2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)壓軸題思維挑戰(zhàn)試卷一、解答題（共6小題，滿分150分）1.三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題（25分）已知函數(shù)$f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax$（$\omega>0$）的圖像在區(qū)間$[0,\pi]$內(nèi)與x軸有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)$g(x)=f(x)+\sqrt{3}f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$。（1）求$\omega$的取值范圍；（2）當(dāng)$\omega=2$時(shí)，求$g(x)$在$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$上的極值點(diǎn)；（3）若存在$x_0\in[0,\pi]$，使得$g(x_0)\geq2$，求$\omega$的最小值。思維突破點(diǎn)：第（1）問需將$f(x)$化為$A\sin(\omegax+\varphi)$形式，通過分析零點(diǎn)分布建立不等式組，注意區(qū)間端點(diǎn)的臨界情況；第（2）問需先化簡$g(x)$，再通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，特別注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中$\omega$對周期的影響；第（3）問可轉(zhuǎn)化為$g(x)$最大值問題，結(jié)合三角函數(shù)有界性與導(dǎo)數(shù)工具，需討論$\omega$不同取值時(shí)的函數(shù)圖像變化。2.概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列創(chuàng)新題（25分）某乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行發(fā)球訓(xùn)練，每次發(fā)球成功的概率為$p(0<p<1)$，且各次發(fā)球相互獨(dú)立。定義"訓(xùn)練周期"為連續(xù)成功2次發(fā)球或連續(xù)失敗2次發(fā)球所需要的訓(xùn)練次數(shù)，記訓(xùn)練周期為$\xi$。（1）求$\xi=2$和$\xi=3$的概率；（2）記$a_n=P(\xi=n)$，證明數(shù)列${a_n}$從第3項(xiàng)起成等比數(shù)列；（3）教練制定新規(guī)則：若連續(xù)3次發(fā)球成功則訓(xùn)練周期結(jié)束，記此時(shí)訓(xùn)練周期為$\eta$。比較$E(\xi)$與$E(\eta)$的大小關(guān)系，并說明理由。思維突破點(diǎn)：第（1）問需列舉$\xi=2$和$\xi=3$的所有可能發(fā)球序列，注意區(qū)分"成功-成功"與"失敗-失敗"兩種終止條件；第（2）問需建立遞推關(guān)系$a_n=(1-p)a_{n-1}+pa_{n-2}$，通過特征方程法求通項(xiàng)公式；第（3）問需重新定義狀態(tài)空間，利用全概率公式構(gòu)建無窮級(jí)數(shù)求和模型，可結(jié)合錯(cuò)位相減法求期望。3.立體幾何與空間向量題（25分）在3D打印技術(shù)中，某模型由直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$截去一部分形成。已知原三棱柱底面$ABC$中，$AB=AC=2$，$\angleBAC=120^\circ$，側(cè)棱長$AA_1=4$?，F(xiàn)沿過點(diǎn)$A_1$且與平面$BCC_1B_1$成$45^\circ$角的平面截該三棱柱，得到如圖所示的幾何體（圖略）。（1）若截面與棱$BC$交于點(diǎn)$D$，求$BD$的長度；（2）求截得幾何體的體積；（3）在截面上是否存在點(diǎn)$P$，使得$A_1P\perp$平面$ABP$？若存在，求出點(diǎn)$P$的位置；若不存在，說明理由。思維突破點(diǎn)：第（1）問建議建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面法向量與二面角關(guān)系列方程，注意坐標(biāo)系選擇對計(jì)算復(fù)雜度的影響；第（2）問可采用補(bǔ)形法或分割法，結(jié)合錐體體積公式，需準(zhǔn)確判斷截面形狀；第（3）問需轉(zhuǎn)化為線面垂直的向量條件，建立參數(shù)方程求解，注意檢驗(yàn)點(diǎn)$P$是否在截面上。