用數(shù)學(xué)改變?nèi)松夸汿OC\h\h1像數(shù)1，2，3那樣簡(jiǎn)單\h2如果沒(méi)成功，那就多試幾次\h3收藏，收藏，瘋狂地收藏\h4快思考還是慢思考？\h5勇敢探索未曾抵達(dá)的疆域\h6數(shù)學(xué)與藝術(shù)永不相遇嗎？\h7各就各位，預(yù)備，開始做飯！\h8什么樣的音樂(lè)讓我們更想聆聽？\h9符合數(shù)學(xué)的，就適合運(yùn)動(dòng)\h10錢，錢，錢\h11貪婪是個(gè)好東西\h12好得讓人難以置信？\h13莊家永遠(yuǎn)是贏家\h14請(qǐng)將手指放在搶答器上\h15我離不開朋友們的幫助\h16就該在愛情中如此幸運(yùn)\h17把每分每秒用到極致\h章后趣味問(wèn)答解密1像數(shù)1，2，3那樣簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)、排序和處理數(shù)據(jù)的基本工具那是1993年冬天，占據(jù)各大音樂(lè)排行榜榜首位置的是密特·勞弗的《為了愛，我愿意做任何事》（I’dDoAnythingforLove）。當(dāng)時(shí)，我還是一名9歲的小男孩，身上穿著有點(diǎn)兒偏大的連帽冬裝，站在操場(chǎng)上，手里拿著我最珍貴的財(cái)產(chǎn)——梅林英超1993—1994賽季足球球星貼紙收藏冊(cè)。對(duì)于20世紀(jì)90年代在倫敦東區(qū)長(zhǎng)大的孩子來(lái)說(shuō)，操場(chǎng)上的通用語(yǔ)言是足球，而流通貨幣則是球星貼紙。“這個(gè)我有，這個(gè)我有，這個(gè)我有，這個(gè)我要?！边@是我和其他孩子交換貼紙時(shí)掛在嘴邊的話?？吹揭呀?jīng)收藏的貼紙，我就會(huì)心平氣和地說(shuō)“這個(gè)我有”；但一旦看到我還沒(méi)有收集到的貼紙，我就會(huì)興奮地脫口而出：“這個(gè)我要！”每到周五下午，宣告周末到來(lái)的鈴聲一響起，我通常就會(huì)沖向街角的商店，掏出我僅有的幾英鎊零花錢，買回幾包價(jià)格虛高的貼紙。我的朋友們不僅交換貼紙，還經(jīng)常猜測(cè)哪些球員會(huì)是理想的轉(zhuǎn)會(huì)人選。雖然布萊克本的高產(chǎn)射手阿蘭·希勒更適合亞歷克斯·弗格森為曼聯(lián)打造的鋒線，但在孩子們的夢(mèng)想世界中，希勒可能會(huì)出現(xiàn)在西漢姆聯(lián)的厄普頓公園球場(chǎng)上。貼紙世界與真實(shí)世界顯然有所不同！這是數(shù)字第一次在我的社會(huì)生活中扮演某種角色。當(dāng)然，我第一次與數(shù)字打交道是數(shù)數(shù)：1，2，3……它給我?guī)?lái)的是一種非常簡(jiǎn)單的快樂(lè)。但在這個(gè)新的貼紙世界中，我才第一次發(fā)現(xiàn)數(shù)字起到了非常重要的作用。我與小伙伴們聊到足球時(shí)，經(jīng)常會(huì)做出一些毫無(wú)根據(jù)的斷言，比如，我斷定阿森納的射手伊恩·賴特比南安普頓的馬特·勒蒂西耶效率更高。但是，我引用數(shù)字時(shí)的那份自信幫助我贏得了他們的認(rèn)同。我知道這兩個(gè)前鋒在之前的聯(lián)賽中都進(jìn)了15個(gè)球，這一事實(shí)使我的觀點(diǎn)更加可信。我記得，每次交換到新的貼紙后，我就會(huì)拿著貼紙冊(cè)跑回家，興沖沖地在微軟電子表格（Excel）的主工作表中輸入所有新貼紙上面的信息。例如，收集到曼聯(lián)前鋒埃里克·坎通納的貼紙后，我輸入了他的詳細(xì)個(gè)人信息（身高1.86米，體重81千克）和他的表現(xiàn)數(shù)據(jù)（33次出場(chǎng)；2次替補(bǔ)；15個(gè)進(jìn)球，其中右腳打進(jìn)10個(gè)，左腳打進(jìn)1個(gè)，還有4個(gè)頭球）。幾年后，我已經(jīng)是一名中學(xué)生了，但我還沒(méi)有放棄這一興趣愛好。不過(guò)，我開始使用效率更高的微軟數(shù)據(jù)庫(kù)管理系統(tǒng)軟件（Access）來(lái)完成同樣的工作，輸入的數(shù)據(jù)包括球員的姓名、首發(fā)位置、身高，還有他前一年的數(shù)據(jù)，比如出場(chǎng)和進(jìn)球情況。有了這些，我就能對(duì)球員做出更準(zhǔn)確的評(píng)估。如果西漢姆聯(lián)球迷想要找出身高超過(guò)1.83米、上個(gè)賽季出場(chǎng)次數(shù)超過(guò)20場(chǎng)的后衛(wèi)，我只要在Excel中輸入一個(gè)快速排序公式，就會(huì)產(chǎn)生神奇的效果。不費(fèi)吹灰之力，我就可以列出符合條件的球員名單。我發(fā)現(xiàn)，由于利用電子表格可以輕輕松松地根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)（身高、進(jìn)球數(shù)和出場(chǎng)次數(shù)）對(duì)球員進(jìn)行排序，本來(lái)異常復(fù)雜的情況一下子變得有跡可循了。于是，盡管球員令人眼花繚亂的球技和持球時(shí)的那份自信會(huì)給我留下深刻的主觀印象，但數(shù)字仍然提供了一些相對(duì)客觀的比較標(biāo)準(zhǔn)。借助一些基本的數(shù)據(jù)處理技術(shù)（比如求平均值、中位數(shù)和眾數(shù)），本來(lái)看起來(lái)毫無(wú)意義的數(shù)字（例如各個(gè)球員的身高）在我眼中變得生動(dòng)起來(lái)，使我可以權(quán)衡這些球員孰優(yōu)孰劣。我可以回答朋友們提出的問(wèn)題，比如“哪支球隊(duì)的平均身高在聯(lián)盟中排第一？”或者“哪支球隊(duì)的中場(chǎng)進(jìn)球最多？”，讓朋友們一下子對(duì)我欽佩不已。只要在電子表格中點(diǎn)擊幾下，就可以輕松地找到答案。我沒(méi)有將自己對(duì)足球的這種客觀分析轉(zhuǎn)化為商業(yè)行為或許是錯(cuò)失了一大良機(jī)——現(xiàn)在OptaSports等公司已經(jīng)因?yàn)檫@項(xiàng)業(yè)務(wù)取得了成功！數(shù)字在一個(gè)充滿猜想的世界里給了我一種“了然于胸”的感覺。就像史努比漫畫里萊納斯的安全毯一樣，數(shù)字也是我成長(zhǎng)過(guò)程中的一塊基石。實(shí)際上，我對(duì)數(shù)據(jù)確定性的感知可以追溯到我在1991年收到的一份圣誕禮物，比那本英超貼紙收藏冊(cè)還要早兩年。我收到的是一本書——拉塞爾·阿什（RussellAsh）的《全世界“十大”博覽（1992）》。從我小心翼翼地打開禮物包裝紙的那一刻起，我就開始如饑似渴地瀏覽書中列出的各類“十大”，包括世界上最高的十座建筑，票房收入最高的十部電影，遷徙路線最長(zhǎng)的十個(gè)物種，等等。你隨便說(shuō)一個(gè)主題，無(wú)論是天文學(xué)、藝術(shù)，還是食品、飲料和音樂(lè)，我都可以飛快地背出一個(gè)個(gè)榜單（盡管我或許還不太明白這些數(shù)字背后的含義）。1992年的巴塞羅那夏季奧運(yùn)會(huì)使我第一次看到，數(shù)字可以用一種令人神往的方式，直觀地表現(xiàn)出年輕運(yùn)動(dòng)員處于巔峰狀態(tài)的體能：英國(guó)代表隊(duì)的隊(duì)長(zhǎng)林福德·克里斯蒂以9.96秒的成績(jī)勇奪100米短跑金牌；卡爾·劉易斯在史詩(shī)般的男子跳遠(yuǎn)決賽中以3厘米的優(yōu)勢(shì)險(xiǎn)勝邁克·鮑威爾；拉維尼婭·米洛索維奇的自由體操成套動(dòng)作令觀眾如癡如醉，也為她贏得了滿分10.0分。那時(shí)候的我還是個(gè)小男孩，四腳朝天地躺在客廳的地板上，大口吃著消化餅干，全神貫注地盯著那些比賽。我開始慢慢地明白，數(shù)字是一種計(jì)算大小和進(jìn)行排序的方法，可以確定誰(shuí)是贏家，誰(shuí)是輸家。我的眼前浮現(xiàn)出大量的數(shù)字，對(duì)那些相互競(jìng)爭(zhēng)的對(duì)手和國(guó)家進(jìn)行排名或排序，試圖客觀地量化似乎與學(xué)校里的數(shù)學(xué)課沒(méi)有任何關(guān)系的那些東西。我早就深深地喜歡上了數(shù)字，不僅包括課堂上的數(shù)字，也包括在現(xiàn)實(shí)生活中接觸到的那些數(shù)字。你或許會(huì)問(wèn)：“數(shù)字真的有那么重要嗎？數(shù)字從何而來(lái)？把一堆事物排序，然后處理成簡(jiǎn)潔明了的信息，到底有什么意義呢？”起初，上帝創(chuàng)造了天和地，但如果你問(wèn)我上帝是什么時(shí)候創(chuàng)造數(shù)字的，我可以告訴你答案是之后不久，因?yàn)樯系坌枰诘?天休息一天。有證據(jù)表明，在出生后的幾個(gè)小時(shí)內(nèi)，嬰兒就開始形成對(duì)數(shù)字的抽象表達(dá)能力。我們?nèi)祟愓窃谶@個(gè)抽象階段超越地球上大多數(shù)物種的。許多動(dòng)物確實(shí)也能以一種非常原始的方式區(qū)分“多”“少”的概念，但人類這個(gè)物種已經(jīng)在很大程度上超越了狩獵采集者這個(gè)身份，進(jìn)入了更先進(jìn)的文明（可以在臉譜網(wǎng)上瀏覽可愛的貓咪視頻）。但對(duì)亞馬孫雨林深處的毗拉哈部落來(lái)說(shuō)，他們的生活方式仍然和古時(shí)候一模一樣。他們的計(jì)數(shù)系統(tǒng)只能數(shù)“1”“2”，然后就是“很多”了。與之類似，居住在坦桑尼亞境內(nèi)、東非大裂谷中部附近的非洲哈扎部落最多也只能數(shù)到3。這兩個(gè)部落的群體生活似乎不需要使用諸如107這樣具體的大數(shù)。但絕大多數(shù)人類都會(huì)更進(jìn)一步，通過(guò)加、減、乘、除等簡(jiǎn)單的算術(shù)運(yùn)算，在抽象的數(shù)字概念之間建立各種各樣的聯(lián)系。在沒(méi)有發(fā)生突變的情況下，人類出生時(shí)就有10根手指，這些手指簡(jiǎn)直就是老天為我們準(zhǔn)備的算盤。因此，許多文明發(fā)展出了十進(jìn)制（以10為基數(shù)的）計(jì)數(shù)系統(tǒng)，并不是一種巧合。英語(yǔ)中表示數(shù)字的詞來(lái)自拉丁語(yǔ)的“digitus”，原意是手指。曾經(jīng)有學(xué)生問(wèn)我，如果人類出生時(shí)都像忍者神龜一樣，每只手只有3根手指，會(huì)怎么樣呢？如果總共有6根手指，那么人類或許會(huì)發(fā)展出一個(gè)以6為基數(shù)的計(jì)數(shù)系統(tǒng)——或許我們還會(huì)生下來(lái)就喜歡吃比薩，而且喜歡表演虎虎生風(fēng)的武術(shù)動(dòng)作！下面我來(lái)解釋一下基數(shù)到底是干什么的。十進(jìn)制計(jì)數(shù)系統(tǒng)是我們都熟悉的，它以10為一組，利用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)符號(hào)表示我們知道的所有整數(shù)。然后，我們以10為單位，把數(shù)字分成不同的批量（例如10，20，30，100，500，100000等），這些批量都可以被基數(shù)10整除。從我們使用的集合名詞（比如年代、世紀(jì)、千年）中，就可以看出這個(gè)特點(diǎn)。有趣的是，我們認(rèn)為理所當(dāng)然的集合名詞，比如板球中的100分或《全世界“十大”博覽》中的“十”，都來(lái)自我們的主觀選擇，基于我們的十進(jìn)制系統(tǒng)。