第72講垂直弦問題

知識梳理

1、過橢惻4+4=1的右焦點(diǎn)尸（。,0）作兩條互相垂直的弦A8,CD.若弦A3.

a~b~

C￡）的中點(diǎn)分別為M,N,那么直線MV恒過定點(diǎn)（

u~+"

2、過橢圓二+一=1的長軸上任意一點(diǎn)S（s,O）（-?＜5V。）作兩條互相垂直的弦

a~b~

AB,CD.若弦AB,CO的中點(diǎn)分別為M,N,那么直線MN恒過定點(diǎn)（心、,0）.

a~+b~

3、過橢圓0+￡=1的短軸上任意一點(diǎn)7（0"）（T＜，＜力作兩條互相垂直的弦48,

CD,若弦A3,8的中點(diǎn)分別為例，N,那么直線恒過定點(diǎn)（0,"7、）.

a~+b~

4、過橢圓《+[=1內(nèi)的任意一點(diǎn)Q（S"）（￡■+號＜1）作兩條互相垂直的弦方：

abcrtr

CD.若弦A8,8的中點(diǎn)分別為M,N,那么直線MN恒過定點(diǎn)

a-+b~a2+b~

5、以（與，為）為直角定點(diǎn)的橢圓￡+'=1內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)

6Tb~

6、以上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在y軸上.

7、以右頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在r軸上.

8、以（式。①））為直角定點(diǎn)的拋物線V=2PX內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)（“。+2〃,

->o)

9、以（/，打）為直角定點(diǎn)的雙曲線三-三=1內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)

a~b~

“+叭,+護(hù)y）

。，力2一.2）。,

必考題型全歸納

題型一：橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)

例1.（2024?遼寧沈陽?高二東北育才學(xué)校校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)4-1,0）,4（1,0）,動點(diǎn)夕滿

足：4APB=20,且|F||P51cos26M.（P不在線段A8上）

（I）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；

⑵過橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點(diǎn)P、。，試向直線P。是否

經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.

【解析】（I）①當(dāng)點(diǎn)P在X軸上且在線段人8外時6=0,

設(shè)尸（〃,0）,則而二（一1一〃,0）,「不=（1一〃,0）,cosO=cos20=l,

由|PA||PB\COS20=\PA\\P?|cos26>=PAP//cos6>=（p+l）（p-l）=l,

所以〃=士忘，故尸（土JIo）；

②當(dāng)點(diǎn)?不在x軸上時,在△/8中|A8『二|PA『+1尸8『-21PA”81cos26,

所以（|PA|+|PS|）2-2|PA||P8|（1+COS26）=（|PA|+|P5|）2-4|PA||PB\cos20

=（\PA\+\PB\）2-4=4,

：.\PA\+\PB\=2V2>|^|=2,即動點(diǎn)P在以A、B為兩焦點(diǎn)的橢圓上，

方程為：［+）/=］且"±痣；

由①②知：動點(diǎn)P的軌跡C的方程為：y+/=I；

（2）顯然兩直線斜率存在，設(shè)AP：產(chǎn)履+1,代入橢圓方程得（1+2r）/+4日=0,

所以「?■修‘盛）'4代替及同理可得2泉

L2-7k2-14Gk2-1I

直線加：y-修="」（X—三T），化簡得、，=中工-1

令尸0,得）'=-；，故直線PQ過定點(diǎn)（°，-；）.

例2.（2024.全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別為￡（-6,0）,6（G,0）,

短軸長為2.

⑴求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；

（7）M,/）分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過“點(diǎn)作兩條互相垂直的直線MA.MA交橢圓于

A,B兩點(diǎn),直線A8是否過定點(diǎn)？并求出△D48面積的最大值.

【解析】（1）由題意得：

c=x/5,2b=2

故可知々2=〃2+C2=4

橢圓方程為：—+y2=1?離心率為：^=—=—

(2)M,。分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)

又由(1)可知：M(-2,0)設(shè)直線A8的方程為：x=)+A(x”)，J,B(x2,y2)

聯(lián)立方程可得：〈2一:，)=(產(chǎn)+4)丁+2,皿V+＞一4=。

x2+4y-=4

有韋達(dá)定理可知：y+%=-恙，=

又ZAMB=E

2

.?.(%+2)(9+2)+兇％=0=＞玉%+2(%+9)+4+,)，2=0

X=O?i+m

又???

x2=ty2+m

(/2+l)y%+(""+2/)(y+K)+Q〃+2)2=0

(Z2+l)(m2-4)-2m2/2-4mt2+(m2+4m+4)(/2+4)=0

展開后整理得：5nr+16/7?+12=0?解得：=q或〃?=-2(舍去)

6

直線恒過定點(diǎn)(-*0)

12/

小:訴

/.-

64

64

SvDAB=g(2+|)(J|-y2)=1J(y+)J-4y%=||.也;二

乙JJ乙DI~T"?

