第25頁(yè)（共25頁(yè)）2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版九年級(jí)期中必刷常考題之相似三角形一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?南皮縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．其中點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為8，16，10.5，14.5，已知直尺寬為2，則S△ABC為（）A．8 B．16 C．32 D．642．（2024秋?金鳳區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F，若△AEF的面積為2，則△CBF的面積為（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2024秋?翠屏區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M在線段BD上，N在線段CD上，若BM＝2CN，則2AN+AM的最小值為（）A．25 B．22 C．23 4．（2026?江西模擬）如圖1，將邊長(zhǎng)為2的正方形剪成四塊，將這四塊圖形恰好無(wú)縫隙無(wú)重疊地拼成如圖2所示的圖形（點(diǎn)D，G，H，C在同一直線上，點(diǎn)D，F(xiàn)，B在同一直線上），則FG的長(zhǎng)為（）A．23 B．34 C．3-5 5．（2024秋?埇橋區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)E是平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn)，CE、BA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AFAB=EFEC B．AEDE=AFCD6．（2025?南崗區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在三角形ABC中，高BD、CE交于點(diǎn)O，下列錯(cuò)誤的是（）A．CO?CE＝CD?CA B．OE?CD＝OD?BE C．AD?AC＝AE?AB D．CO?DO＝BO?AO7．（2025?蕪湖一模）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC∽△ADE的是（）A．ABAD=ACAE B．∠B＝∠D C．ABAD=BCDE8．（2024秋?永壽縣期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)F，DG⊥AC于點(diǎn)G，連接DF．下列結(jié)論不正確的是（）A．△AEF∽△CAB B．AF=C．S四邊形D．DF＝DC二．填空題（共5小題）9．（2024秋?馬邊縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于點(diǎn)F，則DE的長(zhǎng)是；△DEF面積的最大值是．10．（2024秋?吉安縣期末）如圖，平行四邊形ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，使DE：AD＝1：3，聯(lián)結(jié)EF交DC于點(diǎn)G，則S△DEG：S△CFG＝．11．（2025?西藏）如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，若DEBC=23，則AEEC的值是12．（2025?吉林二模）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，且AE＝3DE，連接BE交AC于點(diǎn)O，則△AOB的面積與△BOC的面積之比為．13．（2024秋?翠屏區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是AB邊上的點(diǎn)，點(diǎn)F是AC邊上的點(diǎn)，且EF∥BC，AE：EB＝3：1，點(diǎn)D是AE中點(diǎn)，若△ABC的面積為48，則△DEF的面積為．三．解答題（共2小題）14．（2024秋?勉縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，連接DE．求證：△ABC∽△DEC．15．（2024秋?裕安區(qū)校級(jí)期末）如圖，F(xiàn)是正方形ABCD邊AB上的點(diǎn)，△DEF是等腰直角三角形，∠DEF＝90°，連接BD交EF于點(diǎn)G，連接CE．（1）求證：△DEG∽△DAF．（2）若FG＝EG，求AFCE

2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版九年級(jí)期中必刷?？碱}之相似三角形參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案BBACADCC一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?南皮縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．其中點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為8，16，10.5，14.5，已知直尺寬為2，則S△ABC為（）A．8 B．16 C．32 D．64【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積．【專(zhuān)題】三角形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】過(guò)A作AN⊥BC于N，交DE于M，由DE∥BC，推出AM⊥DE，求出BC＝8，DE＝4，判定△ADE∽△ABC，推出AMAN=DEBC，求出AM＝2，得到AN＝4，于是S△ABC=12【解答】解：過(guò)A作AN⊥BC于N，交DE于M，∵DE∥BC，∴AM⊥DE，∵直尺寬為2，∴MN＝2，∵B，C，D，E處的讀數(shù)分別為8，16，10.5，14.5，∴BC＝16﹣8＝8，DE＝14.5﹣10.5＝4，∵△ADE∽△ABC，∴AMAN∴AMAM∴AM＝2，∴AN＝AM+MN＝4，∴S△ABC=12BC?AN=12故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵判定△ADE∽△ABC，推出AMAN2．（2024秋?金鳳區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F，若△AEF的面積為2，則△CBF的面積為（）A．6 B．8 C．10 D．