對(duì)于忍者神龜來(lái)說(shuō)，出版《全世界“六大”博覽》同樣是很自然的事（在這個(gè)平行宇宙里，年輕的忍者神龜羅伯托也會(huì)慢慢喜歡上數(shù)學(xué)，還會(huì)喜歡上編制以6為單位的各種清單）！如果我們以6為基數(shù)，那么我們的計(jì)數(shù)將遵循以下順序：0，1，2，3，4，5，然后就會(huì)進(jìn)位到10（在這套系統(tǒng)中就是6），11，12，13，14，15，再然后進(jìn)位到20（這個(gè)計(jì)數(shù)系統(tǒng)中的20等于我們使用的十進(jìn)制系統(tǒng)中的12）。所以，下次你在購(gòu)買價(jià)格為10英鎊的西漢姆聯(lián)隊(duì)觀賽指南時(shí)，不妨試試這個(gè)：你可以付給對(duì)方6英鎊，然后告訴他你不同意英鎊以10為基數(shù)。當(dāng)然，你要做好隨時(shí)逃跑的準(zhǔn)備！酒吧問(wèn)答游戲中經(jīng)常問(wèn)到的一個(gè)問(wèn)題是哪個(gè)國(guó)家現(xiàn)在使用的語(yǔ)言種類最多（不包括方言，否則倫敦就有可能勝出）。根據(jù)2018年的“民族語(yǔ)：世界語(yǔ)言”研究，巴布亞新幾內(nèi)亞——位于澳大利亞北邊，占據(jù)了地球上第二大島嶼東部的國(guó)家是這個(gè)紀(jì)錄的擁有者，一共有841種語(yǔ)言。據(jù)說(shuō)這個(gè)國(guó)家的各個(gè)部落擁有的計(jì)數(shù)系統(tǒng)數(shù)量也最多，大約有900種（這也許并非巧合）。在阿蘭布拉克語(yǔ)（Alamblak）中，只有1，2，5和20這四個(gè)數(shù)有專門的詞表示，其他所有的數(shù)字都是由這些詞構(gòu)成的。另一種語(yǔ)言——奧克薩普明語(yǔ)（Oksapmin）使用的基數(shù)是27，因?yàn)樗麄兪褂?7個(gè)身體部位幫助計(jì)數(shù)。需要表示大于27的數(shù)時(shí)，他們就會(huì)用“1人”來(lái)表示進(jìn)位量。因此，50這個(gè)數(shù)用“1人”（27）和“左手拇指”（23）來(lái)表示。在人類早期歷史中，人們通過(guò)在木條或石頭上刻畫凹痕的方法來(lái)記錄一些東西（可能是谷物或者其他食物的數(shù)量），這是他們自然而然就能想到的辦法。他們把每10個(gè)東西歸為一組，用一個(gè)符號(hào)表示一組，重復(fù)使用表示有多組。表示10的符號(hào)之后再跟著一系列重復(fù)的表示1的符號(hào)。比方說(shuō)，古埃及人用豎線表示1，用仿佛是一頂高帽子的符號(hào)“^”表示10。由于他們習(xí)慣于從右向左書寫，因此數(shù)字25就會(huì)被寫成IIIII^^。與之不同的是，巴比倫人的數(shù)字系統(tǒng)使用60作為基數(shù)，因此從1到59的每一個(gè)數(shù)字都要使用不同的符號(hào)表示（就好像在我們使用的十進(jìn)制系統(tǒng)中，1到9都有專門的數(shù)字）。直到今天，巴比倫人使用的60進(jìn)制仍然影響著我們，尤其體現(xiàn)在我們的時(shí)間系統(tǒng)（角度測(cè)量中的秒與分以60為單位進(jìn)行換算）和幾何學(xué)（三角形內(nèi)角和為180度，圓的一周為360度）中。巴比倫人提出的最實(shí)用的概念是“位值”，即數(shù)字因?yàn)樵谛蛄兄械奈恢貌煌硎静煌闹?。?44這個(gè)數(shù)為例，從左到右的三個(gè)4根據(jù)它在這個(gè)數(shù)中出現(xiàn)的位置不同，分別表示400、40和4。這在我們看來(lái)很平常，但對(duì)于巴比倫人而言，這是一個(gè)革命性的突破。接下來(lái)的一個(gè)飛躍是數(shù)字0的發(fā)明，這個(gè)發(fā)明似乎于公元前3世紀(jì)前后發(fā)生在我的祖先所在地——印度。今天，憑借由0和1構(gòu)成的二進(jìn)制系統(tǒng)（以2為基數(shù)），計(jì)算機(jī)正以驚人的速度把我們每個(gè)人聯(lián)系在一起。數(shù)數(shù)對(duì)我們來(lái)說(shuō)是一件再自然不過(guò)的事，在我們周圍隨處可見，甚至在我們的流行音樂(lè)文化中也是如此。從小，我們就會(huì)接觸“一二三四五，上山打老虎”和“一，二，系好鞋帶兒”這些經(jīng)典的童謠。隨著孩子們開始接觸成人音樂(lè)，數(shù)字在歌詞中仍然極為常見。例如，由喜劇演員轉(zhuǎn)型為說(shuō)唱歌手的“大鯊魚”（BigShaq）2017年的熱門歌曲《男人不熱》（Man’sNotHot），在一開頭就唱道：“二加二等于四，四減一等于三，這是小學(xué)數(shù)學(xué)。”確定好數(shù)字之后，就可以進(jìn)行比較了。如果我有2輛玩具車，而我表弟有4輛玩具車，我就可以確定我還得有2輛玩具車，才會(huì)和表弟擁有的一樣多。在這個(gè)基礎(chǔ)上，我們可以對(duì)每個(gè)人按照擁有的物品進(jìn)行逐項(xiàng)排序了（例如，按照擁有的汽車數(shù)量排序）。我們可以利用各種各樣的統(tǒng)計(jì)技術(shù)，來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)所代表的含義。首先，我們從自然數(shù)（1，2，3等用于計(jì)數(shù)的數(shù)字）開始，學(xué)習(xí)最基本的數(shù)字。接著，我們開始理解負(fù)數(shù)和0（-3，-2，-1，0，1，2，3），并逐漸擴(kuò)展到所有整數(shù)。不僅如此，我們還可以進(jìn)一步深入到有理數(shù)（可以表示為分?jǐn)?shù)的數(shù)）的世界，然后是無(wú)理數(shù)、不盡根數(shù)、質(zhì)數(shù)（也稱素?cái)?shù)）……不過(guò)，這就是另一段旅程了。但現(xiàn)在我忍不住要討論一下質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù)是數(shù)學(xué)的基本組成要素，就像化學(xué)中的原子或藝術(shù)家的調(diào)色板一樣。質(zhì)數(shù)包括2，3，5，7，11，13等，是指大于1且只能被1和它本身整除的數(shù)。17是質(zhì)數(shù)，因?yàn)樗荒鼙?和17整除；而10不是質(zhì)數(shù)，因?yàn)樗?和10以外，還可以被2和5整除。質(zhì)數(shù)之所以令人著迷，部分原因在于所有大于1的非質(zhì)數(shù)（合數(shù)）都可以表示為質(zhì)數(shù)的乘積。例如，30可以寫成2×3×5，2、3和5都是質(zhì)數(shù)。同樣地，123456789可以表示成3×3×3607×3803。質(zhì)數(shù)不僅帶給我們數(shù)學(xué)的美感，還為現(xiàn)代技術(shù)的安全性奠定了基礎(chǔ)。很多加密算法的安全性都是基于質(zhì)數(shù)的一個(gè)特點(diǎn)：兩個(gè)很大的質(zhì)數(shù)和乘積很容易計(jì)算，但是這個(gè)過(guò)程的逆向過(guò)程極為困難（即使借助計(jì)算機(jī)，也不容易解決）。對(duì)于比較小的數(shù)（如21=3×7），把它分解成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積很容易。但是要找到一個(gè)非常大的數(shù)是由哪兩個(gè)（或多個(gè)）質(zhì)數(shù)相乘而得，就不是那么容易了。事實(shí)上，尋找一種能夠快速執(zhí)行該任務(wù)的算法是計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域最大的未決問(wèn)題之一。到目前為止，數(shù)學(xué)家一直無(wú)法推導(dǎo)出可以高效地將大數(shù)分解成質(zhì)數(shù)的公式。對(duì)于24這樣的小數(shù)字，我們可以很容易地完成質(zhì)因數(shù)分解并得出2×2×2×3這個(gè)結(jié)果。我們也可以借助某些技術(shù)將大數(shù)分解成質(zhì)數(shù)，但如果我們對(duì)400或500位的數(shù)使用這些方法，那么即使是世界上最先進(jìn)的計(jì)算機(jī)，也要花長(zhǎng)到難以想象的時(shí)間才能完成這項(xiàng)任務(wù)。這里所說(shuō)的“長(zhǎng)到難以想象的時(shí)間”，是指比地球年齡還要長(zhǎng)的時(shí)間。對(duì)于一個(gè)非常大的數(shù)來(lái)說(shuō)，質(zhì)因數(shù)分解所需的時(shí)間可能比宇宙存在的時(shí)間還要長(zhǎng)。因此，下次你發(fā)送安全的即時(shí)通信軟件WhatsApp消息、進(jìn)行在線交易或者使用自動(dòng)柜員機(jī)時(shí)，要記得，為你提供保護(hù)的很可能就是大質(zhì)數(shù)乘法。即使是在自然界，質(zhì)數(shù)也能發(fā)揮它的影響力。美國(guó)東部有一些蟬類昆蟲，每隔7年、13年或17年就會(huì)破土而出。它們通過(guò)演化自然形成了這種節(jié)奏，利用間隔質(zhì)數(shù)年露面的方式來(lái)盡量減少與捕食者遭遇的機(jī)會(huì)。昆蟲學(xué)家斯蒂芬·杰·古爾德在他1977年出版的暢銷書《自達(dá)爾文以來(lái)》（EverSinceDarwin）中解釋說(shuō)，這些昆蟲的潛在捕食者的生命周期通常為2~5年。如果捕食者的生命周期為5年，而蟬每15年出現(xiàn)一次，那么蟬每一次破殼而出時(shí)都會(huì)遭遇捕食者的捕殺。但是，如果蟬出現(xiàn)的周期是比較大的質(zhì)數(shù)，那么它們正好遇到捕食者的可能性就會(huì)大大減小。例如，假設(shè)蟬的周期為17年，那么它們每85年才會(huì)與捕食者遭遇一次（85=17×5）。由于13和17是質(zhì)數(shù)，如果蟬間隔這么多年出現(xiàn)一次，捕食者就無(wú)法借助任何更小的數(shù)來(lái)追蹤它們的生命周期。這些昆蟲利用質(zhì)數(shù)來(lái)增加它們的生存機(jī)會(huì)，的確是一件非常了不起的事。最近，我在劍橋大學(xué)參加了一次教育學(xué)博士研究生研討會(huì)，內(nèi)容是討論數(shù)學(xué)教育方面的研究進(jìn)展。我的研究方向是理解“數(shù)學(xué)焦慮”產(chǎn)生的原因。另一位博士研究生（他的學(xué)位論文即將最終定稿）分享了他之前擔(dān)任中學(xué)數(shù)學(xué)部主任時(shí)招聘數(shù)學(xué)老師的經(jīng)歷。他快速地接連問(wèn)了我3個(gè)關(guān)于數(shù)據(jù)處理的問(wèn)題，這些是他經(jīng)常問(wèn)求職者的問(wèn)題。第一個(gè)問(wèn)題：“什么是眾數(shù)？”我回答道：“眾數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)值。”第二個(gè)問(wèn)題：“什么是中位數(shù)？”“中位數(shù)是把一組數(shù)據(jù)按升序（也就是從小到大）排列后處于中間位置的那個(gè)值。”最后一個(gè)問(wèn)題是：“什么是平均數(shù)（mean）？”我回答說(shuō)：“平均數(shù)就是用一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)得到的數(shù)?！蔽业暨M(jìn)了一個(gè)經(jīng)典的陷阱。誠(chéng)然，平均數(shù)可以用我提出的那個(gè)方法計(jì)算，但是他問(wèn)我的是平均數(shù)的含義。精確是數(shù)學(xué)研究的要求之一，而我的回答沒(méi)有給出平均數(shù)的確切定義，只是給出了平均數(shù)的計(jì)算過(guò)程。