令525/+64=〃(〃之8)

32u32〃32

貝ijb△加

------+4M+一

25w

由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知：〃+迎之8+乎=§

u82

64

所以&加8?去，當(dāng)且僅當(dāng)〃=8,即，=()時取等號

Ad

此時S.的最大值為：

A4〃4

當(dāng)直線防斜率不存在時，由-一二二-'^得J=l,則/=XF=F，

4+3r3+4/7

則直線Eb恒過點(diǎn)丁卜$0）；

②若兩條互相垂直的弦所在直線中有一條斜率不存在，則直線石廠為x軸，恒過丁卜;，”,

綜上：直線EP恒過點(diǎn)Tt小0）；

NH±EF,;.NH±HT,:."在以MT中點(diǎn)卜廿,0）為圓心，|N7］為直徑的圓上，

取G卜副,則防=；必$為定值；

「?存在點(diǎn)使得|G”|為定值.

變式1.（2024?上海青浦?統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系iQy中，已知橢圓「：1+），2=1,過

右焦點(diǎn)?作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)4凡C。中點(diǎn)分別為M,N.

（I）寫出橢圓右焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)及該橢圓的離心率：

（2）證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo);

（3）若弦48,CQ的斜率均存在，求△FMN面積的最大值.

【解析】（1）由橢圓方程+可知：b=\,所以c=l

右焦點(diǎn)坐標(biāo)“（1，。），該橢圓的離心率6=①；

2

（2）證明：八反8斜率均存在，

設(shè)A&,yJ,3（孫力），直線AB方程為y=[a-i）（AwO），

貝間笠^次國―、

3m0=("卡-軟2-=0,

聯(lián)立

4k2

1■l+2k'2k2-k

則有nM

2k--2J+2公'1+2公

將上式中攵換為-:‘可得N

若總=/=』’則直線MN斜率不存在，此時直線MN過點(diǎn)停。

（2

下證動直線MN過定點(diǎn)-,0

k。

若直線MN斜率存在，則kMN=1*2丁=甘？

乙K乙乙人一N

\+2k2~2+k2

直線MN方程為y-不第

令），=0得x=|,所以此時直線MN也過定點(diǎn)0

當(dāng)AB,CD兩條直線其中一條斜率不存在，一條直線斜率為0時,

不妨設(shè)AB斜率不存在，CO斜率為0,

此時M（0,0）,N（l,0）,

則直線MN的方程為3=0,過點(diǎn)?！悖?/p>

綜上，動直線MN過定點(diǎn)-,0；

（3）由（2）可知直線MN過定點(diǎn)P（|,（）

11k1\\-k

S.FMN=S5PM+SGFPN―X------7--X-------\

232+k223|1+2則

l+

i陽（3+3用1砥+以）1rN>

一6、（2+用（1+2公）一2*2犬+5公+2-22公+5+馬

k-

令，=陽+百￡[2,+8）,

S…/（/）=?正鳥—f,

t

…11-2/八

因?yàn)?（，）=于（2/+），所以/⑺在?、?8）上遞減,

所以f=2時，口郴取得最大值,此時攵=±1.

變式2.（2024?天津河北?高三天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)耳,工分別

是橢圓。：￡+《=1（.>6>（））的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，加工與“軸垂直.直線用耳與

crb-

。的另一個交點(diǎn)為N,且直線MV的斜率為迎.

4

（1）求橢圓C的離心率；

（2）設(shè)。（0,1）是橢圓。的上頂點(diǎn)，過。任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓。于4,8兩

點(diǎn)，證明直線A8過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】（1）由題意知，點(diǎn)M在第一象限，是。上一點(diǎn)且ME與x軸垂直,

(b2}

.?.M的橫坐標(biāo)為c.當(dāng)x=c時，y=—,即Mc,一.

b2

又直線MN的斜率為也,

所以五上二立,

4

2c2ac4

g|Ji)2=2^ac=a2-c21BPc2+ac-a2=0,

22

則/+業(yè)—go,解得“正或e=-夜(舍去),

22

即6=也.

