2025年下學期高中數(shù)學臨門一腳試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)≤1}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x2-4x+3)+ln(x-2)的定義域為（）A.[1,3]B.(2,3]C.[1,2)∪(2,3]D.(2,+∞)已知向量a=(2,3)，b=(m,-6)，若a⊥b，則m的值為（）A.-4B.4C.-9D.9下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=lnxD.f(x)=e?-e??已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?=5，S?=35，則a?=（）A.13B.14C.15D.16在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，C=60°，則c=（）A.√7B.√13C.4D.7已知圓C：(x-2)2+(y+1)2=4，則過點P(1,2)的圓的切線方程為（）A.x=1B.3x+4y-11=0C.x=1或3x+4y-11=0D.4x+3y-10=0函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)解析式為（）A.f(x)=2sin(2x+π/3)B.f(x)=2sin(2x-π/3)C.f(x)=2sin(x+π/3)D.f(x)=2sin(x-π/3)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.12B.16C.24D.32已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(3,√6)，則雙曲線的方程為（）A.x2/3-y2/6=1B.x2/6-y2/3=1C.x2/2-y2/4=1D.x2/4-y2/2=1從1,2,3,4,5這5個數(shù)字中隨機抽取3個數(shù)字，則這3個數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，若對于任意x?,x?∈[0,2]，都有|f(x?)-f(x?)|≤m，則m的最小值為（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z|=______。已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1處取得極大值7，在x=3處取得極小值，則a+b+c=______。已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線交拋物線于A,B兩點，若|AF|=3，則|BF|=______。已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)=x3，則f(2025)=______。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1(n∈N*)。（1）證明：數(shù)列{a?+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a?}的前n項和S?。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足acosB+bcosA=2ccosC。（1）求角C的大?。唬?）若c=2√3，△ABC的面積為2√3，求a+b的值。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥底面ABC，AC=BC=AA?=2，∠ACB=90°，D為AB的中點。（1）求證：AC?⊥平面B?CD；（2）求二面角B?-CD-B的余弦值。（本小題滿分12分）某學校為了解學生的數(shù)學學習情況，隨機抽取了100名學生進行數(shù)學成績調查，得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計這100名學生數(shù)學成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從成績在[80,90)和[90,100]的學生中隨機抽取2人，求這2人成績都在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(1,√2/2)。（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l與橢圓C交于A,B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求證：原點O到直線l的距離為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當a=1時，設函數(shù)f(x)的兩個零點為x?,x?(x?<x?)，求證：x?+x?>2。參考答案與解析一、選擇題B解析：A={1,2}，B=(1,3]，所以A∩B={2}。B解析：要使函數(shù)有意義，需滿足x2-4x+3≥0且x-2>0，解得x∈(2,3]。D解析：因為a⊥b，所以a·b=2m-18=0，解得m=9。A解析：f(x)=x3是奇函數(shù)且在R上單調遞增。C解析：設等差數(shù)列公差為d，則a?+d=5，5a?+10d=35，解得a?=3，d=2，所以a?=a?+6d=15。A解析：由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-6=7，所以c=√7。C解析：圓心(2,-1)，半徑2。當切線斜率不存在時，切線方程為x=1；當切線斜率存在時，設切線方程為y-2=k(x-1)，由圓心到切線的距離等于半徑，得|2k+1-k+2|/√(k2+1)=2，解得k=-3/4，切線方程為3x+4y-11=0。B解析：由圖像知A=2，T=π，所以ω=2。又圖像過點(π/6,2)，所以2=2sin(2×π/6+φ)，解得φ=-π/3。B解析：該幾何體為四棱錐，底面是邊長為4的正方形，高為3，體積V=1/3×4×4×3=16。A解析：離心率e=c/a=√3，所以c=√3a，b2=c2-a2=2a2。又雙曲線過點(3,√6)，所以9/a2-6/b2=1，解得a2=3，b2=6。C解析：從5個數(shù)字中隨機抽取3個數(shù)字，共有10種取法。3個數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有：3個偶數(shù)（0種）或1個偶數(shù)2個奇數(shù)（3種），所以概率為3/5。