專題7.7平行線四大模型專項訓(xùn)練（40道）

【蘇科版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平行線四大模型的綜合問題的所有

類型！

1.（2022?湖南?永州市劍橋?qū)W校七年級階段練習(xí)）如圖所示，/網(wǎng)2,01=105°,02=140°,則團(tuán)3的度數(shù)為（

A.55°B.60°C.65°D.70°

2.（2022?貴州六盤水?七年級期中）如圖所示，若AB團(tuán)EF,用含a、/?、y的式子表示》,應(yīng)為-）

C.180°-a-y+/?D.180°+a+/?-y

3.2（022中肅?北京師范大學(xué)慶陽實驗學(xué)校七年級期中）如圖，如果ABIIC。，那么財+臚+團(tuán)七+團(tuán)。=—。.

D

4.（2022?全國?七年級專題練習(xí)）如圖所示，AB//CD,乙18E與“DE的角平分線相較于點尸，"=80。,

求//D的度數(shù).

5.（2022?全國?七年級專題練習(xí)）已知如圖所示,AB//CD,AABE=3zDCF,Z.DCE=28°,求匕E的度數(shù).

6.（2022?全國七年級）⑴問題情景：如圖1,AB//CD,0B45=13O°,0PCD=12O°,求MPC的度數(shù).

小明想到一種方法，但是沒有解答完：

如圖2,過P作PE//AB,004PE+0H^=18O°,

酮4PK=120°回次4=120°-130°=S0°

^AB//CD,^PE//CD.

請你幫助小明完成剩余的解答.

（2）問題遷移：請你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問題：

如圖3,AD//BC,當(dāng)點P在4、B兩點之間時，胡。尸=配，0BCP=0p,則團(tuán)CPQ,同a,郵之間有何數(shù)量關(guān)系？

7.（2022?全國七年級專題練習(xí)〉如圖1,四邊形MNB。為一張長方形紙片.

ffiI用2甩3ffi4

（1）如圖2,將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（48AE、LAEC、乙ECD）,則MAE+zAEC+

乙ECD=__________

（2）如圖3,將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（ZB/IE、Z.AEF.乙EFC、LFCD）,WUB/1F+Z.AEF4-Z.EFC+

乙FCD=。.

（3）如圖4,將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（〈BAE、Z-AEF.LEFG.乙FGC、NGCD）,貝此BFE+乙4EF+

（EFG+LFGC+Z.GCD=

（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪九刀，剪出（71+1）個角，那么這（九+1）個角的和是

8.（2022?安徽合肥?七年級期末）問題情景：如圖1,AB^CD,0/^45=140°,0PCD=135°,求MPC的度

數(shù).

（1）麗麗同學(xué)看過圖形后立即口答出：MPC=85。，請補(bǔ)全她的推理依據(jù).

如圖2,過點P作尸胴人8,

因為人物CO,所以PE0CO.（）

所以財+財夕￡=180°,國C+[3CPE=180°.（）

因為自附3=140°,回PCO=135°,所以刻尸￡=40°,回CPE=45°,

BAPC=^APE+^CPE=85°.

問題遷移：

（2）如圖3,AD^BC,當(dāng)點尸在A、B兩點之間運動時，胤4。尸=囹入團(tuán)BCP=^,求團(tuán)CP。與法、班之間

有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

（3）在（2）的條件下，如果點P在A、8兩點外側(cè)運動時（點尸與點A、B、O三點不重合），請直接寫

出歷CPD與加、冊之間的數(shù)量關(guān)系.

【模型2“豬蹄”模型】

模型二“豬蹄”模型（〃模型）

結(jié)論1：&CD、則Na=N/Z70NbP：

結(jié)論2：著/尸~Z/E4NCFP'則8

9.（2022?全國?七年級）如圖所示，直角三角板的60。角壓在一組平行線上，ABWCD,N4BE=40。，則

10.（2022?河南平頂山?八年級期末）如圖:

（1）如圖1,ABWCD,Z.ABE=45°,Z.CDE=21°,直接寫HkBED的度數(shù).

（2）如圖2,力8IICD,點E為直線A8,CD間的一點，BF平分4A8E,DF平分4COE,寫與乙F之間的

關(guān)系并說明理由.

（3）如圖3,48與CD相交于點G,點E為，BGD內(nèi)一點，B尸平分/ABE,DF平分NCDE,若乙BGD=60°,乙BFD=

95。，直接寫出48ED的度數(shù).

11.（2022?江蘇常州?七年級期中）問胭情境：如圖①，直線4811c。，點E,尸分別在直線八B,CD±.

⑴猜想：若乙1=130°,42=150°,試猜想4P=°；

⑵探究：在圖①中探究NL乙2,4P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：

⑶拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若41+/2=325。，Z.EPG=75°,求4PGr的度數(shù).

12.（2022?山東聊城?七年級階段練習(xí)）已知直線AB〃C。，EF是截線，點M在直線A8、C。之間.

(1)如圖1,連接GM,HM.求證：0M=0AGM+I3C”M；

(2)如圖2,在團(tuán)G〃C的角平分線上取兩點M、Q,使得(MGM=(3HGQ.試判斷同M與團(tuán)GQH之間的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

13.(2022?廣東韶關(guān)?七年級期中)如圖1,點4、8分別在直線GH、MN上，乙GAC=LNBD,ZC=ZD.

