以下是華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)22.3.1“實(shí)踐與探索——用一元二次方程解圖形面積、變化率問題”教學(xué)課件的幻燈片分頁內(nèi)容：1.封面標(biāo)題：22.3.1實(shí)踐與探索——用一元二次方程解圖形面積、變化率問題標(biāo)注信息：學(xué)科（數(shù)學(xué)）、版本（華東師大版）、年級(jí)（九年級(jí)）、課時(shí)（1課時(shí)，聚焦兩類核心問題）、授課人姓名2.知識(shí)回顧與情境引入（銜接舊知，激發(fā)應(yīng)用意識(shí)）回顧1：一元二次方程的解法已學(xué)一元二次方程的解法：直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法，可根據(jù)方程特點(diǎn)選擇合適解法；同時(shí)需注意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義（如長(zhǎng)度、面積、增長(zhǎng)率等不能為負(fù)）?；仡?：圖形面積公式與變化率概念常見圖形面積公式：正方形面積=邊長(zhǎng)

2、長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)

×

寬、三角形面積=（底

×

高）/2、圓面積=πr2；增長(zhǎng)率（或降低率）：若初始量為\(a\)，平均增長(zhǎng)率為\(x\)，則經(jīng)過\(n\)次變化后的量為\(a(1+x)^n\)（降低率為\(a(1-x)^n\)）。情境引入：生活中許多實(shí)際問題可通過建立一元二次方程求解，例如：①

