中考數(shù)學平面圖形的認識（二）壓軸解答題專題練習一、平面圖形的認識（二）壓軸解答題1．問題情境：如圖1，已知，.求的度數(shù).（1）經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得________.（2）問題遷移：如圖3，，點P在射線OM上運動，，.①當點P在A，B兩點之間運動時，、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.②如果點P在A，B兩點外側(cè)運動時（點P與點A，B，O三點不重合），請你直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，（3）問題拓展：如圖4，，是一條折線段，依據(jù)此圖所含信息，把你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡潔的數(shù)學式子表達為________.2．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，DE⊥DC交AB于E.（1）求證：DE平分∠ADB；（2）若∠ABD的平分線與CD的延長線交于F，設(shè)∠F=α.①若α＝50°，求∠A的值；②若∠F＜，試確定α的取值范圍.3．如圖，已知AM//BN，∠A=600.點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN.（1）求∠ABN的度數(shù)（2）當點P運動時，∠CBD的度數(shù)是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請求出它的度數(shù)。若變化，請寫出變化規(guī)律.（3）當點P運動到使∠ACB=∠ABD時，求∠ABC的度數(shù)。4．如圖，在△ABC中，點E在AC邊上，連結(jié)BE，過點E作DF∥BC，交AB于點D.若BE平分∠ABC，EC平分∠BEF.設(shè)∠ADE＝α，∠AED＝β.（1）當β＝80°時，求∠DEB的度數(shù).（2）試用含α的代數(shù)式表示β.（3）若β＝kα（k為常數(shù)），求α的度數(shù)（用含k的代數(shù)式表示）.5．如圖，在△ABC中，BC=7，高線AD、BE相交于點O，且AE=BE.（1）∠ACB與∠AOB的數(shù)量關(guān)系是________（2）試說明：△AEO≌△BEC；（3）點F是直線AC上的一點且CF=BO，動點P從點O出發(fā)，沿線段OA以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，動點Q從點B出發(fā)沿射線BC以每秒4個單位長度的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達A點時，P、Q兩點同時停止運動。設(shè)點P的運動時間為t秒，問是否存在t值，使以點B、O、P為頂點的三角形與以點F、C、Q為頂點的三角形全等?若存在，請在備用圖中畫出大致示意圖，并直接寫出符合條件的t值：若不存在，請說明理由.6．小英和小倩站在正方形的對角A，C兩點處，小英以2米/秒的速度走向點D處，途中位置記為P，小倩以3米/秒的速度走向點B處，途中位置記為Q，假設(shè)兩人同時出發(fā)，已知正方形的邊長為8米，E在AB上，AE=6米，記三角形AEP的面積為S1平方米，三角形BEQ的面積為S2平方米，如圖所示．（1）她們出發(fā)后幾秒時S1=S2；（2）當S1+S2=15時，小倩距離點B處還有多遠？7．[感知發(fā)現(xiàn)]：如圖，是一個“豬手”圖，AB∥CD，點E在兩平行線之間，連接BE，DE，我們發(fā)現(xiàn)：∠E=∠B+∠D證明如下：過E點作EF∥AB．

∠B=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯角相等．）又AB∥CD(已知）

CD∥EF(如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．）

∠2=∠D(兩直線平行，內(nèi)錯角相等．）

∠1+∠2=∠B+∠D(等式的性質(zhì)1．）

即：∠E=∠B+∠D（1）[類比探究]：如圖是一個“子彈頭”圖，AB∥CD，點E在兩平行線之間，連接BE，DE．試探究∠E+∠B+∠D=360°．寫出證明過程．（2）[創(chuàng)新應用]：(1)．如圖一，是兩塊三角板按如圖所示的方式擺放，使直角頂點重合，斜邊平行，請直接寫出∠1的度數(shù)．(2)．如圖二，將一個長方形ABCD按如圖的虛線剪下，使∠1=120，∠FEQ=90°．請直接寫出∠2的度數(shù)．8．課題學習：平行線的“等角轉(zhuǎn)化功能.（1）問題情景：如圖1，已知點是外一點，連接、，求的度數(shù).