(1)求證：GH//MN；(提示：可延長4c交MN于點P進(jìn)行證明)

(2)如圖2,4E平分ZG4C,OE平分N80C,若乙4ED=4G4C,求NG4C與N4CD之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)在(2)的條件下，如圖3,B尸平分NOBM,點K在射線BF上，Z.KAG=^GAC,若乙4KB=乙4。。，

?5

直接寫出/G/C的度數(shù).

14.(2022?全國?九年級專題練習(xí))如圖所示，已知A8〃C0,BE平分匕A8C,平分/AOC,求證：乙￡=

15.(2022?浙江工業(yè)大學(xué)附屬實驗學(xué)校七年級期中)己知人叫/CO.

(1)如圖1,E為AB,CQ之間一點，連接4￡,DE,得至膽求證：團(tuán)8七。=團(tuán)8唱。：

(2)如圖，連接A。，BC,6尸平分。尸平分酎。C,且8F,。產(chǎn)所在的直線交于點足

①如圖2,當(dāng)點8在點A的左側(cè)時，若財8C=50。，財。。=60<,求回8FQ的度數(shù).

②如圖3,當(dāng)點B在點A的右側(cè)時，設(shè)(MBC=a,園40c=0,請你求出回BH)的度數(shù).(用含有a,B的式

子表示)

圖3

CD之間的一點.

圖1圖2圖3

⑴判定回84E,回CDE與0AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖2,若團(tuán)B4E,13CDE的角平分線交于點F,直接寫出財㈤與0AEQ之間的數(shù)量關(guān)系；

⑶將圖2中的射線。C沿。E翻折交A產(chǎn)于點G得圖3,若MGZ)的余角等于2配:的補(bǔ)角，求團(tuán)B4E的大小.

圖1圖2

(1)若回E=60°,則回尸=；

(2)請?zhí)剿?3E與回尸之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；

⑶如圖2,已知EP平分團(tuán)8ER尸G平分回￡7%>,反向延長尸G交石產(chǎn)于點P,求(3P的度數(shù).

18.(2022?河南?商丘市第十六中學(xué)七年級期中)已知ABQCQ,線段E尸分別與AB,C。相交于點E,F.

圖1圖2圖3

(1)請在橫線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：

如圖1,當(dāng)點P在線段E尸上時，已知團(tuán)4=35。，回C=62。，求財PC的度數(shù)；

解：過點尸作直線

所以財=財產(chǎn)”，依據(jù)是；

因為AB3c。，PH^AB,

所以PM3CD,依據(jù)是；

所以(3C=(),

所以MPC=()+()=0A+0C=97°.

(2)當(dāng)點P,Q在線段上產(chǎn)上移動時(不包括￡尸兩點)：

①如圖2,西夕。+團(tuán)PQC=EA短C-180。成立嗎？請說明理由；

②如圖3,[MPM=2?MPQ,^CQM=2^MQP,團(tuán)M+國MPQ+團(tuán)。。歷=180。，請直接寫出團(tuán)W,團(tuán)4與團(tuán)C的數(shù)量

關(guān)系.

19.(2022?湖北武漢?七年級期末)如圖1,點4在直線MN上，點B在直線ST上，點C在MN,57之間，且滿

足乙MAC+Z-ACB+乙SBC=360°.

(1)證明：MN//ST；

(2)如圖2,若乙ACB=60°,4D/./CB,點E在線段8C上，連接4E,R^DAE=2Z.CBT,試判斷ZT4E與NG4N

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,若&CB=蜉("為大于等于2的整數(shù))，點E在線段8C上，連接力E,^^MAE=n^CBT,

則/C4E:4CAN=

20.(2022?重慶江北七年級期末)如圖1,AB//CD,點E、尸分別在力B、CO上，點。在直線48、CO之間,

且/EOF=100°.

(1)求48E0+Z?。尸0的值；

(2)如圖2,直線MN分別交乙8E0、4OFC的角平分線于點M、N,直接寫出/EMN-乙FNM的值；

(3)如圖3,EG在乙力￡。內(nèi)，/.AEG=mz.OEG；FH在NDr。內(nèi)，Z.DFH=mZ-OFH,直線MN分別交EG、FH

分別于點M、N,且乙FMN—乙ENM=500,直接寫出m的值.

21.(2022?黑龍江哈爾濱?七年級期末)己知，4碗CQ,點E在C。上，點G,尸在A3上，點H在A3,CD

之間，連接尸E，EH,HG,^AGH=^FED,F斑HE,垂足為E.

(1)如圖1,求證：HG3HE；

(2)如圖2,GM平分團(tuán)”G8,EM平分團(tuán)HED,GM,EM交于點M,求證：0GHE=20GME；

(3)如圖3,在(2)的條件下，F(xiàn)K平分團(tuán)\FE交CD于點、K,若由KFE：回MG”=13：5,求團(tuán)"EO的度數(shù).

22.(2022?廣西柳州?七年級期中)已知直線a||b,直線EP分別與直線小〃相交于點E,F,點、A,8分別在

直線a,b上,且在直線石尸的左側(cè)，點。是直線七少上一動點(不與點石，尸重合)，設(shè)團(tuán)以￡=皿，^APB

=122,回03”=回3.

