21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關系單元主題回顧在“一元二次方程”單元中，我們已掌握直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法四種求解方法。本節(jié)課將深入探究一元二次方程的核心規(guī)律——根與系數(shù)的關系（又稱“韋達定理”），它能在不求解方程的情況下，直接關聯(lián)方程的根與系數(shù)，為后續(xù)解題提供更便捷的思路。情境導入：舊知推導回顧求根公式：對于一元二次方程的一般形式\(\boxed{ax^2+bx+c=0}\)（\(a\neq0\)，\(\Delta=b^2-4ac\geq0\)），其兩個根為：\(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，\(x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)思考：若計算\(x_1+x_2\)和\(x_1x_2\)，結果是否與\(a\)、\(b\)、\(c\)存在固定關聯(lián)？嘗試計算下列方程的根與根的和、積，尋找規(guī)律：（1）\(x^2-5x+6=0\)（根：\(x_1=2\)，\(x_2=3\)；\(x_1+x_2=5\)，\(x_1x_2=6\)）（2）\(2x^2-3x-2=0\)（根：\(x_1=2\)，\(x_2=-\frac{1}{2}\)；\(x_1+x_2=\frac{3}{2}\)，\(x_1x_2=-1\)）通過具體方程的計算，引出本節(jié)課核心——推導并驗證一元二次方程根與系數(shù)的關系。核心推導：根與系數(shù)的關系（韋達定理）推導1：兩根之和\(x_1+x_2\)已知\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)，\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)（\(\Delta=b^2-4ac\geq0\)），將兩式相加：\(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)分子部分：\((-b+\sqrt{\Delta})+(-b-\sqrt{\Delta})=-2b\)（\(\sqrt{\Delta}\)與\(-\sqrt{\Delta}\)抵消）因此：\(x_1+x_2=\frac{-2b}{2a}=\boxed{-\frac{a}}\)推導2：兩根之積\(x_1x_2\)將兩式相乘：\(x_1x_2=\left(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\times\left(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\)分子部分符合平方差公式\((m+n)(m-n)=m^2-n^2\)，其中\(zhòng)(m=-b\)，\(n=\sqrt{\Delta}\)：\((-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2=b^2-(b^2-4ac)=4ac\)（\(\Delta=b^2-4ac\)，代入后化簡）分母部分：\((2a)\times(2a)=4a^2\)因此：\(x_1x_2=\frac{4ac}{4a^2}=\boxed{\frac{c}{a}}\)結論（韋達定理）對于一元二次方程的一般形式\(\boxed{ax^2+bx+c=0}\)（\(a\neq0\)）：若方程有兩個實數(shù)根\(x_1\)、\(x_2\)（即\(\Delta\geq0\)），則：\(\boxed{x_1+x_2=-\frac{a}}\)，\(\boxed{x_1x_2=\frac{c}{a}}\)若方程無實數(shù)根（\(\Delta<0\)），則根與系數(shù)的關系不成立（因無實數(shù)根可討論）。特殊形式：二次項系數(shù)為1的方程當方程整理為\(\boxed{x^2+px+q=0}\)（即\(a=1\)）時，根與系數(shù)的關系可簡化為：\(\boxed{x_1+x_2=-p}\)，\(\boxed{x_1x_2=q}\)（此時\(p=b\)，\(q=c\)，代入一般形式結論可得）。關鍵注意事項（適用條件與易錯點）前提條件：方程必須為一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），且\(\Delta\geq0\)（有兩個實數(shù)根），否則關系不成立。例：方程\(x^2-2x+2=0\)（\(\Delta=4-8=-4<0\)），無實數(shù)根，無法用根與系數(shù)的關系計算。符號問題：兩根之和為“\(-\frac{a}\)”，需注意\(b\)的符號，避免遺漏負號。例：方程\(2x^2-5x+3=0\)（\(a=2\)，\(b=-5\)），\(x_1+x_2=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}\)（而非\(-\frac{5}{2}\)）。系數(shù)對應：確定\(a\)、\(b\)、\(c\)時，需包含方程中的符號，不可忽略負項。例：方程\(x^2-3x-4=0\)（\(a=1\)，\(b=-3\)，\(c=-4\)），\(x_1x_2=\frac{-4}{1}=-4\)（而非\(4\)）。例題解析（典型應用場景）場景1：已知方程，求根的和與積例1：已知方程\(3x^2+2x-1=0\)，求\(x_1+x_2\)和\(x_1x_2\)的值。解：確定方程形式：方程為一般形式\(3x^2+2x-1=0\)，\(a=3\)，\(b=2\)，\(c=-1\)。驗證判別式：\(\Delta=2^2-4\times3\times(-1)=4+12=16>0\)（有兩個實數(shù)根，可應用關系）。