2

（2）已知。（0,1）是橢圓的上頂點(diǎn)，則少=1,

由（1）知八男

，解得a=V2，

2

所以，橢圓。的方程為彳+)，2=1,

設(shè)直線/W的方程為y="+"5(用,,),3(占,、2),

聯(lián)立，21二2可得("2公)丁+45氏+2(//r-1)=0(*),

-46〃2（＞-1）

所以不

?“2=1+242'不巧=1+2公

又DA=(xl,yl-1)yDB=(x2ty2-\)t

DA-DB=XXX24-(^-l)(y2-l)=x1x2+(^1+/zz-l)(^r2

=(&2+1b]%2+2(〃L1)(演+&)+(/〃—if

3、2(濟(jì)-1)-4k，n,2

=(Ar+1)?—----+k1)---------+{m-1)

、)1+2公v7\+2k12

2(m2-1)儼+1)-4,(“?2〃?)+(]+2公)(〃?一》

1+2大

化簡整理有W-2/H-1=0,得〃2=—g或/〃=1.

當(dāng)帆=1時，直線A8經(jīng)過點(diǎn)。，不滿足題意；.

當(dāng)/?=-1時滿足方程(*)+*A>0,

故直線48經(jīng)過)'軸上定點(diǎn)G(0,-g).

變式3.(2024.全國?高二專題練習(xí))設(shè)耳工分別是圓。m+[=1(4>力>())的左、右焦

a~b

點(diǎn)，M是。上一點(diǎn)，例乃與x軸垂直.直線M耳與C的另一個交點(diǎn)為N,且直線MN的斜率

為當(dāng)

(1)求橢圓。的離心率.

⑵設(shè)"0』)是橢圓C的上頂點(diǎn)，過。任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于4、8兩

點(diǎn)，過點(diǎn)。作線段A3的垂線，垂足為Q,判斷在)，軸上是否存在定點(diǎn)R,使得IRQ的長

度為定值？并證明你的結(jié)論.

【解析】(1)由題意知，點(diǎn)M在第一象限.?.?用是C上一點(diǎn)且M鳥與x軸垂直,

2(b2}

h，即M°,一.

:.M的橫坐標(biāo)為c.當(dāng)x=c時,y=—

Ia

r-b2

又直線MN的斜率為苧，所以./MA居=五=工=①，

~2c2ac4

即b2=ac=a2-c2,即c2+ac-a2=(),

22

貝IJ/+匹e—i=(),解得e=變或e=—&(舍去)，即。=受.

222

(2)已知0(0,1)是橢圓的上頂點(diǎn)，則〃=1,?.,￡=走,〃2=/+。2,....=正，橢圓的方程為

a2

易得直線A8的斜率必然存在，設(shè)直線A8的方程為〉=行+小A(%,y),85,)，2),

由可得°，771VI2(>1)=0(*),

-4km2(病-1)

所以$+占=

1+2公'”/=]+2公

又/14=(內(nèi),乂-1),。#=(4,，2-1)，.

DA-DB=XXX2+(y)-l)(y2-l)=.r]X2+(A.r(+/zz-l)(^r2+/??-!)

=(我2+1)芭W+&(〃2-1)(工]+工2)+(〃?一1)2

伊+1).秸2+M〃I).含+(〃1戶

2(m2-1)(it2+1)-4)l2(m2-m)+(1+2)l2)(m-1)2

=0

1+2公

化簡整理有3/n2—2m—1=0.得〃?=一g或，〃=1.

當(dāng)機(jī)=1時，直線A8經(jīng)過點(diǎn)。，不滿足題意；

當(dāng)〃?=-!時滿足方程(*)中△>(),故直線經(jīng)過y軸上定點(diǎn)G(o,-g).

又。為過點(diǎn)。作線段A8的垂線的垂足，故。在以O(shè)G為直徑的圓上，取DG的中點(diǎn)為

40,；］,則|RQ|為定值，且|RQ|=』OG|=,

變式4.（2024?云南昆明?高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C:亍+學(xué)=1（2＞人＞0）,直線＞二人被

橢圓。截得的線段長為跡.

5

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓。的右頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線44.分別交橢圓。于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M,N不同

于橢圓C的右頂點(diǎn)），證明：直線過定點(diǎn).

【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線）'=x與題意交于RQ兩點(diǎn).不妨設(shè)尸點(diǎn)在第一象限,

4

又PQ長為亞e,??.〃(2行20

555'1+有

=故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+），2=

4'

（2）顯然直線44的斜率存在且不為0,

x=my+2

22

設(shè)/]:X="7Y+2,A,:“=---y+2,由＜x2_+4)y+47nv=0,

inT+,v=

-2in~+8-4/〃-2+8w24m'

：.M，同理可■得N

、nr+4方+4,、4nr+1'4m2+1/

5m

當(dāng)，〃工±1時，"MN

4(/n2-l)，

4m-2〃5+8、

所以直線的方程為），+芯

MVqin1+4,

〃（、

整理得/而5m刁x+而-6w刁=5/碓引6，所以直線

當(dāng)〃?=±1時，直線MN的方程為A：］,直線也過點(diǎn)停0）

所以直線MN過定點(diǎn)佟0）.