4.圓錐曲線與新定義綜合題（25分）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若橢圓$C$上存在點(diǎn)$P$，使得點(diǎn)$P$到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為$3:1$，則稱橢圓$C$為"黃金橢圓"。已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦點(diǎn)為$F(1,0)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷是否為"黃金橢圓"；（2）過點(diǎn)$F$的直線$l$與橢圓交于$A,B$兩點(diǎn)，點(diǎn)$M$為線段$AB$的中點(diǎn)，若$OM\perpPF$（$O$為原點(diǎn)，$P$為（1）中所設(shè)點(diǎn)），求直線$l$的斜率；（3）設(shè)橢圓$C$的左頂點(diǎn)為$A$，過點(diǎn)$T(t,0)(t>0)$的直線與橢圓交于$D,E$兩點(diǎn)，直線$AD,AE$與直線$x=4$分別交于$G,H$兩點(diǎn)，記$\triangleOGH$的面積為$S$，若$S$為定值，求$t$的值。思維突破點(diǎn)：第（1）問需根據(jù)新定義建立方程，結(jié)合橢圓定義求出$a,b,c$，注意"存在性"證明只需找到一個(gè)滿足條件的點(diǎn)；第（2）問可采用點(diǎn)差法或聯(lián)立方程韋達(dá)定理，關(guān)鍵是將$OM\perpPF$轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零；第（3）問需通過參數(shù)方程表示$D,E$兩點(diǎn)，利用三點(diǎn)共線求出$G,H$坐標(biāo)，最后將面積表達(dá)式化簡為與參數(shù)無關(guān)的常數(shù)。5.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)創(chuàng)新題（25分）對于定義域?yàn)?\mathbb{R}$的函數(shù)$f(x)$，若存在非零常數(shù)$T$，使得對任意$x\in\mathbb{R}$，都有$f(x+T)=f(x)+T$成立，則稱$f(x)$為"擬周期函數(shù)"，$T$為函數(shù)的"擬周期"。（1）判斷函數(shù)$f(x)=x$是否為擬周期函數(shù)，若是，求出擬周期$T$；（2）已知函數(shù)$f(x)$是擬周期函數(shù)，且$f(0)=0$，其導(dǎo)函數(shù)$f'(x)$是周期為2的周期函數(shù)，若當(dāng)$x\in[0,2)$時(shí)，$f'(x)=x^2-1$，求$f(x)$在$[2,4)$上的解析式；（3）若函數(shù)$f(x)$是擬周期函數(shù)，且存在擬周期$T$，證明：函數(shù)$g(x)=f(x)-x$是周期函數(shù)；若$f(x)$在$[0,T]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，求$f(x)$在$[0,2T]$上的最大值。思維突破點(diǎn)：第（1）問需緊扣新定義，通過解方程$f(x+T)=f(x)+T$驗(yàn)證是否存在非零常數(shù)$T$；第（2）問需先求出$[0,2)$上的$f(x)$表達(dá)式，再利用擬周期定義推導(dǎo)$[2,4)$上的解析式，注意原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系；第（3）問證明需構(gòu)造輔助函數(shù)，通過擬周期定義變形推導(dǎo)周期，求最值時(shí)需討論$g(x)$的周期性對$f(x)$圖像的影響。6.數(shù)列與不等式綜合題（25分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}(n\in\mathbb{N}^*)$。（1）證明：$\sqrt{2}\leqa_n<2$對任意$n\geq2$恒成立；（2）記$b_n=a_n-\sqrt{2}$，證明：數(shù)列${b_n}$為遞減數(shù)列；（3）設(shè)$c_n=\frac{a_n-\sqrt{2}}{a_n+\sqrt{2}}$，證明：$c_1+c_2+\cdots+c_n<\frac{1}{2}$。思維突破點(diǎn)：第（1）問可采用數(shù)學(xué)歸納法，先證下界（基本不等式）再證上界（分析法），注意等號(hào)成立條件；第（2）問需作差$b_{n+1}-b_n$，結(jié)合（1）中的范圍證明差式小于零，可能需要通分后配方；第（3）問需先研究${c_n}$的遞推關(guān)系，通過放縮轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，關(guān)鍵是找到合適的放縮比例。