21.2.3因式分解法單元主題回顧在“一元二次方程”單元中，我們已學(xué)習(xí)直接開(kāi)平方法、配方法和公式法。本節(jié)課將學(xué)習(xí)一種更簡(jiǎn)潔的解法——因式分解法，它通過(guò)將方程化為兩個(gè)因式乘積為0的形式，快速求解方程的根，尤其適用于能輕松因式分解的方程。情境導(dǎo)入：舊知遷移回顧乘法性質(zhì)：若兩個(gè)數(shù)的乘積為0，那么這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)為0，即若\(ab=0\)，則\(\boxed{a=0}\)或\(\boxed{b=0}\)（反之亦然）。思考：若將一元二次方程化為“\((x-m)(x-n)=0\)”的形式，能否根據(jù)上述性質(zhì)求解方程？小試牛刀：解方程\((x-2)(x+3)=0\)，根據(jù)乘法性質(zhì)可得\(x-2=0\)或\(x+3=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=-3\)。通過(guò)乘法性質(zhì)的遷移，引出本節(jié)課核心——因式分解法解一元二次方程。知識(shí)鋪墊：因式分解的常用方法在使用因式分解法前，先回顧初中階段常用的因式分解方法，為后續(xù)解方程奠定基礎(chǔ)：提取公因式法：如\(ax+bx=x(a+b)\)（提取各項(xiàng)公共的因式\(x\)）；平方差公式法：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)（適用于兩項(xiàng)式，且為平方差形式）；完全平方公式法：\(a^2\pm2ab+b^2=(a\pmb)^2\)（適用于三項(xiàng)式，且符合完全平方結(jié)構(gòu)）；十字相乘法：如\(x^2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)\)（適用于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式，需找到兩個(gè)數(shù)\(m\)、\(n\)，使其和為一次項(xiàng)系數(shù)，積為常數(shù)項(xiàng)）。因式分解法的核心原理與步驟核心原理若一元二次方程能化為\(\boxed{(x-p)(x-q)=0}\)（或\(a(x-p)(x-q)=0\)，\(a\neq0\)）的形式，根據(jù)“若\(ab=0\)，則\(a=0\)或\(b=0\)”的性質(zhì)，可得\(x-p=0\)或\(x-q=0\)，進(jìn)而解得\(x_1=p\)，\(x_2=q\)。這種通過(guò)因式分解求解方程的方法，稱(chēng)為“因式分解法”。應(yīng)用步驟（四步走）用因式分解法解一元二次方程，可按以下步驟進(jìn)行：步驟1：移項(xiàng)（化為“右邊為0”的形式）將方程所有項(xiàng)移到等號(hào)左邊，使等號(hào)右邊為0，即整理為\(\boxed{Ax^2+Bx+C=0}\)（\(A\)、\(B\)、\(C\)為常數(shù)，\(A\neq0\)）的形式（注意移項(xiàng)要變號(hào)，如\(3x^2=2x\)需移項(xiàng)為\(3x^2-2x=0\)）。步驟2：因式分解（將左邊化為“兩個(gè)因式乘積”）對(duì)等式左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，化為\((mx+n)(px+q)=0\)（或提取公因式后為\(k(mx+n)(px+q)=0\)，\(k\neq0\)）的形式。步驟3：列方程（根據(jù)乘法性質(zhì)拆分）根據(jù)“若\(ab=0\)，則\(a=0\)或\(b=0\)”，將因式分解后的式子拆分為兩個(gè)一元一次方程：\(mx+n=0\)或\(px+q=0\)（若有公因式\(k\)，因\(k\neq0\)，可忽略公因式直接拆分）。步驟4：求解（解兩個(gè)一元一次方程）分別解上述兩個(gè)一元一次方程，得到的解即為原一元二次方程的兩個(gè)根。例題解析（典型例題+規(guī)范步驟）例1：用因式分解法解方程\(3x^2-6x=0\)（提取公因式法）解：移項(xiàng)：方程已為\(3x^2-6x=0\)（右邊為0）。因式分解：左邊提取公因式\(3x\)，得\(3x(x-2)=0\)（\(3\neq0\)，可忽略公因式）。列方程：根據(jù)乘法性質(zhì)，得\(3x=0\)或\(x-2=0\)（實(shí)際簡(jiǎn)化為\(x=0\)或\(x-2=0\)）。求解：解兩個(gè)一元一次方程，得\(x_1=0\)，\(x_2=2\)。