2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)確定與隨機(jī)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列事件中，屬于確定性事件的是（）A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上B.明天太陽(yáng)從東方升起C.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心D.任意買一張電影票，座位號(hào)是奇數(shù)解析：確定性事件包括必然事件和不可能事件。選項(xiàng)B“明天太陽(yáng)從東方升起”是必然事件，屬于確定性事件；A、C、D均為隨機(jī)事件。2.已知集合(A={1,2,3})，(B={2,3,4})，從集合(A)和(B)中各隨機(jī)取一個(gè)元素，則這兩個(gè)元素之和為5的概率是（）A.(\frac{1}{3})B.(\frac{2}{9})C.(\frac{1}{6})D.(\frac{2}{3})解析：從集合(A)和(B)中各取一個(gè)元素，共有(3\times3=9)種基本事件，其中滿足“和為5”的事件有((1,4))、((2,3))、((3,2))，共3種，故概率為(\frac{3}{9}=\frac{1}{3})，選A。3.某班有50名學(xué)生，其中男生30人，女生20人?，F(xiàn)隨機(jī)抽取1名學(xué)生參加演講比賽，則抽到女生的概率是（）A.(\frac{1}{50})B.(\frac{1}{20})C.(\frac{2}{5})D.(\frac{3}{5})解析：女生人數(shù)為20，總?cè)藬?shù)為50，故概率為(\frac{20}{50}=\frac{2}{5})，選C。4.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（）A.(\frac{1}{6})B.(\frac{1}{9})C.(\frac{1}{12})D.(\frac{1}{36})解析：兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)組合共有(6\times6=36)種，其中和為7的組合有((1,6))、((2,5))、((3,4))、((4,3))、((5,2))、((6,1))，共6種，概率為(\frac{6}{36}=\frac{1}{6})，選A。5.已知隨機(jī)事件(A)和(B)互斥，且(P(A)=0.3)，(P(B)=0.5)，則(P(A\cupB)=)（）A.0.2B.0.5C.0.8D.1.0解析：互斥事件的概率加法公式為(P(A\cupB)=P(A)+P(B))，故(0.3+0.5=0.8)，選C。6.從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)字，則這兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率是（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{3}{10})C.(\frac{2}{5})D.(\frac{3}{5})解析：總事件數(shù)為(\text{C}_5^2=10)，奇數(shù)數(shù)字為1，3，5，抽取2個(gè)奇數(shù)的事件數(shù)為(\text{C}_3^2=3)，概率為(\frac{3}{10})，選B。7.下列說(shuō)法正確的是（）A.隨機(jī)事件的概率可以為負(fù)數(shù)B.概率為1的事件一定是必然事件C.概率為0的事件一定是不可能事件D.若事件(A)與(B)對(duì)立，則(P(A)+P(B)=1)解析：在幾何概型中，概率為0的事件可能發(fā)生（如單點(diǎn)事件），概率為1的事件可能不發(fā)生，故B、C錯(cuò)誤；隨機(jī)事件的概率取值范圍為([0,1])，A錯(cuò)誤；對(duì)立事件滿足(P(A)+P(B)=1)，D正確。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.某射手射擊一次，命中目標(biāo)的概率為0.8，若該射手連續(xù)射擊兩次，兩次都命中的概率是________。解析：兩次射擊相互獨(dú)立，故概率為(0.8\times0.8=0.64)。14.已知隨機(jī)變量(X)服從兩點(diǎn)分布，且(P(X=1)=0.6)，則(P(X=0)=)________。解析：兩點(diǎn)分布中，(P(X=0)+P(X=1)=1)，故(P(X=0)=1-0.6=0.4)。15.從含有2件次品的5件產(chǎn)品中，任取2件產(chǎn)品，則取出的2件產(chǎn)品中恰好有1件次品的概率是________。解析：總事件數(shù)為(\text{C}_5^2=10)，恰好1件次品的事件數(shù)為(\text{C}_2^1\times\text{C}_3^1=6)，概率為(\frac{6}{10}=\frac{3}{5})。16.在區(qū)間([0,2])上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)(x)，則(x)滿足(1<x<3)的概率是________。解析：區(qū)間([0,2])長(zhǎng)度為2，滿足(1<x<3)的區(qū)間為((1,2])，長(zhǎng)度為1，故概率為(\frac{1}{2})。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（10分）某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們每周參加體育鍛煉的時(shí)間（單位：小時(shí)），得到如下頻率分布表：鍛煉時(shí)間（小時(shí)）[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10]頻數(shù)1020302515（1）求(a)的值（注：題目中未給出(a)，此處應(yīng)為“求鍛煉時(shí)間在[4,6)內(nèi)的頻率”）；（2）從每周鍛煉時(shí)間在[0,2)和[8,10]的學(xué)生中任選2人，求這2人來(lái)自同一組的概率。解答：（1）頻率=頻數(shù)/總數(shù)，[4,6)的頻數(shù)為30，故頻率為(\frac{30}{100}=0.3)。