題型二：雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)

22

例4.（2024?高二課時練習(xí)）已知雙曲線C：：■一方=1（〃＞0力＞0）經(jīng)過點(diǎn)P（2,l）,且雙

曲線。的右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為".

3

⑴求雙曲線C的方程;

（2）過點(diǎn)。分別作兩條互相垂直的直線以,P8與雙曲線C交于A,8兩點(diǎn)（A,4兩點(diǎn)均與

點(diǎn)尸不重合），設(shè)直線A&y=kx+m（k^O）,試求人和〃?之間滿足的關(guān)系式.

【解析】（I）已知雙曲線C：=1(々>0,/?>0)經(jīng)過點(diǎn)/>(2,1),

(Jh2

41

則一T-77=］，

a~b'

右頂點(diǎn)為（〃,0）,不妨取漸近線為y二-2j即次+〃.v=O,

a

_3

從而可解得/=2,〃2=i,

所以雙曲線。的方程為］-），

（2）設(shè)人（七,y）,8（孫左），

X__2=]

聯(lián)立~2~y=,消丁得(1一2公卜2一4也門一2/一2=0,

y=kx+in

4km-2m2-2

則$+/=1-2^2，V2-\-2k

則)1+先=MX+W)+2〃?=-^r,

I乙氣

.2.?\2陽2—2k

MH=攵=丙+Q〃(玉+%)+〃廠=[_2%2

而=(內(nèi)-2,乂_1),/^=(/-2,%-1)，

因?yàn)镼4JLPB,則P4.方=0,

即(5-2)(%2-2)+()[-1乂%-1)二°，

即％Z-2（x+w）+x%-（y1+%）+5=。，

-2w2-28kmm2-2k22m5-\0k2八

即Hn------；--------+-----；---------+------=0,

1—2/1-2公7i-2k2l-2k2i-2k2

整理得m2+12/+8km+2血-3=0,

所以nr+12犬+8km+2〃L3=0.

例5.（2024?江蘇南京?高二?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，動點(diǎn)P與定點(diǎn)

FQ,0）的距離和它到定直線/：x的距離之比是常數(shù)氈，記P的軌跡為曲線￡

23

(1)求曲線七的方程；

⑵設(shè)過點(diǎn)&G，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點(diǎn)M，M異于點(diǎn)4)，求證：直

線MN過定點(diǎn).

【解析】(1)設(shè)P(x,y),

因?yàn)椤Ｅc定點(diǎn)?(2,0)的距離和它到定直線/：x=T的距離之比是常數(shù)苧，

J(x-2)2+_2\/3

所以3―二亍，

x—

化簡得,―9=1,

所以曲線E的方程為［-),2=1.

(2)設(shè)欣.口，yi),Ng刈，

當(dāng)直線MN斜率不存在，直線AM,AN分另lj為y=x—6,y=—x+6

2

分別聯(lián)立a—V=l,解得M(26，6)，M2百，一⑶,

此時直線MN的方程為X=2G，過點(diǎn)(26，0)；

當(dāng)直線斜率存在時設(shè)其方程為)，="+，〃,(k^±—)

3

V_2

由"3),消去了得(1-3左2)12-6心兒1-3〃?2-3=0,

y=kx+in

所以△=(一6如>―4(1-3k2)(-3/n23)>(),即m2+1-3/>o,

6km-3m2-3

內(nèi),%==再玉/=不記

因?yàn)锳M_LAM

所以女兒w,k.=-^-7=1—Y~T==T,即x%=一（用一百）（七一6）,

即（kx、+m）（kx2+m）=一■一百）（/一6），

即%一］9+km（xx+電）+"P=xxx2+V3（x,+9）-3,

2

將xy+x2=61：］,x（x2=—―代入化簡得：〃『+35km+6k=0>

1""3kI3k

所以in=-sl3k或in=-2y/3k?

當(dāng)機(jī)=-43k時，直線MN方程為），=履-6火（不符合題意舍去），

當(dāng)〃?=-26%時，直.線M2方程為,，=女。-26），MN恒過定點(diǎn)（26，0）,

綜上所述直線MN過定點(diǎn)（2G，0）.

