2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)民辦學(xué)校試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(1,m))，(\vec=(2,-1))，若(\vec{a}\perp\vec)，則(m=)（）A.-2B.2C.(-\frac{1}{2})D.(\frac{1}{2})函數(shù)(f(x)=\ln(x^2-4x+5))的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.((-\infty,2))B.((2,+\infty))C.((1,5))D.((5,+\infty))某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(18\pi)C.(24\pi)D.(36\pi)（注：此處默認(rèn)三視圖為一個(gè)底面半徑3cm、高4cm的圓柱挖去一個(gè)同底等高的圓錐）已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，則(\tan(\alpha-\frac{\pi}{4})=)（）A.7B.-7C.(\frac{1}{7})D.(-\frac{1}{7})執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）A.10B.15C.20D.25（注：程序框圖功能為計(jì)算(S=1+3+5+\dots+(2n-1))）已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，點(diǎn)(P)在拋物線上，且(|PF|=3)，則點(diǎn)(P)的橫坐標(biāo)為（）A.1B.2C.3D.4已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.128B.256C.512D.1024函數(shù)(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))的圖像向左平移(\frac{\pi}{6})個(gè)單位后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A.(y=\sin2x)B.(y=\cos2x)C.(y=\sin(2x+\frac{\pi}{6}))D.(y=\sin(2x+\frac{2\pi}{3}))已知(x,y>0)，且(x+2y=1)，則(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值為（）A.3+2√2B.3-2√2C.4√2D.4已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若(f(a)=f(b)=f(c))，且(a<b<c)，則(a+b+c)的取值范圍是（）A.((-\infty,2))B.((0,2))C.((1,2))D.((2,+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）二項(xiàng)式((x-\frac{1}{x})^6)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為________。已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)________。某學(xué)校高二年級(jí)有5個(gè)班，從中選10名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每班至少選1名，共有________種不同的選法（用數(shù)字作答）。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(\triangleABC)的面積為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(a_3=5)，(S_5=25)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為(d)，則：[\begin{cases}a_1+2d=5,\5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25,\end{cases}]解得(a_1=1)，(d=2)，故(a_n=1+2(n-1)=2n-1)。（2）由（1）知(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\times4^n)，則({b_n})是首項(xiàng)為(2^1=2)，公比為4的等比數(shù)列，[T_n=\frac{2(4^n-1)}{4-1}=\frac{2}{3}(4^n-1)]18.（本小題滿分12分）某民辦學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查，得到如下頻率分布表：成績(jī)分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)515303515（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若從成績(jī)?cè)赱50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，求這2人成績(jī)均在[90,100]的概率。解析：（1）平均數(shù)(\overline{x}=55\times0.05+65\times0.15+75\times0.3+85\times0.35+95\times0.15=78.5)。（2）成績(jī)?cè)赱50,60)的學(xué)生有5人（記為A,B,C,D,E），[90,100]的學(xué)生有15人（記為F1~F15）?？偦臼录?shù)為(C_{20}^2=190)，2人成績(jī)均在[90,100]的事件數(shù)為(C_{15}^2=105)，故概率(P=\frac{105}{190}=\frac{21}{38})。19.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，側(cè)棱(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求三棱錐(C_1-ADC)的體積。解析：（1）連接(A_1C)交(AC_1)于點(diǎn)(O)，則(O)為(A_1C)的中點(diǎn)?！?D)為(BC)的中點(diǎn)，∴(OD\parallelA_1B)。