⑴如圖1,當(dāng)點P在線段EF上運動時，試說明01+羽=（32；

⑵當(dāng)點P在線段E尸外運動時有兩種情況.

①如圖2寫出團(tuán)1,02,（33之間的關(guān)系并給出證明；

②如圖3所示，猜想團(tuán)1,02,幽之間的關(guān)系（不要求證明）.

【模型3“臭腳”模型】

結(jié)論1：若AB"CD、除（乙AEP~乙CFP或上k乙CFP■乙AEP、

結(jié)論2：乙Q/AEP~（CFP或4p=4CFP~々AEP、則

23.（2022?全國,八年級課時練習(xí)）（1）已知：如圖（〃），直線DEIIAB.求證：乙ABC+乙CDE=LBCD；

（2）如圖"），如果點C在A4與之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么

新的猜想？

24.（2022?全國?七年級）已知，AE//BD,44=乙。.

（1）如圖1,求證：AB//CD：

（2）如圖2,作匕ZME的平分線交CD于點F,點G為218上一點，連接FG,若zCFG的平分線交線段4G于點H,

連接力C,若乙ACE=N84C+4BGM,過點H作HM1.FH交FG的延長線于點M,且34E—54AFH=18。，求

乙￡4r+乙GMH的度數(shù).

AH

25.（2022?廣東?東莞市光明中學(xué)七年級期中）（1）如圖（1）/1B0CD,猜想團(tuán)BPQ與團(tuán)8、團(tuán)。的關(guān)系，說出

理由.

（2）觀察圖（2）,已知4選猜想圖中的勖PO與回B、回。的關(guān)系，并說明理由.

（3）觀察圖（3）和（4）,已知從做。。，猜想圖中的團(tuán)BP。與勖、回。的關(guān)系，不需要說明理由.

CDCD

(1)(3)

26.（2022?浙江臺州?七年級期末）如圖，已知點八，A￡0CO交BCF點￡且EF148于點尸.

求證：ZC=Z14-Z2.

證明：血40148于點A,5尸_148于點尸，（已知）

^Z.DAB=乙EFB=90°.（垂直的定義）

^AD^EF,（）

0=21（）

（M￡0CD,（已知）

0ZC=.（兩直線平行，同位角相等）

團(tuán)/=Z.AEF+42,

回乙C=41+42.（等量代換）

27.（2022?廣東珠海?七年級期中）已知AM〃CN,點3為平面內(nèi)一點，力818。于3.

圖2

（1）如圖1，點B在兩條平行線外,則41與NC之間的數(shù)量關(guān)系為.

（2）點B在兩條平行線之間，過點5作BDJ.4M于點D.

①如圖2,說明匕480=乙。成立的理由;

②如圖3,8F平分/OBC交OM于點平分乙交DM于點￡.若乙FCB+乙NCF=180°,48FC=3/DBE,

求，E8C的度數(shù).

28.（2022?湖南?新田縣云梯學(xué)校七年級階段練習(xí)）①如圖1,ABIICD,則NA+zE+4c=360。；②如

圖2,AB||CD,WUP=Z.A-ZC；③如圖3,AB||CD,則/E=N4+41；④如圖4,直線4B||CD

IIER點。在直線￡尸上，則乙。一“+〃=180。.以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【模型4“鉛筆”模型】

模型內(nèi)“，方折”模型（“腐嘴”模型）

點尸在z尸左側(cè)，在AB-CD外部“骨折”模型

結(jié)論］：*AB"8、則//=/0:>//分或/上叨

結(jié)論2：若乙上乙CFP~￡AEP或乙4乙AEP■乙CFP、%AB"CD

29.2（022?福建?浦城縣教師進(jìn)修學(xué)校八年級期中）如圖，直線MAmNB,0A=70。，0B=4O°,則用P=

度.

30.（2022?江蘇?景山中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，若AB/jCD,則胤L+的制2的度數(shù)為.

31.（2022?湖北?淹水縣蘭溪鎮(zhèn)蘭溪初級中學(xué)七年級期中）如圖，已知力（MBC=80°,（3CDE=140°,

則巨8。。=.

32.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖所示，A的CO,團(tuán)E=37。，0C=20°,貝峋￡45的度數(shù)為

33.（2022?全國?七年級）如圖，如果ABtSEREF^CD,則團(tuán)1,02,明的關(guān)系式

34.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）已知AW/C。，求證：回3=團(tuán)七十回。

35.（2022?浙江?七年級期中）為更好地理清平行線與相關(guān)角的關(guān)系，小明爸爸為他準(zhǔn)備了四根細(xì)直木條力8、

BC,CD、DE,做成折線力如圖1,且在折點4、C、。處均可自由轉(zhuǎn)出.

（1）如圖2,小明將折線調(diào)節(jié)成ZB=50。/。=75。,乙。=25。，判別48是否平行于ED,并說明理由；

（2）如圖3,若NC=4O=25。，調(diào)整線段48、8C使得求出此時NB的度數(shù)，要求畫出圖形，并

寫出計算過程.

（3）若乙。=85O/0=25o4B〃DE,求出此時乙8的度數(shù)，要求畫出圖形，直接寫出度數(shù)，不要求計算過

程.