一塊長(zhǎng)方形鐵皮，剪去四個(gè)角的小正方形后折成無蓋盒子，如何求盒子的容積？②

某公司去年利潤(rùn)為100萬元，今年利潤(rùn)增長(zhǎng)到121萬元，如何求年平均增長(zhǎng)率？這兩類問題分別對(duì)應(yīng)“圖形面積問題”和“變化率問題”，本節(jié)課將重點(diǎn)學(xué)習(xí)如何用一元二次方程解決它們。3.類型一：用一元二次方程解圖形面積問題（核心：建立面積關(guān)系，列方程求解）解題步驟（通用流程）：設(shè)未知數(shù)：根據(jù)問題設(shè)關(guān)鍵未知量為\(x\)（如邊長(zhǎng)、寬度、半徑等），明確未知數(shù)的實(shí)際意義（單位需統(tǒng)一）；分析圖形關(guān)系：根據(jù)圖形變化（如裁剪、拼接、折疊），用含\(x\)的代數(shù)式表示相關(guān)邊長(zhǎng)、面積等；列方程：根據(jù)“已知面積”或“面積關(guān)系”（如面積相等、面積比等），建立一元二次方程；解方程：選擇合適的方法解一元二次方程；檢驗(yàn)與作答：檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義（如長(zhǎng)度為正、面積合理），舍去不合理的解，最后作答。例題1：長(zhǎng)方形面積與裁剪問題問題：一塊長(zhǎng)為10cm、寬為8cm的長(zhǎng)方形紙板，在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為\(x\)cm的小正方形，然后將四邊折起，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子。若盒子的底面積為48cm2，求剪去的小正方形的邊長(zhǎng)\(x\)。解答過程：設(shè)未知數(shù)：設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為\(x\)cm（\(x>0\)，且需滿足\(10-2x>0\)，\(8-2x>0\)，即\(x<4\)）；分析圖形關(guān)系：折成的無蓋長(zhǎng)方體盒子的底面是長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為\((10-2x)\)cm（原長(zhǎng)減去兩個(gè)小正方形邊長(zhǎng)），寬為\((8-2x)\)cm（原寬減去兩個(gè)小正方形邊長(zhǎng)）；列方程：根據(jù)“底面積為48cm2”，得\((10-2x)(8-2x)=48\)；解方程：展開方程：\(80-20x-16x+4x^2=48\)；整理為一般形式：\(4x^2-36x+32=0\)，兩邊除以4得\(x^2-9x+8=0\)；因式分解：\((x-1)(x-8)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=8\)；檢驗(yàn)與作答：因\(x<4\)，故\(x_2=8\)不符合實(shí)際意義，舍去；結(jié)論：剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為1cm。例題2：正方形與面積差問題問題：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加3cm后，新正方形的面積比原正方形的面積大39cm2，求原正方形的邊長(zhǎng)。解答過程：設(shè)未知數(shù)：設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為\(x\)cm（\(x>0\)）；分析圖形關(guān)系：原正方形面積為\(x^2\)cm2，新正方形邊長(zhǎng)為\((x+3)\)cm，面積為\((x+3)^2\)cm2；列方程：根據(jù)“面積差為39cm2”，得\((x+3)^2-x^2=39\)；解方程：展開方程：\(x^2+6x+9-x^2=39\)；化簡(jiǎn)得：\(6x+9=39\)，解得\(x=5\)；檢驗(yàn)與作答：\(x=5>0\)，符合實(shí)際意義；結(jié)論：原正方形的邊長(zhǎng)為5cm。圖形面積問題注意事項(xiàng)：需結(jié)合圖形特點(diǎn)，準(zhǔn)確用含未知數(shù)的代數(shù)式表示邊長(zhǎng)（如裁剪問題中，邊長(zhǎng)需減去“2倍裁剪長(zhǎng)度”，避免漏減）；注意未知數(shù)的取值范圍（如長(zhǎng)度不能為負(fù)、邊長(zhǎng)不能超過原圖形尺寸），檢驗(yàn)時(shí)務(wù)必排除不合理的解；若涉及不規(guī)則圖形，可通過“割補(bǔ)法”轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（如長(zhǎng)方形、正方形），再利用面積公式列方程。4.類型二：用一元二次方程解變化率問題（核心：建立增長(zhǎng)/降低模型，列方程求解）解題步驟（通用流程）：設(shè)未知數(shù)：設(shè)平均增長(zhǎng)率（或降低率）為\(x\)（通常用百分?jǐn)?shù)表示，設(shè)為小數(shù)形式，如增長(zhǎng)率20%設(shè)為\(x=0.2\)）；確定初始量與變化后量：明確問題中的初始量\(a\)、變化次數(shù)\(n\)、變化后的量\(b\)；列方程：根據(jù)增長(zhǎng)（或降低）模型列方程：增長(zhǎng)率問題：\(a(1+x)^n=b\)（\(b>a\)）；降低率問題：\(a(1-x)^n=b\)（\(b<a\)）；解方程：通常用直接開平方法或因式分解法求解（注意\(x>0\)，且\(1-x>0\)，即降低率\(x<1\)）；檢驗(yàn)與作答：檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際意義（增長(zhǎng)率/降低率為正，且不超過合理范圍），最后將小數(shù)轉(zhuǎn)化為百分?jǐn)?shù)作答。例題3：增長(zhǎng)率問題（利潤(rùn)增長(zhǎng)）問題：某企業(yè)2023年的年利潤(rùn)為200萬元，2025年的年利潤(rùn)計(jì)劃達(dá)到288萬元，求該企業(yè)這兩年年利潤(rùn)的平均增長(zhǎng)率。解答過程：設(shè)未知數(shù)：設(shè)這兩年年利潤(rùn)的平均增長(zhǎng)率為\(x\)（\(x>0\)）；確定初始量與變化后量：初始量\(a=200\)萬元（2023年），變化次數(shù)\(n=2\)（2023→2024→2025），變化后量\(b=288\)萬元（2025年）；列方程：根據(jù)增長(zhǎng)率模型，得\(200(1+x)^2=288\)；解方程：兩邊除以200：\((1+x)^2=1.44\)；直接開平方：\(1+x=\pm1.2\)（因\(1+x>0\)，舍去負(fù)根）；解得\(1+x=1.2\)，即\(x=0.2=20\%\)；檢驗(yàn)與作答：\(x=20\%>0\)，符合實(shí)際意義；結(jié)論：該企業(yè)這兩年年利潤(rùn)的平均增長(zhǎng)率為20%。例題4：降低率問題（成本降低）問題：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，2024年每件產(chǎn)品的成本為100元，2025年通過技術(shù)改進(jìn)，每件產(chǎn)品的成本降低到81元，求該產(chǎn)品成本的年平均降低率。解答過程：設(shè)未知數(shù)：設(shè)該產(chǎn)品成本的年平均降低率為\(x\)（\(0<x<1\)）；確定初始量與變化后量：初始量\(a=100\)元（2024年），變化次數(shù)\(n=1\)（2024→2025），變化后量\(b=81\)元（2025年）；列方程：根據(jù)降低率模型，得\(100(1-x)=81\)；解方程：兩邊除以100：\(1-x=0.81\)；解得\(x=1-0.81=0.19=19\%\)；檢驗(yàn)與作答：\(0<19\%<1\)，符合實(shí)際意義；結(jié)論：該產(chǎn)品成本的年平均降低率為19%。變化率問題注意事項(xiàng)：明確“變化次數(shù)”：如從2023年到2025年是2次變化（2023→2024為1次，2024→2025為2次），避免次數(shù)錯(cuò)誤；增長(zhǎng)率/降低率的取值范圍：增長(zhǎng)率\(x>0\)，降低率\(0<x<1\)（即降低幅度不超過100%），檢驗(yàn)時(shí)需排除不符合范圍的解；若問題中涉及“連續(xù)增長(zhǎng)/降低”，需確保模型正確（如“兩年增長(zhǎng)”用\((1+x)^2\)，“半年增長(zhǎng)”需調(diào)整時(shí)間單位）。5.課堂練習(xí)（分層設(shè)計(jì)，鞏固兩類問題）基礎(chǔ)題（圖形面積問題）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多2cm，面積為24cm2，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬（答案：長(zhǎng)6cm，寬4cm）；一個(gè)圓的面積比另一個(gè)圓的面積大15πcm2，且兩圓半徑之差為1cm，求較大圓的半徑（答案：4cm）?；A(chǔ)題（變化率問題）某商品原價(jià)為500元，經(jīng)過兩次降價(jià)后售價(jià)為320元，求平均每次降價(jià)的百分率（答案：20%）；某學(xué)校2023年招生人數(shù)為800人，2024年招生人數(shù)為968人，求該校招生人數(shù)的年平均增長(zhǎng)率（答案：10%）。提升題（綜合應(yīng)用）一塊長(zhǎng)20m、寬15m的長(zhǎng)方形草坪，在它的四周修一條寬度相同的石子路，石子路的面積為246m2，求石子路的寬度（提示：設(shè)寬度為\(x\)m，草坪與石子路組成的大長(zhǎng)方形長(zhǎng)為\((20+2x)\)m，寬為\((15+2x)\)m，列方程\((20+2x)(15+2x)-20??15=246\)，答案：3m）；某公司2023年的銷售額為1000萬元，計(jì)劃2025年銷售額達(dá)到1440萬元，若每年增長(zhǎng)率相同，求該增長(zhǎng)率，并計(jì)算2024年的銷售額（答案：增長(zhǎng)率20%，2024年銷售額1200萬元）。6.課堂小結(jié)（梳理核心，構(gòu)建解題模型）兩類問題的解題模型：?jiǎn)栴}類型核心等量關(guān)系常用公式/模型關(guān)鍵步驟圖形面積問題面積相等/面積差/面積比長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)

