第25頁（共25頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期中必刷?？碱}之矩形的性質(zhì)與判定一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?東河區(qū)期末）如圖所示，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝60°，AE＝AB，則∠AEO＝（）A．60° B．75° C．85° D．105°2．（2024秋?濱城區(qū)校級期末）數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點(diǎn)作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所得兩長方形面積相等（如圖所示）”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補(bǔ)”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證，下列說法不一定成立的是（）A．S△ABC＝S△ADC B．S長方形NFGD＝S長方形EFMB C．S△ANF＝S長方形NFGD D．S△AEF＝S△ANF3．（2025春?望奎縣期末）如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O．若∠AOB＝60°，BD＝8，則AB的長為（）A．3 B．4 C．43 D．4．（2025春?樊城區(qū)期末）如圖，一根木棍斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設(shè)木棍中點(diǎn)為P，若木棍A端沿墻下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑動過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離（）A．變小 B．不變 C．變大 D．無法判斷5．（2025?壽陽縣校級開學(xué)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝130°，點(diǎn)E為對角線AC的中點(diǎn)，連接DE，BE，BD，則∠DBE的度數(shù)為（）A．50° B．40° C．30° D．25°6．（2025?壽陽縣校級開學(xué)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E．若ED＝3BE，則AE的長為（）A．3 B．4 C．33 D．7．（2024秋?肥城市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為（）A．2.5 B．2.4 C．3 D．48．（2024秋?肅州區(qū)校級期末）以下條件不能判別四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° B．OA＝OB＝OC＝OD C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD二．填空題（共5小題）9．（2024秋?吉安縣期末）如圖所示是一張矩形紙片ABCD，已知AB＝9，AD＝8，E為邊AB上的一點(diǎn)，AE＝5，點(diǎn)P在矩形ABCD的一邊上．要使△AEP是等腰三角形，則△AEP的底邊長為．10．（2025?南崗區(qū)校級開學(xué)）已知矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線AB于點(diǎn)F，若AB＝4，BE＝3，則BF長為．11．（2025春?依蘭縣期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交點(diǎn)O，AC＝10，P、Q分別為AO、AD的中點(diǎn)，則PQ的長度為．12．（2024秋?山亭區(qū)期末）如圖，一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝cm．13．（2024秋?城關(guān)區(qū)校級期末）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC＝1，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿AB，CD向終點(diǎn)B，D運(yùn)動，過點(diǎn)E，F(xiàn)作直線l，過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為G，則AG的最大值為三．解答題（共2小題）14．（2024秋?吉安縣期末）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝24cm，動點(diǎn)M從點(diǎn)A開始沿AB邊以4cm/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)N從點(diǎn)C開始沿CD邊以2cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，運(yùn)動點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為ts，則當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AMND是矩形？15．（2025?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，延長AE到點(diǎn)P，使FP＝AF，連接CF，CP，DP．（1）求證：四邊形CFDP是平行四邊形；（2）若四邊形CFDP是矩形，且AD=2，求

2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期中必刷常考題之矩形的性質(zhì)與判定參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BCBBBCBD一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?東河區(qū)期末）如圖所示，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝60°，AE＝AB，則∠AEO＝（）A．60° B．75° C．85° D．105°【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】由矩形的性質(zhì)得∠BAD＝90°，OA＝OB，因?yàn)椤螦OB＝60°，所以△AOB是等邊三角形，則∠OAB＝60°，AO＝AB，求得∠OAE＝30°，而AE＝AB，則AO＝AE，所以∠AOE＝∠AEO，由2∠AEO+30°＝180°，求得∠AEO＝75°，于是得到問題的答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴∠BAD＝90°，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，且∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠OAB＝60°，AO＝AB，∴∠OAE＝∠BAD﹣∠OAB＝30°，∵AE＝AB，∴AO＝AE，∴∠AOE＝∠AEO，∵∠AOE+∠AEO+∠OAE＝180°，∴2∠AEO+30°＝180°，∴∠AEO＝75°，故選：B．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，求得∠OAE＝30°，并且推導(dǎo)出AO＝AE是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?