代入公式計算：\(x_1+x_2=-\frac{a}=-\frac{2}{3}\)\(x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}\)場景2：已知一根，求另一根及參數(shù)例2：已知方程\(x^2-mx+6=0\)的一個根為\(2\)，求另一個根及\(m\)的值。解：設方程的兩個根為\(x_1=2\)，\(x_2\)（待求），方程為\(x^2-mx+6=0\)（\(a=1\)，\(b=-m\)，\(c=6\)）。用根與積求另一根：根據(jù)\(x_1x_2=\frac{c}{a}=6\)，代入\(x_1=2\)，得\(2x_2=6\)，解得\(x_2=3\)。用根與和求\(m\)：根據(jù)\(x_1+x_2=-\frac{a}=m\)，代入\(x_1=2\)，\(x_2=3\)，得\(2+3=m\)，解得\(m=5\)。驗證：將\(m=5\)代入原方程，得\(x^2-5x+6=0\)，因式分解為\((x-2)(x-3)=0\)，根為\(2\)和\(3\)，符合條件。場景3：已知根的和與積，構造方程例3：已知兩個數(shù)的和為\(4\)，積為\(3\)，求以這兩個數(shù)為根的一元二次方程。解：設兩個數(shù)為方程的根\(x_1\)、\(x_2\)，則\(x_1+x_2=4\)，\(x_1x_2=3\)。選擇二次項系數(shù)為1的方程（簡化計算）：根據(jù)\(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\)（由\(x^2+px+q=0\)推導，\(p=-(x_1+x_2)\)，\(q=x_1x_2\)）。代入構造方程：\(x^2-4x+3=0\)。驗證：方程\(x^2-4x+3=0\)的根為\(x_1=1\)，\(x_2=3\)，和為\(4\)，積為\(3\)，符合條件。場景4：利用根與系數(shù)關系求值（代數(shù)式化簡）例4：已知\(x_1\)、\(x_2\)是方程\(2x^2-3x-1=0\)的兩個根，求\(x_1^2+x_2^2\)的值。解：先求根的和與積：方程\(2x^2-3x-1=0\)（\(a=2\)，\(b=-3\)，\(c=-1\)），則\(x_1+x_2=\frac{3}{2}\)，\(x_1x_2=-\frac{1}{2}\)?；喆鷶?shù)式：\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)（完全平方公式變形，避免直接求根）。代入計算：\((x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(\frac{3}{2}\right)^2-2\times\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}\)。課堂練習（分層訓練）基礎題（必做）已知方程\(2x^2+5x-3=0\)，求\(x_1+x_2\)和\(x_1x_2\)的值（答案：\(x_1+x_2=-\frac{5}{2}\)，\(x_1x_2=-\frac{3}{2}\)）。已知方程\(x^2+4x+k=0\)的一個根為\(-1\)，求另一個根及\(k\)的值（答案：另一個根為\(-3\)，\(k=3\)）。提升題（選做）已知\(x_1\)、\(x_2\)是方程\(x^2-2x-3=0\)的兩個根，求\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)的值（提示：通分后用根與系數(shù)關系，答案：\(-\frac{2}{3}\)）。構造一個一元二次方程，使其根為\(1+\sqrt{2}\)和\(1-\sqrt{2}\)（答案：\(x^2-2x-1=0\)）。方法對比：根與系數(shù)關系的獨特優(yōu)勢應用場景傳統(tǒng)解法（求根后計算）根與系數(shù)關系（無需求根）求根的和/積先解方程得根，再計算和/積（步驟多）直接代入公式，一步計算（高效）已知一根求另一根求根后確定另一根（需解完整方程）用根的積直接求，無需解完整方程（快捷）化簡根的代數(shù)式（如\(x_1^2+x_2^2\)）求根后代入，計算復雜（尤其含根號）變形代數(shù)式，用和與積計算（簡便）構造方程先確定根，再用因式分解構造（繁瑣）直接用和與積構造，步驟簡潔（直接）結論：根與系數(shù)的關系避免了“先求根再計算”的繁瑣過程，尤其適用于根為無理數(shù)或復雜形式的場景，是解決一元二次方程相關問題的“捷徑”。課堂小結核心結論（韋達定理）：對于\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)，\(\Delta\geq0\)），\(\boxed{x_1+x_2=-\frac{a}}\)，\(\boxed{x_1x_2=\frac{c}{a}}\)；特殊形式\(x^2+px+q=0\)，\(\boxed{x_1+x_2=-p}\)，\(\boxed{x_1x_2=q}\)。適用場景：求根的和/積、已知一根求另一根、構造方程、化簡根的代數(shù)式。易錯提醒：先化一般形式，注意\(a\)、\(b\)、\(c\)的符號，驗證\(\Delta\geq0\)。課后作業(yè)教材對應練習題（如人教版八年級數(shù)學上冊P48第12、13題）；拓展思考：若一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)有兩個相等的實數(shù)根（\(\Delta=0\)），根與系數(shù)的關系是否仍成立？嘗試舉例驗證（如\(x^2-4x+4=0\)，根為\(x_1=x_2=2\)，\(x_1+x_2=4=-\frac{-4}{1}\)，\(x_1x_2=4=\frac{4}{1}\)，仍成立）。2025-2026學年人教版數(shù)學九年級上冊【公開課課件】授課教師：