7.立體幾何與概率交匯題（25分）在棱長為3的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點(diǎn)$E,F$分別是棱$A_1B_1,B_1C_1$上的動(dòng)點(diǎn)，且$A_1E=B_1F=\lambda(0<\lambda<3)$。（1）當(dāng)$\lambda=1$時(shí)，求三棱錐$B-EFD$的體積；（2）在點(diǎn)$E,F$運(yùn)動(dòng)過程中，求直線$DE$與平面$DFC$所成角的正弦值的取值范圍；（3）在棱$A_1B_1,B_1C_1$上隨機(jī)選取點(diǎn)$E,F$（即$\lambda$服從均勻分布），求直線$DE$與$DF$所成角大于$60^\circ$的概率。思維突破點(diǎn)：第（1）問可利用等體積法轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)，選擇易于計(jì)算的底面積和高；第（2）問需建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法表示線面角的正弦值，轉(zhuǎn)化為關(guān)于$\lambda$的函數(shù)求值域；第（3）問需先求出線線角的余弦值表達(dá)式，解不等式得到$\lambda$的取值范圍，再結(jié)合幾何概型計(jì)算概率。二、附加題（共2小題，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的同學(xué)選做）1.創(chuàng)新題型：認(rèn)知診斷模型（15分）在教育測量中，某知識(shí)點(diǎn)的掌握概率$P$與練習(xí)次數(shù)$n$的關(guān)系符合Logistic模型：$P(n)=\frac{1}{1+e^{-k(n-n_0)}}$，其中$k>0$為學(xué)習(xí)速率參數(shù)，$n_0$為掌握概率達(dá)到50%時(shí)的練習(xí)次數(shù)。已知某學(xué)生練習(xí)5次后掌握概率為80%，練習(xí)10次后掌握概率為95%。（1）求該模型的參數(shù)$k$和$n_0$；（2）若某次測試包含3個(gè)獨(dú)立的該知識(shí)點(diǎn)題目，每題答對概率等于掌握概率$P(n)$，求練習(xí)8次后該學(xué)生至少答對2題的概率。2.跨學(xué)科綜合題：投資回報(bào)率計(jì)算（15分）某投資者將10萬元資金投入兩種理財(cái)產(chǎn)品A和B，其中A產(chǎn)品的年化收益率為5%（復(fù)利計(jì)息），B產(chǎn)品每月固定收益300元。設(shè)投資A產(chǎn)品的金額為$x$萬元，一年后總收益為$y$元。（1）寫出$y$關(guān)于$x$的函數(shù)關(guān)系式；（2）若要求一年后總收益不低于6000元，求$x$的取值范圍；（3）當(dāng)$x$為何值時(shí)，總收益$y$最大？最大收益是多少？命題說明：試卷嚴(yán)格遵循2025年高考數(shù)學(xué)命題趨勢，突出三大特點(diǎn)：跨模塊綜合：如第1題融合三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式，第5題創(chuàng)新定義"擬周期函數(shù)"；實(shí)際情境化：如第2題乒乓球訓(xùn)練、附加題投資回報(bào)率問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值；概念深度化：如第5題對函數(shù)性質(zhì)的拓展，要求理解新定義并靈活遷移。難度設(shè)計(jì)遵循"思維量提升，運(yùn)算量優(yōu)化"原則：中檔題（如第1-2問）注重通性通法，確保掌握基本概念的學(xué)生能得分；壓軸問（如第3問）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)直覺，如第3題空間幾何需動(dòng)態(tài)想象截面變化，第6題數(shù)列需構(gòu)造輔助數(shù)列。反套路設(shè)計(jì)：三角函數(shù)題不考傳統(tǒng)的解三角形，而是與導(dǎo)數(shù)結(jié)合分析周期性極值；概率題突破傳統(tǒng)分布列模式，引入數(shù)列遞推關(guān)系；解析幾何減少復(fù)雜計(jì)算，注重幾何關(guān)系的代數(shù)轉(zhuǎn)化。核心素養(yǎng)考查：邏輯推理：如第5題新定義證明，第6題數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用；數(shù)學(xué)建模：如第2題訓(xùn)練周期模型，附加題Logistic曲線擬合；直觀想象：如第3題3D打印切割場景，第7題