36.（2022?山西晉中?七年級期中）綜合與探究

【問題情境】

王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動

（1）如圖1，EF//MN,點4、8分別為直線EF、MN上的一點，點P為平行線間一點，請直接寫出NP力?、

△PBN和N4P8之間的數(shù)量關(guān)系；

m

M

A

B.

備用圖

【問題遷移】

（2）如圖2,射線0M與射線ON交于點。，直線?n〃n,直線m分別交OM、ON于點4、D,直線幾分別交OM、

ON于點B、。，點P在射線OM上運動，

①當(dāng)點P在/1、B（不與力、B重合）兩點之間運動時，設(shè)乙=Z.BCP=z/?.則“PD,乙a,4?之

間有何數(shù)最關(guān)系？請說明理由.

②若點P不在線段AB上運動時（點尸與點力、B、。三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接

以、PD.

（1）如圖1,已知04=50°,回￡>=150。，求國4P。的度數(shù)；

（2）如圖2,判斷團(tuán)以8、團(tuán)COP、0AP。之間的數(shù)量關(guān)系為.

（3）如圖3,在（2）的條件下，AP^PD,ON平分回尸QC,若回剛N+扣附B=MPZ）,求HANO的度數(shù).

B

40.（2022?浙江杭州?七年級期中）已知，川宛）CO.點例在點、N在CD上.

（1）如圖1中，回8ME、團(tuán)E、團(tuán)END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）

如圖2中，團(tuán)BMF、（3F、（3FN。的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）

(2)如圖3中，NE平分⑦FND,歷B平分團(tuán)且2回E+回產(chǎn)=180。，求I3FME的度數(shù)；

(3)如圖4中，皿加￡=60。，E/；平分國MEN,NP平分⑦END,且石邠"，則團(tuán)心。的大小是否發(fā)生變化,

若變化，請說明理由，若不變化，求出國在。的度數(shù).

專題7.7平行線四大模型專項訓(xùn)練（40道）

【蘇科版】

考卷信息:

本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平行線四大模型的

綜合問題的所有類型!

1.（2022?湖南?永州市劍橋?qū)W校七年級階段練習(xí)）如圖所示，。皿2,01=105%團(tuán)2=140。,

則的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】首先過點A作A庚1//,由/周以即可得A碗//配，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角

互補(bǔ)，即可求得團(tuán)4與團(tuán)5的度數(shù)，又由平角的定義，即可求得團(tuán)3的度數(shù).

【詳解】解:

過點A作4硼//,

團(tuán)//團(tuán)，2，

姐施/曲，2,

釀1+04=180°,團(tuán)2+團(tuán)5=180°,

001=105°,02=140°,

配）4=75°,135=40°,

004+05+03=180°,

003=65°.

故選：C.

【點睛】本題考查的知識點是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的性質(zhì).

2.（2022?貴州六盤水?七年級期中）如圖所示，若ABaEF,用含。、/?、y的式子表示工,應(yīng)

為（）

B

E

A.a+￡+yB./7+y—aC.180°—a-y+SD.1800+a+/?-y

【答案】C

【分析】過C作CD回AB,過M作MN團(tuán)EF,推出AB0CD[3MNiaEF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

a+0BCD=18O°,0DCM=[?1CMN,0NMF=y,求出團(tuán)BCD=180°-a,團(tuán)DCM=OCMN=0-y,艮[1可得出答

案.

【詳解】過C作CD0AB,過M作MN0EF,

0AB0EF,

0AB0CD0MN0EF,

團(tuán)a+團(tuán)BCD=180°,團(tuán)DCMWCMN,團(tuán)NMF=y,

00BCD=18O0-a,0DCM=0CMN=/?-y,

0x=0BCD+0DCM=18O°-a-y+/7,

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力.

3.（2022?甘肅?北京師范大學(xué)慶陽實驗學(xué)校七年級期中）如圖，如果ABIICQ,那么（38+13廣

【答案】540

【分析】過點E作EMIIC。，過點〃作FNIIC。，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可作答.

【詳解】過點E作EMIICD,過點尸作FMICD,如圖，

團(tuán)45IICD,EM\\CDfFNWCD,

團(tuán)48|尸N,EMI尸N,

回回8+0BbN=18O°,0F￡:M+0EF^=18O°,0￡>+0DEM=18O°,

^DEF^DEM^FEM,OBFE第BFN+?EFN,

^B^BFE+^DEF^D=^B^BFN+^FEM-^EFN+^D+WEM=54QO,

故答案為：540.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).構(gòu)造輔助線EM憶D,

FNIICD是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2022?全國?七年級專題練習(xí)）如圖所示，AB//CD,與4CDE的角平分線相較于點

F,4E=80°,求乙BFD的度數(shù).

【分析】先設(shè)zCDE=2y,由題意的448F=4FBE=%,zFDF=Z.CDF=y,

題意得到％+y=140°；由側(cè)M圖力BFDC知，LBFD=LABF+^CDF=x+y=140°.

【詳解】設(shè)〃BE=2%,Z.CDE=2y,

???41BE與aOE的角平分線相交于點F,

???Z.ABF=乙FBE=x,乙EDF=乙CDF=y,

由筆尖圖力8EDC知，/-ABE+Z-E+Z.CDE=360°,

即2x+80°+2y=360°,%+y=140°,

由側(cè)M圖48尸OC知，乙BFD=Z-ABF4-乙CDF=x+y=140°.