天天同學看過圖形后立即想出：，請你補全他的推理過程.解：（1）如圖1，過點作，∴________，________.又∵，∴.解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決.（2）問題遷移：如圖2，，求的度數(shù).（3）方法運用：如圖3，，點在的右側(cè)，，點在的左側(cè)，，平分，平分，、所在的直線交于點，點在與兩條平行線之間，求的度數(shù).9．如圖，在△ABC中，點E和點F在邊BC上，連接AE，AF，使得∠EAC=∠ECA，∠BAE=2∠CAF．（1）如圖1，求證：∠BAF=∠BFA；（2）如圖2，在過點C且與AE平行的射線上取一點D，連接DE，若∠AED=∠B，求證：BE=CD；

10．已知直線AB//CD,P是兩條直線之間一點，且AP⊥PC于P.

（1）如圖1,求證：∠BAP+∠DCP=90°；（2）如圖2，CQ平分∠PCG,AH平分∠BAP,直線AH、CQ交于Q,求∠AQC的度數(shù)；11．如圖所示，點P在∠AOB內(nèi)，點M、N分別是點P關(guān)于AO、BO所在直線的對稱點.（1）若△PEF的周長為20，求MN的長.（2）若∠O=50°，求∠EPF的度數(shù).（3）請直接寫出∠EPF與∠O的數(shù)量關(guān)系是________12．如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.（1）請判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，當∠E=90°保持不變，移動直角頂點E，使∠MCE=∠ECD.當直角頂點E點移動時，問∠BAE與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）如圖3，在（1）的結(jié)論下，P為線段AC上一定點，點Q為直線CD上一動點，當點Q在射線CD上運動時（點C除外），∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，其數(shù)量關(guān)系為________.【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、平面圖形的認識（二）壓軸解答題1．（1）252°（2）解：①解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；②∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β（3）∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.【解析】【解答】（1）解：問題情境：如圖，過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，∵∠APC=108°，∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；故答案為：252°；（2）②解：當P在BA延長線時，∠CPD=∠β-∠α；理由：如圖，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；當P在BO之間時，∠CPD=∠α-∠β.理由：如圖，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.（3）問題拓展：分別過A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，由平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.故答案為：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.【分析】（1）問題情境：根據(jù)平行線的判定可得PE∥AB∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）問題遷移：①過P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；②過P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（3）問題拓展：分別過A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求解.2．（1）證明：∵AD∥BC，∴,∵DE⊥DC交AB于E，∴∴,∴∵∠BDC=∠BCD，∴,∴DE平分∠ADB；（2）解：①∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180，∵DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，∴∠ADE=∠EDB，∴∠EDB+∠BDC=90°，∴∠DEC+∠DCE=90°，∵∠FBD+∠BDE=90°-∠F=90°-50°=40°,∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，∴∠ADB+∠ABD=2(∠FBD+∠BDE)=80°,∴∠A=180°-（∠ADB+∠ABD）=180°-80°=100°；②由①知∠FBD+∠BDE=90°-∠F，∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，∴∠ADB+∠ABD=2(∠FBD+∠BDE)=2（90°-∠F），又∵在四邊形ABCD中，AD//BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB=2（90°-∠F），即∠ABC=2（90°-∠F），又∵∠F＜，∴∠F＜×2（90°-∠F），∴0°＜∠F＜45°，∵∠F=α，∴0°＜α＜45°.【解析】【分析】（1）由AD∥BC可得同旁內(nèi)角，由DE⊥DC可得，再根據(jù)已知∠BDC=∠BCD，進而可得，即可證DE平分∠ADB；（2）①根據(jù)AD∥BC，可得∠ADC+∠BCD=180，根據(jù)DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，易得∠ADE=∠EDB，∠EDB+∠BDC=90°，∠DEC+∠DCE=90°，根據(jù)外角和定理等可得∠FBD+∠BDE=90°-∠F=90°-50°=40°,又因為DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，從而可得∠ADB+∠ABD=2(∠FBD+∠BDE)=80°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理繼而即可取出∠A的值；②由①知∠FBD+∠BDE=90°-∠F，根據(jù)DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，易得∠ADB+∠ABD=2(∠FBD+∠BDE)=2（90°-∠F），根據(jù)AD//BC的性質(zhì)可得∠DBC=∠ADB，∠ABC=2（90°-∠F），依據(jù)∠F＜，可得不等式∠F＜×2（90°-∠F），解即可得∠F即α的取值范圍.3．（1）證明：∵AM//BN∴∠A+∠ABN=180°∵∠A=60°∴∠ABN=180°?∠A=180°?60=120°（2）解：如圖，沒有變化?！逤B平分∠ABP,

