函數(shù)與不等式全套教學(xué)講義前言函數(shù)與不等式是數(shù)學(xué)的基石，是連接代數(shù)與分析的橋梁，也是解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)大工具。從樸素的數(shù)量關(guān)系描述到復(fù)雜的模型構(gòu)建，函數(shù)思想貫穿始終，而不等式則為我們提供了比較、限定和優(yōu)化的視角。本講義旨在系統(tǒng)梳理函數(shù)與不等式的核心概念、基本性質(zhì)、重要方法及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)習(xí)者構(gòu)建完整的知識(shí)體系，并培養(yǎng)運(yùn)用這些知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力。我們將從最基礎(chǔ)的定義出發(fā)，逐步深入，注重邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性與應(yīng)用的靈活性，力求使抽象的數(shù)學(xué)概念變得直觀可感，復(fù)雜的解題技巧變得有章可循。第一章函數(shù)的基本概念1.1函數(shù)的定義在數(shù)學(xué)的世界里，我們常常需要研究變量之間的依賴關(guān)系。當(dāng)一個(gè)變量的取值確定后，另一個(gè)變量的取值也隨之唯一確定，這種確定性的依賴關(guān)系，我們稱之為函數(shù)。定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function）。記作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域（range）。對(duì)定義的理解：*非空性：定義域A和值域的基集B必須是非空數(shù)集，這是構(gòu)成函數(shù)的前提。*對(duì)應(yīng)關(guān)系f：這是函數(shù)的核心，它規(guī)定了從x到y(tǒng)的轉(zhuǎn)換規(guī)則。這個(gè)規(guī)則可以是解析式、圖像、表格，甚至是一段文字描述，但必須是明確的。*任意性與唯一性：對(duì)于A中的“任意”x，B中都有“唯一”的y與之對(duì)應(yīng)?！叭我狻北ＷC了A中元素?zé)o遺漏，“唯一”則強(qiáng)調(diào)了結(jié)果的確定性，這也是函數(shù)區(qū)別于一般映射的關(guān)鍵之一（此處暫不展開(kāi)映射的一般概念）。注：函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)的兩個(gè)基本要素。兩個(gè)函數(shù)相同，當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致。至于自變量和因變量用什么字母表示，并不影響函數(shù)本身。例如，y=f(x)與u=f(t)，如果定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系f相同，那么它們是同一個(gè)函數(shù)。1.2函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法多種多樣，常見(jiàn)的有解析法、列表法和圖像法。1.解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式（解析式）來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是最常用也是最精確的表示方法。例如，y=2x+1，y=x2-3x+2，y=sinx等。解析法的優(yōu)點(diǎn)是便于進(jìn)行理論分析和運(yùn)算，但并非所有函數(shù)都能用簡(jiǎn)單的解析式表示。2.列表法：通過(guò)列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如，數(shù)學(xué)用表中的平方表、平方根表，以及生活中常見(jiàn)的工資表、成績(jī)單等。列表法的優(yōu)點(diǎn)是直觀明了，可以直接查得函數(shù)值，但往往只能表示有限個(gè)或離散的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。3.圖像法：用平面直角坐標(biāo)系中的圖形來(lái)表示函數(shù)關(guān)系。圖像上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)。圖像法的優(yōu)點(diǎn)是形象直觀，能清晰地反映函數(shù)的變化趨勢(shì)和某些性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性），但從圖像上讀取的函數(shù)值通常是近似值。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們常常需要根據(jù)具體情況選擇合適的表示方法，有時(shí)甚至?xí)追N方法結(jié)合起來(lái)使用。1.3函數(shù)的定義域與值域1.3.1定義域的確定函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，它是函數(shù)存在的前提。在研究函數(shù)時(shí)，首先必須明確其定義域。確定函數(shù)定義域的主要依據(jù)：1.分式的分母不為零：例如，函數(shù)y=1/x的定義域是x≠0。2.偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)：例如，函數(shù)y=√x的定義域是x≥0。3.對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零：例如，函數(shù)y=log?x的定義域是x>0。4.實(shí)際問(wèn)題的背景：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，定義域的確定還需要考慮變量的實(shí)際意義。例如，若x表示人數(shù)，則x應(yīng)為非負(fù)整數(shù)。對(duì)于由解析式給出的函數(shù)，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，其定義域是指使解析式有意義的所有實(shí)數(shù)組成的集合。例題：求函數(shù)f(x)=√(x+2)/(x-1)的定義域。解：要使函數(shù)有意義，需滿足：x+2≥0（偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)）x-1≠0（分式分母不為零）解得x≥-2且x≠1。