12【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，且AD∥BC，從而利用相似三角形的判定定理推出△AEF∽△CBF，再根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到AEBC【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，且AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴S△AEFS△CBF∵點(diǎn)E為AD邊中點(diǎn)，∴AE=12AD=∴AEBC∴2S△CBF=（解得S△CBF＝8，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)推出AEBC3．（2024秋?翠屏區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M在線段BD上，N在線段CD上，若BM＝2CN，則2AN+AM的最小值為（）A．25 B．22 C．23 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】A【分析】連接AC，作CE∥BD，使得CE=12AB，連接EN，AE，利用相似三角形的性質(zhì)推出EN=12【解答】解：連接AC，作CE∥BD，使得CE=12AB，連接∵邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ADC＝∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD∴AC＝AB＝2，∠ACB＝∠ACD＝60°，∵CE∥BD，BM＝2CN，∴∠DCE＝∠BDC＝30°，∴∠ABM＝∠ECN，∵ABEC∴△ABM∽△ECN，∴AMEN∴EN=∴2AN∵AN+EN≥AE，當(dāng)點(diǎn)A、N、E共線時(shí)，取“＝”，此時(shí)AN+EN的最小值為線段AE的長(zhǎng)，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝60°+30°＝90°，CE=∴AE=C∴AN+EN的最小值為5，∴2AN+AM的最小值為25故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造相似三角形．4．（2026?江西模擬）如圖1，將邊長(zhǎng)為2的正方形剪成四塊，將這四塊圖形恰好無(wú)縫隙無(wú)重疊地拼成如圖2所示的圖形（點(diǎn)D，G，H，C在同一直線上，點(diǎn)D，F(xiàn)，B在同一直線上），則FG的長(zhǎng)為（）A．23 B．34 C．3-5 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】先結(jié)合圖1和圖2，得GF＝AH，再證明△DGF∽△DHB，故r2-r=【解答】解：∵將邊長(zhǎng)為2的正方形剪成四塊，將這四塊圖形恰好無(wú)縫隙無(wú)重疊地拼成如圖2所示的圖形（點(diǎn)D，G，H，C在同一直線上，點(diǎn)D，F(xiàn)，B在同一直線上），∴GF＝AH，EF＝AB＝2，∠DFG＝∠B＝90°設(shè)GF＝AH＝r，則FB＝2﹣r＝BH，∴DB＝DF+FB＝4﹣r，∵∠DFG＝∠B＝90°，∠D＝∠D，∴△DGF∽△DHB，∴GFHB即r2-解得r=5+3故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，配方法解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?埇橋區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)E是平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn)，CE、BA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AFAB=EFEC B．AEDE=AFCD【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】A【分析】利用平行線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：A、∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠D，由AE∥BC，得AFABB、由BF∥CD，得△AEF∽△DEC，∴AEDEC、∵CD∥BF，∴∠BFC＝∠DCE，又∵∠B＝∠D，∴△DCE∽△BFC，∴DEBC∵CD∥BF，∴∠BFC＝∠DCE，又∵∠B＝∠D，∴△DCE∽△BFC，∴AEAD故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記“A”字模型和“8”字模型相似三角形是解題關(guān)鍵．6．（2025?南崗區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在三角形ABC中，高BD、CE交于點(diǎn)O，下列錯(cuò)誤的是（）A．CO?CE＝CD?CA B．OE?CD＝OD?BE C．AD?AC＝AE?AB D．CO?DO＝BO?AO【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】由BD、CE是△ABC的高，利用兩組對(duì)應(yīng)角相等，易證△AEC∽△ADB、△EOB∽△DOC、△ABD∽△ACE，根據(jù)相似三角形中對(duì)應(yīng)邊成比例易得出只有D是錯(cuò)誤的．【解答】解：∵CE⊥AB，BD⊥AC，又∠BOE＝∠COD，∴△BOE∽△COD，∴OE?CD＝OD?BE，又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∴AD?AC＝AE?AB，又∵∠DCO＝∠ECA，∴△DCO∽△ECA，∴CO?CE＝CD?AC，∴D不對(duì)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比不要搞錯(cuò)．7．（2025?蕪湖一模）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC∽△ADE的是（）A．ABAD=ACAE B．∠B＝∠D C．ABAD=BCDE【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到最后答案．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴選項(xiàng)B、D根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等判定△ABC∽△ADE，選項(xiàng)A根據(jù)兩邊成比例夾角相等判定△ABC∽△ADE，選項(xiàng)C中不是夾這兩個(gè)角的邊，所以不相似，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定：①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．