濱城區(qū)校級期末）數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點(diǎn)作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所得兩長方形面積相等（如圖所示）”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補(bǔ)”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證，下列說法不一定成立的是（）A．S△ABC＝S△ADC B．S長方形NFGD＝S長方形EFMB C．S△ANF＝S長方形NFGD D．S△AEF＝S△ANF【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)長方形的對角線把長方形的面積平分求解即可．【解答】解：由題意可知：AC是長方形ABCD的對角線，∴S△ABC＝S△ADC，故說法A正確，該選項(xiàng)不符合題意；由題意可知：四邊形AEFN和四邊形FMCG均為長方形，∵AF、CF分別是長方形AEFN、長方形FMCG的對角線，∴S△FMC＝S△FGC，S△AEF＝S△ANF，故說法D正確，該選項(xiàng)不符合題意；∴S△ABC﹣S△AEF﹣S△FMN＝S△ADC﹣S△ANF﹣S△FGC，∴S長方形NFGD＝S長方形EFMB，故說法B正確，該選項(xiàng)不符合題意；不能證明S△ANF＝S長方形NFGD，故說法C錯(cuò)誤，該選項(xiàng)符合題意，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查矩形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的面積計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵．3．（2025春?望奎縣期末）如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O．若∠AOB＝60°，BD＝8，則AB的長為（）A．3 B．4 C．43 D．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】B【分析】先由矩形的性質(zhì)得出OA＝OB，結(jié)合題意證明△AOB是等邊三角形即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，且BD＝8，∴OA=∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，OA＝AB＝4，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了矩形對角線相等且互相平分的性質(zhì)及等邊三角形的判定方法，熟練掌握矩形性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2025春?樊城區(qū)期末）如圖，一根木棍斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設(shè)木棍中點(diǎn)為P，若木棍A端沿墻下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑動過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離（）A．變小 B．不變 C．變大 D．無法判斷【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半得出OP=12AB＝【解答】解：在木棍滑動的過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離不發(fā)生變化，理由是：連接OP，∵∠AOB＝90°，P為AB中點(diǎn)，AB＝2a，∴OP=12AB＝即在木棍滑動的過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離不發(fā)生變化，永遠(yuǎn)是a；故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．5．（2025?壽陽縣校級開學(xué)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝130°，點(diǎn)E為對角線AC的中點(diǎn)，連接DE，BE，BD，則∠DBE的度數(shù)為（）A．50° B．40° C．30° D．25°【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】先求出∠BCD＝50°，再由直角三角形的性質(zhì)可得BE=CE=DE=12AC，由等邊對等角可得∠EBC＝∠ECB，∠EDC＝∠ECD，∠EBD＝【解答】解：由四邊形的內(nèi)角和是360°，可知，∠BCD＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC﹣∠BAD＝50°，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E為對角線AC的中點(diǎn)，∴BE=∴∠EBC＝∠ECB，∠EDC＝∠ECD，∠EBD＝∠EDB，∴∠BED＝∠BEA+∠DEA＝∠EBC+∠ECB+∠EDC+∠ECD＝2（∠ECB+∠ECD）＝100°，∴∠EBD故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了等邊對等角、直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答．6．（2025?壽陽縣校級開學(xué)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E．若ED＝3BE，則AE的長為（）A．3 B．4 C．33 D．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】推理能力．【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)可得OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得OA＝AB＝OB，可證△OAB是等邊三角形得到2BE＝AB，由勾股定理可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD（矩形的對角線互相平分且相等），∴OA＝OB，∵ED＝3BE，∴BE＝EO，∵AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等邊三角形，∴2BE＝AB＝6，則BE＝3，∴AE2＝AB2﹣BE2＝62﹣32＝27，∴AE=故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?肥城市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為（）A．2.5 B．2.4 C．3 D．4【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】連接AD，根據(jù)勾股定理求出BC的長，再證明四邊形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，如圖，連接AD，由勾股定理得：BC=∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，此時(shí)S△∴AD=∴MN的最小值為2.4．