例2：用因式分解法解方程\(x^2-4=0\)（平方差公式法）解：移項(xiàng)：方程已為\(x^2-4=0\)（右邊為0）。因式分解：左邊是平方差形式（\(x^2-2^2\)），根據(jù)平方差公式得\((x+2)(x-2)=0\)。列方程：得\(x+2=0\)或\(x-2=0\)。求解：解得\(x_1=-2\)，\(x_2=2\)。例3：用因式分解法解方程\(x^2-5x+6=0\)（十字相乘法）解：移項(xiàng)：方程已為\(x^2-5x+6=0\)（右邊為0）。因式分解：需找兩個(gè)數(shù)，使其和為\(-5\)（一次項(xiàng)系數(shù)），積為\(6\)（常數(shù)項(xiàng)），這兩個(gè)數(shù)是\(-2\)和\(-3\)。根據(jù)十字相乘法，得\((x-2)(x-3)=0\)。列方程：得\(x-2=0\)或\(x-3=0\)。求解：解得\(x_1=2\)，\(x_2=3\)。例4：用因式分解法解方程\((x+1)^2=2(x+1)\)（移項(xiàng)后提取公因式）解：移項(xiàng)：將右邊\(2(x+1)\)移到左邊，得\((x+1)^2-2(x+1)=0\)（注意：不可直接兩邊除以\((x+1)\)，否則會(huì)丟失\(x+1=0\)的根）。因式分解：左邊提取公因式\((x+1)\)，得\((x+1)[(x+1)-2]=0\)，化簡(jiǎn)為\((x+1)(x-1)=0\)。列方程：得\(x+1=0\)或\(x-1=0\)。求解：解得\(x_1=-1\)，\(x_2=1\)。易錯(cuò)點(diǎn)警示（避坑指南）移項(xiàng)不徹底，右邊不為0：如解方程\(x^2=3x\)時(shí)，直接因式分解為\(x(x-3)=3x\)（錯(cuò)誤），正確做法是先移項(xiàng)為\(x^2-3x=0\)，再因式分解。丟失根：兩邊同除以含未知數(shù)的式子：如例4中，若直接兩邊除以\((x+1)\)，會(huì)丟失\(x=-1\)的根，需先移項(xiàng)再因式分解。因式分解錯(cuò)誤：如將\(x^2-3x-4\)分解為\((x+1)(x+4)\)（錯(cuò)誤，正確應(yīng)為\((x+1)(x-4)\)），需仔細(xì)核對(duì)因式分解結(jié)果（可通過(guò)展開(kāi)驗(yàn)證）。忽略公因式：如\(2x^2-4x=0\)分解為\(x(x-2)=0\)（正確），但需注意公因式\(2\)不影響根的求解（因\(2\neq0\)），無(wú)需額外處理。課堂練習(xí)（分層訓(xùn)練）基礎(chǔ)題（必做）用因式分解法解下列方程：\(2x^2-x=0\)（答案：\(x_1=0\)，\(x_2=\frac{1}{2}\)）\(x^2-9x+14=0\)（答案：\(x_1=2\)，\(x_2=7\)）\(4x^2-1=0\)（答案：\(x_1=\frac{1}{2}\)，\(x_2=-\frac{1}{2}\)）提升題（選做）用因式分解法解方程\((2x-1)^2-(x+3)^2=0\)（提示：用平方差公式，答案：\(x_1=4\)，\(x_2=-\frac{2}{3}\)）若方程\(x^2-mx+6=0\)的一個(gè)根為2，用因式分解法求另一個(gè)根（提示：代入根求\(m\)，再因式分解，答案：另一個(gè)根為3）。方法對(duì)比：四種解一元二次方程方法的適用場(chǎng)景方法適用場(chǎng)景優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)直接開(kāi)平方法形如\((x+m)^2=n\)（\(n\geq0\)）的方程步驟最簡(jiǎn)單，直接開(kāi)平方求解適用范圍窄，僅能解特殊結(jié)構(gòu)的方程配方法所有有實(shí)數(shù)根的方程，尤其系數(shù)較簡(jiǎn)單時(shí)理解方程變形本質(zhì)，培養(yǎng)代數(shù)能力步驟繁瑣，系數(shù)復(fù)雜時(shí)計(jì)算易出錯(cuò)公式法所有有實(shí)數(shù)根的方程（通用）步驟固定，無(wú)需因式分解或配方需記憶公式，判別式或代入時(shí)易出錯(cuò)因式分解法能輕松因式分解的方程（如含公因式、可配方）步驟簡(jiǎn)潔，求解速度快適用范圍依賴(lài)因式分解能力，復(fù)雜方程不適用結(jié)論：解題時(shí)需根據(jù)方程結(jié)構(gòu)選擇合適方法，優(yōu)先嘗試直接開(kāi)平方法或因式分解法，復(fù)雜方程用公式法，配方法可作為輔助理解的工具。課堂小結(jié)核心原理：利用“若\(ab=0\)，則\(a=0\)或\(b=0\)”的乘法性質(zhì)，將方程化為兩個(gè)因式乘積為0的形式求解。關(guān)鍵步驟：移項(xiàng)（右為0）→