8．（2024秋?永壽縣期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)F，DG⊥AC于點(diǎn)G，連接DF．下列結(jié)論不正確的是（）A．△AEF∽△CAB B．AF=C．S四邊形D．DF＝DC【考點(diǎn)】相似三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】三角形；圖形的相似．【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD＝BC，AD∥BC，∠ABC＝90°，利用∠AFE＝∠CBA，∠EAF＝∠BCA可判斷△AEF∽△CAB則可對(duì)A進(jìn)行判斷；通過(guò)證明EF∥DG，則AFAG=AEAD=12，則可對(duì)B進(jìn)行判斷；設(shè)△AEF的面積為S，利用△AEF∽△CAB得到AFCF=AEBC=12，所以AF＝GF＝CG，于是得到DG垂直平分CF，則AF＝GF＝CG，利用三角形面積公式得到S△DEF＝S，S△DFG＝S△DCG＝S△DAF＝2S然后利用△AEF∽△CFB得到EFBF=AEBC=12，所以S△ABF＝2S，則【解答】解：A、∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠EAC＝∠ACB，∵BE⊥AC，∴∠AFE＝90°，∵∠AFE＝∠CBA，∠EAF＝∠BCA，∴△AEF∽△CAB，故原選項(xiàng)正確，不符合題意；B、∵BE⊥AC，DG⊥AC，∴EF∥DG，∴△AEF∽△ADG，∴AFAG∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴AE=∴AF=C、設(shè)△AEF的面積為S，則S△DEF＝S，∵AE=12AD，∴AE=∵△AEF∽△CFB，∴AFCF∵AF＝FG，∴AF＝FG＝CG，∴DG垂直平分CF，∴GF＝CG，∴S△DFG＝S△DCG＝S△DAF＝2S，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CFB，∴EFBF=AEBC=1∴S△ABF：S△AEF＝2：1，即S△ABF＝2S，∴S四邊形CDEF：S△ABF＝（S+2S+2S）：2S，∴S四邊形D、由上可知：DG垂直平分CF，∴DF＝DC，故原選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）9．（2024秋?馬邊縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于點(diǎn)F，則DE的長(zhǎng)是2；△DEF面積的最大值是1213【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積．【專(zhuān)題】三角形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】2，1213【分析】證出△CDE∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得DE＝2；先設(shè)△ABC的面積為S，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得S△CDES△ABC=49，∠CDE＝∠CBA，從而可得S△CDE=49S，AB∥DE，再證出△DEF∽△ABF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得EFBF=DFAF=DEAB=23，【解答】解：∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴CECA在△CDE和△CBA中，CECA∴△CDE∽△CBA，∴DEAB∵AB＝3，∴DE3∴DE＝2．設(shè)△ABC的面積為S，∵△CDE∽△CBA，CECA∴∠CDE＝∠CBA，S△∴AB∥DE，S△∴△DEF∽△ABF，S四邊形∴S△DEFS∴S△ABF=94又∵S△∴23解得S△如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，∴S=∵AG≤AB（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合，等號(hào)成立），∴AG的最大值為AB＝3，∴S的最大值為3×3＝9，∴△DEF面積的最大值是439故答案為：2，1213【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2024秋?吉安縣期末）如圖，平行四邊形ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，使DE：AD＝1：3，聯(lián)結(jié)EF交DC于點(diǎn)G，則S△DEG：S△CFG＝49【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】49【分析】先設(shè)出DE＝x，進(jìn)而得出AD＝3x，再用平行四邊形的性質(zhì)得出BC＝3x，進(jìn)而求出CF，最后用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴CF=12BC=∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴S△DEGS△CFG=（DECF）故答案為：49【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．11．（2025?西藏）如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，若DEBC=23，則AEEC的值是【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】2．【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC∴AEEC=故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．12．（2025?吉林二模）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，且AE＝3DE，連接BE交AC于點(diǎn)O，則△AOB的面積與△BOC的面積之比為3：4．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；平行四邊形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】3：4．