第14頁(yè)（共14頁(yè)）2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級(jí)期中必刷?？碱}之一元二次方程的解法一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?豐滿區(qū)期末）一元二次方程x2﹣2x＝0的解為（）A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣12．（2024秋?介休市期末）一元二次方程x2＝5x的根為（）A．x＝0 B．x＝5 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝﹣5，x2＝03．（2024秋?衡東縣期末）關(guān)于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（）A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣24．（2024秋?沁源縣期末）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣2＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≥-18 B．k≥-C．k＞-18 D．5．（2024秋?銅川期末）若關(guān)于x的方程x2+4x+m＝0有實(shí)數(shù)根，則m的值不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．56．（2024秋?巴東縣期末）設(shè)M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a為實(shí)數(shù)，則M與N的大小關(guān)系是（）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N7．（2024秋?翠屏區(qū)期末）若將一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0化成（x+m）2+n＝0的形式，則2m﹣n的值為（）A．﹣15 B．﹣17 C．5 D．178．（2024秋?浉河區(qū)期末）方程x2＝2的根是（）A．x1=x2=2 C．x=2 D二．填空題（共5小題）9．（2024秋?堯都區(qū)期末）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，將方程變?yōu)椋▁﹣m）2＝n的形式，則mn的值為．10．（2025?西藏）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m＝．11．（2024秋?棗陽(yáng)市期末）一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是方程x2﹣9x+18＝0的一個(gè)根其中一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，則該菱形的面積為．12．（2025春?房山區(qū)期末）方程x2＝x的解是．13．（2025?浦口區(qū)校級(jí)模擬）一元二次方程3x（x﹣1）＝x﹣1的解是．三．解答題（共2小題）14．（2024秋?達(dá)州期末）已知關(guān)于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0．（1）求證：無(wú)論k取何值，關(guān)于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若﹣1是此方程的一個(gè)根，求k的值．15．（2025?市南區(qū)校級(jí)開學(xué)）按要求解下列方程：（1）用配方法解方程：3x2＝6x﹣2；（2）公式法解方程：2x2﹣7x+3＝0．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級(jí)期中必刷?？碱}之一元二次方程的解法參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案ACABDACB一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?豐滿區(qū)期末）一元二次方程x2﹣2x＝0的解為（）A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：x2﹣2x＝0，因式分解得：x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x＝2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，關(guān)鍵是掌握因式分解法解方程的方法．2．（2024秋?介休市期末）一元二次方程x2＝5x的根為（）A．x＝0 B．x＝5 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝﹣5，x2＝0【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】先移項(xiàng)，再進(jìn)行提公因式，即可求解．【解答】解：原方程移項(xiàng)得：x2﹣5x＝0，分解因式得x（x﹣5）＝0，∴x1＝0，x2＝5，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?衡東縣期末）關(guān)于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（）A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】直接移項(xiàng)，然后利用因式分解法求解即可．【解答】解：原方程整理得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，分解因式得（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴（x﹣1）＝0或（x﹣2）＝0，∴x1＝1，x2＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，正確掌握直接開平方法，因式分解法，配方法和公式法是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?沁源縣期末）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣2＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≥-18 B．k≥-C．k＞-18 D．【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判別式及一元二次方程的定義求出k的取值范圍即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝32﹣4×（k﹣1）×（﹣2）＝8k+1≥0且k﹣1≠0，解得，k≥-18且故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判別式Δ＝b2﹣4ac，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，Δ＞0；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)Δ＝0；當(dāng)方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí)Δ＜0．5．（2024秋?銅川期末）若關(guān)于x的方程x2+4x+m＝0有實(shí)數(shù)根，則m的值不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】根的判別式．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．據(jù)此得到Δ＝16﹣4m≥0，進(jìn)而求解即可．【解答】解：由條件可知Δ＝42﹣4m＝16﹣4m≥0，解得m≤4，選項(xiàng)A、B、C中的1、3、4滿足m≤4，不符合題意，選項(xiàng)D中的5不滿足m≤4，符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程根的判別式，解答關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情況與根的判別式Δ＝b2﹣4ac的關(guān)系．6．（2024秋?巴東縣期末）設(shè)M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a為實(shí)數(shù)，則M與N的大小關(guān)系是（）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N【考點(diǎn)】配方法的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】利用作差法即可得出答案．【解答】解：M﹣N＝（4a2﹣4a+3）﹣（3a2﹣1）＝4a2﹣4a+3﹣3a2+1＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，∵（a﹣2）2≥0，∴M≥N．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?翠屏區(qū)期末）若將一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0化成（x+m）2+n＝0的形式，則2m﹣n的值為（）A．﹣15 B．﹣17 C．5 D．17【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣配方法．