.班級：

.

時間：

.

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關系第21章一元二次方程aiTujmiaNg1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？3.有實數(shù)根的條件是什么？舊知回顧

老師的年齡是多少呢？

一天，小王去小明家玩，當時小明正為墨跡不小心污染了一道解一元二次方程的習題而愁眉不展，小王翻看了后面的答案后立馬幫他補全了題目.這讓解方程一向熟練的小明很驚訝，忙急著問小王有什么“秘法”.小王的“秘法”韋達,1540年生于法國的普瓦圖,他把符號系統(tǒng)引入代數(shù)學，對數(shù)學的發(fā)展發(fā)揮了巨大的作用,人們?yōu)榱思o念他在代數(shù)學上的功績，稱他為“代數(shù)學之父”.

解下列方程并完成填空：（1）

x2+3x-4=0；（2）2x2

-3x-2=0；（3）5x2+6x+1=0.一元二次方程兩

根x1x2x2+3x-4=0

-41-3-42x2

-3x-2=0

-

2

-15x2+6x+1=0-

-1

x1+x2=？x1·x2=？想一想

方程的兩根

x1和

x2與系數(shù)

a，b，c有什么關系？自主探究2.完成表格后請同學們思考以下問題：

③你能證明一下上述兩個猜想嗎？

小組討論

小組展示我提問我回答我補充我質疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越優(yōu)秀教師講評知識點1：一元二次方程的根與系數(shù)的關系（重點）

注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.

教師講評知識點2：一元二次方程的根與系數(shù)的關系的應用（難點）

（1）驗根.不解方程，利用根與系數(shù)的關系可以檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；（2）已知方程的一個根，求方程的另一個根及未知系數(shù)；（3）不解方程，可以利用根與系數(shù)的關系求關于x?、x?的對稱式的值.此時常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；教師講評

教師講評

教師講評(4)已知方程的兩根，求作一個一元二次方程.以兩個數(shù)x?,x?為根的一元二次方程是x2

-

(x?+x?)x+x?x?=0

.(5)已知一元二次方程的兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍.教師講評(6)利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可以進一步討論根的符號.設一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x?、x?,則①當Δ≥0且x?x?>0時，兩根同號.當Δ≥0且x?x?>0,x?+x?>0時，兩根同為正數(shù)；當Δ≥0且x?x?>0,x?+x?<0時，兩根同為負數(shù).②當Δ>0且x?x?<0時，兩根異號.當Δ>0且x?x?<0,x?+x?>0時，兩根異號且正根的絕對值較大;當Δ>0且x?x?<0,x?+x?<0時，兩根異號且負根的絕對值較大.教師講評

1.關于x的一元二次方程

x2＋2x－1＝0的兩根之和為________.－2返回變式1已知方程2x2－4x－