第十章概率（重難點專題復習）【題型1事件的關(guān)系及運算】【方法點撥】根據(jù)事件之間的關(guān)系，結(jié)合具體問題，進行轉(zhuǎn)化求解.進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析.也可類比集合的關(guān)系和運算用Venn圖分析事件.【例1】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則（

）A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對立事件C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對立事件【變式1-1】一個人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關(guān)系中，說法正確的是（

）A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件B．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”為互斥事件C．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件D．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件【變式1-2】從數(shù)學必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．至少有一本政治與都是數(shù)學 B．至少有一本政治與都是政治C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學 D．恰有1本政治與恰有2本政治【變式1-3】從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．至少有1個黑球與都是黑球 B．至少有1個黑球與至少有1個紅球C．至少有1個黑球與都是紅球 D．恰有1個黑球與恰有2個黑球【題型2古典概型的判斷及其概率的求解】【方法點撥】第一步，閱讀題目，判斷試驗是否是古典概型；第二步，計算樣本空間中的樣本點個數(shù)n；第三步，計算所求事件A包含的樣本點個數(shù)k；第四步，計算所求事件A的概率，.【例2】疫情期間，一同學通過網(wǎng)絡平臺聽網(wǎng)課，在家堅持學習．某天上午安排了四節(jié)網(wǎng)課，分別是數(shù)學，語文，政治，地理，下午安排了三節(jié)，分別是英語，歷史，體育．現(xiàn)在，他準備在上午下午的課程中各任選一節(jié)進行打卡，則選中的兩節(jié)課中至少有一節(jié)文綜學科（政治、歷史、地理）課程的概率為（

）A．34 B．712 C．23【變式2-1】四個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻轉(zhuǎn)自己的硬幣.若硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人繼續(xù)坐著.那么，沒有相鄰的兩個人站起來的概率為（

）A．12 B．516 C．716【變式2-2】有道是：“上饒是個好地方，三清水秀好風光．”現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來到上饒旅游，分別準備從三清山、婺源、葛仙山三個著名景點中隨機選一個景點游玩，則甲、乙至少一人選擇三清山的概率是（

）A．14 B．13 C．23【變式2-3】甲乙兩人在一座7層大樓的第一層進入電梯，假設每人從第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是8的概率是（