例6.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線「:]=卷=1（〃,〃>0）,經(jīng)過雙曲線「上的

點(diǎn)A（2,l）作互相垂直的直線AM、AN分別交雙曲線「于M、N兩點(diǎn)?設(shè)線段4KAN的中點(diǎn)分

別為民C,直線08、OC（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存在且它們的乘積為

4

⑴求雙曲線「的方程；

（2）過點(diǎn)4作A?_LMN（Q為垂足），請問：是否存在定點(diǎn)E,使得目為定值？若存在，

求出點(diǎn)石的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解析】（1）設(shè)M（N，y）、N（X2，），2），線段AM、AN的中點(diǎn)分別為8（〃?,〃）、C（PM）,

由己知,得斗-4=1；~T-77=?

a-b~a2b~

兩式相減，得匚2-工^=0,即鞏?上|二4①

a-b2x+2%-2a~

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)及斜率公式，得

xx+2=2m,y+1=2〃，怎”一、■—,即8三"三.代入①，

得砥■②同理，得孰?③，②③相乘，得心、,*.*^*0c=/.

由—^一F=1,與④聯(lián)乂，得a?=2,〃=1,

雙曲線「的方程為：］—y2=i.

(2)①當(dāng)MN_LQr時，設(shè)MN:x=f,N(t-y)fAM=(t-Zy-\),

AN=（t-2,-y-\）

由AM、AN互相垂直，得八群4"=。一2『一（1一），2）=0,

由g-y2=]解得/=（此時y無實(shí)數(shù)解，故舍去），或1=2（此時M、N至少一個點(diǎn)與人

重合，與條件不符，故舍去）.綜上，此時無符合條件的解.

②當(dāng)MN_LQr不成立時，設(shè)直線MN:），=履+/〃，Maj）、N（w，），2）

代入t―V=1得（1一2公卜2—4加吠-2（>+1）=0,1—2公工0

4切？2（/"+1）

A=168〃/_40-）（一2乂〃-+l）=8（/w2+1-2F）>0且玉+々

1-23一公

???麗加&-2）.（芍-2）+（y「l）—

=（攵2+1）內(nèi)+[&（m-1）-2]（玉+X2）+（〃Liy+4=0

工12爐+8h〃+（〃P+2/〃-3）=0,即（6攵+〃葉3）（24+〃?-1）=0,

解得：/〃=-6攵-3或〃?=-2%+1.

當(dāng)〃?=-2攵+1時，MN:尸小+〃7=〃5-2）+1過點(diǎn)4（2』），與條件不符，舍去.

m=-6k-3,MN:y=kx+m=k（x-6）-3,過定點(diǎn)P（6,—3）

???人尸中點(diǎn)E（4,—1）,由于ADJ.MN（。為垂足），故|￡>同=54尸|=2&.

綜上所述，存在定點(diǎn)石（4,-1）,使得。目為定值2&.

題型三：拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)

例7.（2024?江蘇泰州?高一靖江高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線C：/=2px（p>0）

的焦點(diǎn)為凡斜率為1的直線/經(jīng)過F,且與拋物線C交于A,4兩點(diǎn)，|AB|=8.

（I）求拋物線C的方程；

⑵過拋物線C上一點(diǎn)尸（“-2）作兩條互相垂直的直線與腦物線C相交于MN兩點(diǎn)（異于點(diǎn)

P），證明：直線MN恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】（1）設(shè)4司,凹）,8（々。2），

由題意知「（多0）,則直線/方程為尸公多

2

代入V=2〃<（〃>0）,得V-3〃r+^-=0,A=8p2>0,

/.%+w=3P,

由拋物線定義，知|A"=A+?,|〃"|=占+?,

1?￡?

|AB|=|AF|+|￡?F|=X,+I2+〃=3〃+p=4〃=8,p=2,

，拋物線的方程為)/=4鼠

(2)證明：?.?/>(。,一2)在拋物線)，2=4%上，/.(一2)2=4〃,.“=1,

由題意，直線MN的斜率不為0,設(shè)直線MN的方程為4=，型+〃，

設(shè)“(0%)，r(*4，乂)，

y2=4xg,

由《，得y--4也)，-4〃=0,

x=my+n

則△'=16"+16〃>0,且％+■=4m,％”,

2

Xx3+x4=m(y3+%)+2〃=4in+In,

222

七.={tny31n)(my41n)=my3y4Imn(y31y4)In=n,

由題意，可知PMA.PN,：.PM\LPM,

故PMPN=(x3-l)(x4-1)+(y3+2)(%+2)=0,

故玉匕一(玉+七)+1+%乂+2(%+乂)+4=0,

整理得I一4"「一6/?+8/〃+5=()，即(〃一3『二4("?一1尸，

〃-3=2(〃?-1)或〃-3=-2(〃?-1),即〃=2〃?+1或〃=一2加+5.

