2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)選拔性考試試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,4))若復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)（）A.(\frac{\sqrt{10}}{2})B.(\sqrt{5})C.(\frac{5}{2})D.(5)已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)（）A.3B.4C.5D.6函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+x^3}{x^2+1})的圖像大致為（）（選項(xiàng)圖略，提示：奇函數(shù)、極限值分析）已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.128B.256C.512D.1024某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（三視圖描述：正視圖為矩形，側(cè)視圖為三角形，俯視圖為矩形與三角形組合）A.(12,\text{cm}^3)B.(16,\text{cm}^3)C.(20,\text{cm}^3)D.(24,\text{cm}^3)已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\tan\alpha=2)，則(\sin2\alpha+\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=)（）A.(\frac{3\sqrt{2}+1}{5})B.(\frac{3\sqrt{2}+4}{5})C.(\frac{3\sqrt{2}+2}{5})D.(\frac{3\sqrt{2}+3}{5})執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）（程序框圖描述：初始(S=0,i=1)；循環(huán)(S=S+\frac{1}{i(i+2)})，(i=i+2)，直到(i>n)結(jié)束）A.(\frac{5}{12})B.(\frac{7}{12})C.(\frac{5}{24})D.(\frac{7}{24})已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線(l)與拋物線交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3|BF|)，則直線(l)的斜率為（）A.(\pm\sqrt{3})B.(\pm2\sqrt{2})C.(\pm2)D.(\pm\sqrt{2})已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的最小正周期為(\pi)，且其圖像關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對(duì)稱，則(\varphi=)（）A.(-\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{6})C.(-\frac{\pi}{3})D.(\frac{\pi}{3})在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.(13\pi)B.(25\pi)C.(29\pi)D.(34\pi)已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)，若對(duì)任意(x_1,x_2\in[0,2])，都有(|f(x_1)-f(x_2)|\leq4)，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.([0,4])B.([1,3])C.([2-2\sqrt{3},2+2\sqrt{3}])D.([2,4])二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為________。二項(xiàng)式((x-\frac{2}{x})^6)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________（用數(shù)字作答）。已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}\lnx,&x>0\e^x+a,&x\leq0\end{cases})，若函數(shù)(f(x))有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是________。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\angleA=60^\circ)，則(\triangleABC)的面積為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且滿足(a_1=1)，(S_{n+1}=2S_n+1)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=\log_2(a_n+1))，求數(shù)列({\frac{1}{b_nb_{n+1}}})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查，將成績(jī)分為([50,60),[60,70),\ldots,[90,100])五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖。（1）求圖中(a)的值，并估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)；（2）若從成績(jī)?cè)?[50,60))和([90,100])的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績(jī)?cè)谕唤M的概率。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC=BC)，(D)為(AB)的中點(diǎn)，(A_1D\perpAB_1)。（1）求證：(AC\perpBC)；（2）若(AC=BC=AA_1=2)，求二面角(A_1-CD-C_1)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點(diǎn)((2,\sqrt{2}))。（1）求橢圓(E)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(E)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{2})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)(O)為極點(diǎn)，(x)軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(C_2)的極坐標(biāo)方程為(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲線(C_1)的極坐標(biāo)方程和曲線(C_2)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)射線(\theta=\frac{\pi}{3})（(\rho\geq0)）與曲線(C_1,C_2)分別交于(A,B)兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)(O)），求(|AB|)的值。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題A2.A3.C4.B5.C6.B7.B8.A9.A10.B11.C12.D二、填空題814.-16015.((-1,0])16.(2\sqrt{3})三、解答題（1）由(S_{n+1}=2S_n+1)得(S_n=2S_{n-1}+1)（(n\geq2)），兩式相減得(a_{n+1}=2a_n)（(n\geq2)）。又(S_2=2S_1+1=3)，即(a_2=2=2a_1)，故數(shù)列({a_n})是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，(a_n=2^{n-1})。（2）(b_n=\log_2(2^{n-1}+1))（此處修正：應(yīng)為(a_n+1=2^{n-1}+1)？原題目可能存在筆誤，若按(a_n=2^n-1)則(b_n=n)，(T_n=1-\frac{1}{n+1})）（1）由頻率和為1得((0.005+0.02+a+0.035+0.01)\times10=1)，解得(a=0.03)；平均數(shù)為(55\times0.05+65\times0.2+75\times0.3+85\times0.35+95\times0.1=78)。（2）成績(jī)?cè)?[50,60))的學(xué)生有5人，([90,100])的學(xué)生有10人，總抽取方法數(shù)為(\text{C}_{15}^2=105)，同一組的方法數(shù)為(\text{C}5^2+\text{C}{10}^2=10+45=55)，概率為(\frac{55}{105}=\frac{11}{21})。（1）以(C)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)(AC=BC=a)，(AA_1=b)，則(A(a,0,0))，(B(0,a,0))，(A_1(a,0,b))，(B_1(0,a,b))，(D(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0))。由(\vec{A_1D}\cdot\vec{AB_1}=0)得(a^2=b^2)，結(jié)合直三棱柱性質(zhì)可證(AC\perpBC)。（2）二面角余弦值為(\frac{\sqrt{3}}{3})。（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})得(a^2=2b^2)，代入點(diǎn)((2,\sqrt{2}))得(\frac{4}{2b^2}+\frac{2}{b^2}=1)，解得(b^2=4)，(a^2=8)，橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1)。（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{2})得(m^2=4k^2+2)，弦長(zhǎng)(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{\Delta}}{8})，原點(diǎn)到直線距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}})，面積(S=\frac{1}{2}|AB|d=2\sqrt{2})（定值）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)，令(f'(x)=0)得(x=1)，故(f(x))在((0,1))遞增，在((1,+\infty))遞減。（2）(f'(x)=\lnx-2ax+2a)，(f''(x)=\frac{1}{x}-2a)。若(a\leq0)，(f'(x))在((