2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)全球視野拓展試卷一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分）（一）單選題（每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）跨文化數(shù)學(xué)史：古埃及紙草書(shū)記錄的“截頂金字塔體積公式”（(V=\frac{h}{3}(a^2+ab+b^2))，其中(a,b)為上下底邊長(zhǎng)，(h)為高）與中國(guó)《九章算術(shù)》中的“芻童術(shù)”本質(zhì)一致。若某芻童上底邊長(zhǎng)2米，下底邊長(zhǎng)5米，高3米，其體積為（）A.21立方米B.31立方米C.41立方米D.51立方米全球化經(jīng)濟(jì)模型：某跨國(guó)公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為(C(x)=0.1x^2+2x+500)（單位：萬(wàn)元），當(dāng)該產(chǎn)品在A國(guó)售價(jià)為10萬(wàn)元/件、在B國(guó)售價(jià)為12萬(wàn)元/件時(shí)，若A國(guó)銷(xiāo)量(x)與B國(guó)銷(xiāo)量(y)滿(mǎn)足(x+2y=100)，則總利潤(rùn)最大時(shí)的A國(guó)銷(xiāo)量為（）A.30件B.40件C.50件D.60件數(shù)據(jù)科學(xué)基礎(chǔ)：2025年全球新能源汽車(chē)銷(xiāo)量數(shù)據(jù)（單位：萬(wàn)輛）如下表，其第75百分位數(shù)是（）|地區(qū)|亞洲|歐洲|北美|南美|非洲|大洋洲||------|------|------|------|------|------|--------||銷(xiāo)量|850|620|480|150|90|60|A.480B.550C.620D.850人工智能倫理：某AI算法推薦系統(tǒng)的準(zhǔn)確率(P)與用戶(hù)隱私泄露風(fēng)險(xiǎn)(R)滿(mǎn)足關(guān)系(P=1-e^{-0.5R})，當(dāng)準(zhǔn)確率達(dá)到90%時(shí)，隱私泄露風(fēng)險(xiǎn)(R)約為（(\ln10\approx2.30)）（）A.2.3B.4.6C.6.9D.9.2（二）多選題（每小題有多個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，選錯(cuò)得0分）跨學(xué)科融合：在氣候變化研究中，某地區(qū)年平均氣溫(T)（℃）與二氧化碳濃度(c)（ppm）的關(guān)系可近似用函數(shù)(T=k\log_2(c+100)+b)模擬。下列說(shuō)法正確的有（）A.若(k>0)，則氣溫隨二氧化碳濃度增加而上升B.當(dāng)(c=300)時(shí)，(T=k\log_2400+b)C.該函數(shù)圖像恒過(guò)點(diǎn)((-99,b))D.若濃度從400ppm增至800ppm，氣溫升高(k)℃國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽：2025年IMO（國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克）某題涉及“完美數(shù)”概念：若正整數(shù)(n)的所有真因數(shù)之和等于(n)，則稱(chēng)(n)為完美數(shù)（如(6=1+2+3)）。下列關(guān)于完美數(shù)的說(shuō)法正確的有（）A.28是完美數(shù)B.偶完美數(shù)的形式必為(2^{p-1}(2^p-1))（(2^p-1)為素?cái)?shù)）C.完美數(shù)都是三角形數(shù)D.存在奇完美數(shù)空間技術(shù)應(yīng)用：某衛(wèi)星軌道為橢圓，近地點(diǎn)距地球表面200公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地球表面36000公里，地球半徑約6400公里。若以地心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為42800公里B.橢圓離心率約為0.74C.近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度之比為18:1D.衛(wèi)星軌道的焦距為35800公里二、填空題（共5小題，每小題6分，共30分）文化遺產(chǎn)保護(hù)：埃及胡夫金字塔的側(cè)面是等腰三角形，底面正方形邊長(zhǎng)230米，側(cè)面三角形底邊上的高與金字塔高的比值為(\sqrt{5}:2)，則金字塔的高約為_(kāi)_______米（精確到1米）。全球公共衛(wèi)生：某傳染病在封閉人群中的傳播模型為(N(t)=\frac{1000}{1+999e^{-0.3t}})（(N(t))為感染人數(shù)，(t)為天數(shù)），則感染人數(shù)達(dá)到500人時(shí)，(t=)________（結(jié)果用對(duì)數(shù)表示）。量子計(jì)算基礎(chǔ)：量子比特的狀態(tài)可用復(fù)數(shù)(|ψ\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle)表示，其中(|a|^2+|b|^2=1)。