×

寬、正方形面積=邊長(zhǎng)

2

等設(shè)未知數(shù)→表示邊長(zhǎng)→列面積方程→檢驗(yàn)實(shí)際意義變化率問題增長(zhǎng)/降低后的量=初始量

×(1±x)^n增長(zhǎng)率：\(a(1+x)^n=b\)；降低率：\(a(1-x)^n=b\)設(shè)增長(zhǎng)率→確定初始/變化后量→列方程→檢驗(yàn)范圍共同注意事項(xiàng)：設(shè)未知數(shù)時(shí)需明確單位（如長(zhǎng)度用cm/m，增長(zhǎng)率用小數(shù)）；列方程前需分析數(shù)量關(guān)系，確保代數(shù)式準(zhǔn)確；解方程后必須檢驗(yàn)解的實(shí)際意義，舍去不合理的解；作答時(shí)需對(duì)應(yīng)問題，明確單位（如增長(zhǎng)率用百分?jǐn)?shù)表示）。7.布置作業(yè)（分層鞏固，銜接后續(xù)實(shí)踐）基礎(chǔ)作業(yè)：教材對(duì)應(yīng)習(xí)題（圖形面積問題3道，變化率問題3道）；提升作業(yè)：一個(gè)直角三角形的兩條直角邊之和為14cm，面積為24cm2，求兩條直角邊的長(zhǎng)（答案：6cm和8cm）；某樓盤2024年1月的房?jī)r(jià)為每平方米8000元，2024年3月的房?jī)r(jià)為每平方米9680元，假設(shè)該樓盤房?jī)r(jià)每月的增長(zhǎng)率相同，求月平均增長(zhǎng)率（答案：10%）；實(shí)踐作業(yè)：調(diào)查生活中的一個(gè)實(shí)際問題（如家庭收入增長(zhǎng)、校園操場(chǎng)面積等），嘗試用一元二次方程建立模型并求解，下節(jié)課分享。2025-2026學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

