2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽綜合素質(zhì)試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=1，且Re(z)≥0，則|z|的取值范圍是（）A.[1,3]B.[√3,3]C.[1,√5]D.[√3,√5]在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=3，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.16πB.20πC.24πD.28π已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，若函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，在x=3處取得極小值，則（）A.a=-6，b=9B.a=-6，b<9C.a=6，b=9D.a=6，b>9已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（）A.an=2??1-n-2B.an=2??1-n-1C.an=2?-n-1D.an=2?-n-2已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若|HF1|=3|HF2|，則雙曲線C的離心率為（）A.√2B.√3C.2D.√5已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)f(x)的最小正周期為πB.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=π/12對(duì)稱C.函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π/6,π/3]上單調(diào)遞增D.將函數(shù)f(x)的圖像向右平移π/6個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)y=sin2x的圖像已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x+1)≥1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[1,+∞)C.[2,+∞)D.?已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，若P(X<1)=0.2，P(1≤X<3)=0.5，則μ=（）A.1B.2C.3D.4已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為（）A.1B.2C.2√2D.4已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則不等式f(x)≥5的解集為（）A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.(-∞,-2]∪[3,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.(-∞,-4]∪[1,+∞)二、填空題（共5題，每題6分，共30分）已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則m=______。已知二項(xiàng)式(2x-1)?的展開式中，x3的系數(shù)為______。已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-2x在x=1處取得極值，則a=______。已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為1/2，過F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2的周長(zhǎng)為8，則橢圓C的方程為______。已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x，則不等式f(x-1)>0的解集為______。三、解答題（共6題，共70分）（10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=2，b=3，cosC=1/4。（1）求c的值；（2）求sin(A-C)的值。（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PD的中點(diǎn)。（1）求證：AE⊥平面PCD；（2）求平面AEC與平面PCD所成銳二面角的余弦值。（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=2an-1（n∈N*）。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=log?an，求數(shù)列{1/(bnbn+1)}的前n項(xiàng)和Tn。（12分）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，過A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M。（1）求證：直線MF平分∠AFx；（2）若|AF|=3|BF|，求直線AB的方程。（12分）已知函數(shù)f(x)=e?-ax-1（a∈R）。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。（12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x-1，g(x)=f(x)+(m-1)x。（1）若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；（2）若函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求m的取值范圍。四、附加題（共2題，每題20分，共40分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x+4|+…+|x-2023|+|x+2024|，其中x∈R。（1）求函數(shù)f(x)的最小值；（2）若關(guān)于x的方程f(x)=m有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an2+an，n∈N*。（1）證明：1/(an+1)=1/an-1/(an+1)；（2）設(shè)bn=1/(an+1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；（3）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，a???>2??1。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.D3.B4.C5.C6.D7.A8.B9.C10.A二、填空題-212.-16013.114.x2/4+y2/3=115.(-∞,0)∪(2,+∞)三、解答題（1）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×1/4=10，所以c=√10。（5分）（2）由cosC=1/4得sinC=√(1-cos2C)=√15/4，由正弦定理得sinA=asinC/c=2×√15/4/√10=√6/4，因?yàn)閍<b，所以A為銳角，cosA=√(1-sin2A)=√10/4，所以sin(A-C)=sinAcosC-cosAsinC=√6/4×1/4-√10/4×√15/4=√6/16-5√6/16=-√6/4。（10分）（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以AD⊥CD，因?yàn)镻A∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，因?yàn)锳E?平面PAD，所以CD⊥AE，因?yàn)镻A=AD，E是PD的中點(diǎn)，所以AE⊥PD，因?yàn)镃D∩PD=D，所以AE⊥平面PCD。（6分）（2）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，C(1,2,0)，E(0,1,1)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，所以向量AE=(0,1,1)，向量AC=(1,2,0)，由（1）知AE=(0,1,1)是平面PCD的一個(gè)法向量，設(shè)平面AEC的法向量為n=(x,y,z)，則n·AE=0，n·AC=0，即y+z=0，x+2y=0，令y=1，則z=-1，x=-2，所以n=(-2,1,-1)，設(shè)平面AEC與平面PCD所成銳二面角為θ，則cosθ=|n·AE|/|n||AE|=|0×(-2)+1×1+1×(-1)|/√(4+1+1)√(0+1+1)=0/√6√2=0，所以平面AEC與平面PCD所成銳二面角的余弦值為0。