若n=2m+1,則x=〃?￥+，?=my+2m+1=m(y+2)+1,

此時直線MN過定點(diǎn)(L-2),不合題意；

若〃=-2/7/+5,則x=niy+n=my-2m+5=/〃(y—2)+5,

此時直線MN過定點(diǎn)(5,2),符合題意，

綜上，直線MV過異于。點(diǎn)的定點(diǎn)(5,2).

例8.(2024.內(nèi)蒙古巴彥淖爾.高二校考階段練習(xí))已知拋物線七：f=2py的焦點(diǎn)歹關(guān)于直

線/:2x-y-4=0的對稱點(diǎn)。恰在拋物線E的準(zhǔn)線上.

(1)求拋物線E的方程；

⑵M是拋物線E上橫坐標(biāo)為-2的點(diǎn)，過點(diǎn)M作互相垂直的兩條直線分別交拋物線E于

A8兩點(diǎn),證明直線AB恒經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【解析】⑴由已知得尸（0,9，設(shè)乖0，-。則尸Q中點(diǎn)為R停o）,

???Q、尸關(guān)于直線/：2x-y-4=0對稱，

???點(diǎn)R在直線/上，

/.2.^-0-4=0,解得$=4,即Q（4,—

又由Q"_U,得直線的斜率"尸二—g,

=~~?解得〃=2,

-42

JE:x2=4y.

(2)證明：設(shè)直線43的方程為產(chǎn)去+〃?，A(/y)、/生為)均不與加重合，

y=kx+m,

由<,.得V-4&?-4/〃=0,

廠=4y

：.玉+公=4%,x(x2=-477i.

由(1)得M(-2,l),

/.MA=(內(nèi)+2,y—1),MB=(x>+2,>\-1),

又由物_L物得而鼠麗=0,即(％+2)伍+2)+()，|-1)(%-1)=0,

.??6+2)(占+2)+忤-1)仔T卜0,

??.(內(nèi)+2)(4+2)+.區(qū)號T).5+292)=0,

???]+(*—2)(占-2)=0,"毛一2(現(xiàn)+%)+20=0,

16

:.-4m-Sk+20=0,J〃!=5-2Z,

???直線A5的方程為y=依+5-22,BPAB:y-5=k(x-2)f

???直線A8恒過定點(diǎn)(2,5).

例9.（2024.江西吉安.高二吉安一中校考階段練習(xí)）已知拋物線C:），2=2〃X（〃>0）,0是

坐標(biāo)原點(diǎn)，廠是C的焦點(diǎn)，例是C上一點(diǎn)，|月必|=4,ZOAM=120°.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)。（七,2）在。上，過。作兩條互相垂直的直線QAQ3,分別交C于A,3兩點(diǎn)（異

于。點(diǎn)）.證明：直線A8恒過定點(diǎn).

/\

【解析】（1）由|根|=4,/02"=120。，可得/§+2,±26，

代入。:12=2若+2）=/+4〃.

解得P=2或〃=-6（舍），

所以拋物線的方程為：r=4.v.

（2）解:由題意可得Q（L2）,直線A3的斜率不為0,

設(shè)直線AB的方程為戶〃P+〃，設(shè)A（X,X）,8伍,％），

y2=4,r

由〈，得y-4孫，-4〃=0,從而△=16〃P+16〃>0，

x=my+n

y,+y,=4M

則4.

出必=4〃

所以％+W=〃7（y+y2）+2〃=4〃5+In,

22

X1X2=（W1+72）（my2+n）=nry2+rnn（yi+y2）+n=n,

*：QALQB,

UUUli

???04。8=（內(nèi)一1）（七一1）+（%-2）也一2）二0,

故王蒼一（5+w）+l+y），2-2（凹+、2）+4=。，

整理得〃2-4〃『一6〃一8"?+5=0.即（〃-3f=4（〃i+lf,

從而〃-3=2（加+1）或〃-3=-2（加+1）,

即〃=2〃?+5或〃=—2m+1.

若〃=一2,〃+1,plijx=my+/?=my-2m+1=m（y-2）+1.過定點(diǎn)（L2）,與Q點(diǎn)重合,不符合：

若〃=2m+5,plijx=my+/:=my+2/?i+5=m（y+2）+5,過定點(diǎn)（5,-2）.

綜上，直線A8過異于Q點(diǎn)的定點(diǎn)（5,-2）.

變式5.（2024.浙江?高三專題練習(xí)）已知拋物線=2期（〃>0）的焦點(diǎn)F也是橢圓

22

工+21=1的一個焦點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)尸任作兩條互相垂直的直線（，/2,分別交拋物線w

34

于A,C，B,O四點(diǎn)，E,G分別為AC,8。的中點(diǎn).