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)并理解垂線段最短的意義．8．（2024秋?肅州區(qū)校級期末）以下條件不能判別四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° B．OA＝OB＝OC＝OD C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD【考點(diǎn)】矩形的判定．【答案】D【分析】先根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定逐個(gè)判斷即可．【解答】解：如圖：A、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠BAD＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵AB＝CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)OA＝OC，OB＝OD不能推出平行四邊形ABCD是矩形，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形和矩形的判定的應(yīng)用，能熟記矩形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）9．（2024秋?吉安縣期末）如圖所示是一張矩形紙片ABCD，已知AB＝9，AD＝8，E為邊AB上的一點(diǎn)，AE＝5，點(diǎn)P在矩形ABCD的一邊上．要使△AEP是等腰三角形，則△AEP的底邊長為52或310或5【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等腰三角形的判定．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】52或310或【分析】分情況討論：①當(dāng)AP＝AE＝5時(shí)，則△AEP是等腰直角三角形，得出底邊PE=2AE=52即可；②當(dāng)PE＝AE＝5時(shí)，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等邊AP即可；③當(dāng)PA＝PE時(shí)，底邊【解答】解：如圖所示：①當(dāng)PE＝AE＝5時(shí)，∵BE＝AB﹣AE＝9﹣5＝4，∠B＝90°，∴PB=PE∴底邊AP=AB2②當(dāng)AP＝AE＝5時(shí)，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底邊PE=2AE＝52③當(dāng)PA＝PE時(shí)，底邊AE＝5；綜上所述：等腰三角形AEP的對邊長為52或310或故答案為：52或310或【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、分類思想，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)并分三種情況進(jìn)行解答．10．（2025?南崗區(qū)校級開學(xué)）已知矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線AB于點(diǎn)F，若AB＝4，BE＝3，則BF長為6或32【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；圖形的相似；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】6或32【分析】依題意有以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，則點(diǎn)E在線段BC上，設(shè)EF交AD于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)O，連接AE，先由勾股定理求出AE＝5，證明△OAH和△OCE全等得AH＝CE＝5，設(shè)BF＝x，則AF＝AB+BF＝4+x，再證明△FBE和△FAH相似得BFAF=BEAH，即xx+4=35，由此解得x＝6，進(jìn)而可得BF的長；②當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，則點(diǎn)E在CB的延長線上，設(shè)EF交AD于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)O，連接CF，設(shè)BF＝y(tǒng)，則y＞0，AF＝AB﹣BF＝4﹣y，證明△ABC和△EBF相似得ABBE=BCBF，即43=BCy，由此得BC=4y3【解答】解：依題意有以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E在線段BC上，設(shè)EF交AD于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)O，連接AE，如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，由勾股定理得：AE=AB∵FH是AC的垂直平分線，∴AE＝CE＝5，∠AOH＝∠COE＝90°，OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠OAH＝∠OCE，在△OAH和△OCE中，∠AOH∴△OAH≌△OCE（ASA），∴AH＝CE＝5，設(shè)BF＝x，∴AF＝AB+BF＝4+x，∵AD∥BC，∴△FBE∽△FAH，∴BFAF∴xx解得：x＝6，∴BF＝x＝6；②當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，則點(diǎn)E在CB的延長線上，設(shè)EF交AD于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)O，連接CF，如圖2所示：設(shè)BF＝y(tǒng)，則y＞0，∵AB＝4，BE＝3，∴AF＝AB﹣BF＝4﹣y，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，∴∠EBF＝90°，在Rt△EBF中，∠E+∠EFB＝90°，∵EH是AC的垂直平分線，∴∠AOF＝90°，CF＝AF＝4﹣y，在Rt△AOF中，∠BAC+∠AFO＝90°，∵∠EFB＝∠AFO，∴∠BAC＝∠E，又∵∠ABC＝∠EBF＝90°，∴△ABC∽△EBF，∴ABBE∴43∴BC=4在Rt△BFC中，由勾股定理得：CF2＝BF2+BC2，∴(4-y整理得：2y2+9y﹣18＝0，解得：y=32，y＝﹣∴BF＝y(tǒng)=3綜上所述：BF長為6或32故答案為：6或32【點(diǎn)評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．11．（2025春?依蘭縣期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交點(diǎn)O，AC＝10，P、Q分別為AO、AD的中點(diǎn)，則PQ的長度為2.5．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC＝BD＝12，BO＝DO＝6，再根據(jù)三角形中位線定理可得PQ=12DO＝【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝10，BO＝DO=12∴OD=12BD＝∵點(diǎn)P、Q是AO，AD的中點(diǎn)，∴PQ是△AOD的中位線，∴PQ=12DO＝故答案為：2.5．【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，以及三角形中位線定理，關(guān)鍵是掌握矩形對角線相等且互相平分．