若(a=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)，則(|b|^2=)________?？沙掷m(xù)發(fā)展：某地區(qū)通過(guò)植樹(shù)造林改善生態(tài)，森林面積(S(t))（平方公里）與時(shí)間(t)（年）的關(guān)系為(S(t)=1000+200\sin(\frac{\pi}{6}t))，則該地區(qū)森林面積的最大年增量為_(kāi)_______平方公里/年。跨語(yǔ)言編碼：將“GLOBAL”按字母在英文字母表中的位置（A=1，B=2，…，Z=26）轉(zhuǎn)換為數(shù)字序列([7,12,15,2,1,12])，則該序列的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______（結(jié)果保留根號(hào)）。三、解答題（共5小題，共70分）（12分）國(guó)際物流優(yōu)化某物流公司需將一批貨物從中國(guó)上海（北緯31°，東經(jīng)121°）運(yùn)至美國(guó)紐約（北緯41°，西經(jīng)74°），假設(shè)地球?yàn)榘霃?400公里的球體，兩點(diǎn)間沿球面的最短距離稱(chēng)為“大圓航線(xiàn)”。（1）求上海與紐約的經(jīng)度差（結(jié)果用角度制表示）；（2）利用球面三角形余弦定理(\cosc=\cosa\cosb+\sina\sinb\cosC)（其中(a,b)為兩緯度的余角，(C)為經(jīng)度差，(c)為圓心角弧度數(shù)），計(jì)算大圓航線(xiàn)的距離（精確到100公里）。（14分）全球人口結(jié)構(gòu)2025年某國(guó)際組織發(fā)布的全球人口年齡分布數(shù)據(jù)如下：|年齡組|0-14歲|15-64歲|65歲以上||--------|--------|---------|----------||占比|25%|60%|15%||平均年齡|7歲|35歲|72歲|（1）計(jì)算全球人口的平均年齡；（2）若65歲以上人口的年齡服從正態(tài)分布(N(72,10^2))，估計(jì)該年齡段人口中年齡超過(guò)82歲的比例（參考數(shù)據(jù)：(P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.68)）。（14分）人工智能協(xié)作某數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，學(xué)生獨(dú)立解題的正確率為60%，使用AI輔助后，正確解題的概率提升至90%，但AI可能給出錯(cuò)誤提示導(dǎo)致原本正確的解題過(guò)程出錯(cuò)（概率為5%）。（1）求使用AI后解題正確的概率；（2）若某學(xué)生使用AI解題正確，求其獨(dú)立解題也正確的概率（結(jié)果保留兩位小數(shù)）。（15分）星際航行軌道探測(cè)器從地球發(fā)射后沿拋物線(xiàn)軌道飛向火星，以地球?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)，軌道方程為(y=-\frac{1}{200}x^2+50)（單位：萬(wàn)公里），地球與火星的位置分別為((-100,0))和((100,0))。（1）求探測(cè)器軌道的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)探測(cè)器與地球、火星的距離相等時(shí)，求其坐標(biāo)；（3）證明：探測(cè)器在軌道上任意一點(diǎn)到地球和火星的距離之和為定值。（15分）數(shù)學(xué)文化探究（1）《九章算術(shù)》中“方程術(shù)”記載：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”（“秉”為容量單位）用矩陣解法求上、中、下禾每秉的實(shí)（斗）；（2）古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的墓志銘記載：“他生命的六分之一是童年，十二分之一是少年，再過(guò)七分之一建立家庭，五年后生子，子先父四年而卒，壽為父之半?！庇梅匠糖髞G番圖的壽命；（3）對(duì)比中國(guó)古代“方程術(shù)”與古希臘代數(shù)方法的異同，說(shuō)明數(shù)學(xué)文化的多樣性。四、開(kāi)放探究題（共1小題，20分）全球數(shù)學(xué)素養(yǎng)評(píng)估2025年P(guān)ISA測(cè)試新增“數(shù)學(xué)建模與全球議題”模塊，要求從以下主題中任選一個(gè)，完成一篇數(shù)學(xué)建模報(bào)告（字?jǐn)?shù)不少于300字）：主題A：用指數(shù)函數(shù)模型分析不同國(guó)家碳中和目標(biāo)的可行性；主題B：用網(wǎng)絡(luò)流理論優(yōu)化全球疫苗分配方案；主題C：用非歐幾何原理解釋地球表面航線(xiàn)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)邏輯。（注：需包含問(wèn)題假設(shè)、模型構(gòu)建、數(shù)據(jù)來(lái)源說(shuō)明、結(jié)論與反思四個(gè)部分）試卷設(shè)計(jì)說(shuō)明：全球視野：覆蓋跨文化數(shù)學(xué)史（埃及