或點(diǎn)）的合外力矩相對該軸(或點(diǎn)）的角動(dòng)量守恒對定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角動(dòng)量與正方向相同為正，相反的取負(fù).我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么？方向：沿軸看一下自我學(xué)習(xí)效果！1剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于其平動(dòng)動(dòng)能嗎？2一個(gè)剛體即有平動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)，其動(dòng)能如何計(jì)算？

不等于平動(dòng)動(dòng)能加上轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.3.4

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能和動(dòng)能定理3.4.1力矩的功過程中，力矩做的總功為z

O?3.4.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能3.4.3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

剛體在任一過程中動(dòng)能的增量，等于在該過程中作用在剛體上所有外力矩所作功的總和。例3.7一質(zhì)量為m，長為L的均質(zhì)細(xì)桿繞其一端在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿與水平面之間的摩擦系數(shù)為.若開始時(shí)，桿的角速度為，求：（1）桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的摩擦阻力矩；（2）桿從開始轉(zhuǎn)動(dòng)到最后停止阻力矩所做的功.分析：（1）桿由質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，其上各質(zhì)點(diǎn)位置不同，力臂不同則所受力矩不同。建坐標(biāo)如圖（2）根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理，阻力矩所做的功為任取質(zhì)元所受力矩：3.4.3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理3.4.4剛體一般運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能

剛體一般運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能=平動(dòng)動(dòng)能+轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

剛體的機(jī)械能剛體重力勢能質(zhì)心對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立3.4.5剛體的重力勢能系統(tǒng)的機(jī)械能守恒條件：

m

解：將子彈視為質(zhì)點(diǎn)，由子彈和細(xì)桿組成的系統(tǒng)在碰撞瞬間角動(dòng)量守恒。

例3-10

一長l，質(zhì)量為M的細(xì)桿，可繞水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)桿自然地豎直懸垂。現(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入桿中點(diǎn)，求細(xì)桿開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度;即可擺到的最大角度。碰前：細(xì)桿對軸O的角動(dòng)量子彈對軸O的角動(dòng)量碰后：細(xì)桿對軸O的角動(dòng)量子彈對軸O的角動(dòng)量由角動(dòng)量守恒定律，有

解得細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

由子彈和細(xì)桿組成的系統(tǒng)在上擺過程中機(jī)械能守恒

練習(xí)一根長為

l

，質(zhì)量為m

的均勻細(xì)直棒，可繞軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置靜止。求它由此下擺

角時(shí)的

.Olm

C解：根據(jù)機(jī)械能守恒3.4.4剛體的重力勢能2動(dòng)能定理3

剛體重力勢能質(zhì)心的相對參考點(diǎn)高度1

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能4系統(tǒng)的機(jī)械能守恒條件：

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么？章末總結(jié)角速度：角加速度：方向：方向：角量與線量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：角速度的正負(fù)表示方向.可沿轉(zhuǎn)軸設(shè)正方向，右手螺旋拇指方向沿轉(zhuǎn)軸章末總結(jié)2.力F相對O點(diǎn)力矩：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么？3.力F相對z軸力矩：大?。貉剞D(zhuǎn)軸，與所引起轉(zhuǎn)動(dòng)方向成右手螺旋.方向：d力臂d：轉(zhuǎn)軸到力的作用線的垂直距離4.相對定軸的合力矩與正方向相同的力矩取正值，相反的取負(fù)值.1什么情況下所施加的力無力矩（零力矩）：

對定軸：

對固定點(diǎn)：

當(dāng)力的作用線通過該點(diǎn)。當(dāng)力的作用線與軸平行或相交時(shí)，該力對剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不影響，相對于該軸的力矩為零。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么？5.轉(zhuǎn)動(dòng)定律6轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J：質(zhì)量連續(xù)分布：單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：平行軸定理zdCmz'影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小的因素:總質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸的位置

1.隔離物體，分析受力：質(zhì)點(diǎn)畫出所的有力；剛體畫出相對于同一轉(zhuǎn)軸有力矩的力。2.設(shè)定正方向（轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)的正方向要一致,如運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍?。對于質(zhì)點(diǎn)，將力分解在相互垂直的方向上，求每個(gè)垂直方向上的合力，根據(jù)牛頓第二定律列出表達(dá)式。對于剛體，求相對于同一轉(zhuǎn)軸的合力矩，并應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律。3.根據(jù)運(yùn)動(dòng)定律寫出表達(dá)式剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題7