平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的平均值（average），在計(jì)算過(guò)程中可以被視為這組數(shù)據(jù)的中心值。利用平均數(shù)，我們可以用一個(gè)數(shù)值表示一組數(shù)據(jù)。其中的差別是很細(xì)微的，但是如果我們利用上述方式計(jì)算出算術(shù)平均數(shù)，這個(gè)數(shù)值就可以用來(lái)表示這組數(shù)據(jù)?！杜＝蛴⒄Z(yǔ)詞典》將平均值定義為“一組數(shù)據(jù)中表示中心值或典型值的數(shù)字，具體來(lái)說(shuō)，指眾數(shù)、中位數(shù)或者平均數(shù)（其中平均數(shù)最常用）”，其中平均數(shù)可以利用前面介紹的方法計(jì)算出來(lái)。因此，當(dāng)被問(wèn)及某個(gè)公司的平均工資或者某個(gè)國(guó)家的人口平均預(yù)期壽命時(shí)，我們其實(shí)是希望用一個(gè)數(shù)來(lái)表達(dá)這組數(shù)據(jù)（包含公司的全體員工或國(guó)家的所有人口）的典型值。我們通常指的是算術(shù)平均數(shù)，但要謹(jǐn)慎對(duì)待統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，我們必須始終清楚我們使用的是哪個(gè)平均值。因?yàn)槊绹?guó)作家馬克·吐溫等人的緣故，“謊言、該死的謊言和統(tǒng)計(jì)數(shù)字”這個(gè)說(shuō)法在大西洋兩岸廣為流行。馬克·吐溫把這句話的來(lái)源歸于19世紀(jì)的英國(guó)首相本杰明·迪斯雷利，因?yàn)榈纤估桌坪跽f(shuō)過(guò)這樣一句話：“世上有三種謊言：謊言、該死的謊言和統(tǒng)計(jì)數(shù)字?！币虼?，盡管這句話的出處存在爭(zhēng)議，但它傳遞出的信息是，我們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中接觸到數(shù)字時(shí)必須小心謹(jǐn)慎。想象一下，假設(shè)我告訴你有兩個(gè)可選擇的工作機(jī)會(huì)。A公司和B公司各有10名員工，他們的平均年薪都是2.2萬(wàn)英鎊左右。如果你收到了這兩家公司的工作邀請(qǐng)，那么理論上這兩家公司對(duì)你來(lái)說(shuō)應(yīng)該沒(méi)有優(yōu)劣之分。但在這種情況下，知道如何正確使用數(shù)據(jù)和平均值，就會(huì)對(duì)你的決定產(chǎn)生非常重要的影響。首先，這里使用的平均值是算術(shù)平均數(shù)：先計(jì)算出工資總和，再除以員工數(shù)。但是，進(jìn)一步挖掘這些數(shù)據(jù)，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)具有欺騙性：A公司有9名員工每年掙1萬(wàn)英鎊，而老板每年收入是12萬(wàn)英鎊（1萬(wàn)英鎊、1萬(wàn)英鎊、1萬(wàn)英鎊、1萬(wàn)英鎊、1萬(wàn)英鎊、1萬(wàn)英鎊、1萬(wàn)英鎊、1萬(wàn)英鎊、1萬(wàn)英鎊、12萬(wàn)英鎊）。B公司有9名員工每年掙1.5萬(wàn)英鎊，而老板每年收入是8萬(wàn)英鎊（1.5萬(wàn)英鎊、1.5萬(wàn)英鎊、1.5萬(wàn)英鎊、1.5萬(wàn)英鎊、1.5萬(wàn)英鎊、1.5萬(wàn)英鎊、1.5萬(wàn)英鎊、1.5萬(wàn)英鎊、1.5萬(wàn)英鎊、8萬(wàn)英鎊）。這樣一來(lái)，真相就一目了然了。B公司顯然更適合大多數(shù)員工，但平均數(shù)容易讓人產(chǎn)生誤解。在這個(gè)例子中，我們可以借助薪酬的眾數(shù)或中位數(shù)（中位數(shù)更好），做出更好的選擇。B公司的薪酬中位數(shù)是1.5萬(wàn)英鎊，對(duì)你來(lái)說(shuō)顯然是一個(gè)更有利的選擇（當(dāng)然，如果你得到的工作邀請(qǐng)是擔(dān)任首席執(zhí)行官，那就另當(dāng)別論了）。從英國(guó)經(jīng)濟(jì)這個(gè)宏觀角度來(lái)看，這個(gè)例子所反映的微觀問(wèn)題就會(huì)變得非常清晰。2007年，英國(guó)約2/3的勞動(dòng)人口的收入低于薪金的平均數(shù)。此處暫停，思考一下。出現(xiàn)這種情況，就意味著剩下的1/3的勞動(dòng)人口中肯定有一些人的收入超過(guò)了平均水平，而且是遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于平均水平。由于收入分配的緣故，收入極高者使平均數(shù)發(fā)生了扭曲。因此對(duì)于這類數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，平均數(shù)不是一個(gè)有效的度量標(biāo)準(zhǔn)，而薪酬中位數(shù)（處于中間位置的人的收入）更能反映“平均”收入。在我舉的那個(gè)例子中，異常值會(huì)破壞算術(shù)平均數(shù)代表全體人口的可靠性。所以，當(dāng)我們開始學(xué)著數(shù)1，2，3等自然數(shù)的時(shí)候，我們的數(shù)字之旅就開始了。接著，我們遇到了負(fù)數(shù)，學(xué)會(huì)了如何用數(shù)字表示事物之間的關(guān)系，即使我們有的時(shí)候看不到這些事物也不要緊（我們可以看到2輛玩具車，但不能看到-2輛玩具車）。再然后，我們學(xué)會(huì)了對(duì)一組組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，試著找出誰(shuí)跑得更快，哪支足球隊(duì)排名更高，哪所房子更值得買。數(shù)字給了我們一個(gè)客觀的框架，使我們的主觀觀點(diǎn)有據(jù)可依。美國(guó)社會(huì)學(xué)家、民權(quán)活動(dòng)人士W.E.B.杜波依斯有句話說(shuō)得非常好：“掌握了數(shù)字之后，你看到的實(shí)際上就不再是數(shù)字，就像你讀書時(shí)看到的不是單詞一樣。你看到的將是數(shù)字所表示的意義。”趣味問(wèn)答“加雷斯·索斯蓋特的足球到底有多重？”讓英格蘭國(guó)家足球隊(duì)主教練、創(chuàng)造西裝馬甲奇跡的加雷斯·索斯蓋特來(lái)測(cè)試一下你對(duì)統(tǒng)計(jì)平均值概念的掌握程度吧。他給他的英格蘭隊(duì)出了一道數(shù)學(xué)題。索斯蓋特拿出4只足球，交給了他的4名隊(duì)員：隊(duì)長(zhǎng)哈里·凱恩、守門員喬丹·皮克福德，以及表演了電腦游戲《堡壘之夜》中舞蹈的杰西·林加德和德勒·阿里。這些足球的重量與尋常的足球不一樣。索斯蓋特給出了4條提示，然后要求隊(duì)員們計(jì)算出每只足球的重量。提示1：這些足球的平均重量是80克。提示2：3只較重的足球總共重270克。提示3：交給哈里·凱恩的足球最重，交給杰西·林加德的足球最輕，前者的重量是后者的3倍。提示4：重量排在中間的2只足球正好一樣重。這些足球分別有多重？板球運(yùn)動(dòng)中的“100分”，英文為“century”，原意為世紀(jì)?！幷咦⒃臑椤?,2,3,4,5,onceIcaughtafishalive”（一二三四五，有一次我抓住了一條活魚），是用諧音方法幫幼兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的英文順口溜，此處用中文中類似的順口溜代替。——編者注西裝馬甲奇跡：指2018年世界杯期間，索斯蓋特在教練席身穿的西裝馬甲受到廣泛關(guān)注，同款馬甲銷量大增?！幷咦?如果沒(méi)成功，那就多試幾次大數(shù)定律幸運(yùn)的博比在商店開業(yè)“限時(shí)搶”活動(dòng)中拔得頭籌。博比·西格爾用時(shí)99秒，在北大街99便士商店中繞場(chǎng)一周，成為“限時(shí)搶”游戲的贏家。現(xiàn)年27歲的博比來(lái)自東漢姆。他在99秒內(nèi)將37件商品裝進(jìn)了購(gòu)物車，幸運(yùn)地從40名參賽者中脫穎而出。這是2011年12月我們本地報(bào)紙上一篇文章的開頭部分。當(dāng)時(shí)，我所在大街上的一家99便士商店為慶祝開業(yè)，舉辦了一場(chǎng)瘋狂的“限時(shí)搶”競(jìng)賽，參賽者需要在99秒內(nèi)將盡可能多的商品裝到購(gòu)物車中。這篇文章描述的就是我在那場(chǎng)99便士超市掃貨活動(dòng)中的取勝經(jīng)過(guò)！要參加這個(gè)比賽，每名參賽者都要提交一首四行詩(shī)。在商店剪彩時(shí)，獲勝者還將當(dāng)眾朗讀這首詩(shī)。所以，這次比賽不僅是一場(chǎng)幸運(yùn)抽獎(jiǎng)，還需要有一些文藝細(xì)胞。不過(guò)，從我提交的四行詩(shī)就可以看出，它對(duì)文藝水平的要求并不是很高。在12月的一個(gè)干冷的上午，我愉快地（我并沒(méi)有覺得難為情）朗讀了我那首令人不敢恭維的詩(shī)?！秾ふ冶阋素洝繁M管經(jīng)濟(jì)衰退，口袋里沒(méi)錢，但我仍然需要適當(dāng)?shù)匮b裝門面。要找到傳說(shuō)中的甜頭，有時(shí)需要吃很多苦頭！但一旦發(fā)現(xiàn)有人跳樓大甩賣，我就會(huì)感到歡樂(lè)開懷。99便士商店——便宜貨隨處可見！從5歲開始，我就熱衷于參加各種各樣的比賽。我參加的那些比賽，有的毫無(wú)技術(shù)含量可言（例如只需用明信片提交自己的詳細(xì)信息），有的需要查閱一點(diǎn)點(diǎn)資料（例如回答幾個(gè)常識(shí)性問(wèn)題），有的則或多或少需要具備一些技能（例如寫詩(shī)、提交藝術(shù)作品，或者把自己裝扮成自己喜歡的某個(gè)作品中的角色，然后拍一張照片交上去）。值得一提的是，為了做到與眾不同，我把麥片盒子的正面切成兩半，做成了我的明信片。我們當(dāng)?shù)氐泥]遞員一定很困惑，因?yàn)槊扛粢粌蓚€(gè)星期，郵件中就會(huì)出現(xiàn)“玉米片”“卜卜米”“香甜玉米片”等麥片品牌（或當(dāng)時(shí)流行的其他家庭裝早餐麥片品牌）的包裝盒做成的明信片。那段日子我似乎十分走運(yùn)，贏得了一系列令人眼花繚亂的獎(jiǎng)項(xiàng)：在萊斯特廣場(chǎng)的紅地毯上見到了出席自己電影首映式的邁克爾·弗拉特利（以踢踏舞劇《王者之舞》等聞名）；比利時(shí)豪華游；夠我吃一年的巧克力；高配置的筆記本電腦；一年的旅行保險(xiǎn)；一次跳傘的機(jī)會(huì)（我還沒(méi)來(lái)得及使用，它就過(guò)期了）；甚至還有一個(gè)兒童玩偶屋。我獲得的這類獎(jiǎng)項(xiàng)，足有上面提到的20倍之多。這是僥幸嗎？難道幸運(yùn)之神一直在眷顧我嗎？我天生就是一名幸運(yùn)兒?jiǎn)?？我認(rèn)為并非如此。我的朋友們經(jīng)常對(duì)我說(shuō)：“（我們）從來(lái)沒(méi)有贏到過(guò)任何東西。博比，你參加這類競(jìng)賽的運(yùn)氣真是太好了?！笔聦?shí)上，我的“運(yùn)氣”來(lái)自數(shù)學(xué)（具體來(lái)說(shuō)，是一個(gè)名叫概率的數(shù)學(xué)領(lǐng)域）中的大數(shù)定律。簡(jiǎn)單地說(shuō)，嘗試的次數(shù)越多，你就越有可能得到想要的結(jié)果。每當(dāng)我看到天鵝優(yōu)雅地游過(guò)溫莎附近的小河時(shí)，我和大多數(shù)觀察者一樣，都注意到了這些天鵝看起來(lái)是多么優(yōu)雅、多么泰然自若。