C解析：f'(x)=3x2-6x+2，令f'(x)=0，得x=1±√3/3。在[0,2]上，f(x)在[0,1-√3/3]上單調遞增，在[1-√3/3,1+√3/3]上單調遞減，在[1+√3/3,2]上單調遞增。f(0)=0，f(1-√3/3)=2(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=2-√3，f(1+√3/3)=2(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=2+√3，f(2)=0。所以|f(x?)-f(x?)|≤2√3，m的最小值為2√3≈3.464，選項中最接近的是3，但實際計算最大值與最小值之差為(2+√3)-(2-√3)=2√3≈3.464，所以m的最小值為4，無正確選項?？赡茴}目有誤，若將區(qū)間改為[0,3]，則m=2。二、填空題√2解析：z=2i/(1+i)=i(1-i)=1+i，|z|=√2。-3解析：f'(x)=3x2+2ax+b，由題意得f'(-1)=3-2a+b=0，f'(3)=27+6a+b=0，f(-1)=-1+a-b+c=7，解得a=-3，b=-9，c=2，所以a+b+c=-10。3/2解析：設A(x?,y?)，B(x?,y?)，由拋物線定義得x?+1=3，所以x?=2，代入拋物線方程得y?=±2√2。不妨設A(2,2√2)，則直線AB的方程為y=2√2(x-1)，與拋物線方程聯(lián)立得2x2-5x+2=0，解得x?=1/2，所以|BF|=x?+1=3/2。1解析：f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以函數(shù)周期為4。f(2025)=f(1)=13=1。三、解答題（1）證明：因為a???=2a?+1，所以a???+1=2(a?+1)，又a?+1=2，所以數(shù)列{a?+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列。（2）解：由（1）得a?+1=2?，所以a?=2?-1。S?=(2+22+...+2?)-n=2??1-n-2。（1）解：由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sin(A+B)=2sinCcosC。因為A+B=π-C，所以sinC=2sinCcosC，又sinC>0，所以cosC=1/2，C=π/3。（2）解：由面積公式得1/2absinC=2√3，解得ab=8。由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即12=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab，所以(a+b)2=36，a+b=6。（1）證明：以C為原點，CA,CB,CC?所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系。C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C?(0,0,2),B?(0,2,2),D(1,1,0)。AC?=(-2,0,2),CB?=(0,2,2),CD=(1,1,0)。AC?·CB?=0,AC?·CD=0，所以AC?⊥CB?,AC?⊥CD，又CB?∩CD=C，所以AC?⊥平面B?CD。（2）解：平面BCD的法向量為n?=(0,0,1)。設平面B?CD的法向量為n?=(x,y,z)，則n?·CB?=2y+2z=0，n?·CD=x+y=0，取n?=(1,-1,1)。cos<n?,n?>=n?·n?/(|n?||n?|)=1/√3=√3/3，所以二面角B?-CD-B的余弦值為√3/3。（1）解：由頻率分布直方圖得(0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.015)×10=1，解得a=0.01。（2）解：平均數(shù)=45×0.05+55×0.15+65×0.1+75×0.3+85×0.25+95×0.15=74.5。中位數(shù)在[70,80)內，設中位數(shù)為x，則0.05+0.15+0.1+(x-70)×0.03=0.5，解得x=76.67。（3）解：成績在[80,90)的學生有25人，在[90,100]的學生有15人。從40名學生中隨機抽取2人，共有C??2=780種取法。2人成績都在[90,100]的取法有C??2=105種，所以概率為105/780=7/52。（1）解：離心率e=c/a=√2/2，所以c=√2/2a，b2=a2-c2=a2/2。又橢圓過點(1,√2/2)，所以1/a2+1/(2b2)=1，解得a2=2，b2=1，橢圓方程為x2/2+y2=1。（2）證明：當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0。設A(x?,y?),B(x?,y?)，則x?+x?=-4km/(1+2k2)，x?x?=(2m2-2)/(1+2k2)。因為OA⊥OB，所以x?x?+y?y?=0，即x?x?+(kx?+m)(kx?+m)=0，整理得(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0，代入得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)-4k2m2/(1+2k2)+m2=0，化簡得3m2=2(1+k2)，所以原點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√(2/3)=√6/3。當直線l斜率不存在時，直線l的方程為x=±√6/3，原點O到直線l的距離也為√6/3。綜上，原點O到直線l的距離為定值√6/3。（1）解：f'(x)=1/x-2ax+(2-a)=(-2ax2+(2-a)x+1)/x=-(2x+1)(ax-1)/x(x>0)。當a≤0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調遞增；當a>0時，令f'(x)=0，得x=1/a，函數(shù)f(x)在(0,1/a)上單調遞增，在(1/a,+∞)上單調遞減。（2）解：當a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調遞增，最多有一個零點；當a>0時，函數(shù)f(x)在x=1/a處取得最大值f(1/a)=ln(1/a)-a(1/a)2+(2-a)(1/a)=-lna-1/a+2/a-1=-lna+1/a-1。要使函數(shù)f(x)有兩個零點，需f(1/a)>0，即-lna+1/a-1>0。令g(a)=-lna+1/a-1(a>0)，則g'(a)=-1/a-1/a2<0，所以g(a)在(0,+∞)