質(zhì)點(diǎn)相對定點(diǎn)的角動(dòng)量：大?。悍较颍河沂致菪粗阜较颍惐绒D(zhuǎn)動(dòng)角速度方向.剛體對軸的角動(dòng)量2角動(dòng)量定理

8角動(dòng)量守恒條件：相對于某軸(或點(diǎn)）的合外力矩相對該軸(或點(diǎn)）的角動(dòng)量守恒對定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角動(dòng)量與正方向相同為正，相反的取負(fù).我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么？方向：沿軸10動(dòng)能定理11

剛體重力勢能質(zhì)心的相對參考點(diǎn)高度9

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能12系統(tǒng)的機(jī)械能守恒條件：

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么？運(yùn)動(dòng)定律

動(dòng)量角動(dòng)量動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律動(dòng)能定理

動(dòng)能定理機(jī)械能守恒定律條件：（或只有保守力作功）質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1.一長為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng).由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉(zhuǎn)動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成角時(shí)的角加速度和角速度.2.一人手拿兩個(gè)啞鈴，兩臂平伸并繞右足尖旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，角速度為。若此人突然將兩臂收回，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變?yōu)镴/3。如忽略摩擦力，求：此人收臂后的動(dòng)能與收臂前的動(dòng)能之比。解題指導(dǎo)與典型習(xí)題分析一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題，大致有三種類型題。其解題基本步驟歸納為：首先分析各物體所受力和力矩情況，然后根據(jù)已知條件和所求物理量判斷應(yīng)選用的規(guī)律，最后列方程求解。第一類：求剛體轉(zhuǎn)動(dòng)某瞬間的角加速度，一般應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解。如質(zhì)點(diǎn)和剛體組成的系統(tǒng)，對質(zhì)點(diǎn)列牛頓運(yùn)動(dòng)方程，對剛體列轉(zhuǎn)動(dòng)定律方程，再列角量和線量的關(guān)聯(lián)方程，并聯(lián)立求解。第二類：求剛體與質(zhì)點(diǎn)的碰撞、打擊問題。把它們選作一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)所受合外力矩常常等于零，所以系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。列方程時(shí)，注意系統(tǒng)始末狀態(tài)的總角動(dòng)量中各項(xiàng)的正負(fù)。對在有心力作用下繞力心轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)問題，可直接用角動(dòng)量守恒定。第三類：在剛體所受的合外力矩不等于零時(shí)，比如木桿擺動(dòng)，受重力矩作用，求角速度等一般應(yīng)用剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理求解。對于僅受保守力矩作用的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題，也可用機(jī)械能守恒定律求解。

另外：實(shí)際問題中常常有多個(gè)復(fù)雜過程，要分成幾個(gè)階段進(jìn)行分析，分別列出方程，進(jìn)行求解。三、解題指導(dǎo)與典型習(xí)題分析若已知角速度或角加速度及初始條件，求運(yùn)動(dòng)方程可用積分法1、運(yùn)動(dòng)學(xué)問題Problemofkinematicsofarigidbody

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，只涉及圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述及角量和線量的關(guān)系。

若已知運(yùn)動(dòng)方程，求角速度或角加速度等，可用微分法解：已知角位置，求角速度和角加速度，用導(dǎo)數(shù)：飛輪作變加速轉(zhuǎn)動(dòng)練：1.一飛輪在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)過弧度，式中a、b、c都是常量，求它的角加速度。2.均勻細(xì)棒OA可繞通過其一端O而與棒垂直的水平固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，今使棒從水平位置由靜止開始自由下擺，在棒擺動(dòng)到豎直位置的過程中，下述情況哪一種說法是正確的？

A．角速度從小到大，角加速度從大到?。?/p>

B．角速度從小到大，角加速度從小到大；

C．角速度從大到小，角加速度從大到小；

D．角速度從大到小，角加速度從小到大。[A]3.關(guān)于剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，下列說法中正確的是（A）只取決于剛體的質(zhì)量,與質(zhì)量的空間分布和軸的位置無關(guān)．（B）取決于剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布，與軸的位置無關(guān)．（C）取決于剛體的質(zhì)量、質(zhì)量的空間分布和軸的位置．（D）只取決于轉(zhuǎn)軸的位置，與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布無關(guān)。［C］4.如把轉(zhuǎn)軸由細(xì)桿質(zhì)心處平行地移動(dòng)L（L為桿長），則細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由

變?yōu)?/p>

A.