【點睛】木題考查平行線的性質(zhì)和角平分線，解題的關(guān)鍵是設(shè)//8E=2x,"DE=2y,

并由題意得到x,y的關(guān)系式.

5.（2022?全國?七年級專題練習(xí)）已知如圖所示,AB//CD,LABE=3zDCK,Z-DCE=28°,

求4E的度數(shù).

c

【答案】56。.

【分析】由平行線的性質(zhì)可知=乙DFE,由三角形鄰補(bǔ)角可得NE=^ABE-乙DCE,

帶入題干信息即可得出答案.

【詳解】由平行線的性質(zhì)可知I乙48/=乙川石，由三角形鄰補(bǔ)角以及鳥嘴圖DCEFBA知,E=

乙ABE-乙DCE=3x28°-28°=56°.

【點睛】本題考查平行線為性質(zhì)，知道同位角相等時解題的關(guān)鍵.

6.(2022?全國?七年級)⑴問題情景：如圖1,ABHCD,團(tuán)辦4=130。，*8=120。,求

的度數(shù).

小明想到一種方法，但是沒有解答完：

如圖2,過P作PE〃A&豳APE+0F4=18O°,

(3(MPE=18O°?13必8=180°-130°=50°

IMB//CD,0PE//CD.

請你幫助小明完成剩余的解答.

(2)問題遷移：請你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問題：

如圖3,AD//BC,當(dāng)點尸在4、B兩點之間時，0AOP=Ea,08cp=郵，則團(tuán)CP。，0a,郵之

間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

【答案】⑴110。,見解析；(2)國CPD=(3a+郵,理由見解析

【分析】⑴過P作尸確4B,構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，可得財產(chǎn)。=50。+60。=110。

⑵過P作尸國4。交C。于￡點，推出AD^PE^BC,根據(jù)平行線性質(zhì)得到回a=(3OPE,郵WCPE,

即可得出答案.

【詳解】解；(1)乘IJ余過程；0CPEi[3PCD=18Oo,

00CP￡：=18Oo-12Oo=6Oo

(MPC=50o+60o=110o；

(2)(3CPO=(3aMB，理由如下：

如下圖，過?作尸的4。交C。于點E,

^AD^PE^BC,

釀a=（3Z）PE,0p=0CPE

^CPD^DPE+^CPE=^a+^.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)

鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角.

7.（2022?全國?七年級專即練習(xí)）如圖1,四邊形MN8D為一張長方形紙片.

（1）如圖2,將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（N8AE、LAEC./.ECDy^\Z-BAE+Z.AEC+

乙ECD=__________

（2）如圖3,將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（M4E、LAEF,乙EFC、"CO）,則NB4E+

LAEF+乙EFC+乙FCD=

（3）如圖4,將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（乙BAE,^AEF.乙EFG、乙FGC、乙GCD）,

則乙84E+^AEF+Z-EFG+Z.FGC4-Z.GCD=°.

（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出5+1）個角，那么這（九+1）

個角的和是，

【答案】（1）360：（2）540；（3）720：（4）180n.

【分析】（1）過點E作EH團(tuán)AB,再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個角的和等

于180。的2倍；

（2）分別過E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個角的

和等于180。的三倍；

（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個

角的和等于180。的三倍；

（4）根據(jù)前三問個的剪法，剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度.

【詳解】（1）過E作EHMB（如圖②）.

（3原四邊形是長方形，

0AB0CD,

又團(tuán)EH團(tuán)AB,

0CD0EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）.

0EH0AB,

釀A+團(tuán)1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

0CD0EH,

002+0C=18O°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

00A+01+02+0C=36O°,

又團(tuán)團(tuán)1+團(tuán)2=B1AEC,

00BAE+QAEC+0ECD=36O°；

（2）分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示,

用上面的方法可得團(tuán)BAE+0AEF+回EFC+（3FCD=540°：

（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示,

用上面的方法可得回BAE+SAEF+[3EFG+（3FGC+[aGCD=720。；

（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度.

故答案為：（1）360；（2）540：（3）720；（4）180n.

【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解

本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點.

8.（2022?安徽合肥?七年級期末）問題情景:如圖1,A60CD,0B4B=14O%0PCD=135%

求（MPC的度數(shù).

（1）麗麗同學(xué)看過圖形后立即口答出：MPC=85。，請補(bǔ)全她的推理依據(jù).

如圖2,過點。作。限48,

因為A瑰]CD,所以尸￡0CD.（）

所以國4+0APE=18O°,^C^CPE=180°.（）

因為國以3=140°,0PCD=135°,所以MP￡=40°,團(tuán)CP￡=45°,

^APC=^APE+^CPE=35°.

問題遷移：

（2）如圖3,AD^BC,當(dāng)點戶在A、3兩點之間運動時，。4。。=回“，團(tuán)3"=射，求

與回a、冊之間有什么數(shù)審關(guān)系？請說明理由.

（3）在（2）的條件下，如果點尸在A、8兩點外側(cè)運動時（點。與點4、B、。三點不重

合）.請直接寫出團(tuán)CPD與加、明之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（或平行公理推論），兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補(bǔ)；（2）iCPO=za+△氏理由見解析；（3）乙CPD=乙^一乙a或乙CPD=La-乙0

【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫即可；

（2）過P作PBMD交CO于E,推出AD^PE^BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出（3a=OOPE,郵甌PE,

即可得出答案：

（3）畫出圖形（分兩種情況①點。在84的延長線上，②點尸在A4的延長線上），根據(jù)

平行線的性質(zhì)得出團(tuán)a=（3OPE,郵司CPE,即可得出答案.