）A．16 B．19 C．536【題型3概率的基本性質(zhì)的應用】【方法點撥】根據(jù)具體問題，準確表示事件，分析事件之間的關(guān)系，結(jié)合概率的基本性質(zhì)，計算概率.【例3】若事件A,B為兩個互斥事件，且PA>0,PB①PAB=0；②PAB=1?PA．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【變式3-1】已知事件A，B，C兩兩互斥，若P(A)=15，P(C)=13，P(A∪B)=8A．815 B．23 C．715【變式3-2】若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且PA=2?a，PB=4a?5，則實數(shù)A．54,2 B．54,32【變式3-3】甲、乙兩人對同一個靶各射擊一次，設事件A=“甲擊中靶”，事件B=“乙擊中靶”，事件E=“靶未被擊中”，事件F=“靶被擊中”，事件G=“恰一人擊中靶”，對下列關(guān)系式（A表示A的對立事件，B表示B的對立事件）：①E=AB，②F=AB，③F=A+B，④G=A+B，⑤G=AB+AB，⑥PA．3 B．4 C．5 D．6【題型4古典概型與其他知識的綜合】【方法點撥】對于古典概型與其他知識的綜合問題，解題的關(guān)鍵是求出所求事件包含的樣本點的個數(shù).找出滿足條件的情況，從而確定樣本點的個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式求解即可.【例4】中華人民共和國第十四屆全國運動會?全國第十一屆殘運會暨第八屆特奧會于2021年在中國陜西舉行，為宣傳全運會?特奧會，讓更多的人了解體育運動項目和體育精神，某大學舉辦了全運會?特奧會知識競賽，并從中隨機抽取了100名學生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試根據(jù)頻率分布直方圖求出這100人中成績低于60分的人數(shù)，并估計這100人的平均成績（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；(2)若先采用分層抽樣的方法從成績在[80,90),[90,100]的學生中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人去社區(qū)開展全運會?特奧會宜傳活動，求做宣傳的這2名學生中，其中1人成績在[80,90)，另外1人成績在[90,100]的概率.【變式4-1】近年來，我國居民體重“超標”成規(guī)模增長趨勢，其對人群的心血管安全構(gòu)成威脅，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMI=體重kg身高2m2衡量人體胖瘦程度是否健康，中國成人的BMI數(shù)值標準是：BMI<18.5為偏瘦；18.5≤BMI<23.9為正常；24≤BMI<27.9為偏胖；BMI(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求a的值，并估計該社區(qū)居民身體質(zhì)量指數(shù)BMI的樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)；(2)現(xiàn)從樣本中利用分層抽樣的方法從16,20，24,28的兩組中抽取6個人，再從這6個人中隨機抽取兩人，求抽取到兩人的BMI值不在同一組的概率．【變式4-2】“告訴老墨，我想吃魚了”這是今年春節(jié)期間大火的電視劇《狂飆》里，主角高啟強（強哥）的經(jīng)典臺詞，而劇中高啟強最喜歡吃的就是豬腳面了，可謂是豬腳面的資深代言人.某商家想在上饒市某學校旁開一家面館，主打豬腳面.雖然江西人普遍愛吃辣，但能吃辣的程度也不盡相同.該面館通過美食協(xié)會共獲得兩種不同特色辣的配方（分別稱為A配方和B配方），并按這兩種配方制作售賣豬腳面.按照辣程度定義了每碗豬腳面的辣值（辣值越大表明越辣），得到下面第一天的售賣結(jié)果：A配方的售賣頻數(shù)分布表辣值分組80,8484,8888,9292,9696,100頻數(shù)1020421810B配方的售賣頻數(shù)分布表辣值分組80,8484,8888,9292,9696,100頻數(shù)1822381210定義本面館豬腳面的“辣度指數(shù)”如下表：辣值80,8888,9696,100辣度指數(shù)345(1)試分別估計第一天A配方，B配方售賣的豬腳面的辣值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表），并比較大小.(2)用樣本估計總體，將頻率視為概率，從當?shù)赝瑫r吃過兩種配方豬腳面的消費者中隨機抽取1人進行調(diào)查，試估計其評價A配方的“辣度指數(shù)”比B配方的“辣度指數(shù)”高的概率.【變式4-3】為進一步鞏固提升全國文明城市，加速推行垃圾分類制度，銅川市推出了兩套方案，并分別在A、B兩個大型居民小區(qū)內(nèi)試行.方案一：進行廣泛的宣傳活動，向小區(qū)居民和社會各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時間等，定期召開垃圾分類會議和知識宣傳教育活動；方案二：在小區(qū)內(nèi)設立智能化分類垃圾桶，智能垃圾桶操作簡單，居民可以通過手機進行自動登錄、稱重、積分等一系列操作.并建立激勵機制，比如，垃圾分類換積分兌換禮品等，以激發(fā)帶動居民參與垃圾分類的熱情.經(jīng)過一段時間試行之后，在這兩個小區(qū)內(nèi)各隨機抽取了100名居民進行問卷調(diào)查，記錄他們對試行方案的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)請通過頻率分布直方圖分別估計兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點值作代表）；(2)以樣本頻率估計概率，若滿意度得分不低于70分認為居民贊成推行此方案，低于70分認為居民不贊成推行此方案，規(guī)定小區(qū)居民贊成率不低于70%才可在該小區(qū)繼續(xù)推行該方案，判斷兩小區(qū)哪個小區(qū)可繼續(xù)推行方案？(3)根據(jù)（2）中結(jié)果，從可繼續(xù)推行方案的小區(qū)所抽取100人中再按居民態(tài)度是否贊成分層抽取一8人樣本作為代表團，從代表團中選取兩人做匯總發(fā)言，求至少有一個不贊成的居民被選到發(fā)言的概率.【題型5相互獨立事件的概率】【方法點撥】利用相互獨立事件的概率乘法公式，進行求解即可.【例5】出租車司機老王從飯店到火車站途中經(jīng)過六個交通崗，已知各交通崗信號燈相互獨立.假設老王在各交通崗遇到紅燈的概率都是13，則他遇到紅燈前已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率為（

A．124 B．427 C．79【變式5-1】如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、A．0.864 B．0.156 C．0.181 D．0.819【變式5-2】2022年卡塔爾世界杯足球賽落幕，這是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行，也是第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.有甲，乙，丙三個人相互之間進行傳球，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙，丙中的任何一個人，以此類推，則經(jīng)過兩次傳球后又傳到甲的概率為（