B.

C.

D.[C]5.一長為1m的均勻直棒可繞過其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)．抬起另一端使棒向上與水平面成60°，然后無初轉(zhuǎn)速地將棒釋放．已知棒對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，其中m和l分別為棒的質(zhì)量和長度．求：(1)放手時(shí)棒的角加速度；(2)棒轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)的角加速度．解：（1）設(shè)棒的質(zhì)量為m，當(dāng)棒與水平面成60°角并開始下落時(shí)，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律其中

于是6.均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m、半徑為R，與水平面間摩擦系數(shù)為，求（1）圓盤繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)中所受的阻力矩；（2）從以

0

開始在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng),到圓盤靜止所需時(shí)間。解取一圓環(huán)狀質(zhì)元由轉(zhuǎn)動(dòng)定律摩擦力矩

R8.花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員繞過自身的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)兩臂伸開，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0，角速度為，然后她將兩臂收回，使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減少為，這時(shí)她轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變?yōu)閇C

]9.一質(zhì)量為m的人站在一質(zhì)量為m、半徑為R的水平圓盤上，圓盤可無摩擦地繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。系統(tǒng)原來是靜止的，后來人沿著與圓盤同心，半徑為的圓周走動(dòng)。求：當(dāng)人相對于地面的走動(dòng)速率為時(shí)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多大？解：對于轉(zhuǎn)軸，人與圓盤組成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為選地面為慣性參照系，根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，有其中，代入上式得負(fù)號表示圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)方向和人的走動(dòng)方向相反。人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

10.有一半徑為R的水平圓轉(zhuǎn)臺，可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，開始時(shí)轉(zhuǎn)臺以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)有一質(zhì)量為m的人站在轉(zhuǎn)臺中心．隨后人沿半徑向外跑去，當(dāng)人到達(dá)轉(zhuǎn)臺邊緣時(shí)，轉(zhuǎn)臺的角速度為

(A)．(B)．(C)．(D)

．［A］

(A)．(B)．(C)．(D)

．

11.如圖所示，一靜止的均勻細(xì)棒，長為L、質(zhì)量為M，可繞通過棒的端點(diǎn)且垂直于棒長的光滑固定軸O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．一質(zhì)量為m、速率為v的子彈在水平面內(nèi)沿與棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，設(shè)穿過棒后子彈的速率為，則此時(shí)棒的角速度應(yīng)為．(B)(C)(D)(A)

［B］

12如圖所示，一勻質(zhì)細(xì)桿可繞通過上端與桿垂直的水平光滑固定軸O旋轉(zhuǎn)，初始狀態(tài)為靜止懸掛．現(xiàn)有一個(gè)小球自左方水平打擊細(xì)桿．設(shè)小球與細(xì)桿之間為非彈性碰撞，則在碰撞過程中對細(xì)桿與小球這一系統(tǒng)(A)只有機(jī)械能守恒．(B)只有動(dòng)量守恒．(C)只有對轉(zhuǎn)軸O的角動(dòng)量守恒．(D)機(jī)械能、動(dòng)量和角動(dòng)量均守恒。［C］例如圖，一長為l,質(zhì)量為M的桿可繞支點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m，速率為v0的子彈，射入距支點(diǎn)為a的桿內(nèi)，若桿的偏轉(zhuǎn)角

=300，求子彈的初速率v0。解：此題分兩個(gè)階段，第一階段，子彈射入桿中，擺獲得角速度，尚未擺動(dòng)，子彈和擺組成的系統(tǒng)所受外力對O點(diǎn)的力矩為零，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：第二階段，子彈在桿中，與擺一起擺動(dòng)，以