(2)求證：直線EG過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶設(shè)直線EG交拋物線W于"，N兩點(diǎn)，試求|MN|的最小值.

)2

【解析】(I)橢圓工+工=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±1),

34

由于拋物線W：r=2py(p〉o)的焦點(diǎn)廠也是橢圓土+匕=1的一個焦點(diǎn),

34

故F(0,l),即5=1,p=2；

(2)由(1)知，拋物線的方程為V=4),,

設(shè)A(X，y\),C(x2,y2),

由題意，直線八C的斜率大存在且ZHO

設(shè)直線AC■的方程為了二近十1,

代入/=4)，可得f一4履一4=0，

則為+々=4及，

故y+以=代+1+5+1=4父+2，

故八c的中點(diǎn)坐標(biāo)為E(2A,2k2+1),

由ACS切9,設(shè)直線4。的方程為y=-gxx+l,

K

代入f=4y可得丁+加一4=0,

k

4

貝I」％+x,,

k

MI,114r

故>\+>2=-7，，x芯+1Kr—*■7xx?+1=—+2,

一(221

可得BO的中點(diǎn)坐標(biāo)為G--,-y+l,

\kk-)

令今+1=2產(chǎn)+1得-=],

K

止匕時工+1=2公+1=3,

k

故直線EG過點(diǎn)”(0,3),

、」，，，…,2k2+1-3k2-\.p"*-1-3kz-\

當(dāng)KW1時，~~~~T~=~-~-，

2攵-0K0卜

所以&E〃=&G〃，E,H,G三點(diǎn)共線，

所以直線EG過定點(diǎn)"(0.3).

X\(x\

(3)設(shè)M知，f,N1,

4)I4)

由題意直線EG的斜率存在，設(shè)直線EG的方程為廣心+3,

代入x2=4y可得f-4心：-12=0，

則,％+/=4〃，XMXN=-\2,

|MN『二(^^)+(/7"二七("4)[(/+a/)2+16卜去(叱+48)(16/+16

=16e+3)(小+1)248,

故|MN|24g,當(dāng)F=o即直線EG垂直y軸時，IMNI取得最小值4G.

變式6.(2024?四川綿陽?高二校考階段練習(xí))已知拋物線C：)，2=2內(nèi)(〃〉0)的焦點(diǎn)為

八點(diǎn)P(2,f)在拋物線。上,且|PF|=3.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過拋物線C上一點(diǎn)幾4)作兩條互相垂直的弦24和M?,試問直線A8是否過定點(diǎn)，

若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請說明理由.

【解析】(1)|2日=2+5=3,解得：p=2

故拋物線c的方程為：y=4x..

(2)由題可得N(4,4),直線A8的斜率不為。

設(shè)直線A3：x=rny+t,4(內(nèi)，)，1),B(x2>y2)

?、(x=rnv+t不，、

聯(lián)立｛，得：y--4my-4t=0,A=16A/Z+16；>0

y2=4x

y+)'2=4〃？，X)'2=-41.,

由則麗.麗=0,即(XT)5-4)+()，]-4)(>，2-4)=0

于是％w-4(%+為)+16+xy2一火y+%)+16=0

架上一(X+“尸+3>防一4(%+為)+32=0

lo

r-i6〃『一121-16加+32=0，所以Q-6)2=4(2/〃+1)2

，=4〃+4或/=4,〃+8.

當(dāng)r=-4〃z+4時，△=16(小一2)220

直線A8:X二機(jī)6」4)+4,恒過定點(diǎn)(4,4),不合題意，舍去.

當(dāng)，=Y，〃+4,△=16[(/〃+2)2+4]>0,直線AB：文=陽()，+4)+8,恒過定點(diǎn)(8,4)

綜上可知，直線A4恒過定點(diǎn)(8,-4).

變式7.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知拋物線C：)尸=2*(〃>0)的焦點(diǎn)為產(chǎn)，直線

y=4與y軸的交點(diǎn)為/),與拋物線c的交點(diǎn)為。，且|QF|=：|PQ|.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過拋物線C上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦N4和N8,試問直線A8是否過定點(diǎn),

若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請說明理由.

【解析】(1)設(shè)。5,4),代入尸=2/狀得：x0=-f即|QF|=Xo+§=1+§

由|QF|=：|PQ|得：-+7=7X-?解得：P=2或p=-2(舍去)

4p24P

故拋物線C的方程為：y：=4x.

(2)山題可得N(4,4),直線AS的斜率不為。

設(shè)直線/IB：x=my+t,A（M，M）,仇林為）

聯(lián)立｛2/，得：>,2-4/ny-4z=0,

y=4x

.?.A=16>+⑹〉0，X+K=4m，y%=-4，

由NAA.NB,則麗.麗=0,即（內(nèi)-4）（再-4）+（），|-4）（丫2-4）=0.