所以，函數(shù)的定義域?yàn)閇-2,1)∪(1,+∞)。1.3.2值域的求解函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}。求值域是函數(shù)研究中的一個(gè)重要內(nèi)容，方法靈活多樣，需要根據(jù)函數(shù)的具體形式選擇合適的方法。常見(jiàn)的求值域方法：1.觀察法：對(duì)于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，如一次函數(shù)、常數(shù)函數(shù)等，可通過(guò)觀察直接寫(xiě)出值域。2.配方法：對(duì)于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)形式的函數(shù)，常用配方法求值域。例如，y=ax2+bx+c(a≠0)。3.反函數(shù)法：若函數(shù)存在反函數(shù)，則可通過(guò)求反函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域。4.判別式法：對(duì)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)(a,d不同時(shí)為零)的分式函數(shù)，可將其整理為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式Δ≥0來(lái)求y的取值范圍（需注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的情況）。5.單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定函數(shù)在定義域內(nèi)的最值，進(jìn)而得到值域。6.換元法：通過(guò)引入新的變量，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為更容易求值域的函數(shù)。例題：求函數(shù)y=x2-2x+3，x∈[0,3]的值域。解：y=x2-2x+3=(x-1)2+2。函數(shù)圖像為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x=1。當(dāng)x=1時(shí)，y取得最小值，y_min=2。當(dāng)x=3時(shí)，y=(3-1)2+2=6；當(dāng)x=0時(shí)，y=(0-1)2+2=3。比較可知，當(dāng)x=3時(shí)，y取得最大值6。所以，函數(shù)在[0,3]上的值域?yàn)閇2,6]。第二章函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)特征的具體體現(xiàn)，掌握這些性質(zhì)對(duì)于深刻理解函數(shù)的行為和解決相關(guān)問(wèn)題至關(guān)重要。本章將介紹函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和有界性。2.1函數(shù)的單調(diào)性在日常生活中，我們常會(huì)說(shuō)某個(gè)量“越來(lái)越大”或“越來(lái)越小”，這種變化趨勢(shì)反映在函數(shù)上，就是函數(shù)的單調(diào)性。定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?，x?：*當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（increasingfunction）；*當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)>f(x?)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)（decreasingfunction）。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。對(duì)定義的理解：*單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，離開(kāi)了具體區(qū)間，談?wù)搯握{(diào)性是沒(méi)有意義的。一個(gè)函數(shù)可能在某些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上是減函數(shù)。*定義中的x?，x?是區(qū)間D上的任意兩個(gè)值，不能用特殊值代替。*增函數(shù)的圖像從左到右是上升的，減函數(shù)的圖像從左到右是下降的。判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：1.定義法：按照定義進(jìn)行證明，步驟如下：*取值：在區(qū)間D上任取x?，x?，且x?<x?；*作差：計(jì)算f(x?)-f(x?)；*變形：對(duì)差式進(jìn)行變形（因式分解、配方等）；*定號(hào)：判斷差式的正負(fù)；*結(jié)論：根據(jù)定義得出函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性。2.圖像法：通過(guò)觀察函數(shù)的圖像，直觀判斷其單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則：（后續(xù)章節(jié)介紹）4.導(dǎo)數(shù)法：（高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)）例題：證明函數(shù)f(x)=2x+1在R上是增函數(shù)。證明：任取x?，x?∈R，且x?<x?。則f(x?)-f(x?)=(2x?+1)-(2x?+1)=2(x?-x?)。因?yàn)閤?<x?，所以x?-x?<0，從而f(x?)-f(x?)=2(x?-x?)<0，即f(x?)<f(x?)。所以，函數(shù)f(x)=2x+1在R上是增函數(shù)。2.2函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性是研究函數(shù)圖像對(duì)稱性的重要性質(zhì)。定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于任意x∈I，都有-x∈I，且：*f(-x)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做偶函數(shù)（evenfunction）；*f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做奇函數(shù)（oddfunction）。