（12分）（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a1-1，即a1=2a1-1，解得a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=2an-1-1，所以an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1)=2an-2an-1，即an=2an-1，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an=2??1。（6分）（2）由（1）知bn=log?an=log?2??1=n-1，所以1/(bnbn+1)=1/[(n-1)n]=1/(n-1)-1/n（n≥2），當(dāng)n=1時(shí)，T1=0，當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=0+(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/(n-1)-1/n)=1-1/n，所以Tn=1-1/n（n∈N*）。（12分）（1）拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l：x=-1，設(shè)A(x1,y1)，則M(-1,y1)，所以直線MF的斜率kMF=(y1-0)/(-1,-1)=-y1/2，直線AF的斜率kAF=(y1-0)/(x1-1)=y1/(x1-1)，因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以y12=4x1，即x1=y12/4，所以kAF=y1/(y12/4-1)=4y1/(y12-4)，設(shè)直線MF的傾斜角為α，直線AF的傾斜角為β，則tanα=-y1/2，tanβ=4y1/(y12-4)，因?yàn)閠an2α=2tanα/(1-tan2α)=2×(-y1/2)/(1-(y12/4))=-y1/(1-y12/4)=4y1/(y12-4)=tanβ，所以2α=β或2α=β+π，因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以y1>0，所以α為鈍角，β為銳角，所以2α=β+π，即α=β/2+π/2，所以直線MF平分∠AFx。（6分）（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，代入拋物線方程得y2=4(ty+1)，即y2-4ty-4=0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=4t，y1y2=-4，因?yàn)閨AF|=3|BF|，所以y1=-3y2，所以y1+y2=-3y2+y2=-2y2=4t，即y2=-2t，y1=6t，所以y1y2=-12t2=-4，解得t2=1/3，即t=±√3/3，所以直線AB的方程為x=±√3/3y+1，即y=±√3(x-1)。（12分）（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f'(x)=e?-a，當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)=e?-a>0恒成立，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，得x=lna，當(dāng)x<lna時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>lna時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。（6分）（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x=lna處取得最小值f(lna)=e^lna-alna-1=a-alna-1，令g(a)=a-alna-1（a>0），則g'(a)=1-(lna+1)=-lna，當(dāng)0<a<1時(shí)，g'(a)>0，函數(shù)g(a)單調(diào)遞增，當(dāng)a>1時(shí)，g'(a)<0，函數(shù)g(a)單調(diào)遞減，所以g(a)≤g(1)=0，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以f(lna)<0，即a>1，又因?yàn)閒(0)=e?-0-1=0，當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞，所以函數(shù)f(x)在(0,lna)上有一個(gè)零點(diǎn)，在(lna,+∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，所以a的取值范圍是(1,+∞)。（12分）（1）g(x)=x3-3x2+3x-1+(m-1)x=x3-3x2+mx-1，g'(x)=3x2-6x+m，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，所以g'(x)≥0在[0,2]上恒成立，即3x2-6x+m≥0在[0,2]上恒成立，即m≥-3x2+6x在[0,2]上恒成立，令h(x)=-3x2+6x=-3(x-1)2+3，x∈[0,2]，則h(x)max=h(1)=3，所以m≥3，即m的取值范圍是[3,+∞)。（6分）（2）因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以g'(x)=3x2-6x+m=0在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令g'(x)=0，即3x2-6x+m=0，所以Δ=36-12m>0，即m<3，設(shè)方程3x2-6x+m=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=2，x1x2=m/3，因?yàn)榉匠淘?0,2)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以x1>0，x2>0，x1<2，x2<2，即x1x2=m/3>0，即m>0，且g'(0)=m>0，g'(2)=12-12+m=m>0，所以0<m<3，即m的取值范圍是(0,3)。（12分）（1）函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x+4|+…+|x-2023|+|x+2024|，共有2024項(xiàng)，其中絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的常數(shù)項(xiàng)為-2024,-2022,…,-2,1,3,…,2023，共有1012個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)和1012個(gè)正數(shù)項(xiàng)，根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x在中間區(qū)間時(shí)，函數(shù)取得最小值，中間區(qū)間為[-2,1]，當(dāng)x∈[-2,1]時(shí)，f(x)=(1-x)+(x+2)+(3-x)+(x+4)+…+(2023-x)+(x+2024)=1+2+3+4+…+2023+2024=2024×(2024+1)/2=2024×2025/2=1012×2025=2049300，所以函數(shù)f(x)的最小值為2049300。（10分）（2）當(dāng)x<-2024時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)-(x-3)-(x+4)-…-(x-2023)-(x+2024)=-2024x+(1-2+3-4+…+2023-2024)=-2024x+(-1012)，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)-2024≤x<-2022時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)-(x-3)-(x+4)-…-(x-2023)+(x+2024)=-2022x+(1-2+3-4+…+2023+2024)=-2022x+(1012+2024)=-2022x+3036，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，同理，當(dāng)x>2023時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[-2,1]時(shí)，函