【詳解】解：（1）如圖2,過點尸作PEMB,

圖2

因為AH3CZ）,所以PfiQCD.（平行于同一條直線的兩條直線平行）

所以IM+0AP￡：=180。，團(tuán)C+E1CPE=180、（兩直線平行向旁內(nèi)角互補(bǔ)）

因為（3必B=140°,0PCD=135°,

所以0APE=4O0,0CP￡=45°,

^APC=^APE+^CPE=85°.

故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ);

（2）團(tuán)CPD=0a+助，理由如下：

如圖3所示，過P作尸所A3交CO于E,

N

圖3

^AD^PI^BC,

00a=0DPE,0^=0CPE,

00CPD=0DPE+0CPE=0a+0^；

(3)當(dāng)P在84延長線時，如圖4所示:

同(2)可知：加/。PE,郵血CPE,

00CPD=0^-0?；

00CPD=0a-0^.

綜上所述，國CP。與團(tuán)a、冊之間的數(shù)量關(guān)系為：回CPQ=*?z或mCPQ=(Ua-冊.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定定理，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

【模型2“豬蹄”模型】

結(jié)論2：方N45KN則/n〃CZ>

9.（2022?全國?七年級）如圖所示，直角三角板的60。角壓在一組平行線上，AB\\CD,Z.ABE=

【分析】如圖（見詳解），過點E作￡7鞏48,先證明4BIIEFIICD,再由平行線的性質(zhì)定理

得到乙48E=48EF=40。，Z.EDC=Z-DEF,結(jié)合已知條件N8ED=60。即可得到.

【詳解】解：由題意可得：4BE。=60。.

如圖,過點E作EF必凡

又團(tuán)ABIICD,

^ABWEFWCD,

團(tuán)匕ABE=LBEF=40°,LEDC=乙DEF,

團(tuán)MEO=60°,

0ZDEF+LBEF=60°,

^DEF=20°,

即：Z.EDC=20°.

故答案為：20.

【點睛】本題重點考查了平行線的性質(zhì)定理的運用.從“基本圖形”的角度看，本題可以看作

是“M”型的簡單運用.解法不唯一，也可延長班交CO于點G,結(jié)合三角形的外角定理來

解決；或連結(jié)8D,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理來解決.

10.（2022?河南平頂山?八年級期末）如圖：

圖1

⑴如圖1,ABWCD,Z.ABE=45°,Z.CDE=21°,直接寫出乙的度數(shù).

（2）如圖2,4BIICD,點E為直線4B,CD間的一點，B尸平分D5平分寫出/BED

與乙尸之間的關(guān)系并說明理由.

（3）如圖3,48與。。相交于點6,點￡為乙夙；。內(nèi)一點，8尸平分乙48￡,。尸平分乙（?0￡>,若乙86。=

60°,^BFD=95°,直接寫出NBE。的度數(shù).

【答案】⑴班瓦）=66°；

⑵如E0=23F,見解析;

（3）團(tuán)BE。的度數(shù)為130°.

【分析】（1）首先作6用48,根據(jù)直線ABSC。，可得E/詞CD,所以冊8代凱=45°,

回。?！?gt;回2=21°,據(jù)此推得勖七。=團(tuán)1短2=66°：

（2）首先作EGH/1B,延長。E交8F于點H,利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即

可得到鼬￡。=2團(tuán)「；

（3）延長。F交于點M延長GE到/,利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可

得到（38ED的度數(shù)為130°.

（1）

解：（1）如圖，作E陽48,

回直線AB^CD,

團(tuán)EAEC。，

004^=01=45°,團(tuán)CD氏團(tuán)2=21°,

+團(tuán)2=66°；

(2)

解：回8ED=23F,

理由是：過點E作EGZMB,延長DE交8F于點H,

^AB//CD,BAB//CD//EG,

團(tuán)團(tuán)5二團(tuán)1+m2,06=03+[34,

^BF^^^ABE,DF平分團(tuán)COE,

國32二團(tuán)工，[33=04,貝?血5二2團(tuán)2,H<&=203,

團(tuán)團(tuán)BEO=2(回2+團(tuán)3),

X0F+03=08HD,m8HO+02二團(tuán)8EO,

團(tuán)團(tuán)3+l32+l3F=[38E。，

綜上回BE。=團(tuán)F+12團(tuán)8ED,即僅8E0=2回F：

(3)

解：延長DF交八8于點H,延長GE到/,

團(tuán)團(tuán)BGD=60°,

團(tuán)團(tuán)3二團(tuán)1+m86。=團(tuán)1+60°,(38F。二回2+03=(32+(3工+60°=95°,

00^+01=35°,HP2(0^+0i)=7O°,

團(tuán)8F平分M8E,DF平分OCDE,

0[?14BE=20^,0CDE=201,

WEI=^ABE+0BGE=20Z+0BGE,0D￡/=0CDE+0DGE=201+0DGE,

00B￡D=0Bf/+0Df/=2(0^+01)+((3BGE+團(tuán)DGE)=70°+60°=130°,

豳BED的度數(shù)為130°.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識，掌握平行線的判定和

性質(zhì)，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵.