12．（2024秋?山亭區(qū)期末）如圖，一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝3cm．【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計(jì)算出CD的長．【解答】解：由圖可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴CD=12AB＝3故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．13．（2024秋?城關(guān)區(qū)校級期末）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC＝1，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿AB，CD向終點(diǎn)B，D運(yùn)動，過點(diǎn)E，F(xiàn)作直線l，過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為G，則AG的最大值為1【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力．【答案】1．【分析】由勾股定理可求AC的長，由“AAS“可證△COF≌△AOE，可得AO＝CO＝1，由AG⊥EF，可得點(diǎn)G在以AO為直徑的圓上運(yùn)動，則AG為直徑時(shí)，AG有最大值為1，即可求解．【解答】解：連接AC，交EF于O，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，∵AB=3，BC＝1∴AC=AB∵動點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿AB，CD向終點(diǎn)B，D運(yùn)動，∴CF＝AE，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，又∵∠COF＝∠AOE，∴△COF≌△AOE（AAS），∴AO＝CO＝1，∵AG⊥EF，∴點(diǎn)G在以AO為直徑的圓上運(yùn)動，∴AG為直徑時(shí)，AG有最大值為1，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，確定點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是解答本題的關(guān)鍵．三．解答題（共2小題）14．（2024秋?吉安縣期末）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝24cm，動點(diǎn)M從點(diǎn)A開始沿AB邊以4cm/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)N從點(diǎn)C開始沿CD邊以2cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，運(yùn)動點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為ts，則當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AMND是矩形？【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】t＝4．【分析】先分別表示出AM和DN的長度，再根據(jù)矩形的判定得AM＝DN時(shí)，四邊形AMND是矩形，據(jù)此列方程求解即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝24cm，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，根據(jù)題意可知，AM＝4tcm，CN＝2tcm，∴DN＝CD﹣CN＝（24﹣2t）cm，當(dāng)DN＝AM時(shí)，四邊形AMND是矩形，∴24﹣2t＝4t，解得：t＝4，即當(dāng)t＝4時(shí)，四邊形AMND是矩形．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2025?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，延長AE到點(diǎn)P，使FP＝AF，連接CF，CP，DP．（1）求證：四邊形CFDP是平行四邊形；（2）若四邊形CFDP是矩形，且AD=2，求【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）AB＝1．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)推出OF是△ACP的中位線，利用ASA證明△DEF≌△CEP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EF＝EP，結(jié)合DE＝CE，即可判定四邊形CFDP是平行四邊形；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理求解即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO，∵FP＝AF，∴OF是△ACP的中位線，∴OF∥CP，∴∠FDE＝∠PCE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△DEF和△CEP中，∠FDE∴△DEF≌△CEP（ASA），∴EF＝EP，又∵DE＝CE，∴四邊形CFDP是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB，∠ADE＝90°，∴根據(jù)勾股定理，AD2+DE2＝AE2，若四邊形CFDP是矩形，則，EF=DE=PE=∵AF＝FP，∴AE=∴AD∴AD2＝2CD2，∴AD=2CD∵AD=∴CD＝AB＝1，所以AB的長度為1．【點(diǎn)評】此題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用矩形的性質(zhì)證明△DEF≌△CEP是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．垂線段最短（1）垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．（3）實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．2．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．3．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．4．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．5．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．6．等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個(gè)軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．7．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡便方法來解決．8．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．9．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的