2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽省隊(duì)選拔試卷一、選擇題（每題5分，共8題，滿分40分）復(fù)數(shù)與幾何若復(fù)數(shù)(z)滿足(|z-1|=|z+i|)，且(|z|=\sqrt{2})，則(z)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）A.(1)B.(\sqrt{2})C.(2)D.(2\sqrt{2})函數(shù)迭代與不動(dòng)點(diǎn)定義函數(shù)(f(x)=\frac{2x+3}{x+2})，若(f(f(f(a)))=a)，則實(shí)數(shù)(a)的值為（）A.(-3)B.(-1)C.(1)D.(3)立體幾何與體積在棱長為(2)的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(diǎn)(P)為棱(CC_1)的中點(diǎn)，過點(diǎn)(A)、(P)、(D_1)的平面截正方體所得截面的面積為（）A.(3\sqrt{2})B.(4\sqrt{2})C.(2\sqrt{6})D.(3\sqrt{3})數(shù)列與不等式已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n})，則下列不等式成立的是（）A.(a_{100}>14)B.(13<a_{100}<14)C.(12<a_{100}<13)D.(a_{100}<12)解析幾何與軌跡已知橢圓(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左焦點(diǎn)為(F)，過(F)且斜率為(\sqrt{3})的直線與橢圓交于(A)、(B)兩點(diǎn)，若(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})，則橢圓的離心率為（）A.(\frac{1}{3})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{2}{3})D.(\frac{3}{5})組合計(jì)數(shù)與概率將(5)個(gè)不同的小球放入(3)個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球，則恰有一個(gè)盒子放(3)個(gè)小球的概率為（）A.(\frac{5}{14})B.(\frac{15}{28})C.(\frac{5}{28})D.(\frac{15}{49})三角函數(shù)與最值函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx+\sinx\cosx)在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值為（）A.(2)B.(\frac{1+2\sqrt{2}}{2})C.(\frac{3}{2})D.(\sqrt{2}+\frac{1}{2})數(shù)論與整除使得(2^{n}+3^{n})能被(5)整除的正整數(shù)(n)的最小值為（）A.(2)B.(3)C.(4)D.(5)二、填空題（每題6分，共6題，滿分36分）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)若函數(shù)(f(x)=x^3-3ax^2+3(a^2-1)x+1)在區(qū)間((-1,2))內(nèi)存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍為________。數(shù)列求和已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1})，則數(shù)列({a_na_{n+1}})的前(n)項(xiàng)和(S_n=)________。立體幾何與距離在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(\angleBAC=90^\circ)，(AB=AC=AA_1=2)，則異面直線(A_1B)與(AC_1)所成角的余弦值為________。不等式證明若正實(shí)數(shù)(x)、(y)滿足(x+2y=1)，則(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值為________。排列組合某班有(6)名同學(xué)報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，每人限報(bào)一科，若每個(gè)競賽至少有(1)人參加，則不同的報(bào)名方法共有________種。數(shù)論與方程方程(x^2+y^2=2025)的正整數(shù)解((x,y))的組數(shù)為________。三、解答題（共5題，滿分74分）15.（14分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax^2+(2-a)x)，其中(a\in\mathbb{R})。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若函數(shù)(f(x))有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。16.（15分）已知數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，滿足(S_n=2a_n-n)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)，并證明(T_n<\frac{1}{2})。17.（15分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線(l)與拋物線交于(A)、(B)兩點(diǎn)，點(diǎn)(M)為線段(AB)的中點(diǎn)，且(OM\perpAB)（(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)）。（1）求直線(l)的方程；（2）求(\triangleAOB)的面積。18.（15分）在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=120^\circ)，(PA=3)。（1）求證：平面(PBC\perp)平面(PAB)；（2）求二面角(B-PC-A)的余弦值。19.（15分）（1）證明：對于任意正整數(shù)(n)，不等式(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}<\fra