幻燈片1：封面課程名稱：21.2.1.2配方法（解一元二次方程進(jìn)階）教材版本：人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)授課教師：[教師姓名]核心目標(biāo)：熟練運(yùn)用配方法解復(fù)雜一元二次方程，掌握配方法在實(shí)際問(wèn)題與代數(shù)變形中的應(yīng)用幻燈片2：舊知回顧與易錯(cuò)點(diǎn)梳理配方法四步核心（回顧）：①

化1（二次項(xiàng)系數(shù)化為1）；②

移項(xiàng)（常數(shù)項(xiàng)移至右邊）；③

配方（加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方）；④

求解（開(kāi)方并判斷根的情況）。常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)警示：化二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，漏除常數(shù)項(xiàng)（如方程\(2x^2-4x-1=0\)，誤化為\(x^2-2x-1=0\)，正確應(yīng)為\(x^2-2x-\frac{1}{2}=0\)）；配方時(shí)忘記“兩邊同時(shí)加平方數(shù)”（如\(x^2-6x=5\)，誤寫(xiě)為\(x^2-6x+9=5\)，正確應(yīng)為\(x^2-6x+9=5+9\)）；開(kāi)方時(shí)忽略負(fù)根（如\((x-2)^2=4\)，只解得\(x=4\)，遺漏\(x=0\)）?？焖贆z驗(yàn)：用配方法解\(x^2-2x-3=0\)，核對(duì)步驟與結(jié)果（正確根為\(x_1=3\)，\(x_2=-1\)）?；脽羝?：例題1（含分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元二次方程）解方程：\(\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-1=0\)解題關(guān)鍵：先消除分母簡(jiǎn)化方程，再按配方法步驟求解去分母：方程兩邊同乘2（分母最小公倍數(shù)），得\(x^2-3x-2=0\)；移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移至右邊，\(x^2-3x=2\)；配方：一次項(xiàng)系數(shù)為\(-3\)，一半為\(-\frac{3}{2}\)，平方為\(\frac{9}{4}\)，兩邊加\(\frac{9}{4}\)：\(x^2-3x+\frac{9}{4}=2+\frac{9}{4}\)，即\((x-\frac{3}{2})^2=\frac{17}{4}\)；開(kāi)方：\(x-\frac{3}{2}=\pm\sqrt{\frac{17}{4}}=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}\)；求解：\(x=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{17}}{2}\)，即\(x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\)，\(x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\)；技巧總結(jié)：含分?jǐn)?shù)系數(shù)時(shí)，優(yōu)先去分母（乘各分母最小公倍數(shù)），避免后續(xù)分?jǐn)?shù)運(yùn)算出錯(cuò)?；脽羝?：例題2（一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的特殊方程）解方程：\(3x^2+12x-6=0\)解題技巧：利用一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的特點(diǎn)，簡(jiǎn)化配方計(jì)算化1與簡(jiǎn)化：方程兩邊除以3得\(x^2+4x-2=0\)（一次項(xiàng)系數(shù)\(4\)為偶數(shù)，便于計(jì)算“一半的平方”）；移項(xiàng)：\(x^2+4x=2\)；配方：一次項(xiàng)系數(shù)一半為\(2\)，平方為\(4\)，兩邊加\(4\)：\(x^2+4x+4=2+4\)，即\((x+2)^2=6\)；開(kāi)方求解：\(x+2=\pm\sqrt{6}\)，得\(x_1=-2+\sqrt{6}\)，\(x_2=-2-\sqrt{6}\)；對(duì)比思考：若一次項(xiàng)系數(shù)為奇數(shù)（如\(x^2-5x=3\)），配方時(shí)平方數(shù)為分?jǐn)?shù)（\(\frac{25}{4}\)），需注意分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算（\(3+\frac{25}{4}=\frac{37}{4}\)）?；脽羝?：例題3（配方法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用）問(wèn)題：某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。為擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加盈利，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件。若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？設(shè)未知數(shù)：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)\(x\)元；找等量關(guān)系：降價(jià)后每件盈利：\((40-x)\)元；降價(jià)后每天銷(xiāo)售量：\((20+2x)\)件；總盈利=每件盈利