對(duì)定義的理解：*定義域的對(duì)稱性：函數(shù)具有奇偶性的前提是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。*函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系：偶函數(shù)滿足f(-x)=f(x)，奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。*圖像特征：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。判斷函數(shù)奇偶性的步驟：1.檢查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。若不對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。2.計(jì)算f(-x)，并與f(x)、-f(x)進(jìn)行比較。*若f(-x)=f(x)，則為偶函數(shù)；*若f(-x)=-f(x)，則為奇函數(shù)；*若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，則函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（此時(shí)f(x)=0）；*若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，則為非奇非偶函數(shù)。例題：判斷函數(shù)f(x)=x3-x的奇偶性。解：函數(shù)f(x)=x3-x的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。計(jì)算f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x)。所以，函數(shù)f(x)=x3-x是奇函數(shù)。2.3函數(shù)的周期性（簡(jiǎn)介）在自然界和生活中，許多現(xiàn)象都具有重復(fù)出現(xiàn)的特性，如晝夜交替、四季輪回。這種周期性也體現(xiàn)在某些函數(shù)中。定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮。如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)于任意x∈I，都有x+T∈I，且f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做周期函數(shù)（periodicfunction），非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期（period）。如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期（minimumpositiveperiod）。注：*周期函數(shù)的周期不唯一，若T是周期，則kT（k為非零整數(shù)）也是周期。*并非所有周期函數(shù)都有最小正周期。例如，常函數(shù)f(x)=C（C為常數(shù)），任何非零常數(shù)都是它的周期，但它沒(méi)有最小正周期。*三角函數(shù)是一類重要的周期函數(shù)，如正弦函數(shù)y=sinx，余弦函數(shù)y=cosx，它們的最小正周期都是2π。2.4函數(shù)的有界性（簡(jiǎn)介）定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮。如果存在常數(shù)M>0，使得對(duì)于任意x∈I，都有|f(x)|≤M成立，那么稱函數(shù)y=f(x)在I上是有界函數(shù)（boundedfunction）；否則，稱函數(shù)在I上是無(wú)界函數(shù)（unboundedfunction）。注：*有界性是一個(gè)與定義域相關(guān)的概念。一個(gè)函數(shù)可能在某個(gè)區(qū)間上有界，而在另一個(gè)區(qū)間上無(wú)界。*例如，函數(shù)y=sinx在R上是有界的，因?yàn)閨sinx|≤1；而函數(shù)y=x在R上是無(wú)界的。第三章基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)是構(gòu)成復(fù)雜函數(shù)的“基本積木”，包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。本章將重點(diǎn)介紹中學(xué)階段常見(jiàn)的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)。3.1冪函數(shù)定義：一般地，形如y=x^α(α為常數(shù))的函數(shù)，叫做冪函數(shù)（powerfunction），其中x是自變量，α是常數(shù)。常見(jiàn)的冪函數(shù)及其圖像與性質(zhì)：我們以α=1,2,3,-1,1/2為例，簡(jiǎn)要說(shuō)明冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)。*y=x(α=1)：正比例函數(shù)，圖像是過(guò)原點(diǎn)的直線，在R上單調(diào)遞增，奇函數(shù)。*y=x2(α=2)：二次函數(shù)，圖像是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為y軸，在(-∞,0]上單調(diào)遞減，在[0,+∞)上單調(diào)遞增，偶函數(shù)，值域?yàn)閇0,+∞)。*y=x3(α=3)：三次函數(shù)，圖像在R上單調(diào)遞增，奇函數(shù)，值域?yàn)镽。*y=x?1(α=-1)：反比例函數(shù)，即y=1/x，定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)，圖像是雙曲線，在(-∞,0)和(0,+∞)上分別單調(diào)遞減，奇函數(shù)。*y=x^(1/2)(α=1/2)：即y=√x，定義域?yàn)閇0,+∞)，圖像是拋物線的右半支，在[0,+∞)上單調(diào)遞增，非奇非偶函數(shù)，值域?yàn)閇0,+∞)。冪函數(shù)的共性：*所有冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)。*當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)，并且在[0,+