但我知道，天鵝浸沒(méi)在水面下的兩只腳正在瘋狂地打著轉(zhuǎn)，這樣水面上的動(dòng)作才會(huì)給人一種富有詩(shī)意的錯(cuò)覺。我參加的各類比賽也一樣。旁觀者只看到我取得了一連串的成功，但他們沒(méi)有意識(shí)到在這之前我已經(jīng)參加了幾十次抽獎(jiǎng)活動(dòng)（不過(guò)，參加這些比賽是我的愛好，對(duì)我來(lái)說(shuō)是一種享受，而不是艱難的考驗(yàn)）。早在1993年，《辛普森一家》的某一集就讓9歲的我認(rèn)識(shí)到了概率的巨大作用（實(shí)際上還有無(wú)窮大的巨大作用）。觀看這部美國(guó)卡通片是一種特殊的享受，因?yàn)樗辉谔炜针娨暸_(tái)播出，我只能在去表哥家做客（從我家到表哥家只有步行5分鐘的距離）的時(shí)候看到。在他家的時(shí)候，除了這部卡通片，我可能還會(huì)看一會(huì)兒英超足球聯(lián)賽，吃姑媽做的美味的南印度小吃。在那一集《辛普森一家》中，斯普林菲爾德發(fā)電廠老板伯恩斯先生在一間屋子里關(guān)了1000只猴子，它們正在手忙腳亂地?cái)[弄著1000臺(tái)打字機(jī)。伯恩斯先生希望他們能寫出“人類已知的最偉大的小說(shuō)”。然后，他拿起這些猴子辛辛苦苦打出的稿子讀了起來(lái)：“這是最美好的時(shí)代，這是最糟高的時(shí)代？”在意識(shí)到自己的邪惡計(jì)劃行不通后，他把稿子扔向那只“蠢猴子”。我了解伯恩斯的計(jì)劃背后的理念，并在本地的東漢姆圖書館做了一些研究。東漢姆圖書館是愛德華七世時(shí)代用紅磚砌成的一座漂亮的知識(shí)寶庫(kù)，我年輕時(shí)在那里度過(guò)了許多時(shí)光。在前互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，我只能咨詢圖書管理員，然后翻閱大量圖書，最后才發(fā)現(xiàn)了這個(gè)笑話背后的想法：無(wú)限猴子定理。關(guān)于這個(gè)比喻的最初記載之一來(lái)自1913年的法國(guó)數(shù)學(xué)家埃米爾·博雷爾。該定理稱，如果猴子在打字機(jī)上隨意敲擊鍵盤無(wú)數(shù)次，在其中某個(gè)階段，它會(huì)打出莎士比亞全集或者任何特定文本，甚至是你現(xiàn)在正在讀的這本書?。ㄎ掖_實(shí)建議我的編輯去倫敦動(dòng)物園找出最聰明的猴子，讓它們來(lái)寫這本書，但他拒絕了我的提議，說(shuō)猴子需要無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間，因此可能會(huì)導(dǎo)致這本書無(wú)法如期出版！）無(wú)限猴子這個(gè)比喻代表的是一個(gè)抽象裝置，它可以產(chǎn)生無(wú)窮無(wú)盡的隨機(jī)字符序列。遺憾的是，猴子打出一部完整的作品（例如艾薩克·牛頓在1687年出版的開創(chuàng)性著作《數(shù)學(xué)原理》）的概率非常小，即使是在比宇宙壽命——138億年——還要長(zhǎng)成千上萬(wàn)倍的時(shí)間里，發(fā)生的可能性也非常低（盡管理論上講不是0）。但這條定理傳遞的關(guān)鍵信息是：在時(shí)間足夠長(zhǎng)（甚至比宇宙的年齡還要長(zhǎng)很多倍）、重復(fù)次數(shù)足夠多時(shí)，所有結(jié)果都有可能出現(xiàn)，甚至讓猴子破解數(shù)學(xué)上已知的最復(fù)雜密碼也不是絕對(duì)沒(méi)有可能。這個(gè)定理對(duì)我們有什么意義呢？我認(rèn)為它證明了一個(gè)觀點(diǎn)：如果某件事不太可能發(fā)生（或者用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，它發(fā)生的概率接近0），那么我們可以不斷重復(fù)嘗試，以增加它發(fā)生的可能性，盡管這種可能性仍然很小。重要的是，這意味著如果你堅(jiān)持嘗試某件事足夠長(zhǎng)的時(shí)間，你達(dá)成所愿的可能性就會(huì)越來(lái)越大。這就是為什么我們說(shuō)好運(yùn)來(lái)自堅(jiān)持。你越努力，你就越幸運(yùn)。讓我們回顧一下幾年前發(fā)生的一些事情。2016年確實(shí)是非凡的一年，至少?gòu)臄?shù)學(xué)的角度來(lái)看是這樣。我們見證了英國(guó)脫歐（賠率是5/1）帶來(lái)的政治地震，唐納德·特朗普令人震驚地當(dāng)選美國(guó)總統(tǒng)（在某個(gè)階段賠率一度達(dá)到150/1），以及萊斯特城在英超聯(lián)賽中獲得的令人難以置信的冠軍（賽季開始時(shí)的賠率是5000/1）。這一切是那么不可思議，如果你有遠(yuǎn)見地采用累計(jì)投注的方式，分別用1英鎊博弈這3起事件的理論最佳結(jié)果，現(xiàn)在你就可以躺在金色的加勒比海灘上，在清新的海風(fēng)中吸著古巴雪茄，喝著“椰林飄香”（菠蘿汁朗姆酒），懷里還揣著450萬(wàn)英鎊（此外還有一些零頭，足夠你過(guò)上一段花天酒地的奢華生活）。實(shí)際上，準(zhǔn)確的數(shù)字應(yīng)該是4503906英鎊。為了計(jì)算準(zhǔn)確值，我們把賠率轉(zhuǎn)換成概率。如果你看到一支不太被看好的足球隊(duì)贏得比賽的賠率是5/1，這就表明莊家認(rèn)為你押中的概率是1/6。賠率為150/1、5000/1表示概率分別是1/151和1/5001。由于這些都是理論上相互不影響的事件（除非唐納德·特朗普在秘密資助萊斯特城），所以你可以將所有的概率相乘——（1/6）×（1/151）×（1/5001），得到的組合概率（也就是所謂的累計(jì)投注押中的概率）為1/4503906。盡管所有這些事件似乎都不可能發(fā)生，但數(shù)學(xué)可以幫助我們理解這些事件是否真的出乎我們的意料。而除此以外，不大可能發(fā)生的事情發(fā)生的概率對(duì)于我們自己的生活又有什么啟示意義呢？我們可以看一個(gè)最平常的例子，這是我們很多人在學(xué)校課堂上都會(huì)遇到的——拋硬幣。拋硬幣可能得到兩個(gè)結(jié)果：正面或者反面，得到兩個(gè)結(jié)果的機(jī)會(huì)各有一半。當(dāng)然，一些學(xué)生會(huì)告訴我，硬幣有時(shí)候可能既不正面朝上也不反面朝上，而是立著。但數(shù)學(xué)總是離不開假設(shè)，我們假設(shè)這是一枚公平均勻的硬幣，正面和反面朝上的概率是相等的。如果我拋一次，可能會(huì)得到正面；拋第二次，可能得到反面。拋第三次，或許會(huì)再次得到正面。每次拋硬幣，得到正面的概率都保持不變，不受前一次拋硬幣的影響。但是，隨著拋硬幣的次數(shù)越來(lái)越多，我就越有可能逼近正反面各50%這個(gè)理論概率。這也是大數(shù)定律的一個(gè)證明。很簡(jiǎn)單，你做某事的次數(shù)越多，結(jié)果就越不可避免，或者說(shuō)真實(shí)的結(jié)果與理論期望越接近。在我擔(dān)任雷曼兄弟銀行金融市場(chǎng)交易員的那段日子里，我清楚地意識(shí)到了這一點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，整個(gè)股市熱情洋溢，預(yù)測(cè)者認(rèn)為收益將一直持續(xù)下去（“過(guò)去的收益不能預(yù)測(cè)未來(lái)的表現(xiàn)”的警告似乎被當(dāng)成了耳邊風(fēng)）。歷史可以給予我們一些關(guān)于大數(shù)定律的啟示。1940年，被關(guān)押在丹麥納粹戰(zhàn)俘營(yíng)的英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·克里奇（JohnKerrich）對(duì)這一理論進(jìn)行了檢驗(yàn)。監(jiān)禁期間，他坐在單間牢房里，心平氣和地扔了10000次硬幣（這是我的那些注意力持續(xù)時(shí)間越來(lái)越短的年輕學(xué)生們很難理解的）。在拋了10000次硬幣（這需要花很長(zhǎng)時(shí)間）之后，他累計(jì)得到了5067次正面，占比50.67%。隨著拋硬幣的次數(shù)增加，平均值會(huì)向理論上的50%收斂。他在《概率論實(shí)驗(yàn)導(dǎo)論》這本篇幅不長(zhǎng)的著作中描述了這次實(shí)驗(yàn)，以證明這條概率基本定律通過(guò)了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，經(jīng)驗(yàn)主義主張使用經(jīng)驗(yàn)或觀察證據(jù)，而不是理論證據(jù)?？死锲娉晒Φ刈C明實(shí)際拋硬幣的過(guò)程中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中正面朝上的比例逐漸逼近50%這個(gè)理論值。在計(jì)算能力和數(shù)字化實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Υ蠓嵘?，他的?shí)驗(yàn)一直被認(rèn)為是一次經(jīng)典的實(shí)證數(shù)學(xué)研究（同時(shí)也是令人痛苦的重復(fù)性活動(dòng)——有一次，我準(zhǔn)備做100次拋硬幣實(shí)驗(yàn)并記錄結(jié)果，但做到最后我頭腦一片混亂，手就像不是自己的！）。這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)我們來(lái)說(shuō)可能是顯而易見的，但大數(shù)定律的確意義重大。它告訴我們，只要有足夠的時(shí)間，某些事情一定會(huì)發(fā)生，不管它發(fā)生一次的概率是多少。奢華炫目的賭場(chǎng)可能會(huì)在某一次輪盤賭中賠錢，賭徒也有可能在老虎機(jī)上贏一大筆錢。但隨著時(shí)間的推移，贏錢的肯定是賭場(chǎng)，因?yàn)楦怕收驹谒麄円贿?。輪盤轉(zhuǎn)的次數(shù)越多，投進(jìn)老虎機(jī)里的硬幣越多，結(jié)果就越能真實(shí)地體現(xiàn)概率。這就是大數(shù)定律的力量。具有諷刺意味的是，在賭場(chǎng)里玩的人越多，賭場(chǎng)贏的可能性就越大。*你舒舒服服地坐在火車上，即將開始一次長(zhǎng)途旅行。這時(shí)，你突然發(fā)現(xiàn)你的前女友/前男友竟然坐在同一節(jié)車廂里。你是否有過(guò)這樣的經(jīng)歷？有時(shí)候奇怪的巧合會(huì)超出你的想象。2018年，在加雷斯·索斯蓋特率領(lǐng)下出征世界杯的英格蘭足球隊(duì)一共有23名球員，其中有兩名生日在同一天。2018年5月28日，后衛(wèi)凱爾·沃克和約翰·斯通斯分別年滿28歲和24歲。這似乎是難得一見的巧合，但數(shù)學(xué)上的生日悖論告訴我們，在包含23名球員的球隊(duì)中，出現(xiàn)有兩人生日在同一天的情況比不出現(xiàn)這種情況的可能性更高。23人球隊(duì)中有兩個(gè)人同一天生日的概率是50.9%。要計(jì)算出有兩個(gè)人同一天生日的概率，我們可以從反面入手：計(jì)算出每個(gè)人生日都不在同一天的概率。因此，我們先計(jì)算23個(gè)人生日各不相同的概率。對(duì)于第1名隊(duì)員來(lái)說(shuō)，他的生日100%是獨(dú)一無(wú)二的，因?yàn)樗腥掌诙紱](méi)有被占用。對(duì)于第2名球員來(lái)說(shuō)，只有生日是某1天時(shí)才會(huì)與他人生日相同，但其他364天都沒(méi)有被人占用。所以第二名球員生日獨(dú)占一天的概率是364/365，第三名球員的概率是363/365。