11.(2022?江蘇常州?七年級期中)問題情境：如圖①，直線4BIICO,點￡廠分別在直線

AB,CD上.

⑴猜想：若=130°,z2=150°,試猜想4P=°；

(2)探究：在圖①中探究Nl,N2,4P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，1+42=325。，LEPG=75°,求/PGF的度數(shù).

【答案】⑴80。

(2)zP=360°-zl-z2；證明見詳解

⑶140。

【分析】(1)過點2作“叫團(tuán)氏利用平行的性質(zhì)就可以求角度，解決此問；

(2)利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系，就可以解決此問；

(3)分別過點P、點G作MNII/W、KRWAB,然后利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系即

可.

(1)

解：如圖過點P作MNII4B,

^ABWCD,

^ABWMNWCD.

0Z14-Z.EPN=180°,

z2+乙FPN=180°.

0Z1=130°,42=150°,

0Z1+42+乙EPN+乙FPN=360°

RUEPN+FPN=360°-130°-150°=80°.

OZ.P=乙EPN+乙FPN,

00P=8O°.

故答案為：80°；

(2)

解：zP=360°-zl-Z2,理由如下:

^ABWCD,

^AB\\MN\\CD.

0Z14-乙EPN=180°,

Z2+乙FPN=180°.

0Z1+42+乙EPN+乙FPN=360°

⑦乙EPN+乙FPN=LP,

zP=360°-zl-z2.

(3)

如圖分別過點P、點G作MNIL48、KR\\AB

團(tuán)48||C。，

^AB\\MN\\KRKD.

0Z1+乙EPN=180°,

LNPG+Z.PGR=180",

乙RGF+Z2=180°.

0Z14-乙EPN+乙NPG+乙PGR+RGF+Z2=540°

0ZFPG=乙EPN+乙NPG=75°,

Z.PGR+/.RGF=Z.PGF,

Z1+Z2=325°,

0ZPGF+41+42+乙EPG=540°

0ZPGF=540°-325°-75°=140°

故答案為：140°.

【點睛】本題考杳了平行線的性質(zhì)定理，準(zhǔn)確的作出輔助線和正確的計算是解決本題的關(guān)鍵.

12.（2022?山東聊城?七年級階段練習(xí)）已知直線AB〃CD,EF是截線，點M在直線A3、

CQ之間.

⑴如圖1,連接GM,HM.求證：閉M=0AGM+aC”M；

⑵如圖2,在12GHe的角平分線上取兩點M、Q,使得SAGM=（3HGQ.試判斷團(tuán)“與回GQ”

之間的數(shù)屆關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）證明見詳解

（2）zGQH=180°-ZM；理由見詳解

【分析】(1)過點M作MNII48,由4811c0,可知MMI4BIICQ.由此可知：4AGM=々GMN,

乙CHM=乙HMN,故N/GM+乙CHM=乙GMN+乙HMN=^M；

(2)由(1)可知NAGM+4CHM=4M.再由NCHM=乙GHM,^AGM=WGQ,可知：4M=

Z.HGQ+Z.GHM,利用三角形內(nèi)角和是180°,可得4GQH=180。一4M.

(1)

圖1

解：如圖：過點“作MNII4B,

^MNWABWCD,

^LAGM=Z.GMN,乙CHM=LHMN,

=/-GMN+/.HMN,

^￡M=Z.AGM+Z.CHM.

(2)

解：￡.GQH=180°-ZM,理由如下:

如圖：過點M作MNHAB,

由（1）知4M=zAGM+，CHM,

團(tuán)HM平分4GHC,

134cHM=4GHM,

團(tuán)IMGM=[3”GQ,

0ZM=乙HGQ+乙GHM,

團(tuán)4HGQ+乙GHM+Z.GQH=180°,

齦GQH=180°-ZM.

【點睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題

的關(guān)鍵，同時這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型〃的應(yīng)用.

13.(2022?廣東韶關(guān)?七年級期中)如圖1,點力、B分別在直線G，、MN上,Z.GAC=乙NBD,

(1)求證：GH〃MN；1提示：可延長力C交MN于點P進(jìn)行證明)

(2)如圖2,4E平分NG4C,OE平分4BOC,^/.AED=Z.GAC,求4G4C與之間的數(shù)

量關(guān)系；

(3)在(2)的條件下，如圖3,平分/DBM,點K在射線"上，Z.KAG=^GAC,若

^AKB=LACD,直接寫出乙GAC的度數(shù).

【答案】(1)見解析；(2)Z.ACD=3/.GAC,見解析;(3)或,

【分析】(1)根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求證即可；

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180。和平角定義得到N4QD="+444Q,結(jié)合平行線的性質(zhì)

得到480Q=乙￡+乙E4Q,再根據(jù)角平分線的定義證得乙=2"+LGAC,結(jié)合已知即

可得出結(jié)論；

(3)分當(dāng)K在直線G”下方和當(dāng)K在直線GH上方兩種情況，根據(jù)平行線性質(zhì)、三角形外角性

質(zhì)、角平分線定義求解即可.