×

銷(xiāo)售量，即\((40-x)(20+2x)=1200\)；整理方程：展開(kāi)得\(800+80x-20x-2x^2=1200\)，移項(xiàng)合并得\(-2x^2+60x-400=0\)，兩邊除以\(-2\)（化二次項(xiàng)系數(shù)為正，便于計(jì)算）得\(x^2-30x+200=0\)；用配方法求解：移項(xiàng)：\(x^2-30x=-200\)；配方：加\((\frac{-30}{2})^2=225\)，得\((x-15)^2=25\)；開(kāi)方：\(x-15=\pm5\)，解得\(x_1=20\)，\(x_2=10\)；實(shí)際意義檢驗(yàn)：降價(jià)20元或10元均能使每天盈利1200元，且符合“擴(kuò)大銷(xiāo)售”的需求，故兩個(gè)解均有效?；脽羝?：例題4（配方法在代數(shù)變形中的應(yīng)用）問(wèn)題：已知\(x^2-4x+y^2+2y+5=0\)，求\(x+y\)的值。解題思路：將方程左邊通過(guò)配方法化為兩個(gè)完全平方式的和，利用“非負(fù)數(shù)之和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)均為0”求解分組配方：把含\(x\)的項(xiàng)和含\(y\)的項(xiàng)分開(kāi)：\((x^2-4x)+(y^2+2y)=-5\)；分別配方：對(duì)\(x\)的項(xiàng)：\(x^2-4x+4=(x-2)^2\)（加\(4\)）；對(duì)\(y\)的項(xiàng)：\(y^2+2y+1=(y+1)^2\)（加\(1\)）；方程兩邊同時(shí)加\(4+1=5\)，得\((x-2)^2+(y+1)^2=0\)；利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)：因\((x-2)^2\geq0\)，\((y+1)^2\geq0\)，故\(x-2=0\)且\(y+1=0\)；求解并計(jì)算：\(x=2\)，\(y=-1\)，則\(x+y=2+(-1)=1\)?；脽羝?：隨堂演練（分層提升）基礎(chǔ)題（鞏固步驟）用配方法解方程\(\frac{1}{3}x^2-2x-1=0\)，正確步驟的第一步是（

）A.\(x^2-6x=3\)（兩邊乘3）B.\(x^2-2x=3\)（兩邊乘3）C.\(x^2-6x-3=0\)（移項(xiàng)）D.\((x-1)^2=4\)（配方）提升題（實(shí)際應(yīng)用）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊之和為14，面積為24，設(shè)其中一條直角邊為\(x\)，用配方法求兩條直角邊的長(zhǎng)（提示：列方程\(\frac{1}{2}x(14-x)=24\)）。拓展題（代數(shù)變形）若\(a^2+2a+b^2-4b+5=0\)，求\(a^b\)的值?；脽羝?：演練答案與解析基礎(chǔ)題答案：A解析：方程含分母\(\frac{1}{3}\)，第一步需去分母（乘3），得\(x^2-6x-3=0\)，再移項(xiàng)為\(x^2-6x=3\)，對(duì)應(yīng)選項(xiàng)A。提升題答案：兩條直角邊分別為6和8解析：方程整理為\(x(14-x)=48\)，即\(-x^2+14x-48=0\)，兩邊乘\(-1\)得\(x^2-14x+48=0\)；移項(xiàng)得\(x^2-14x=-48\)；配方加\(49\)得\((x-7)^2=1\)；開(kāi)方得\(x=7\pm1\)，解得\(x_1=8\)，\(x_2=6\)，即兩條直角邊為6和8。拓展題答案：1解析：配方得\((a^2+2a+1)+(b^2-4b+4)=0\)，即\((a+1)^2+(b-2)^2=0\)；由非負(fù)數(shù)性質(zhì)得\(a=-1\)，\(b=2\)；則\(a^b=(-1)^2=1\)?；脽羝?：課堂總結(jié)（知識(shí)體系完善）配方法的適用場(chǎng)景：解各類(lèi)一元二次方程（含分?jǐn)?shù)系數(shù)、特殊系數(shù)）；解決利潤(rùn)、面積等實(shí)際問(wèn)題（列方程后用配方法求解）；代數(shù)變形（如將多項(xiàng)式化為完全平方式，利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)求字母值）。關(guān)鍵技巧：含分母時(shí)先去分母，含負(fù)系數(shù)時(shí)可化為正系數(shù)，簡(jiǎn)化計(jì)算；實(shí)際問(wèn)題中，解出根后需檢驗(yàn)是否符合題意（如邊長(zhǎng)、價(jià)格不能為負(fù)）；代數(shù)變形時(shí)，分組配方（按字母分組）是核心方法。思想提煉：進(jìn)一步強(qiáng)化“轉(zhuǎn)化思想”（將復(fù)雜方程轉(zhuǎn)化為平方形式）與“建模思想”（將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程）?；脽羝?0：作業(yè)布置必做題：用配方法解下列方程（1）\(\frac{1}{2}x^2+3x-4=0\)；（2）\(2x^2-5x+1=0\)。選做題：（1）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)25m），另三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)40m。若養(yǎng)雞場(chǎng)面積為180m2，求雞場(chǎng)靠墻一邊的長(zhǎng)；（2）已知\(x^2+y^2-2x+6y+10=0\)，求\(x-y\)的值。思考題：對(duì)比配方法與前一課時(shí)的直接開(kāi)平方法，思考哪種方法適用范圍更廣？為什么？2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)【公開(kāi)課課件】授課教師：