同理，我們可以一直推算出第23名球員的概率是343/365。把所有這些概率相乘，就可以計(jì)算出所有23名球員生日各不相同的概率，即365/365×364/365×363/365×…×345/365×344/365×343/365=0.491。因此，出現(xiàn)生日在同一天這種現(xiàn)象的概率是1-0.491=0.509，即50.9%。（注意，在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，我們沒(méi)有考慮閏年的情況。）我本人就曾經(jīng)歷過(guò)一件看似不可思議的事情。2014年，我在劍橋大學(xué)休斯學(xué)堂接受教師培訓(xùn)。在圣誕期間，我們有一個(gè)短假。我的兄弟姐妹們經(jīng)常在短假期間一起出去探險(xiǎn)，通常是乘坐瑞安航空公司的短途航班去歐洲某地。但這一次，我們?nèi)チ嗣绹?guó)西海岸。我們住在世界賭城——迷人的拉斯維加斯，然后去科羅拉多大峽谷開始了為期一天的探奇之旅。至今我還記得小時(shí)候看到電視上重播的魔術(shù)師大衛(wèi)·科波菲爾“懸空”跨過(guò)大峽谷的情景。所以，乘坐直升機(jī)穿越峽谷，在一定程度上實(shí)現(xiàn)了我兒時(shí)的夢(mèng)想。這里離我生活的英國(guó)有幾千英里。然而就在這時(shí)，我感到有人拍了一下我的肩膀，然后耳邊響起一個(gè)帶著英國(guó)口音的聲音：“是你嗎，博比？”我轉(zhuǎn)過(guò)身來(lái)，令我（和我的家人）大為驚訝的是，身后坐著的竟然是同在劍橋大學(xué)當(dāng)老師的一名同事。世界如此之大，她竟然也出現(xiàn)在美國(guó)，出現(xiàn)在大峽谷，出現(xiàn)在直升機(jī)上與我們相鄰的座位上！這是多么難得??！有人可能會(huì)說(shuō)，這就是一個(gè)奇跡。但數(shù)學(xué)可以再次幫助我們理解為什么會(huì)發(fā)生這種情況。讓我們回到劍橋大學(xué)城，重溫一下20世紀(jì)60年代嬉皮士的生活吧。1968年，劍橋大學(xué)教授約翰·利特爾伍德提出，根據(jù)大數(shù)定律，只要樣本足夠大，任何離譜的事情就都會(huì)發(fā)生。利特爾伍德定律認(rèn)為，平均而言，我們每個(gè)月都可以經(jīng)歷一次發(fā)生概率僅為百萬(wàn)分之一的事件。他將“奇跡”定義為發(fā)生概率為百萬(wàn)分之一的事件。利特爾伍德的理論似乎很容易理解。在一天中，我們頭腦清醒的時(shí)間有8個(gè)小時(shí)。在這段時(shí)間里，我們每秒都可以看到、聽到一個(gè)事件。通過(guò)基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算（8小時(shí)×60分鐘×60秒）就可以算出，一天下來(lái)就是28800個(gè)可能的事件。也就是說(shuō)，在一天的時(shí)間里，我們大約可以見證近3萬(wàn)個(gè)不同的事件。這些事件大多平淡無(wú)奇（比如看到紅綠燈變綠或者在早上聽到杜鵑鳥的鳴叫聲），但只需35天我們就會(huì)見證超過(guò)100萬(wàn)個(gè)可能事件（準(zhǔn)確地說(shuō)是34.72天，這里涉及的數(shù)學(xué)運(yùn)算同樣非常簡(jiǎn)單，只需用100萬(wàn)除以28800）。因此，平均每個(gè)月，我們每個(gè)人身邊都會(huì)發(fā)生一起概率為百萬(wàn)分之一的事件。在全球人口超過(guò)76億的情況下，每天全球各地的人們肯定都會(huì)遇到一些幾乎不可能發(fā)生的事情。這就是不可能事件的必然性。我們只注意到了它們的發(fā)生概率極低，但似乎忘記了這個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)。賭徒們可能會(huì)記住他們?cè)谛疫\(yùn)時(shí)取得的勝利，而忘記他們?cè)诓蛔哌\(yùn)時(shí)遭受的損失，也是出于同樣的原因。作為一名職業(yè)交易員（同時(shí)也是一名體育迷和長(zhǎng)期經(jīng)歷痛苦的西漢姆聯(lián)球迷），我也為自己犯過(guò)這樣的錯(cuò)誤而感到慚愧。同樣的道理也適用于通靈者。他們做出大量的預(yù)測(cè)，就是希望你記住那些被他們成功命中的預(yù)言，而不是那些沒(méi)有命中的預(yù)言。所以，如果你覺得這一天、這一周，甚至這一年過(guò)得不順心，就把它歸咎于不可能事件的必然性吧！不過(guò)，小心不要落入賭徒謬誤的陷阱。你在賭場(chǎng)看到輪盤連續(xù)4次都停在紅色區(qū)，是不是想過(guò)它早就應(yīng)該停到黑色區(qū)了？如果是這樣，就說(shuō)明你受到了錯(cuò)誤數(shù)學(xué)觀念的蒙蔽，錯(cuò)以為如果某一事件在某一特定時(shí)期內(nèi)發(fā)生的頻率高于正常值，它在未來(lái)發(fā)生的頻率就會(huì)降低。假設(shè)結(jié)果確實(shí)是隨機(jī)的（賭場(chǎng)沒(méi)有通過(guò)某種手段欺騙你），并且輪盤賭的結(jié)果是由隨機(jī)過(guò)程的獨(dú)立試驗(yàn)產(chǎn)生的，那么連續(xù)4次紅色并不意味著下一次即將出現(xiàn)黑色。就獨(dú)立事件的概率而言，未發(fā)生事件不受之前結(jié)果的影響。賭徒謬誤最早的書面描述之一是由法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯于1796年完成的。拉普拉斯不僅是天文學(xué)領(lǐng)域的專家（他是最早提出黑洞假說(shuō)的科學(xué)家之一），還經(jīng)常被稱為法國(guó)的艾薩克·牛頓。在《關(guān)于概率的哲學(xué)隨筆》一書中，他描述了男人是如何計(jì)算自己的妻子生兒子的概率的：我看到一些人熱切地希望生一個(gè)兒子，但他們只能焦急地等待著，一直等到自己即將成為父親的那個(gè)月，才知道自己有多大可能會(huì)生兒子。他們認(rèn)為每個(gè)月出生的男孩與女孩的比例應(yīng)該相同，因此，如果前面的產(chǎn)婦生的是男孩，他們就會(huì)認(rèn)為后面的產(chǎn)婦生女孩的可能性更高。拉普拉斯告訴我們，如果其他人生了兒子，這些準(zhǔn)爸爸就會(huì)非常擔(dān)心，因?yàn)檫@意味著他們更有可能生女兒，只有這樣才能保證生男孩的概率保持不變。這就是賭徒謬誤。每個(gè)孩子的出生都是相互獨(dú)立的，如果生男孩的概率是50%，那么不管那個(gè)月在當(dāng)?shù)蒯t(yī)院或者其他任何地方出生的男孩有多少，這個(gè)概率都不會(huì)變化。所以說(shuō)，大數(shù)定律可以幫助我們撥開籠罩在隨機(jī)事件上的團(tuán)團(tuán)迷霧。大數(shù)定律指出，隨著試驗(yàn)或觀察的次數(shù)不斷增加，實(shí)際概率就會(huì)逐漸接近理論或預(yù)期概率。如果你只關(guān)注單個(gè)事件的發(fā)生概率，就會(huì)覺得很多事情都不太可能發(fā)生，因?yàn)樗鼈兊母怕式咏?，發(fā)生的可能性很小。但是你需要知道這個(gè)實(shí)驗(yàn)會(huì)運(yùn)行多少輪，因?yàn)橹灰獣r(shí)間足夠，輪盤旋轉(zhuǎn)的次數(shù)足夠多，即使是很難發(fā)生的事件，最終發(fā)生的可能性也會(huì)變得越來(lái)越大。因此，對(duì)于那些看似很可能不會(huì)發(fā)生的事情——比如在比賽中獲獎(jiǎng)，我通常不會(huì)放棄，而是嘗試著用更樂(lè)觀的眼光看待生活。有些人可能會(huì)說(shuō)這是盲目的樂(lè)觀主義，但我更喜歡魯?shù)聛喌隆ぜ妨衷谒脑?shī)作《如果》中鼓勵(lì)我們堅(jiān)持不懈的那兩行詩(shī)句：全身上下已經(jīng)一無(wú)所有唯有意志仍在高喊：“堅(jiān)持??！”我的臥室里有這首詩(shī)的招貼畫，它貼在墻上已經(jīng)有二十年了。它忠實(shí)地反映了我的信條：更好的機(jī)遇說(shuō)不定轉(zhuǎn)瞬即至（正如我的足球主隊(duì)西漢姆聯(lián)的隊(duì)歌《我永遠(yuǎn)在吹泡泡》唱道：“運(yùn)氣總是東躲西藏，我已經(jīng)找遍每個(gè)角落”）。我相信，只要我們一直尋找下去，就一定會(huì)有收獲。生活可能充滿挑戰(zhàn)，也可能給我們?cè)O(shè)置了重重障礙。但我相信，你嘗試的次數(shù)越多，成功的可能性就越大。根據(jù)大數(shù)定律，“如果一開始你沒(méi)有成功，那就再試一次”這句話看似瘋狂，實(shí)際上卻富有理性。趣味問(wèn)答“春節(jié)快樂(lè)！”在為迎接中國(guó)春節(jié)而舉辦的一次活動(dòng)中，你贏得了與很多動(dòng)物一起出席晚會(huì)的機(jī)會(huì)。繼2016年的猴年、2017年的雞年之后，2018年，我們歡慶狗年的到來(lái)。晚會(huì)在動(dòng)物園舉行，受邀嘉賓有狗、雞和猴子。其中，狗的數(shù)量是雞的兩倍，雞的數(shù)量是猴子的兩倍。假設(shè)所有的狗都有4只腳，所有的雞和猴子都有2只腳。如果出席晚會(huì)的所有動(dòng)物一共有88只腳，那么狗、雞和猴子分別有多少？注意，你的腳不包括在內(nèi)！這段文字原文來(lái)自狄更斯的《雙城記》，原文是“Itwasthebestoftimes,itwastheworstoftimes”（這是最美好的時(shí)代，這是最糟糕的時(shí)代），但猴子拼錯(cuò)了一個(gè)單詞，打成了“Itwasthebestoftimes,itwastheblurstoftimes”?！g者注3收藏，收藏，瘋狂地收藏收藏愛好背后的數(shù)字我父親的童年是在印度南部的喀拉拉邦度過(guò)的，他曾經(jīng)是一名業(yè)余火花收藏愛好者?！盎鸹ㄊ鞘裁?？”你或許會(huì)問(wèn)?；鸹ㄊ詹貝酆谜撸╬hillumenist）一詞源于希臘語(yǔ)“phil”（意思是“愛”）和拉丁語(yǔ)“l(fā)umen”（意思是“光”）?；鸹ㄊ詹厥侵甘占鸩竦南嚓P(guān)物品，就我父親而言，就是指收集火柴盒。除了火柴盒，父親還收集鵝卵石、貝殼、大理石等物品，但數(shù)量不多。收藏這種嗜好不是天生的，而是后天培養(yǎng)出來(lái)的（在此謹(jǐn)向法國(guó)學(xué)者西蒙娜·德·波伏娃致以歉意）。雖然我們不能通過(guò)遺傳繼承父母的愛好，但它們往往可以潛移默化地影響孩子。我父親鼓勵(lì)我和哥哥積極培養(yǎng)收藏這個(gè)嗜好。在我們還很小的時(shí)候，我們就會(huì)自然而然地對(duì)存儲(chǔ)物品產(chǎn)生興趣。我們當(dāng)中有的人喜歡微型玩具汽車，有的人喜歡石頭、松果、貝殼等天然物品，還有人收集一些簡(jiǎn)單的家居用品，比如各式各樣的布料或紐扣。一開始，為了培養(yǎng)我的收藏愛好，父親給了我一些硬幣和郵票，這為我后來(lái)成為一名業(yè)余的錢幣收藏和集郵愛好者奠定了基礎(chǔ)。我們的家鄉(xiāng)東漢姆地區(qū)有很多令人愉快的慈善商店，它們是我們這些錢幣和郵票收藏愛好者搜尋獵物的天堂。與此同時(shí)，我們還會(huì)向世界各地的親朋好友求助，請(qǐng)他們把平時(shí)遇到的稀奇古怪的錢幣或郵票寄給我們。因?yàn)榧]，我開始思考用不同的方法對(duì)物品進(jìn)行分類。在沒(méi)有受過(guò)訓(xùn)練的外行眼中，所有的郵票都一樣，都是貼在信封正面的一小塊有黏性的紙片，表示寄信人已經(jīng)支付了一定金額。但一旦你開始收集郵票，你很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)，你還可以通過(guò)各種各樣的組織和排序方法，為這些藏品賦予一定的含義。