）A．13 B．19 C．12【變式5-3】設每門高射炮命中飛機的概率是0.6，今有一架飛機來犯，問需要多少門高射炮射擊，才能以至少99%的概率命中它（

A．3 B．4 C．5 D．6【題型6互斥、相互獨立事件的綜合應用】【方法點撥】閱讀題目，分析事件之間的關(guān)系，一般將問題劃分為若干個彼此互斥的事件，然后運用互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式求解.【例6】甲、乙兩同學進行棒球比賽，約定連勝兩局者勝出，比賽結(jié)束，最多比賽五局，若前四局不分勝負，則第五局勝者獲勝，比賽結(jié)束．已知甲每局獲勝的概率為23，每局比賽沒有平局，結(jié)果相互獨立，則甲第一局獲勝并最終獲得勝利的概率為（

A．4481 B．116243 C．32243【變式6-1】甲箱中有2個白球和1個黑球，乙箱中有1個白球和2個黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機取兩個球放入乙箱，然后再從乙箱中任意取出兩個球．假設事件A=“從乙箱中取出的兩球都是白球”，B=“從乙箱中取出的兩球都是黑球”，C=“從乙箱中取出的兩球一個是白球一個是黑球”，其對應的概率分別為PA，PB，PCA．PA=PBC．PB<PC【變式6-2】兩個黑幫幫主甲和乙決定以如下方式?jīng)Q斗：甲帶了一名手下A，而乙?guī)Я藘擅窒翨和C，規(guī)定任意一名手下向敵方成員開槍時，會隨機命中敵方的一個尚未倒下的人，且命中每個人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就會倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中兩次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，決斗立刻結(jié)束，未倒下的一人勝出.決斗開始時，A先向敵方成員開槍，之后若B未倒下，則B向敵方成員開槍，之后按C，A，B，C，A，B，……的順序依次進行，則甲最終獲勝的概率是（

）A．518 B．736 C．14【變式6-3】某中學舉行疾病防控知識競賽，其中某道題甲隊答對該題的概率為34，乙隊和丙隊答對該題的概率都是23.若各隊答題的結(jié)果相互獨立且都進行了答題.則甲、乙、丙三支競賽隊伍中恰有一支隊伍答對該題的概率為（A．12 B．13 C．736【題型7頻率與概率的區(qū)別與特點】【方法點撥】根據(jù)頻率與概率的區(qū)別，頻率的穩(wěn)定性等基礎知識，進行求解即可.【例7】在一次拋硬幣的試驗中，某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了560次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（

）A．0.56，0.56 B．0.56，0.5C．0.5，0.5 D．0.5，0.56【變式7-1】某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率是99.99%，這說明（

）A．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品一定有1件B．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品一定有9999件C．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中沒有不合格的產(chǎn)品D．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%【變式7-2】下列四個命題中真命題的個數(shù)為（

）個①有一批產(chǎn)品的次品率為0.05，則從中任意取出200件產(chǎn)品中必有10件是次品；②拋100次硬幣，結(jié)果51次出現(xiàn)正面，則出現(xiàn)正面的概率是0.51；③隨機事件發(fā)生的概率就是這個隨機事件發(fā)生的頻率；④擲骰子100次，得點數(shù)為6的結(jié)果有20次，則出現(xiàn)6點的頻率為0.2.A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-3】關(guān)于頻率和概率，下列說法正確的是（