BD平分∠PBN∴∠1=∠ABP,

∠2=∠PBN∴∠CBD=∠1+∠2=∠ABP+∠PBN）=×1200=600（3）解：如圖，∵AM//BN∴∠ACB=∠CBN∵∠ACB=∠ABD∴∠CBN=∠ABD∴∠CBN?∠CBD=∠ABD?∠CBD即∠1=∠4又∵CB平分∠ABP,

BD平分∠PBN∴∠1=∠2

∠3=∠4∴∠1=∠2=∠3=∠4=120°÷4=30°即∠ABC=30°【解析】【分析】(1)根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可求出答案；(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及角度相加減即可得證；(3)根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及已知條件得到∠CBN=∠ABD，根據(jù)角度的相加減得到∠1=∠4，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠1=∠2=∠3=∠4，最后根據(jù)∠ABN=120°

即可得到答案.4．（1）解：∵β＝80°，∴∠CEF＝∠AED＝80°，∵BE平分∠ABC，∴∠BEC＝∠CEF＝80°，∴∠DEB＝180°﹣80°﹣80°＝20°；（2）∵DF∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝α，∵BE平分∠ABC，∴∠DEB＝∠EBC＝∵EC平分∠BEF，∴β＝∠CEF＝（180°﹣）＝90°﹣α；（3）∵β＝kα，∴90°﹣α＝kα，解得：α＝【解析】【分析】（1）根據(jù)對頂角的性質(zhì)得到∠CEF＝∠AED＝80°，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論.5．（1）解：∠ACB+∠AOB=180°（2）解：如圖1（原卷沒圖），∵BE是高，∴∠AEB=∠BEC=90°由(1)得：∠AOB+∠ACB=180°，∵∠AOB+∠AOE=180°，∴∠AOE=∠ACB，在△AEO和△BEC中，∵∴△AEO≌△BEC(AAS)（3）解：存在，如答圖2

t=②如答圖3

t=注：(3)問解題過程由題意得：OP=t，BQ=4t，∵OB=CF，∠BOP=∠QCF，①當Q在邊BC上時，如圖2，△BOP≌△FCQ∴OP=CQ，即t=7-4t，t=②當Q在BC延長線上時，如圖3，△BOP≌△FCQ，∴OP=CQ，那t=4t-7，t=綜上所述，當t=秒或秒時，以點B，O，P為頂點的三角形與以點F，C，Q為頂點的三角形全等。【解析】【分析】（1）在四邊形ODEC中，由四邊形的內(nèi)角和，結(jié)合題意，可知∠DOE+∠C=180°，由∠EOD和∠AOB為對頂角，所以∠AOB+∠ACB=180°（2）根據(jù)題意，由三角形全等的判定定理證明得到答案即可；（3）假設(shè)存在t值，使得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逆推，結(jié)合三角形全等的性質(zhì)進行判斷即可。6．（1）解：設(shè)運動的時間為t秒，∵四邊形ABCD是正方形，，由題意得：，，，，，，∴，，，∴解得，又∵，即，∴他們出發(fā)秒后；（2）解：