尺寸、原產(chǎn)國(guó)、狀況、顏色、年代、是否使用過(guò)……這些只是最明顯的分類方式。幫助孩子們學(xué)會(huì)比較并描述從外表看非常相似的物品，有助于他們掌握不同的測(cè)量方法。在收藏的郵票中尋找模式——把它們變成一種數(shù)據(jù)集，使我發(fā)現(xiàn)了各個(gè)數(shù)字之間的相互聯(lián)系。我對(duì)集郵的熱情在1995年4月29日達(dá)到了巔峰，那是一個(gè)暖洋洋的星期六。我清楚地記得我們那天乘坐倫敦地鐵的情景：車廂里擠滿了熱情洋溢的橄欖球聯(lián)賽球迷，他們有的穿著利茲隊(duì)的黃-藍(lán)色球衣，有的穿著維岡隊(duì)的櫻桃紅-白色球衣（這是一種對(duì)不同球迷進(jìn)行分類的方法）。那天是挑戰(zhàn)杯決賽——挑戰(zhàn)杯是橄欖球聯(lián)賽中歷史最悠久的淘汰賽。在當(dāng)?shù)氐罔F站和溫布利球場(chǎng)之間的溫布利大道上，旗幟一路高高地飄揚(yáng)。但我最終的目的地不是那個(gè)著名的國(guó)家體育場(chǎng)，而是附近的溫布利展覽中心，因?yàn)槲乙獏⒓拥氖恰班]票1995”展覽，這場(chǎng)為期4天的展覽展出了關(guān)于集郵的一切。我當(dāng)時(shí)是個(gè)11歲的孩子，這次展覽給我一種夢(mèng)游仙境的感覺。我徜徉在一排排展架之間，一面欣賞來(lái)自世界各地的郵票，一面聽參展商和顧客講述他們獲得這些郵票的奇特經(jīng)歷。后來(lái)，我也參加過(guò)一些其他的精彩展會(huì)，比如動(dòng)漫展（會(huì)場(chǎng)擠滿了衣著華麗、裝扮成超級(jí)英雄的游客），但它們都沒(méi)有像1995年的郵票展那樣讓我興奮不已。那天我最大的收獲是一枚破損但價(jià)格合理的“紅便士”郵票?！凹t便士”是在“黑便士”之后發(fā)行的（“黑便士”是公共郵政系統(tǒng)使用的第一枚帶膠郵票），正面是寶相莊嚴(yán)的維多利亞女王頭像。我虔誠(chéng)地捧著這枚郵票回到了東漢姆，然后將它穩(wěn)妥地放到我的集郵冊(cè)中。遺憾的是，這么多年過(guò)去以后，我們無(wú)法確定集郵冊(cè)到底扔哪兒去了（我們家有好幾千本圖書，要找到這本集郵冊(cè)并不是一件容易的事），但我仍然希望，說(shuō)不定哪一天，它會(huì)在不經(jīng)意間出現(xiàn)在我們眼前。畢竟，那枚郵票現(xiàn)在可能價(jià)值幾百英鎊呢！那么，我們?yōu)槭裁匆詹貣|西呢？?jī)H僅是為了有事可做嗎？還是說(shuō)把它當(dāng)作一種儲(chǔ)蓄，指望著多年后收藏品升值？收藏不僅僅是孩子們從事的活動(dòng)。電視節(jié)目主持人喬納森·羅斯收集稀有漫畫書，女演員安吉麗娜·朱莉收集刀具，搖滾歌手羅德·斯圖爾特收集鐵路模型，演員約翰尼·德普收集特別版的芭比娃娃，湯姆·漢克斯收集打字機(jī)。不僅孩子們喜歡躲在臥室里擺弄他們的收藏品，成人世界中的一些有錢人、名人也喜歡收藏物品。在英國(guó)，大約有1/3的人有這種嗜好。大約12000年前，人類放棄了游牧生活并定居下來(lái)，這個(gè)變化為我們產(chǎn)生收藏的欲望創(chuàng)造了條件。物品收集似乎是人類特有的消遣方式。一旦我們收集了大量喜歡的東西，接下來(lái)我們就會(huì)對(duì)這些物品進(jìn)行排序和分類。導(dǎo)致這一現(xiàn)象的原因之一是一種叫作稟賦效應(yīng)的心理學(xué)現(xiàn)象：一旦我們擁有了某些物品，我們往往會(huì)更珍惜它們——這似乎表明，擔(dān)心失去所擁有物品的焦慮之情比新收獲帶給我們的興奮之情更加強(qiáng)烈。正如我之前提到的，我最珍貴的一部分東西是我在20世紀(jì)90年代中期收集的幾冊(cè)英超球星貼紙簿（幾乎收集全了）。這些貼紙并不是特別罕見，即使轉(zhuǎn)手也不會(huì)有多大價(jià)值，但它們對(duì)我來(lái)說(shuō)就是無(wú)價(jià)的（換句話說(shuō)，它們具有情感價(jià)值）。對(duì)大多數(shù)理智的成年人來(lái)說(shuō)，“帕尼尼”這個(gè)詞讓人聯(lián)想起新鮮出爐的意大利三明治和它的味道。但是，如果你跟孩子們，尤其是那些喜歡足球的孩子們提到“帕尼尼”這個(gè)詞，他們首先想到的是收集貼紙。（如果你對(duì)足球不感興趣，那也沒(méi)有關(guān)系，因?yàn)榕聊崮峁咎峁┑馁N紙收藏品主題包羅萬(wàn)象，包括蜘蛛俠、小馬寶莉、超能戰(zhàn)士、坦克引擎托馬斯，他們甚至出版了官方的《神秘博士雜志》。）在歐洲錦標(biāo)賽、世界杯等重大國(guó)際足球賽事開幕之前，帕尼尼公司生產(chǎn)總部的機(jī)器都會(huì)加班加點(diǎn)地運(yùn)轉(zhuǎn)。自動(dòng)包裝機(jī)不知疲倦地每周工作6天，每天工作21個(gè)小時(shí)，把大約800萬(wàn)張印有數(shù)百名球員照片的貼紙包裝起來(lái)。通過(guò)粗略的計(jì)算，我們就可以根據(jù)英國(guó)的售價(jià)計(jì)算出該公司的銷售總額。在最近的2018年世界杯期間，一包貼紙包含5張，售價(jià)80便士。一共800萬(wàn)張貼紙，5張一包，用除法就可以計(jì)算出一共有160萬(wàn)包。按每包80便士計(jì)算，總銷售額為128萬(wàn)英鎊。對(duì)于只銷售印刷在貼紙上的足球運(yùn)動(dòng)員照片這樣的業(yè)務(wù)來(lái)說(shuō)，這個(gè)銷售額已經(jīng)很不錯(cuò)了！但除了帕尼尼貼紙的銷售總額以外，我們還可以用數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算出消費(fèi)者購(gòu)買這些貼紙要花多少錢。請(qǐng)注意，這可不是一筆小錢！如果你是一個(gè)小孩子，需要說(shuō)服父母給錢讓你收集貼紙，那么我勸你不要讓他們看到本書接下來(lái)的幾頁(yè)，除非你想讓他們得心臟病，或者讓他們勸你換一個(gè)花不了多少錢的愛好——比如收集石頭或者某些免費(fèi)物品！接下來(lái)，我們開始計(jì)算。2018年世界杯共有32支球隊(duì)參賽。每支球隊(duì)有18名球員被收入貼紙簿（真正的球隊(duì)有23名球員）。此外，還有該隊(duì)全家福和所在國(guó)標(biāo)志的貼紙，所以每支參賽隊(duì)總共有20張貼紙。至此，貼紙總數(shù)為20×32=640張。但是，還要加上各種各樣的世界杯貼紙，包括俄羅斯的幾座體育場(chǎng)，以及世界杯相關(guān)的其他物品（比如獎(jiǎng)杯和足球等），合計(jì)32張。所以，貼紙總數(shù)變成了640+32=672張。最后，還有10張關(guān)于世界杯傳奇人物以及有史以來(lái)最具標(biāo)志性球隊(duì)的貼紙，使最終的貼紙總數(shù)達(dá)到了682張。一包5張裝的貼紙售價(jià)80便士，所以每張貼紙售價(jià)16便士。如果我們可以一張一張地購(gòu)買這682張貼紙，我們需要付出682×0.16=109.12英鎊。但是，由于貼紙包是5張一包的，所以你最少需要購(gòu)買的貼紙總數(shù)必須可以被5整除。也就是說(shuō)，你至少需要購(gòu)買685張貼紙，也就是137包，總共花費(fèi)109.60英鎊。但是，如果你以前買過(guò)貼紙，你就會(huì)知道：購(gòu)買137包貼紙，拆開發(fā)現(xiàn)所有貼紙都不重樣，幾乎是不可能的。如果你知道有這樣的幸運(yùn)兒，我建議你讓他們告訴你下星期六開獎(jiǎng)的彩票，告訴你哪匹馬將在下一屆全國(guó)賽馬大會(huì)上奪魁，并為你預(yù)測(cè)下一次比特幣熱潮何時(shí)到來(lái)！不過(guò)，109.60英鎊將是我們付出金額的數(shù)學(xué)上的理論最小值，在這種情況下我們買的所有貼紙包幾乎都沒(méi)有重復(fù)，剛好湊齊了所有682張。然而，對(duì)于一個(gè)典型的收藏家來(lái)說(shuō)，真正的問(wèn)題是你平均要買多少?gòu)埐拍苁詹佚R全貼紙。乍一看，這個(gè)問(wèn)題似乎無(wú)解，但通過(guò)巧妙的數(shù)學(xué)計(jì)算，我們可以利用概率模型找出答案。我們的靈丹妙藥是修改版的“優(yōu)惠券收集問(wèn)題”，我們不妨將其稱為“貼紙收集問(wèn)題”。這有助于我們描述這些需要“收集所有貼紙才能取勝”的比賽。在這類問(wèn)題中，我們的目標(biāo)是購(gòu)買各種各樣的對(duì)象，以最終擁有一套完整的對(duì)象。每次購(gòu)買我們都會(huì)隨機(jī)得到一個(gè)對(duì)象，并且每次購(gòu)買都不受之前購(gòu)買活動(dòng)的影響。在我們這個(gè)例子中，目標(biāo)是填滿整個(gè)貼紙簿，成就永恒的榮耀。從數(shù)學(xué)上講，我們需要計(jì)算購(gòu)買到我們尚未擁有的貼紙的概率。隨著我們收集的貼紙?jiān)絹?lái)越多，我們尚未擁有的貼紙就會(huì)越來(lái)越少，因此在我們下一次購(gòu)買一包貼紙時(shí)，其中有我們尚未擁有的貼紙的概率也會(huì)越來(lái)越小。我們購(gòu)買的第一張貼紙肯定不會(huì)是我們已經(jīng)擁有的貼紙，因?yàn)槲覀冞€沒(méi)有任何貼紙。當(dāng)我們購(gòu)買第二張貼紙時(shí)，我們的收藏品中沒(méi)有這張貼紙的可能性是681/682（99.85%）。有了第二張獨(dú)一無(wú)二的貼紙之后，我們可以計(jì)算出得到第三張獨(dú)一無(wú)二的貼紙的概率為680/682（99.71%），以此類推。如果我們用這個(gè)方法計(jì)算下去，一直到最后一張貼紙（即682/682×681/682×680/682×679/682×…×3/682×2/682×1/682），就會(huì)得到購(gòu)買682張貼紙后就立即不重樣地集齊全部貼紙的概率。這些分?jǐn)?shù)的分子（即分?jǐn)?shù)線上方的那個(gè)數(shù)字）依次減1：682×681×680×…×3×2×1。這叫作階乘。階乘是一個(gè)函數(shù)，表示一個(gè)數(shù)與所有比它小的數(shù)相乘。5的階乘記作5!，展開就是5×4×3×2×1（結(jié)果是120）。本題中分?jǐn)?shù)的分子是682!。分母（分?jǐn)?shù)線下方的那個(gè)數(shù)字）是682×682×682×…×682，一共乘682次。如果我們計(jì)算的是4×4×4×4=256，我們可以把它寫成44，讀作“4的4次方”。如果計(jì)算的是7×7×7×7×7×7×7=823543，就可以寫成77。因此，本題中的分母是682682。也就是說(shuō)，本題的計(jì)算結(jié)果是682!（682的階乘）除以682682（682的682次方）。分母比分子大很多，所以最后得到的分?jǐn)?shù)非常小。我試圖用在線計(jì)算器算出答案，但這個(gè)數(shù)字太接近0了，無(wú)法在這里寫出來(lái)。因此，從數(shù)學(xué)上講，你能一次購(gòu)買682張貼紙而沒(méi)有重復(fù)嗎？不，不可能的，在我們這個(gè)世界是做不到的。我們不準(zhǔn)備計(jì)算出所有貼紙各不相同的概率，但我們希望計(jì)算出我們平均而言每次應(yīng)該購(gòu)買多少?gòu)堎N紙，新購(gòu)買的貼紙中才有沒(méi)收集過(guò)的。這里涉及的數(shù)學(xué)運(yùn)算有點(diǎn)兒復(fù)雜，請(qǐng)大家做好準(zhǔn)備。假設(shè)某事件發(fā)生的概率是p，那么平均而言我們需要嘗試1/p次，才會(huì)得到這個(gè)結(jié)果。例如，如果西漢姆聯(lián)隊(duì)的隊(duì)長(zhǎng)馬克·諾布爾在一場(chǎng)比賽中射門得分的概率是0.1，那么他平均需要打10場(chǎng)比賽才能得分（1除以0.1）。