2025年下學期高中數(shù)學競賽整除性質(zhì)試卷一、選擇題（每題5分，共30分）若72整除五位數(shù)$\overline{a679b}$，則$a+b$的值為（）A.5B.6C.7D.8設$n$為正整數(shù)，若$n^3+100$能被$n+10$整除，則$n$的最大值為（）A.890B.900C.910D.920下列命題中正確的是（）A.若$a|bc$，則$a|b$或$a|c$B.若$a|b$且$a|c$，則$a|(mb+nc)$對任意整數(shù)$m,n$成立C.若$a^2|b^2$，則$a|b$D.若$a|b+c$且$a|b-c$，則$a|b$且$a|c$能被225整除且各位數(shù)字僅由0和1組成的最小自然數(shù)是（）A.11111111100B.111111111000C.1111111110000D.11111111100000設$a,b,c$為滿足$1<a<b<c$的整數(shù)，且$(ab-1)(bc-1)(ca-1)$能被$abc$整除，則$a+b+c$的值為（）A.10B.11C.12D.13若$n$為正整數(shù)，則$n^2+2n+12$被121除的余數(shù)不可能是（）A.12B.24C.36D.48二、填空題（每題5分，共30分）設$N=\overline{1x2y3z}$是一個六位數(shù)，且$7|N$，$8|N$，$9|N$，則$x+y+z=$______。使得$2025|n!$成立的最小正整數(shù)$n$是______。已知$a,b$為正整數(shù)，且$ab+1$整除$a^2+b^2$，則$\frac{a^2+b^2}{ab+1}$的值為______。設$S$是整數(shù)的非空集合，滿足：若$a,b\inS$，則$a-b\inS$，且存在非零元素。則$S$中所有元素的最大公約數(shù)是______。在數(shù)列$1,3,5,\cdots,2n-1$中，前$n$項乘積的末尾0的個數(shù)是______。若$p$是素數(shù)，且$p|2^{p-1}-1$，則$p$的最小值是______。三、解答題（每題20分，共100分）證明：對任何整數(shù)$n$，$\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}$都是整數(shù)，且用3除時余2。設$a$是不能被2和3整除的整數(shù)，證明：$a^2+23$必能被24整除。已知正整數(shù)$n$使得$51000|n$且$n$的各位數(shù)字中不含0，求最小的這樣的$n$。設$k$為正整數(shù)，且$k|1^2+2^2+\cdots+n^2$對某個正整數(shù)$n$成立，證明：$k$不可能是形如$4m+3$的素數(shù)。設$p$是奇素數(shù)，證明：存在無窮多個正整數(shù)$n$，使得$p|n^n-1$。四、附加題（每題25分，共50分）設$a,b,c$是正整數(shù)，且$a+b+c=2025$，$abc=2025^{2025}$，求$a,b,c$的最大公約數(shù)。證明：對任意正整數(shù)$m,n$，$2^{mn}-1$與$2^m-1$的最大公約數(shù)是$2^{(m,n)}-1$。參考答案及評分標準（部分）一、選擇題B2.A3.B4.A5.A6.D二、填空題142.153.14.15.06.3三、解答題（1題詳解）證明：原式可化為$\frac{3n^5+5n^3+7n}{15}$，只需證分子能被15整除。（1）先證能被3整除：$n^5\equivn\mod3$（費馬小定理），$n^3\equivn\mod3$∴分子$\equiv3n+5n+7n=15n\equiv0\mod3$（2）再證能被5整除：$n^5\equivn\mod5$（費馬小定理）∴分子$\equiv3n+5n+7n=15n\equiv0\mod5$∵(3,5)=1，∴分子能被15整除，即原式為整數(shù)。又$n^5\equivn\mod3$，$n^3\equivn\mod3$∴原式$\equiv\frac{n}{5}+\frac{n}{3}+\frac{7n}{15}=\frac{3n+5n+7n}{15}=n\mod3$當$n\equiv2\mod3$時，原式$\equiv2\mod3$，得證。（注：完整試卷應包含所有解答題的詳細證明過程，此處僅展示第1題作為示例）命題說明試卷結(jié)構(gòu)參考全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試題型，分為選擇、填空、解答三部分，附加題供學有余力的學生選做。內(nèi)容覆蓋整除基本性質(zhì)、數(shù)論函數(shù)、素數(shù)理論、同余方程等核心知識點，重點考查：整除的基本判別法（如8,9,11的整除特征）素數(shù)性質(zhì)與費馬小定理應用最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)性質(zhì)數(shù)論構(gòu)造與存在性證明題目難度梯度設計合理，基礎題占40%，中檔題占40%，難題占20%，符合競賽選拔要求。部分題目改編自歷年競