22.3.1實(shí)踐與探索--用一元二次方程解圖形面積、變化率問題第22章

一元二次方程aiTujmiaNg例1：如圖，在一塊寬為20m，長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的兩條道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為540m2，則道路的寬為多少？32x20設(shè)道路的寬為

xm.則解法1：20×32-32x-20x+x2=54032xx20?x32?x20解法2：設(shè)道路的寬為xm.則(32?x)(20?x)=540.整理，得

x2?52x+100=0.解得x1=2，x2=50.當(dāng)

x=50時(shí)，32?x=?18，不合題意，舍去.∴

取

x=2.答：道路的寬為2m.知識(shí)要點(diǎn)1列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟類似，即審、找、列、解、答．這里要特別注意．在列一元二次方程解應(yīng)用題時(shí)，由于所得的根一般有兩個(gè)，所以要檢驗(yàn)這兩個(gè)根是否符合實(shí)際問題的要求．解：設(shè)

AB的長(zhǎng)是

xm.列方程，得(58?2x)x=200，

整理得

x2?29x+100=0.

解得

x1=25，x2=4.

當(dāng)

x=25時(shí)，58?2x=8；

當(dāng)

x=4時(shí)，58?2x=50.答：羊圈的邊

AB和

BC的長(zhǎng)各是25m，8m或4m，50m.例2

如圖，要利用一面墻(墻足夠長(zhǎng))建羊圈，用58m的圍欄圍成面積為200m2的矩形羊圈，則羊圈的邊

AB和

BC的長(zhǎng)各是多少米？DCBA解：設(shè)AB的長(zhǎng)是xm.列方程，得(80?2x)x=600.

整理得x2

?40x+300=0，

解得x1=10，x2=30.

當(dāng)x=10時(shí)，80?2x=60>25(舍去)；

當(dāng)x=30時(shí)，80?2x=20<25.答：羊圈的邊AB和BC的長(zhǎng)各是30m，20m.變式1如圖，要利用一面墻(墻長(zhǎng)為25m)建羊圈，用80m的圍欄圍成面積為600m2的矩形羊圈，則羊圈的邊

AB和

BC的長(zhǎng)各是多少米？DCBA25m變式2

如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m的門，所圍雞場(chǎng)的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，面積為80m2？住房墻1m解：設(shè)矩形雞場(chǎng)垂直于住房墻的一邊長(zhǎng)為

xm，由題意得

x(25?2x+1)=80，解得x1=5，x2=8.當(dāng)

x=5時(shí)，26?2x=16>12(舍去)；當(dāng)

x=8時(shí)，26?2x=10<12.故所圍矩形雞場(chǎng)的長(zhǎng)為10m，寬為8m.則平行于住房墻的一邊長(zhǎng)(25?2x+1)m.知識(shí)要點(diǎn)2圍墻問題數(shù)量關(guān)系：一般先設(shè)其中的一條邊為x，然后用含x的代數(shù)式表示另一邊，最后根據(jù)面積或周長(zhǎng)公式列方程求解.需要注意聯(lián)系實(shí)際問題選擇合適的解.問題1：小明學(xué)習(xí)非常認(rèn)真，數(shù)學(xué)成績(jī)直線上升，入學(xué)考試數(shù)學(xué)成績(jī)是100分，第一次月考增長(zhǎng)了x，第二次月考又增長(zhǎng)了

x，問他第二次數(shù)學(xué)成績(jī)是多少？=100×((1+x)2第一次月考數(shù)學(xué)成績(jī)：100×(1+x)

第二次月考數(shù)學(xué)成績(jī)：100×(1+x)

(1+x)

入學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績(jī)：100

；第三次月考數(shù)學(xué)成績(jī)：100×((1+x)3知識(shí)要點(diǎn)1平均變化率問題數(shù)量關(guān)系：增長(zhǎng)前的量×(1+增長(zhǎng)率)n=增長(zhǎng)后的量；a×(1+x)n=b典例講解例1為做好延遲開學(xué)期間學(xué)生的在線學(xué)習(xí)服務(wù)工作，某城市教育局推出“中小學(xué)延遲開學(xué)期間網(wǎng)絡(luò)課堂”，為學(xué)生提供線上學(xué)習(xí)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一批公益課受益學(xué)生

20萬人次，第三批公益課受益學(xué)生

24.2

萬人．如果第二批，第三批公益課受益學(xué)生人次的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率.解：設(shè)增長(zhǎng)率為

x，根據(jù)題意，得

20(1

+

x)2

=

24.2.解得

x1

=

?2.1(舍去)，x2

=

0.1

=

10%．答：增長(zhǎng)率為

10%.例2

某藥品經(jīng)兩次降價(jià)，零售價(jià)降為原來的一半.

