2025年下學期高中數(shù)學競賽圖論問題試卷一、選擇題（每題5分，共30分）完全圖性質(zhì)：設(shè)(K_n)為含(n)個頂點的完全圖，其邊數(shù)為(m)，則下列說法正確的是（）A.當(n=5)時，(K_n)的邊數(shù)為15B.(K_n)中任意兩頂點的最短路徑長度均為1C.(K_n)的生成樹數(shù)量為(n^{n-2})（凱萊公式）D.若(n)為偶數(shù)，則(K_n)不存在完美匹配歐拉回路判定：在下列4個無向圖中，一定存在歐拉回路的是（）A.頂點數(shù)為5，邊數(shù)為8的連通圖B.所有頂點度數(shù)均為偶數(shù)的非連通圖C.頂點數(shù)為3的完全圖(K_3)D.包含1個度數(shù)為奇數(shù)頂點的樹平面圖性質(zhì)：若一個簡單平面圖有(V=8)個頂點，(E=12)條邊，則其面數(shù)(F)為（）A.4B.6C.8D.10樹的結(jié)構(gòu)：已知一棵無向樹有3個度數(shù)為3的頂點，2個度數(shù)為2的頂點，其余頂點均為葉子節(jié)點，則該樹的葉子節(jié)點數(shù)為（）A.5B.6C.7D.8圖的同構(gòu)：下列哪組圖一定同構(gòu)（）A.頂點數(shù)均為4，邊數(shù)均為5的兩個無向圖B.兩個具有相同頂點度序列的樹C.頂點數(shù)為5的完全圖與5階圈圖D.兩個3階正則圖有向圖路徑計數(shù)：在含4個頂點的有向完全圖中，從頂點(v_1)到(v_4)的長度為3的路徑（允許重復頂點）有（）A.16條B.27條C.64條D.81條二、填空題（每題6分，共30分）二分圖匹配：在一個(3\times4)的二部圖(G=(X,Y,E))中，(X={x_1,x_2,x_3})，(Y={y_1,y_2,y_3,y_4})，邊集(E={(x_1,y_1),(x_1,y_2),(x_2,y_2),(x_2,y_3),(x_3,y_3),(x_3,y_4)})，則其最大匹配的邊數(shù)為________。最短路徑問題：在加權(quán)圖中，頂點(A)到(B)的最短路徑長度為10，若將所有邊的權(quán)重同時增加2，則新圖中(A)到(B)的最短路徑長度________（填“一定增加”“一定不變”或“可能變化”）。拉姆塞數(shù)初步：若要保證6個人中必有3人互相認識或3人互相不認識，則對應(yīng)的拉姆塞數(shù)為________。有向圖強連通性：含5個頂點的有向圖至少需要________條邊才能保證其為強連通圖。網(wǎng)絡(luò)流問題：在一個容量網(wǎng)絡(luò)中，源點為(S)，匯點為(T)，若最小割的容量為8，且存在一條從(S)到(T)的增廣路徑，其殘余容量為3，則增廣后最大流的值為________。三、解答題（共4題，120分）12.（25分）樹的性質(zhì)與構(gòu)造已知一棵無向樹(T)有(n)個頂點，且所有頂點的度數(shù)之和為18。（1）求(n)的值；（2）若(T)中存在一個度數(shù)為4的頂點，其余頂點度數(shù)均不超過3，求(T)中度數(shù)為3的頂點的個數(shù)；（3）畫出滿足（2）條件的兩棵不同構(gòu)的樹。13.（30分）平面圖與染色問題（1）證明：任意簡單平面圖中至少存在一個度數(shù)不超過5的頂點；（2）用四種顏色對一個連通平面圖的面進行染色，要求相鄰面顏色不同。若該圖有10個頂點、15條邊，求最少需要幾種顏色，并說明理由；（3）舉例說明存在需要四種顏色染色的平面圖（畫出示意圖）。14.（35分）路徑計數(shù)與動態(tài)規(guī)劃在平面直角坐標系中，從原點((0,0))出發(fā)，每次只能向右（+1,0）或向上（0,+1）移動一步，且不能經(jīng)過點((3,3))和((6,7))，求到達點((10,10))的不同路徑數(shù)。（注：可使用容斥原理或動態(tài)規(guī)劃方法，要求寫出關(guān)鍵步驟）15.（30分）競賽圖與拉姆塞理論（1）證明：任意含6個頂點的競賽圖中，至少存在一個3階有向圈；（2）在一次數(shù)學競賽中，有8名選手，每名選手與其他選手均進行一場比賽（無平局）。若規(guī)定：若選手(A)勝(B)，(B)勝(C)，(C)勝(A)，則稱(A,B,C)構(gòu)成一個“3階循環(huán)”。證明：該競賽中至少存在兩個3階循環(huán)。四、附加題（20分，不計入總分）圖論在信息傳遞中的應(yīng)用：某通信網(wǎng)絡(luò)有10個節(jié)點，每個節(jié)點可向與其直接相連的節(jié)點發(fā)送信息，信息傳遞無延遲且可雙向傳播。已知該網(wǎng)絡(luò)的直徑為3（任意兩節(jié)點的最大距離為3），且節(jié)點的最小度數(shù)為2。（1）證明：該網(wǎng)絡(luò)中至少存在一個長度不小于4的圈；（2）若每個節(jié)點最多