（2）[0,2)組有10人，記為(A_1,A_2,\dots,A_{10})；[8,10]組有15人，記為(B_1,B_2,\dots,B_{15})?？?cè)藬?shù)為(10+15=25)人，任選2人的基本事件數(shù)為(\text{C}{25}^2=300)。來(lái)自同一組的事件數(shù)為(\text{C}{10}^2+\text{C}_{15}^2=45+105=150)，故概率為(\frac{150}{300}=0.5)。18.（12分）一個(gè)盒子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同。（1）從中任意取出1個(gè)球，求取出紅球的概率；（2）從中任意取出2個(gè)球，求取出的2個(gè)球顏色相同的概率。解答：（1）總球數(shù)為5，紅球3個(gè)，概率為(\frac{3}{5})。（2）取出2個(gè)球的總事件數(shù)為(\text{C}_5^2=10)。顏色相同的事件包括“2個(gè)紅球”和“2個(gè)白球”：2個(gè)紅球：(\text{C}_3^2=3)種；2個(gè)白球：(\text{C}_2^2=1)種。故概率為(\frac{3+1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5})。19.（12分）某商場(chǎng)舉辦抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的箱子中裝有大小相同的紅球、白球和黃球各1個(gè)，顧客每次從箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下顏色后放回，連續(xù)摸3次。若3次摸出的球顏色都相同，則獲得一等獎(jiǎng)；若3次摸出的球顏色都不同，則獲得二等獎(jiǎng)。（1）求顧客獲得一等獎(jiǎng)的概率；（2）求顧客獲得二等獎(jiǎng)的概率。解答：（1）每次摸球有3種可能，3次摸球共有(3^3=27)種基本事件。一等獎(jiǎng)為“3次顏色相同”，包括“3紅”“3白”“3黃”，共3種事件，概率為(\frac{3}{27}=\frac{1}{9})。（2）二等獎(jiǎng)為“3次顏色都不同”，即紅、白、黃各1次，共有(3!=6)種排列方式（如紅白黃、紅黃白等），概率為(\frac{6}{27}=\frac{2}{9})。20.（12分）已知隨機(jī)變量(X)的分布列為：(X)-1012(P)0.2(a)0.30.1（1）求(a)的值；（2）求(E(X))（數(shù)學(xué)期望）；（3）求(P(X\geq1))。解答：（1）由分布列性質(zhì)得：(0.2+a+0.3+0.1=1)，解得(a=0.4)。（2）(E(X)=(-1)\times0.2+0\times0.4+1\times0.3+2\times0.1=-0.2+0+0.3+0.2=0.3)。（3）(P(X\geq1)=P(X=1)+P(X=2)=0.3+0.1=0.4)。21.（12分）在邊長(zhǎng)為2的正方形(ABCD)中，點(diǎn)(P)是邊(AB)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)(Q)是邊(AD)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）。（1）若點(diǎn)(P)從點(diǎn)(A)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)(B)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)(Q)從點(diǎn)(A)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)(D)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(t)秒（(0<t<1)），求(t=0.5)時(shí)，(\triangleAPQ)的面積；（2）在（1）的條件下，求(\triangleAPQ)的面積大于1的概率。解答：（1）當(dāng)(t=0.5)時(shí)，(AP=t=0.5)，(AQ=2t=1)，(\triangleAPQ)的面積為(\frac{1}{2}\timesAP\timesAQ=\frac{1}{2}\times0.5\times1=0.25)。（2）由題意，(AP=t)，(AQ=2t)，面積(S=\frac{1}{2}\timest\times2t=t^2)。令(S>1)，即(t^2>1)，解得(t>1)，但(t\in(0,1))，故概率為0。22.（12分）某品牌汽車4S店為了解客戶對(duì)汽車配置的需求，隨機(jī)調(diào)查了100名客戶，其中有60名客戶要求配備倒車影像，有50名客戶要求配備全景天窗，有20名客戶同時(shí)要求配備倒車影像和全景天窗。（1）求客戶至少要求配備一種配置（倒車影像或全景天窗）的概率；（2）若從要求配備倒車影像的客戶中任選1人，求該客戶同時(shí)要求配備全景天窗的概率。解答：（1）設(shè)事件(A)為“配備倒車影像”，(B)為“配備全景天窗”，則(P(A)=0.6)，(P(B)=0.5)，(P(A\capB)=0.2)。至少配備一種配置的概率為(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)=0.6+0.5-0.2=0.9)。（2）要求配備倒車影像的客戶有60人，其中同時(shí)配備全景天窗的有20人，故概率為(\frac{20}{60}=\frac{1}{3})。四、附加題（本大題共1小題，共10分。不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）23.已知甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每人射擊3次，每次射擊的命中率分別為0.6和0.7，且兩人射擊相互獨(dú)立。（1）求甲恰好命中2次的概率；（2）求甲命中次數(shù)多于乙命中次數(shù)的概率。解答：（1）甲命中次數(shù)服從二項(xiàng)分布(B(3,0.6))，恰好命中2次的概率為(\text{C}_3^2\times0.6^2\times(1-0.6)=3\times0.36\times0.4=0.432)。（2）設(shè)甲命中次數(shù)為(X)，乙