2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽游戲與博弈試卷一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$在區(qū)間$[a,b]$上的值域?yàn)?[-3,1]$，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是___________。設(shè)曲線$C$為雙曲線$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$與直線$x=0$，$x=50$圍成的平面區(qū)域（不含邊界），則區(qū)域$C$內(nèi)整點(diǎn)（縱橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個數(shù)是___________。已知等差數(shù)列${a_n}$與等比數(shù)列${b_n}$滿足$a_1=3$，$b_1=1$，$a_2=b_2$，$a_5=b_3$，且存在常數(shù)$k$使得對每一個正整數(shù)$n$都有$a_n=\log_kb_n+c$，則$c=$___________。函數(shù)$f(x)=\sinx(\cos^2x-a)-3x$在$[-\pi,\pi]$上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是___________。兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6者為勝，則先投擲人的獲勝概率為___________。在正三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=2$，$AA_1=2$，$P$是$B_1C_1$的中點(diǎn)，二面角$B-A_1P-B_1$的余弦值為___________。設(shè)$x,y,z$是正整數(shù)，且滿足$x\leqy\leqz$，則方程$x+y+z=2025$的正整數(shù)解的個數(shù)是___________。已知函數(shù)$f(x)=2x^3+5x-2$，則其零點(diǎn)$r$可以表示為無窮級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}r^{a_n}$，其中${a_n}$是嚴(yán)格遞增的正整數(shù)列，則$a_n=$___________。二、解答題（本題滿分56分）9.（本小題滿分16分）已知函數(shù)$f(x)=|x^2-ax|$在區(qū)間$[0,1]$上的最大值為$M(a)$，試求$M(a)$的最小值。10.（本小題滿分20分）已知拋物線$y^2=6x$上的兩個動點(diǎn)$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$滿足$x_1+x_2=4$，線段$AB$的垂直平分線與$x$軸交于點(diǎn)$C$，求$\triangleABC$面積的最大值。11.（本小題滿分20分）一種密碼鎖的密碼設(shè)置是在正十二邊形的每個頂點(diǎn)處賦值0和1兩個數(shù)中的一個，同時(shí)在每個頂點(diǎn)處涂染紅、藍(lán)兩種顏色之一，使得任意相鄰兩個頂點(diǎn)的賦值不同且顏色不同。求這種密碼鎖共有多少種不同的密碼設(shè)置。三、游戲策略題（本題滿分40分）12.（本小題滿分40分）甲、乙兩人在一個$5\times5$的方格棋盤上進(jìn)行游戲，規(guī)則如下：初始時(shí)棋盤為空，兩人輪流在棋盤的空格中放置棋子，甲放置黑子，乙放置白子；當(dāng)棋盤上出現(xiàn)3個連續(xù)同色棋子（橫、豎或?qū)蔷€方向）時(shí)，該玩家獲勝；若棋盤被填滿仍未出現(xiàn)3連子，則為平局。（1）證明：甲有必勝策略或平局策略；（2）若將棋盤改為$4\times4$，乙是否存在必勝策略？請說明理由；（3）在$5\times5$棋盤上，若規(guī)定先形成4連子者獲勝，甲的獲勝概率如何變化？四、博弈論應(yīng)用題（本題滿分50分）13.（本小題滿分50分）某地區(qū)有兩家新能源汽車廠商A和B，在電池續(xù)航技術(shù)上進(jìn)行研發(fā)競賽。已知：每家廠商可選擇"高投入研發(fā)"或"低投入研發(fā)"兩種策略；若A高投入而B低投入，A將獲得12億元利潤，B獲得3億元；若B高投入而A低投入，B將獲得15億元利潤，A獲得2億元；若雙方均高投入，A將獲得8億元利潤，B獲得7億元；若雙方均低投入，A將獲得6億元利潤，B獲得5億元。（1）構(gòu)建該博弈的支付矩陣，并求出納什均衡；（2）若博弈重復(fù)進(jìn)行無限次，貼現(xiàn)因子$\delta=0.8$，雙方是否可能達(dá)成合作均衡？（3）若引入第三方監(jiān)管機(jī)構(gòu)，對高投入研發(fā)的廠商給予2億元補(bǔ)貼，此時(shí)納什均衡如何變化？（4）在（3）的條件下，若廠商可以進(jìn)行策略溝通，B廠商的最優(yōu)聲明策略是什么？五、開放探究題（本題滿分50分）14.（本小題滿分50分）考慮一個由$n$個選手參加的單循環(huán)賽制游戲，每個選手與其他選手各比賽一次，每場比賽有勝負(fù)（無平局）。定義選手$A$的"支配集"為所有被$A$擊敗的選手以及被$A$的擊敗者擊敗的選手組成的集合。（1）證明：存在至少一個選手，其支配集包含所有其他選手（稱為"國王"）；（2）當(dāng)$n=5$時(shí)，最多可能有幾個國王？（3）設(shè)計(jì)一個算法，在給定比賽結(jié)果矩陣時(shí)，找出所有國王，并用偽代碼描述；（4）若每個選手的實(shí)力是$[0,1]$上的均勻隨機(jī)變量，實(shí)力高的選手總能擊敗實(shí)力低的選手，求$n=3$時(shí)存在唯一國王的概率。參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)（簡要版）一、填空題$[-4,-1]$（提示：分類討論函數(shù)單調(diào)性）$1920$（提示：利用雙曲線對稱性和整點(diǎn)計(jì)數(shù)公式）$2$（提示：建立方程求解等差等比數(shù)列參數(shù)）$[-\frac{1}{2},+\infty)$（提示：導(dǎo)數(shù)恒非正轉(zhuǎn)化為不等式恒成立）$\frac{6}{11}$（提示：無窮級數(shù)求和或遞推方程）$\frac{\sqrt{10}}{5}$（提示：空間向量法或幾何法求二面角）$336675$（提示：分類討論相等與不等情況）$3n-2$（提示：等比數(shù)列求和公式反推）二、解答題最小值為$\frac{1}{4}$（當(dāng)$a=1$時(shí)取得），分$a\leq0$、$0<a<2$、$a\geq2$三種情況討論函數(shù)最大值點(diǎn)。最大值為$12\sqrt{3}$，關(guān)鍵步驟：證明$C$為定點(diǎn)$(5,0)$，利用韋達(dá)定理和弦長公式建立面積函數(shù)。密碼設(shè)置種數(shù)為$8$，利用遞推關(guān)系或矩陣特征值法求解。三、游戲策略題（1）甲可采用中心對稱策略確保平局；（2）乙存在必勝策略；（3）獲勝概率降低，需形成更長連子。四、博弈論應(yīng)用題（1）納什均衡為（高投入，高投入）；（2）能達(dá)成合作均衡；（3）納什均衡變?yōu)椋ǖ屯度?，高投入）；?）B應(yīng)聲明選擇低投入。五、開放探究題（1）利