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時(shí)間：

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21.2.1.2配方法第21章一元二次方程aiTujmiaNg什么是完全平方公式？舊知回顧(a±b)2=a2±2ab+b2假如你是一名建筑設(shè)計(jì)師，現(xiàn)在我們要建造一塊矩形場(chǎng)地，客戶的要求是長(zhǎng)比寬多6米，并且面積為72平方米，那么，場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬應(yīng)各是多少？故事引入“一群猴子分兩隊(duì)，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹(shù)林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調(diào)皮，告我總數(shù)共多少，兩隊(duì)猴子在一起.”大意是說(shuō)：一群猴子分成兩隊(duì)，一隊(duì)猴子數(shù)是猴子總數(shù)的八分之一再平方，另一隊(duì)猴子數(shù)是12，那么猴子的總數(shù)是多少？你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？懸念引入運(yùn)動(dòng)會(huì)快到了，大家都開(kāi)始排練班級(jí)方隊(duì)，老師發(fā)現(xiàn)咱們班的同學(xué)們排成了一個(gè)好看的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬剛好分別是方程x2-6x+8=0的兩根，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少？自主探究1.請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本6-9頁(yè)2.課本7頁(yè)最上方，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，第一步應(yīng)該如何做？（移項(xiàng)）3.第二步為什么在方程的兩邊加9？依據(jù)的是什么？加其他數(shù)行嗎？（為了湊成完全平方公式.依據(jù)的是完全平方公式.加其他數(shù)不行）4.把方程的左邊配成什么形式？這種形式是為了達(dá)到什么目的？（完全平方形式.把原方程轉(zhuǎn)化為可用直接開(kāi)平方法解的方程）自主探究5.這種解方程的方法叫做什么？（配方法）6.你能?chē)L試著歸納這種解法的步驟嗎？（步驟：（1）移常數(shù)項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)化為1；（2）配方，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（3）寫(xiě)成（x+n)2=p(p

≥0)的形式；（4）直接開(kāi)平方法解方程.）小組討論

小組展示我提問(wèn)我回答我補(bǔ)充我質(zhì)疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)：用配方法解一元二次方程的步驟（重點(diǎn)）用配方法解一元二次方程的一般步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0的形式；②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開(kāi)平方，求出方程的解；

若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

【題型一】用配方法解一元二次方程

【題型二】用配方法求字母或代數(shù)式的值

54解:∵a2+b2-4a+6b+13=0,∴a2-4a+4+b2+6b+9=0,即(a-2)2+(b+3)2=0,∴a-2=0,b+3=0,∴a=2,b=-3,∴a+b=-1.【題型三】配方法的應(yīng)用

例3試用配方法說(shuō)明：不論k取何值，多項(xiàng)式k2-4k+5的值必定大于0.解:k2-4k+5=k2-4k+4+1=(k-2)2+1,∵(k-2)2≥0,∴k2-4k+5≥1,即不論k取何值，多項(xiàng)式k2-4k+5的值必定大于0.變式：

求多項(xiàng)式2x2-4x+5的的最小值.解:2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1)+5-2=2(x-1)2+3,∵2(x-1)2≥0,∴2(x-1)2+3≥3,∴2x2-4x+5的最小值為3.1.若二次三項(xiàng)式x2－6x＋k2是完全平方式，則k的值為(

)A.9

B.3

C.－3

D.±3D返回變式1填空：

(1)x2＋20x＋________＝(x＋________)2；

(2)x2－7x＋________＝(x－________)2.100102.[2023黃岡月考]用配方法解方程x2＋4x＋2＝0時(shí)，配方后正確的是(

) A.(x－2)2＝2

B.(x＋2)2＝2 C.(x＋2)2＝－2 D.(x－2)2＝6 B返回變式2用配方法解方程：x2－3x＝5x－1. 3.用配方法解方程：

(1)x2＋3x－5＝0；

(2)x(x＋