∵，∴，∴，又∵，∴當秒時，.米，答：當S1+S2=15時，小倩距離點B處還有1米.【解析】【分析】（1）設(shè)運動的時間為t秒，先把與面積相關(guān)的線段用t表示出來，利用三角形的面積公式和等量關(guān)系S1=S2列出方程，通過解方程求t的值；（2）根據(jù)S1+S2=15列出關(guān)于t的方程，解出t，代入中即可.7．（1）解：如圖，過E作

（2）解：（1）由題意得：過E作

；(2)：由題意得：過E作

，

∠1=120，∠FEQ=90°，

【解析】【分析】[類比探究]：如圖，過E作結(jié)合已知條件得利用平行線的性質(zhì)可得答案，[創(chuàng)新應用]：(1)：由題意得：過E作得到利用平行線的性質(zhì)可得答案，(2)：由題意得：過E作得到

利用平行線的性質(zhì)可得答案．8．（1）∠EAB；∠DAC（2）解：過C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB，∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°，（3）解：如圖3，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，∴∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．【解析】【解答】解：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)可得：因為，所以∠EAB，∠DAC；【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）過C作CF∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)可得；（3）如圖3，過點E作EF∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線定義可得∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°，故∠BED=∠BEF+∠DEF.9．（1）設(shè)，則，∴，，∴；（2），∴，，又∵，∴，∴，∴；【解析】【分析】（1）設(shè)，則，可得，，易證；（2）根據(jù)，，則有，，，利用AAS可證，則有．10．（1）證明：過P作PQ∥AB，∴∠BAP=∠APQ∵AB//CD∴PQ//CD∴∠DCP=∠CPQ∴∠BAP+∠DCP=∠APQ+∠CPQ=∠APC又∵AP⊥PC于P∴∠APC=90°∴∠BAP+∠DCP=90°（2）解：過Q作QM∥AB，∵CQ平分∠PCG，AH平分∠BAP，設(shè)∠PCQ=∠QCG=a，∠BAH=∠HAP=b，∵QM∥AB，∠BAQ=180°b∴∠BAQ=∠AQM=180°又∵AB//CD，∴MQ//CD，∴∠CQM=180°a∴∠AQC=（180°b）（180°a）=ab又∵由（1）得∴∠BAP+∠DCP=90°∵∠DCP=180°2a

，∠BAP=2b∴2b+180°2a=90°∴ab=45°∴∠AQC=45°【解析】【分析】（1）過P作PQ∥AB，根據(jù)平行線的判定定理得出PQ//CD，由平行線的性質(zhì)，得到∠BAP=∠APQ，∠DCP=∠CPQ，結(jié)合AP⊥PC，即可得到答案；（2）過Q作QM∥AB，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得到角度之間的關(guān)系，即可得到答案.11．（1）解：∵點M、N分別是點P關(guān)于AO、BO所在直線的對稱點.∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，∴EM=EP，F(xiàn)P=FN，∴MN=EM+EF+FN=EP+EF+FP=△PEF的周長，又∵△PEF的周長為20，∴MN=20cm.（2）解：由（1）知：EM=EP，F(xiàn)P=FN，∴∠PEF=2∠M，∠PFE=2∠N，∵∠PCE=∠PDF=90°，∴在四邊形OCPD中，∠CPD+∠O=180°，又∵在△PMN中，∠MPN+∠M+∠N=180°，且∠CPD+∠O=180°，∴∠M+∠N=∠O=50°.∴在△PEF中，∠EPF+∠PEF+∠PFE=∠EPF+2∠M+2∠N=180°，即∠EPF=180°-2∠M-2∠N=180°-2（∠M+∠N）=180°-2∠O