又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，∴(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（2）∵(AA_1\perp)底面(ABC)，∴(CC_1\perp)底面(ABC)，(S_{\triangleADC}=\frac{1}{2}S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times2\times2=1)，(V_{C_1-ADC}=\frac{1}{3}S_{\triangleADC}\timesCC_1=\frac{1}{3}\times1\times2=\frac{2}{3})。20.（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(OA\perpOB)，求(m^2)的取值范圍。解析：（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2)。將點(diǎn)((2,1))代入橢圓方程：(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，故橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）聯(lián)立(\begin{cases}y=kx+m,\x^2+4y^2=8,\end{cases})得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，(\Delta=64k^2m^2-4(1+4k^2)(4m^2-8)>0\Rightarrow8k^2-m^2+2>0)。設(shè)(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})。∵(OA\perpOB)，∴(x_1x_2+y_1y_2=0)，(y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2)，代入得((1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0)，化簡(jiǎn)得(4m^2=8(1+k^2)\Rightarrowm^2=2(1+k^2))。結(jié)合(\Delta>0)，得(8k^2-2(1+k^2)+2>0\Rightarrowk^2\geq0)，故(m^2\geq2)。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解析：（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx+1-2x+1=\lnx-2x+2)。令(g(x)=\lnx-2x+2)，則(g'(x)=\frac{1}{x}-2)。當(dāng)(x\in(0,\frac{1}{2}))時(shí)，(g'(x)>0)，(g(x))單調(diào)遞增；當(dāng)(x\in(\frac{1}{2},+\infty))時(shí)，(g'(x)<0)，(g(x))單調(diào)遞減。(g(\frac{1}{2})=\ln\frac{1}{2}-1+2=1-\ln2>0)，(g(1)=0-2+2=0)，∴當(dāng)(x\in(0,1))時(shí)，(f'(x)>0)；當(dāng)(x\in(1,+\infty))時(shí)，(f'(x)<0)，故(f(x))的單調(diào)遞增區(qū)間為((0,1))，單調(diào)遞減區(qū)間為((1,+\infty))。（2）(f'(x)=\lnx+1-2ax+2a-1=\lnx-2a(x-1))，(f'(1)=0)。令(h(x)=\lnx-2a(x-1))，則(h'(x)=\frac{1}{x}-2a)。若(a\leq0)，則(h'(x)>0)，(h(x))在((0,+\infty))單調(diào)遞增，當(dāng)(x\in(0,1))時(shí)，(h(x)<h(1)=0)；當(dāng)(x\in(1,+\infty))時(shí)，(h(x)>0)，∴(f(x))在(x=1)處取得極小值，不符合題意。若(a>0)，令(h'(x)=0\Rightarrowx=\frac{1}{2a})。當(dāng)(\frac{1}{2a}>1)，即(0<a<\frac{1}{2})時(shí)，(h(x))在((0,1))單調(diào)遞增，在((1,\frac{1}{2a}))單調(diào)遞減，在((\frac{1}{2a},+\infty))單調(diào)遞增，此時(shí)(h(x))在(x=1)處取得極大值(h(1)=0)，當(dāng)(x\in(0,1))時(shí)，(h(x)<0)；當(dāng)(x\in(1,+\infty))時(shí)，(h(x)<0)，(f(x))在(x=1)處無(wú)極值，不符合題意。當(dāng)(\frac{1}{2a}=1)，即(a=\frac{1}{2})時(shí)，(h'(x)\leq0)，(h(x))單調(diào)遞減，(x\in(0,1))時(shí)(h(x)>0)，(x\in(1,+\infty))時(shí)(h(x)<0)，(f(x))在(x=1)處取得極大值，符合題意。當(dāng)(\frac{1}{2a}<1)，即(a>\frac{1}{2})時(shí)，(h(x))在((0,\frac{1}{2a}))單調(diào)遞增，在((\frac{1}{2a},1))單調(diào)遞減，在((1,+\infty))單調(diào)遞增，此時(shí)(h(x))在(x=1)處取得極小值(h(1)=0)，當(dāng)(x\in(0,1))時(shí)，(h(x)>0)；當(dāng)(x\in(1,+\infty))時(shí)，(h(x)>0)，(f(x))在(x=1)處無(wú)極值，不符合題意。綜上，(a=\frac{1}{2})。22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(e)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。（1）若(a=1)，證明：(f(x)\geq0)；（2）若(f(x))有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解析：（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x)=e^x-x-1)，(f'(x)=e^x-1)。令(f'(x)=0\Rightarrowx=0)。當(dāng)(x\in(-\infty,0))時(shí)，(f'(x)<0)，(f(x))單調(diào)遞減；當(dāng)(x\in(0,+\infty))時(shí)，(f'(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增。∴(f(x)_{\min}=f(0)=0)，故(f(x)\geq0)。（2）(f'(x)=e^x-a)。若(a\leq0)，則(f'(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增，最多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意。若(a>0)，令(f'(x)=0\Rightarrowx=\lna)。(f(x))在((-\i