【詳解】解：(1)如圖1,延長47交MN于點P,

^LACD=Z.C,

9AP//BD,

⑦iNBD=乙NPA,

(3ZG4C=乙NBD,

^GAC=Z.NPA,

團(tuán)G，〃MN；

(2)延長力C交MN于點P,交DE于點Q,

0ZE+LEAQ+LAQE=180°,Z.AQE+^AQD=180%

團(tuán)匕AQD=ZE+Z.EAQ,

^AP//BD,

回4AQD=乙BDQ,

0ZBDQ=乙E+乙EAQ,

團(tuán)4E平分NG4C,DE平分N80C,

^Z.GAC=2/EAQ,Z.CDB=2/.BDQ,

團(tuán)乙CDB=2Z.F+Z.GAC,

0Z71ED=Z.GAC,Z.ACD=Z.CDF,

12IZ/1CD=2Z.GAC+Z-GAC=3/.GAC;

(3)當(dāng)K在直線G”下方時，如圖，設(shè)射線BF交G”于/,

團(tuán)GH〃MN,

0Z7I/F=4FBM,

(SBF平分NMBD,

0ZD5F=乙FBM=1(180°-4DBN),

0Zi4/F=乙DBF,

^LAIB+4KAG="KB,乙4KB=^ACD,

0Z71CD=ADBF+cKAG,

^KAG=-3Z-GAC,乙GAC=ANBD,

^AGAC+j(180°-ZDF/V)=Z,ACD=34G4C,

艮嗎4G4C+90°-^GAC=34G4C,

解得：^GAC=(誓)°.

當(dāng)K在直線GH上方時，如圖，同理可證得乙4/8=：(180O-/Z)BN)=4AKB+/K4G,

則有34GAe+-/.GAC=-(180°-4GAC),

32

圖3

綜上，故答案為（答）°或（署）:

【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)

角和定理、平角定義、角度的運算:，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵.

14.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖所示，已知88〃CD,BE平分乙ABC,DE平分4noC,

求證：z_E=：（乙4+4。）

2

AB

【答案】見解析

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出財=awc，回C=(M8C,再由4E平分西3C,OE平分(MQC

可知用1=與4。。，02=物18(7,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解:如圖：

04砸S

0(M=[MDC,0C=(MBC.

勖￡平分MBC,QE平分財。。，

團(tuán)團(tuán)1=加4QC,回2=與匕4c.

22

003是三角形的外角，

團(tuán)團(tuán)3=團(tuán)￡+團(tuán)2=團(tuán)。+團(tuán)1,

Z.E+\z-ABC=Z.C+^LADC,

22

即團(tuán)E+扣C=(3C+扣A,

00E=-(0A+0C).

2

【點睛】本題考查的是平吁線的性質(zhì)，三角形的外角，以及角平分線等知識點，熟知以上知

識點是解題的關(guān)鍵.

15.(2022?浙江工業(yè)大學(xué)附屬實驗學(xué)校七年級期中)已知人環(huán)/CQ.

(1)如圖1,E為AB,C。之間一點，連接BE,DE,得到團(tuán)BED求證：團(tuán)BEO=團(tuán)8短。；

(2)如圖，連接A。，BC,8尸平分團(tuán)48C',平分MOC,且3K。廠所在的直線交于點八.

①如圖2,當(dāng)點4在點A的左側(cè)時，若財4c=50。，^1ADC=60°,求盟的度數(shù).

②如圖3,當(dāng)點8在點人的右側(cè)時，設(shè)財8C=a,IMDC=P，請你求出財尸。的度數(shù).(用

含有a,B的式子表示)

【答案】(1)見解析；12)55°；(3)180°-1a+1j?

【分析】(1)根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可;

(2)①如圖2,過點F作FE〃AB,當(dāng)點8在點A的左側(cè)時，根據(jù)乙1BC=50。，乙40c=60。,

根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求4BFO的度數(shù)；

②如圖3,過點F作EF〃AB,當(dāng)點B在點力的右側(cè)時，Z.ABC=a,z.ADC=p,根據(jù)平行線

的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出乙8尸。的度數(shù).

【詳解】解:(1)如圖L過點E作EF〃4B,

AB

E

D

圖1

則有4BEF=N8,

vAB//CD,

:.EF//CD,

???乙FED=乙D,

乙BED=乙BEF+乙FED=Z-B+zD：

（2）①如圖2,過點F作FE〃A8,

圖2

^^BFE=Z-FBA.

-AB//CD,

EF//CD.

Z.EFD=Z.FDC.

???乙BFE+乙EFD=Z.FBA+乙FDC.

BPzFFD=/.FBA+/.FDC,

尸平分2H8C,。尸平分4ADC,

???LFBA=\LABC=25°,乙FDC=\^ADC=30°,

22

:.乙BFD=Z.FBA+Z.FDC=55°.

答：匕8FD的度數(shù)為55。；

②如圖3,過點尸作尸E〃4B,

:.乙BFE=1800-Z.FBA,

?:AB"CD、

:.EF//CD.

Z.EFD=Z.FDC.

???Z-BFE+Z-EFD=180°-Z-FBA+乙FDC.

^LBFD=180°-LFBA+乙FDC,

vBF平分乙ABC,OF平分440C,

^FBA=-Z.ABC=-a,乙FDC=-Z.ADC=-/?,

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乙BFD=180°-Z.FBA+zFDC=