【分析】根據(jù)題意得到AD∥BC，AD＝BC，AE：AD＝3：4，得到△AOE∽△BOC，得出AOCO=AEBC=34，得到S△AOB：S【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝3DE，∴AE：AD＝3：4，∴AE：AB＝3：4，∵AD∥BC，∴△AOE∽△BOC，∴AOCO∴S△AOB：S△BOC＝AO：CO＝3：4，故答案為：3：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?翠屏區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是AB邊上的點(diǎn)，點(diǎn)F是AC邊上的點(diǎn)，且EF∥BC，AE：EB＝3：1，點(diǎn)D是AE中點(diǎn)，若△ABC的面積為48，則△DEF的面積為272【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積．【專(zhuān)題】三角形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】272【分析】根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，可求△AEF的面積，根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)可求△DEF的面積．【解答】解：∵AE：EB＝3：1，∴AE：AB＝3：4；∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴S△ABC＝48，S△∴S△AEF＝27；∵D是AE中點(diǎn)，∴S△故答案為：272【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．三．解答題（共2小題）14．（2024秋?勉縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，連接DE．求證：△ABC∽△DEC．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】三角形；圖形的相似．【答案】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，又∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BEC，∴ACBC∴ACDC又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DEC．【分析】先通過(guò)兩組角分別相等的三角形是相似三角形，得△ADC∽△BEC，則ACBC=DCEC，變形得ACDC=BCEC，再結(jié)合∠C＝【解答】證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，又∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BEC，∴ACBC∴ACDC又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DEC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2024秋?裕安區(qū)校級(jí)期末）如圖，F(xiàn)是正方形ABCD邊AB上的點(diǎn)，△DEF是等腰直角三角形，∠DEF＝90°，連接BD交EF于點(diǎn)G，連接CE．（1）求證：△DEG∽△DAF．（2）若FG＝EG，求AFCE【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，BD為對(duì)角線，∴DA＝AB＝BC＝CD，∠A＝90°，∠ADB＝CDB＝45°，∴∠ADF+∠BDF＝45°，∵△DEF為等腰直角三角形，∠DEF＝90°，∴∠EDF＝45°，ED＝EF，∴∠EDG+∠BDF＝45°，∴∠EDG＝∠ADF，又∠DEF＝∠A＝90°，∴△DEG∽△DAF；（2）2．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到DA＝AB＝BC＝CD，∠A＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°．再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得到∠EDF＝45°，ED＝EF．通過(guò)角的等量關(guān)系，證明∠EDG＝∠ADF，結(jié)合∠DEF＝∠A＝90°，利用相似三角形的判定定理（AA）證明△DEG△DAF；（2）設(shè)EG＝a，則FG＝EG＝a，得到ED＝EF＝2a．在Rt△DEF中，利用勾股定理得到DF=22a．根據(jù)△DEG∽△DAF，得到ED：DA＝EG：AF，從而得出DA＝2AF，即點(diǎn)F為AB【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，BD為對(duì)角線，∴DA＝AB＝BC＝CD，∠A＝90°，∠ADB＝CDB＝45°，∴∠ADF+∠BDF＝45°，∵△DEF為等腰直角三角形，∠DEF＝90°，∴∠EDF＝45°，ED＝EF，∴∠EDG+∠BDF＝45°，∴∠EDG＝∠ADF，又∠DEF＝∠A＝90°，∴△DEG∽△DAF；（2）解：設(shè)EG＝a，則FG＝EG＝a，∴ED＝EF＝2a，在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF=E∵△DEG?﹣△DAF，∴ED：DA＝EG：AF，即2a：DA＝a：AF，∴DA＝2AF，即AB＝2AF，∴點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，即AF＝BF，在Rt△ABCD中，BC＝CD，由勾股定理得：BD=∴BDCD∵DFDE∴DFDE又∵∠BDF+∠BDE＝∠EDF＝45°，∠CDE+∠BDE＝∠CBD＝45°，∴∠BDF＝∠CDE，∴△BDF∽△CDE，∴BFCE∴AFCE【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S△=12×（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．2．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱(chēng)“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．3．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱(chēng)軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．5．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：26．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．②角：平行四