就我們的貼紙收集而言，我們需要計(jì)算出下面這個(gè)加法算式的結(jié)果：682/682+682/681+682/680+…+682/3+682/2+682/1。在數(shù)學(xué)上，我們稱這樣的和式為調(diào)和級(jí)數(shù)。我們可以通過(guò)這個(gè)數(shù)學(xué)公式估算上式的和：n（lnn+y），其中：ln：自然對(duì)數(shù)（你平時(shí)使用的科學(xué)計(jì)算器上就有這個(gè)按鍵）y：歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，約等于0.577n：你需要收集的貼紙數(shù)由于2018年世界杯全套貼紙一共有682張，因此n=682。把這個(gè)值代入公式，就會(huì)得到：682×（ln682+0.577）=682×7.102=4844（取整后的得數(shù)）因此，我們平均需要購(gòu)買4844張貼紙才有望集齊全套。每包5張，就需要969包，總價(jià)775.20英鎊。這比假設(shè)買來(lái)的所有貼紙均不重樣的情況下的花費(fèi)貴了6倍多。如果你頭腦反應(yīng)快，就會(huì)注意到我們一開始采用的這個(gè)計(jì)算方法不是很正確，因?yàn)橘N紙不是按張購(gòu)買的，而是以每包5張為單位購(gòu)買的。帕尼尼公司承諾每個(gè)包裝里不會(huì)有重樣的貼紙。因此，我們的計(jì)算方法可以進(jìn)一步完善：（682/682+682/682+682/682+682/682+682/682+682/677+682/677+682/677+682/677+682/677+…+682/2+682/2+682/2+682/2+682/2）（你會(huì)發(fā)現(xiàn)前5個(gè)數(shù)的分母都是682，緊接著的5個(gè)數(shù)的分母都是677，這表示每包貼紙有5張。）=682（5/682+5/677+5/672+…+5/2）=682（1+1/2+1/3+…+1/136）（我在這里稍微簡(jiǎn)化了一下計(jì)算過(guò)程……）計(jì)算到這一步后，我們可以利用自然對(duì)數(shù)（即ln）簡(jiǎn)化上述方程，得到：682（ln136+y）=3744張貼紙，則共需購(gòu)買749包，總價(jià)599.20英鎊。在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，我們使用了一個(gè)數(shù)學(xué)模型。在數(shù)學(xué)上，我們經(jīng)常通過(guò)假設(shè)來(lái)降低計(jì)算的難度——在精確性和計(jì)算的簡(jiǎn)單有效性之間做出某種取舍。我們假設(shè)每張貼紙出現(xiàn)在我們面前的概率完全相同，也就是說(shuō)，我們假設(shè)在現(xiàn)實(shí)世界中帕尼尼公司印刷的同一套的每張貼紙都數(shù)量相同，并且隨機(jī)分布。至于他們是否會(huì)為葡萄牙隊(duì)的羅納爾多、阿根廷隊(duì)的梅西等優(yōu)秀球員準(zhǔn)備同等數(shù)量的貼紙，則是另一回事。此外，我們討論的是一次買一包貼紙的情況。亞馬遜網(wǎng)站上有很多優(yōu)惠，一次購(gòu)買100包的話還有折扣（想象一下一口氣打開100包貼紙會(huì)有什么樣的感覺?。?。在現(xiàn)實(shí)世界中，成包購(gòu)買貼紙的人也不太可能與世隔絕，他們肯定會(huì)與其他人產(chǎn)生聯(lián)系。你會(huì)經(jīng)常和朋友交換貼紙，這會(huì)減少你需要購(gòu)買的貼紙數(shù)量。此外，對(duì)于追求高效率、希望以最低的成本完成收藏的貼紙迷來(lái)說(shuō)，還有一種投機(jī)取巧的方法。帕尼尼公司允許個(gè)人購(gòu)買特定的貼紙，“僅限湊齊個(gè)人收藏之用”，每人限購(gòu)50張。如果你不講道德原則，招募地址各不相同的親朋好友為你提供幫助，就可以毫不費(fèi)力地完成這些收藏。要集齊682張貼紙，你還需要13個(gè)人心甘情愿地為你服務(wù)，每人訂購(gòu)50張貼紙。由于這些貼紙的價(jià)格為每張22便士，因此集齊全套貼紙需要付出682×0.22英鎊，即150.04英鎊（不包括運(yùn)費(fèi)）。這說(shuō)明了什么問(wèn)題呢？這說(shuō)明，如果你打算收集一組品種有限的物品，而且各個(gè)品種隨機(jī)出現(xiàn)（就像那些貼紙一樣），那么你（很可能）可以使用概率模型來(lái)幫助你確定需要花多少錢！集齊以后，你就可以把那些收藏品放到閣樓上，讓它們?cè)谀莾撼曰?。這一放就有可能放上幾十年。2018年3月，在2018年俄羅斯世界杯預(yù)熱宣傳之際，來(lái)自韋克菲爾德的利茲聯(lián)隊(duì)球迷喬納森·沃德在易趣網(wǎng)上售出了他的1970年墨西哥世界杯帕尼尼貼紙簿，售價(jià)是驚人的1550英鎊?？紤]到他付出的成本非常少（在當(dāng)時(shí)，填滿這本貼紙簿只需要幾英鎊），這是一樁相當(dāng)不錯(cuò)的交易。再想想這本貼紙簿的磨損程度——少了6張貼紙，上面甚至還有他9歲時(shí)留下的潦草筆跡（他在杰克·查爾頓的姓名旁邊寫下了“利茲是最棒的”這句話）。雖然這本貼紙簿被從閣樓上翻出來(lái)時(shí)狀況十分糟糕，但沃德先生還是成功地把它換成了真金白銀。憤世嫉俗者就是“知道所有東西的價(jià)格，卻不知道任何東西的價(jià)值的人”，這是奧斯卡·王爾德1892年的喜劇《溫德米爾夫人的扇子》中達(dá)靈頓勛爵說(shuō)的一句話。從我在普華永道會(huì)計(jì)師事務(wù)所擔(dān)任特許會(huì)計(jì)師的日子起，可能就有人用這句話來(lái)指責(zé)我！作為一名會(huì)計(jì)師，我的職責(zé)是確定一家公司資產(chǎn)負(fù)債表上各個(gè)項(xiàng)目的價(jià)格是否合理。初級(jí)會(huì)計(jì)師的一項(xiàng)最基本的工作就是參與“盤點(diǎn)”，親自核查庫(kù)存或倉(cāng)庫(kù)中所有物品的數(shù)量和狀況。孩提時(shí)代的收藏活動(dòng)——無(wú)論是收集郵票、硬幣還是收集貼紙，讓我學(xué)會(huì)了通過(guò)分類來(lái)組織籌劃。發(fā)現(xiàn)各種模式、看清事物與全局的關(guān)系是數(shù)學(xué)中很重要的一部分內(nèi)容。就連我好不容易收集起來(lái)的那套音樂(lè)CD也能證明這一點(diǎn)：有一段時(shí)間我將它們按字母順序排列，后來(lái)出于美觀的原因，我又將它們按照外殼的顏色排列。我認(rèn)為，對(duì)年輕人來(lái)說(shuō)，培養(yǎng)收藏這個(gè)愛好，既可以讓他們享受其中的樂(lè)趣，還可以讓他們?cè)诳紤]藏品的排序方式時(shí)加深對(duì)數(shù)字的理解。我們可以利用新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)中使用的一個(gè)類比，來(lái)幫助思考我們與數(shù)字之間的根本關(guān)系。這個(gè)類比從我們可以用手抓起來(lái)的“具體物品”開始，比如玩具車。孩子們能夠數(shù)出這些東西的數(shù)量：1輛車，2輛車，3輛車，等等。建立起這個(gè)概念之后，接著讓孩子們學(xué)習(xí)玩具車的“圖畫”表示，讓他們知道畫有1輛車的圖和畫有2輛車的圖是有區(qū)別的。最后，讓孩子們突破到“抽象”思維水平，使他們發(fā)現(xiàn)1輛車可以用數(shù)字1表示，2輛車可以用2表示。從此以后，孩子們就能不斷加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，用這些數(shù)字進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。一旦孩子們可以自如地用抽象的方式思考數(shù)字，他們就再也不受任何限制了——借用《玩具總動(dòng)員》中的巴斯光年的話來(lái)說(shuō)，就是“超越無(wú)限”。但要做到這一點(diǎn)，孩子們首先需要掌握數(shù)實(shí)物（那些他們可以親手拿起來(lái)的東西）數(shù)量的方法。隨著整個(gè)社會(huì)數(shù)字化程度不斷加深，兒童接觸實(shí)物的機(jī)會(huì)越來(lái)越少?，F(xiàn)在，CD、硬幣、郵票和積木都不那么常見了，我收集的硬幣、郵票甚至貼紙可能都已經(jīng)成為緬懷過(guò)去的紀(jì)念品了。如今，貼紙收藏的主力軍變成了懷舊的成年人，小孩子更喜歡擺弄智能手機(jī)上最新的應(yīng)用程序，而不是購(gòu)買昂貴的貼紙。在中學(xué)畢業(yè)之后、上大學(xué)之前，我度過(guò)了一個(gè)間隔年。前9個(gè)月，我在四大會(huì)計(jì)師事務(wù)所中的另一家——畢馬威度過(guò)，參加他們的間隔年計(jì)劃。在大部分時(shí)間里，我都有敏銳的洞察力，效率也很高，但有一個(gè)星期我一直待在一間沒(méi)有窗戶的儲(chǔ)藏室里，陪伴我的是一個(gè)個(gè)文件柜。我的任務(wù)是按照特定的順序，重新整理那些文件夾。說(shuō)實(shí)話，剛開始的兩天我很享受這種單調(diào)的生活，但到最后，我感覺自己就像小說(shuō)《哈利·波特》系列中在對(duì)角巷的古靈閣銀行地下金庫(kù)里不停搬運(yùn)物品的妖精一樣。我想知道，我們是不是必須借助物體的實(shí)體性，才能思考物體之間的關(guān)系呢？未來(lái)，數(shù)字化的程度肯定會(huì)不斷提升。對(duì)我來(lái)說(shuō)，把電子郵件收件箱或聲田（Spotify）音樂(lè)播放列表整理得一目了然，并不像把CD排列得井然有序那么有吸引力，而且我擔(dān)心下一代人可能不會(huì)那么容易就能了解分類的價(jià)值。未來(lái)是數(shù)字化的時(shí)代，或許收藏這種愛好很快就會(huì)被拋到不列顛博物館的一個(gè)偏僻的角落里吧。趣味問(wèn)答“集郵愛好者的度假計(jì)劃”一位邏輯思維清晰的集郵愛好者正在制訂暑假計(jì)劃。她打算按順序依次游玩下列國(guó)家：約旦、阿爾及利亞、埃塞俄比亞、加納和尼日利亞。之后，這位考慮問(wèn)題細(xì)致周到的集郵愛好者應(yīng)該去哪個(gè)國(guó)家，才能按特定次序給護(hù)照蓋上印章？此處化用了波伏娃的女性主義名言：“女人不是天生的，而是被塑造成的?！薄幷咦⑴聊崮幔≒anini）是意大利語(yǔ)，原意是指意大利的一種傳統(tǒng)三明治。帕尼尼集團(tuán)是成立于20世紀(jì)中葉的一家意大利公司，以球星卡、貼紙以及相關(guān)產(chǎn)品為主要經(jīng)營(yíng)項(xiàng)目?！g者注4快思考還是慢思考？魔術(shù)背后的數(shù)學(xué)坐好了嗎？那我就開始表演了。我信賴的讀者朋友，請(qǐng)按我說(shuō)的去做。我希望你仔細(xì)閱讀下面這段話。準(zhǔn)備好，我會(huì)讓你目瞪口呆的（至少會(huì)給你留下深刻印象）。請(qǐng)?jiān)?到10之間想一個(gè)數(shù)。想好后，用它乘9。現(xiàn)在，如果乘積是一個(gè)兩位數(shù)，把個(gè)位數(shù)和十位數(shù)相加；如果乘積不是兩位數(shù)，就什么也不用做。在聽我說(shuō)嗎？很好，用你得到的這個(gè)數(shù)減去5，然后記住得到的差。接下來(lái)，請(qǐng)想一想字母表中與這個(gè)差值相對(duì)應(yīng)的字母。例如，如果差是1，那么與之對(duì)應(yīng)的字母就是A，如果差是2，那么對(duì)應(yīng)的字母就是B，以此類推。你需要想出一個(gè)以這個(gè)字母為首字母的國(guó)家名稱。