因式分解（左為乘積）→

列方程（拆為一次方程）→

求解（得根）。易錯(cuò)提醒：移項(xiàng)要變號(hào)，不可丟根，因式分解需準(zhǔn)確，根據(jù)方程結(jié)構(gòu)選擇合適方法。課后作業(yè)教材對(duì)應(yīng)練習(xí)題（如人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)P45第10、11題）；拓展思考：對(duì)比因式分解法與公式法，分析為何因式分解法在某些情況下更高效？嘗試用兩種方法解同一方程（如\(x^2-5x+4=0\)），感受差異。2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)【公開(kāi)課課件】授課教師：

.班級(jí)：

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時(shí)間：

.

21.2.3因式分解法第21章一元二次方程aiTujmiaNg多項(xiàng)式因式分解的方法有哪些？（提公因式法、公式法、十字相乘法）舊知回顧視頻引入復(fù)習(xí)引入連一連

情境引入

小亮的思考及解法

請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本12-14頁(yè)并回答下列問(wèn)題：

自主探究①一個(gè)數(shù)的平方與這個(gè)數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果能，這個(gè)數(shù)是幾？你是怎樣求出來(lái)的？

00兩個(gè)因式相乘的形式小組合作完成課本14頁(yè)練習(xí)1（5）（6）.完成練習(xí)2.小組討論小組展示我提問(wèn)我回答我補(bǔ)充我質(zhì)疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)1：因式分解法解一元二次方程（重點(diǎn)）用因式分解法解一元二次方程的步驟（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的積；（3）令這兩個(gè)一次因式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.特別說(shuō)明：（1）能用因式分解法解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0,另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積；（2）用因式分解法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0,那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0;（3）用因式分解法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0;②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式；（4）解一元二次方程時(shí)，如果能用因式分解法進(jìn)行解題，那么它是首選.知識(shí)點(diǎn)2：換元法解一元二次方程（難點(diǎn)）1.

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理.2.

我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復(fù)雜的方程通過(guò)換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的.【題型一】利用因式分解法解一元二次方程

【題型二】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?/p>

【題型三】換元法的應(yīng)用例4:解方程:x2-|x|-2=0.解:令y=|x|,則原方程可化為y2-y-2=0,因式分解，得(y-2)(y+1)=0,解得y?=2,y?=-1(不合題意,舍去),∴|x|=2,∴x?=2,x?=-2.變式：已知(x+y-3)(x+y+4)=-10,求x+y的值.解：設(shè)a=x+y,則原方程可化為(a-3)(a+4)=-10,整理，得a2+a-2=0,因式分解,得(a+2)(a-1)=0,解得a?=-2,a?=1,所以x+y=-2或x+y=1.1.一元二次方程x2－4x＋1＝0根的判別式的值是________.12返回變式1已知關(guān)于x的方程

x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0，則(

)A.Δ＞4

B.Δ≥4

C.Δ＜4

D.Δ≤4 B2.關(guān)于一元二次方程2x2－3x＋

＝0根的情況，下列說(shuō)法中正確的是(

) A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

D.無(wú)法確定C返回C變式2[2023六安一模]下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)解的是(

) A.(x＋2)2＝1 B.x2＝x

C.x2－x＋1＝0 D.x2－3x－3＝0 3.(1)若關(guān)于x的方程x2－2x＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________. (2)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋4c＝0無(wú)解，則c的取值范圍是(

)

c＜1C返回變式3(1)[2023貴州]若一元二次方程kx2－3x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是______. (2)[2023錦州]若關(guān)于x的一元二次方程kx2－2x＋3＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是(

) D4.已知關(guān)于x的一元二次方程ax2－(a＋2)x＋2＝0.不解方程，判別方程的根的情況.【解】∵方程ax2－(a＋2)x＋2＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴a≠0.

∵Δ＝(a＋2)2－4a×2＝(a－2)2，∴當(dāng)a＝2時(shí)，Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)a≠2且a≠0時(shí)，Δ>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．返回變式4[2023鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期末]已知關(guān)于x的方程3x2＋bx－