已知兩次降價(jià)的百分率一樣，求每次降價(jià)的百分率（精確到

0.1%）.解：設(shè)原價(jià)為

1

個(gè)單位，每次降價(jià)的百分率為x.根據(jù)題意，得

解方程，得

答：每次降價(jià)的百分率約為

29.3%.

例3

某公司去年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中，一月份的營(yíng)業(yè)額為

200萬元，一月、二月、三月的營(yíng)業(yè)額共

950

萬元，如果平均每月營(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率．解：設(shè)這個(gè)增長(zhǎng)率為

x.根據(jù)題意，得答：這個(gè)增長(zhǎng)率為

50%.200+200(1

+

x)+200(1

+

x)2=950，整理方程，得4x2+12x-7=0.解得x1=?3.5(舍去)，x2=0.5=50%.例4

兩年前生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

5000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

3000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？乙種藥品成本的年平均下降額為

(6000

-

3600

)÷2=1200（元）．

甲種藥品成本的年平均下降額為

(5000-3000)÷2=1000（元）.解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為

x.解方程，得

x1

≈1.775(舍)，x2

≈0.225．根據(jù)問題的實(shí)際意義，成本的年平均下降率應(yīng)是小于

1的正數(shù)，應(yīng)選

0.225．所以甲種藥品成本的年平均下降率約為

22.5％．一年后甲種藥品成本為5000(1

-

x)元，兩年后甲種藥品成本為5000(1-

x)2元．列方程得

5000(1-

x)2

=3000．解：類似于甲種藥品成本年平均下降率的計(jì)算，由方程

6000(1-

y)2=3600得乙種藥品成本年平均下降率為

0.225.兩種藥品成本的年平均下降率相等，成本下降額較大的產(chǎn)品，其成本下降率不一定較大．解方程，得

y1

≈1.775(舍)，y2

≈0.225．知識(shí)要點(diǎn)2“變化率問題”的基本特征平均變化率保持不變；解決“變化率問題”的關(guān)鍵步驟：找出變化前的數(shù)量、變化后的數(shù)量，找出相應(yīng)的等量關(guān)系．1.[2023·黑龍江龍東地區(qū)]如圖，在長(zhǎng)為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m2，則小路的寬是(

)A．5m

B．70mC．5m或70m

D．10m返回【點(diǎn)撥】設(shè)小路的寬是xm，則余下的部分可合成長(zhǎng)為(100－2x)m，寬為(50－2x)m的矩形，根據(jù)花圃的面積是3600m2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【答案】A2.[2023·常州]如圖，在打印圖片之前，為確定打印區(qū)域，需設(shè)置紙張大小和頁邊距(紙張的邊線到打印區(qū)域的距離)，上、下、左、右頁邊距分別為acm，bcm，ccm，dcm.若紙張大小為16cm×10cm，考慮到整體的美觀性，要求各頁邊距相等并使打印區(qū)域的面積占紙張的70%，則需如何設(shè)置頁邊距？返回【解】設(shè)頁邊距為xcm.根據(jù)題意，得(16－2x)(10－2x)＝16×10×70%，解得x＝1或x＝12(不符合題意，舍去)．答：設(shè)置頁邊距為1cm.3.[2023·東營(yíng)]如圖，老李想用長(zhǎng)為70m的柵欄，再借助房屋的外墻(外墻足夠長(zhǎng))圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門(建在EF處，另用其他材料).(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640m2的羊圈？【解】設(shè)矩形ABCD的邊AB＝xm，則邊BC＝70－2x＋2＝(72－2x)(m)．根據(jù)題意，得x(72－2x)＝640.化簡(jiǎn)，得x2－36x＋320＝0，解得x1＝16，x2＝20.當(dāng)x＝16時(shí)，72－2x＝72－32＝40；當(dāng)x＝20時(shí)，72－2x＝72－40＝32.答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為40m，寬為16m或長(zhǎng)為32m，寬為

20m時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640m2

的羊圈．返回(2)羊圈的面積能達(dá)到650m2嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說明理由.【解】不能．理由如下：由題意得x(72－2x)＝650，