想好這個(gè)國(guó)家名稱之后，再想想這個(gè)國(guó)家名稱的最后一個(gè)字母?，F(xiàn)在，不要猶豫，馬上想一個(gè)以這個(gè)字母為首字母的動(dòng)物。然后，想想這個(gè)動(dòng)物名稱的最后一個(gè)字母，再想出一個(gè)以這個(gè)字母為首字母的顏色。最后，把你想到的顏色、動(dòng)物和國(guó)家放到一起。當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)……現(xiàn)在說(shuō)說(shuō)看，你想到的都是什么？是不是丹麥的橙色袋鼠（orangekangarooinDenmark）？［希望你想到的是這個(gè)，而不是多米尼加的青綠色螞蟻（turquoiseantinDominica）或者吉布提的淺綠色蜥蜴（aquaiguanainDjibouti）！］20世紀(jì)90年代初，我們?nèi)医?jīng)常去看魔術(shù)表演和博覽會(huì)。我記得有一次，我就像被牽著參加馬術(shù)跳躍賽的小馬一樣，按照主持人的提示做了這個(gè)游戲。當(dāng)主持人問(wèn)誰(shuí)想到了“丹麥的橙色袋鼠”時(shí)，我體會(huì)到了只有孩子（或者非常天真的人）才能體會(huì)到的那種純粹的快樂(lè)。在最初的驚訝過(guò)去之后，我很想知道魔術(shù)師是如何引導(dǎo)我說(shuō)出他想讓我說(shuō)的那些話的。他真的會(huì)讀心術(shù)嗎？還是有別的什么秘訣呢？經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的研究，我意識(shí)到，這個(gè)聽起來(lái)令人印象深刻的聚會(huì)游戲，其實(shí)就是一些基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與我們最可能的直覺結(jié)論相互結(jié)合的產(chǎn)物。任何一位數(shù)乘9后，把乘積的所有位數(shù)相加，和都是9（看看乘法表里9的那一行，就會(huì)看到這些數(shù)字：9，18，27，36，45，54，63，72，81，90，所有數(shù)位上的數(shù)相加之后，和一定等于9）。9減去5，得數(shù)是4，對(duì)應(yīng)的字母是“d”。以“d”作為首字母，大多數(shù)人第一個(gè)想到的國(guó)家都是丹麥（Denmark）。如果我們選擇的是丹麥，那么在被要求想一個(gè)以末尾字母“k”開頭的動(dòng)物時(shí)，大多數(shù)人會(huì)選擇袋鼠［盡管偶爾也會(huì)有人想到幾維鳥（kiwi）或者樹袋熊（koala）］。最后，在選擇以“o”開頭的顏色時(shí)，大多數(shù)人會(huì)選擇橙色（orange）。因此，你的答案就是“丹麥的橙色袋鼠”。如果我對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)游戲稍加修改，讓你用國(guó)家名稱的第二個(gè)字母（e）作為首字母，想一種動(dòng)物，那么你的答案會(huì)變成“丹麥的大象”。（一個(gè)冷知識(shí)：丹麥的大象勛章真實(shí)存在，是丹麥最高級(jí)別的榮譽(yù)勛章，幾乎只授予皇室和國(guó)家元首。）20世紀(jì)90年代，年齡尚小的我迷上了索尼隨身聽、熒光色腰包和電視上鋪天蓋地的魔術(shù)表演。在黃金時(shí)段，英國(guó)電視上充斥著各種各樣的魔術(shù)節(jié)目。20世紀(jì)80年代和90年代初，保羅·丹尼爾斯和他的助手——可愛的黛比·麥基是BBC（英國(guó)廣播公司）1臺(tái)的臺(tái)柱子，他的表演在巔峰時(shí)期通?？梢晕?500萬(wàn)觀眾。風(fēng)靡全世界的超級(jí)魔術(shù)師大衛(wèi)·科波菲爾也經(jīng)常出現(xiàn)在英國(guó)電視上?！陡２妓埂冯s志稱他是史上商業(yè)化最成功的魔術(shù)師。（也許你覺得他的姓名很耳熟，是的，這是他的藝名，而且確實(shí)取自查爾斯·狄更斯1850年出版的同名小說(shuō)。）那時(shí)候，魔術(shù)無(wú)處不在，這些節(jié)目老少咸宜，特別適合全家人一起欣賞。但電視臺(tái)的老板們很快意識(shí)到孩子們特別喜歡魔術(shù)，因此他們開始為孩子們度身定制魔術(shù)節(jié)目。我經(jīng)常急匆匆地從學(xué)校趕回家，收看《精彩魔術(shù)》（TrickyBusiness）這個(gè)系列節(jié)目。魔術(shù)表演本身會(huì)讓我驚詫不已，不僅如此，我還喜歡看人們拆穿魔術(shù)背后的那些把戲。那時(shí)候，我們還不能在網(wǎng)上即時(shí)搜索到魔術(shù)背后的秘密，因此在電視上看魔術(shù)表演時(shí)，剛開始的驚詫以及隨后的陶醉可以保持更長(zhǎng)時(shí)間。你會(huì)不停地問(wèn)自己：他們是怎么做到的呢？現(xiàn)在，如果你問(wèn)一個(gè)孩子關(guān)于魔法的事，大一點(diǎn)兒的孩子可能會(huì)告訴你《哈利·波特》中“羽加迪姆勒維奧薩”魔咒的懸浮力，小一點(diǎn)兒的孩子可能會(huì)說(shuō)到迪士尼動(dòng)畫電影《冰雪奇緣》中的埃爾莎的魔力。成年人可能更經(jīng)常提到國(guó)際知名魔術(shù)師，比如大衛(wèi)·布萊恩、達(dá)倫·布朗。我們?cè)谄聊簧匣蛭枧_(tái)上看到的許多魔術(shù)依賴于道具或靈巧手法，但有一種非常特殊的魔術(shù)依賴于數(shù)學(xué)。這是一種依靠邏輯的魔法，作為一個(gè)熱愛數(shù)學(xué)和數(shù)字的人，我一直覺得這種魔法最有吸引力。為什么呢？因?yàn)槟憧梢宰约和魄贸鰜?lái)，而且你一旦找出某個(gè)魔術(shù)的奧秘，就可以自己表演這個(gè)魔術(shù)。我們來(lái)做個(gè)小測(cè)驗(yàn)吧。準(zhǔn)備好了嗎？“任何足夠先進(jìn)的技術(shù)都與魔法無(wú)異?！边@是以英國(guó)某位科幻小說(shuō)作家的名字命名的三條定律中的第三條，而這位作家最著名的作品是1968年與他人合作編寫的電影《2001：太空漫游》劇本。知道他是誰(shuí)嗎？答案是亞瑟·C.克拉克。這是我最喜歡的格言之一，無(wú)論科技進(jìn)步了多少，這句話都是對(duì)的。即使是僅僅與我們相差幾代的人，如果他們聽說(shuō)現(xiàn)在我們可以與世界各地的人通過(guò)視頻電話即時(shí)交流，他們也會(huì)覺得這與魔法一樣神奇！我現(xiàn)在提到這句話，是因?yàn)樵谖液苄〉臅r(shí)候，我之所以被魔術(shù)深深地迷住，是因?yàn)闊o(wú)法理解它背后的技術(shù)（可能是基本算術(shù)，也可能是一種巧妙手法，或者是一種視覺錯(cuò)覺）而產(chǎn)生了一種莫名驚嘆的感覺。在大腦開始思考魔術(shù)背后的邏輯之前，一聲驚嘆就會(huì)脫口而出——“哇”。在我住的這條商業(yè)街上，經(jīng)常有一些街頭騙子。他們擺出3只杯子，把一只小球藏在其中一只杯子下面，然后讓大家掏出20英鎊，押小球在哪只杯子下面。一旦押中，他們雙倍賠付。這個(gè)騙術(shù)看起來(lái)很神奇，但實(shí)際上他們依賴的是巧妙手法，再加上一些花言巧語(yǔ)和誤導(dǎo)。你可能認(rèn)為只有頭腦簡(jiǎn)單的傻瓜才會(huì)與這些家伙對(duì)賭，但即使是頭腦最靈光的聰明人，遇上魔術(shù)師也會(huì)有馬失前蹄的時(shí)候。阿爾伯特·愛因斯坦也許是歷史上最具標(biāo)志性的天才（當(dāng)我的學(xué)生抱怨某道數(shù)學(xué)題目超出他們的能力范圍時(shí)，我經(jīng)常會(huì)引用阿爾伯特的名言：“別為數(shù)學(xué)難學(xué)而煩惱，我可以向你保證，我在數(shù)學(xué)上遇到的困難比你大多了”），但有一次，英國(guó)魔術(shù)師阿爾·柯蘭（AlKoran，真名是愛德華·多伊）表演了一個(gè)“騙過(guò)愛因斯坦的把戲”。遺憾的是，他們的這次交流沒(méi)有視頻記錄，但大概的過(guò)程是這樣的（因?yàn)榱?xí)慣問(wèn)題，我把原始對(duì)話里的美元都換成了英鎊）：阿爾·柯蘭：“阿爾伯特，如果我告訴你我能猜出你口袋里有多少零錢，你相信嗎？”阿爾伯特：“是嗎？我覺得，從科學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，這是不可能的?！卑枴た绿m：“我不僅知道你有多少零錢，我還可以做3個(gè)預(yù)測(cè)。我口袋里有和你一樣多的零錢，另外我還有50便士，而且我其余的零錢加上你的零錢，總數(shù)是2.35英鎊?！卑柌兀骸昂玫?，2.35英鎊，這可是你說(shuō)的?！卑枴た绿m：“那好，把你的零錢放到桌子上。我也把我的零錢放到桌子上。我有2.85英鎊，你有多少？”阿爾伯特：“我有1.71英鎊?！卑枴た绿m：“我從我的這堆零錢中拿出1.71英鎊，放在你的零錢旁邊。記得我說(shuō)過(guò)我有和你一樣多的錢，另外我還有50便士。所以我再拿出50便士，把它放到我的這堆零錢里。2.85英鎊減去1.71英鎊，再減去50便士，所以我還剩64便士。聽懂了嗎，阿爾伯特？”阿爾伯特：“聽懂了?！卑枴た绿m：“最后，我說(shuō)我剩下的錢加上你的錢，總數(shù)是2.35英鎊。所以我要做的是把64便士放到你的這堆零錢里。請(qǐng)你加一加，看看你的這堆零錢有多少，好嗎？”阿爾伯特：“1.71英鎊加64便士，總共是2.35英鎊。啊呀，你的預(yù)測(cè)完全正確！”接著，阿爾伯特請(qǐng)阿爾·柯蘭再演示一次，結(jié)果這位偉大的物理學(xué)家再一次目瞪口呆。最后，阿爾·柯蘭告訴他：“愚弄你的不是數(shù)字，而是文字?！边@個(gè)例子說(shuō)明愛因斯坦或許是太聰明了，有時(shí)甚至過(guò)猶不及。他可能以為這個(gè)游戲涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，殊不知其實(shí)就是一個(gè)障眼法，只是用了一些簡(jiǎn)單的語(yǔ)言技巧。我來(lái)告訴你們愛因斯坦到底錯(cuò)在哪兒，請(qǐng)認(rèn)真聽。秘訣就在于措辭。一開始，阿爾·柯蘭說(shuō)他準(zhǔn)備猜測(cè)愛因斯坦身上有多少零錢，但一直到最后他也沒(méi)有這樣做，盡管看起來(lái)他做到了。接著，阿爾·柯蘭聲稱他還可以更進(jìn)一步，做出3個(gè)預(yù)測(cè)。事實(shí)上，把這3個(gè)預(yù)測(cè)綜合起來(lái)看，在邏輯上除了表明“我有2.85英鎊”以外就什么也沒(méi)說(shuō)。阿爾·柯蘭一開始有2.85英鎊，然后拿出一些錢，數(shù)量等于愛因斯坦的零錢數(shù)（X）再加上50便士，因此剩下的錢為2.85-0.50-X=2.35-X英鎊。然后，我們把剩下的這些錢與愛因斯坦的零錢（數(shù)量為X）加到一起。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，就是2.35-X+X=2.35。這不是數(shù)學(xué)魔術(shù)，而是語(yǔ)言游戲！愛因斯坦被阿爾·柯蘭編織的故事吸引住了，忽略了其中的邏輯。這個(gè)例子向我展示了魔術(shù)的強(qiáng)大影響力。魔術(shù)肯定有一些欺騙的成分，要么是通過(guò)物理手段，要么是借助數(shù)學(xué)知識(shí)，但讓我們被魔術(shù)師編織的故事牽著鼻子走，從而錯(cuò)過(guò)一些顯而易見的東西的，是魔術(shù)師編織的故事。這與我們的大腦使用兩種推理方式的說(shuō)法是一致的。我父親最近向我介紹的一本書是諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主丹尼爾·