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】先利用配方法將方程化成（x﹣3）2﹣11＝0的形式，從而可得m，n的值，再代入計(jì)算即可得．【解答】解：原方程配方可得：x2﹣6x+9﹣9﹣2＝0，（x﹣3）2﹣11＝0，由條件可知m＝﹣3，n＝﹣11，∴2m﹣n＝2×（﹣3）﹣（﹣11）＝﹣6+11＝5，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．8．（2024秋?浉河區(qū)期末）方程x2＝2的根是（）A．x1=x2=2 C．x=2 D【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣直接開平方法．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】等式兩邊同時(shí)開方即可求解．【解答】解：∵x2＝2，∴x=±∴x1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）9．（2024秋?堯都區(qū)期末）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，將方程變?yōu)椋▁﹣m）2＝n的形式，則mn的值為21．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣配方法．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】21．【分析】利用配方法對(duì)所給方程進(jìn)行變形即可解決問(wèn)題．【解答】解：由題知，x2﹣6x+2＝0，x2﹣6x+9＝﹣2+9，（x﹣3）2＝7．因?yàn)榉匠蘹2﹣6x+2＝0可變?yōu)椋▁﹣m）2＝n的形式，所以m＝3，n＝7，則mn＝3×7＝21．故答案為：21．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解題的關(guān)鍵．10．（2025?西藏）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m＝18【考點(diǎn)】根的判別式．【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力．【答案】18【分析】利用根的判別式解答．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴（﹣1）2﹣4×1×2m＝0，m=1故答案為：18【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式．11．（2024秋?棗陽(yáng)市期末）一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是方程x2﹣9x+18＝0的一個(gè)根其中一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，則該菱形的面積為183【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形．【答案】183【分析】先解方程得出x1＝6，x2＝3，結(jié)合一條對(duì)角線長(zhǎng)為6得出菱形的邊長(zhǎng)為6，利用勾股定理得出菱形的另一條對(duì)角線為26【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣6）（x﹣3）＝0，解得：x1＝6，x2＝3，∵菱形一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，∴菱形的邊長(zhǎng)為6，∴菱形的另一條對(duì)角線為26∴菱形的面積為12故答案為：183【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性質(zhì)、勾股定理，通過(guò)解方程得到菱形的邊長(zhǎng)，再利用菱形的面積等于1212．（2025春?房山區(qū)期末）方程x2＝x的解是x1＝0，x2＝1．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】x1＝0，x2＝1．【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：x2＝x，x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，x1＝0，x2＝1，故答案為：x1＝0，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解題的關(guān)鍵．13．（2025?浦口區(qū)校級(jí)模擬）一元二次方程3x（x﹣1）＝x﹣1的解是x1＝1，x2=13【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】x1＝1，x2=1【分析】移項(xiàng)后，左邊提取公因式（x﹣1），將左邊因式分解，再進(jìn)一步求解即可．【解答】解：∵3x（x﹣1）＝（x﹣1），∴3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，則（x﹣1）（3x﹣1）＝0，∴x﹣1＝0或3x﹣1＝0，∴x1＝1，x2=1故答案為：x1＝1，x2=1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共2小題）14．（2024秋?達(dá)州期末）已知關(guān)于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0．（1）求證：無(wú)論k取何值，關(guān)于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若﹣1是此方程的一個(gè)根，求k的值．【考點(diǎn)】根的判別式．【專題】一元二次方程及應(yīng)用．【答案】（1）∵x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0，∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（﹣2k﹣1）＝4k2﹣4k+1+8k+4＝4k2+4k+1+4＝（2k+1）2+4；∵（2k+1）2≥0，∴Δ＝（2k+1）2+4＞0；∴無(wú)論k取何值，關(guān)于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）k=【分析】（1）求出判別式的符號(hào)，即可得證；（2）把x＝﹣1代入方程，進(jìn)行求解即可．【解答】（1）證明：∵x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0，∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（﹣2k﹣1）＝4k2﹣4k+1+8k+4＝4k2+4k+1+4＝（2k+1）2+4；∵（2k+1）2≥0，∴Δ＝（2k+1）2+4＞0；∴無(wú)論k取何值，關(guān)于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）把x＝﹣1代入x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0，得1+1﹣2k﹣2k﹣1＝0，解得：k=【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的判別式，一元二次方程的解，掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2025?市南區(qū)校級(jí)開學(xué)）按要求解下列方程：（1）用配方法解方程：3x2＝6x﹣2；（2）公式法解方程：2x2﹣7x+3＝0．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）x1（2）x1＝3，x2【分析】（1）先將方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在等式兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方求解．（2）先確定一元二次方程的系數(shù)a、b、c，計(jì)算判別式Δ＝b2﹣4ac，再代入求根公式求解．【解答】（1）解：∵3x2＝6x﹣2，∴x2∴x2∴(x∴x1（2）解：2x2﹣7x+3＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×3＝49﹣24＝25＞0，∴x=-b∴x1＝3；x2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用配方法和公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握配方法和公式法的步驟．

考點(diǎn)卡片1．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負(fù)性．任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．2．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．3．解一元二次方程-直接開平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．4．解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．5．解一元二次方程-公式法（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．6．解一元二次方程-因式分解法（1）因