于是人日一4（玉+42）+16+X必一4（另+必）+16=。

-U+為）2+3y%-4（y+%）+32=0

10

r-\6〃『-121-16/〃+32=0，所以（"6尸=4（2，〃+1）2

t——4/774-4或，=4m4-8

當(dāng)r=7〃z+4時，△=16（，〃一2產(chǎn)20

直線八8：工=團(tuán)（〉一4）+4,恒過定點(diǎn)（4,4）,不合題意，舍去.

當(dāng)r=-4〃z+4,A=16[（/W+2）2+4]>0,直線AB：X二陽（5+4）+8,恒過定點(diǎn)（8,4）

綜上可知，直線/W恒過定點(diǎn)（8,4）

變式8.（2024.云南曲靖.高二?？计谀┮阎c(diǎn)A7與點(diǎn)網(wǎng)4.0）的距離比它的直線

/：“+6—。的距離小2.

⑴求點(diǎn)”的軌跡方程；

（2）04,。8是點(diǎn)“軌跡上互相垂直的兩條弦，問：直線A8是否經(jīng)過x軸上一定點(diǎn)，若經(jīng)

過，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，說明理由.

【解析】（1）（1）由題意知動點(diǎn)M至IJ（4,0）的距離比它到直線八式-=-6的距離小2,

即動點(diǎn)”至U（4.0）的距離與它到直線x=-4的距離相等，

由拋物線定義可知動點(diǎn)〃的軌跡為以（4,0）為焦點(diǎn)的拋物線，

則點(diǎn)M的軌跡方程為V=16x；

（2）（2）法一：由題意知直線A3的斜率顯然不能為0,

設(shè)直線A8的方程為x="+〃?（〃7*。）,設(shè)旦y）,6（8,乃），

聯(lián)立方程,'=1消去X,可得y2—I6zy—16機(jī)=（）,△>（）即4/+"?〉0，

x=ty+ni

22

Y+%=161,）']%=T6〃1,XX,=AXA="J,

1616

由題意知。4_LO6,即忌_L。月，則芭&+丁里=。，

故病一16加=0,mwo,〃?=16,直線AB的方程為x=（y+16,

故直線A8過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（16,0）；

法二:假設(shè)存在定點(diǎn),設(shè)定點(diǎn)尸（%,O）,A（X，X）,B（芍，%）回必工。），

OA±OB,方_L麗，故百電+）1>'2=0，

43在拋物線上，即代入上式，可得12匹1+乂乃=0，

16*1625612

故）'歷=-256,4反P三點(diǎn)共線，PA//PB-

yjyyfy

4=2：由二必一=16力16,2=_.=]6,

M-%y）->216

假設(shè)成立，直線A8經(jīng)過3軸的定點(diǎn)，坐標(biāo)為（16,0）.

題型四：橢圓兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)

22

例10.（2024?福建龍巖?統(tǒng)考一模）雙曲線「：工一二二1的左右頂點(diǎn)分別為4,4,動直

43

線/垂直「的實(shí)軸，且交「于不同的兩點(diǎn)M,N,直線AN與直線4例的交點(diǎn)為尸.

（1）求點(diǎn)〃的軌跡C的方程；

（2）過點(diǎn)”（1,0）作C的兩條互相垂直的弦￡>E,FG，證明：過兩弦DK,8中點(diǎn)的直線

恒過定點(diǎn).

【解析】（1）因?yàn)槿耍ㄒ?,0），4（2,0）,

設(shè)P（x,y）,M（z），No）,則且%-一上!_=]①，

43

因?yàn)閯又本€/交雙曲線于不同的兩點(diǎn)例,N,所以％工±2且n工±2,

因?yàn)橹本€的方程為丁=,（工-2）②，

直線AN的方程為〉，=一、"+2）③，

-%+Z

②X③得/=^-（X2-4）,

/-4'7

o22

把①代入上式得丁=-五--4）,化簡得Lv+二=1,

所以點(diǎn)尸的軌跡C的方程為三+匯=1（］?！?）.

43、7

（2）依題意得直線DE與直線尸G斜率均存在且不為0，

設(shè)直線DE的方程為x=3+1（/〃+0），則直線FG的方程為x=--y+\,

m

聯(lián)立L：=7：1；1得（3〃/+4）/+6^-9=0,

x

3x~+4yJ~=12/

則A=36"P+36（3〃，+4）=144（"/+l）>0,設(shè)。（玉,凹）.￡（X2，%）,

-6mz、r8

所