）①某同學在罰球線投籃三次，命中兩次，則該同學每次投籃的命中率為23②數(shù)學家皮爾遜曾經(jīng)做過兩次試驗，拋擲12000次硬幣，得到正面向上的頻率為0.5016；拋擲24000次硬幣，得到正面向上的頻率為0.5005.如果他拋擲36000次硬幣，正面向上的頻率可能大于0.5005；③某類種子發(fā)芽的概率為0.903，當我們抽取2000粒種子試種，一定會有1806粒種子發(fā)芽；④將一個均勻的骰子拋擲6000次，則出現(xiàn)點數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000次.A．②④ B．①④ C．①② D．②③【題型8頻率估計概率在統(tǒng)計中的應用】【方法點撥】此類題目的解題方法是：先利用頻率的計算公式依次計算出各個頻率，然后根據(jù)頻率與概率的關(guān)系估計事件發(fā)生的概率，據(jù)此得出統(tǒng)計推斷.【例8】某地要舉辦一年一度為期一個月（30天）的大型商業(yè)峰會，一商店每天要訂購相同數(shù)量的一種食品，每個該食品的進價為0.6元，售價為1元，當天賣不完的食品按進價的半價退回，食品按每箱100個包裝．根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗，每天對該食品的需求量和當天到會的人數(shù)有關(guān)，為了確定訂購計劃，統(tǒng)計了往年的到會人數(shù)與需求量和到會人數(shù)與天數(shù)的有關(guān)數(shù)據(jù)如下：到會人數(shù)/人8000,90009000,1000010000,1100011000,1200012000,13000需求量/箱400450500550600到會人數(shù)/人8000,90009000,1000010000,1100011000,1200012000,13000天數(shù)56874以到會人數(shù)位于各區(qū)間的頻率估計到會人數(shù)位于各區(qū)間的概率．(1)估計商業(yè)峰會期間，該商店一天這種食品的需求量不超過500箱的概率；(2)設商業(yè)峰會期間一天這種食品的銷售利潤為Y（單位：元），當商業(yè)峰會期間這種食品一天的進貨量為550箱時，寫出Y的所有可能值，并估計Y不超過15000元的概率．【變式8-1】某校高三分為四個班.調(diào)研測試后，隨機地在各班抽取部分學生進行測試成績統(tǒng)計，各班被抽取的學生數(shù)依次為22，22+d，22+2d，22+3d人．抽取出來的所有學生的測試成績統(tǒng)計結(jié)果的頻率分布條形圖如圖所示，其中120~130（包括120分但不包括130分）的頻率為0.05，此分數(shù)段的人數(shù)為5人.(1)問各班被抽取的學生人數(shù)各為多少人？(2)在抽取的所有學生中，任取一名學生，求分數(shù)不小于90分的概率．【變式8-2】（2023·全國·高三專題練習）某射擊隊統(tǒng)計了甲?乙兩名運動員在平日訓練中擊中10環(huán)的次數(shù)，如下表：射擊次數(shù)102050100200500甲擊中10環(huán)的次數(shù)9174492179450甲擊中10環(huán)的頻率乙擊中10環(huán)的次數(shù)8194493177453乙擊中10環(huán)的頻率(1)分別計算出甲?乙兩名運動員擊中10環(huán)的頻率，補全表格；(2)根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)估計兩名運動員擊中10環(huán)的概率.【變式8-3】某高中高一500名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：20,30，30,40，…，80,90，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示．(1)從總體的500名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于60的概率；(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間40,50內(nèi)的人數(shù)；(3)估計隨機抽取的100名學生分數(shù)的眾數(shù)，估計測評成績的75%分位數(shù)；(4)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．【題型9游戲公平性的判斷】【方法點撥】無論是怎樣的游戲，游戲公平與否就是看參與游戲的每個個體獲勝的概率是否相同，相同則公平，不相同則不公平.【例9】一天，甲拿出一個裝有三張卡片的盒子（一張卡片的兩面都是綠色，一張卡片的兩面都是藍色，還有一張卡片一面是綠色，另一面是藍色），跟乙說玩一個游戲，規(guī)則是：甲將盒子里的卡片順序打亂后，由乙隨機抽出一張卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的顏色決定勝負，如果朝下的面的顏色與朝上的面的顏色一致，則甲贏，否則甲輸.乙對游戲的公平性提出了質(zhì)疑，但是甲說：“當然公平！你看，如果朝上的面的顏色為綠色，則這張卡片不可能兩面都是藍色，因此朝下的面要么是綠色，要么是藍色，因此，你贏的概率為12，我贏的概率也是1【變式9-1】已知n是一個三位正整數(shù)，若n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如135，256，345等）現(xiàn)要從甲乙兩名同學中，選出一個參加某市組織的數(shù)學競賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5，6組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只抽取1次，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，則甲參加數(shù)學競賽；否則，乙參加數(shù)學競賽.（1）由1，2，3，4，5，6可組成多少“三位遞增數(shù)”？并一一列舉出來.（2）這種選取規(guī)則對甲乙兩名學生公平嗎？并說明理由.【變式9-2】一個游戲包含兩個隨機事件A和B，規(guī)定事件A發(fā)生則甲獲勝，事件B發(fā)生則乙獲勝.判斷游戲是否公平的標準是事件A和B發(fā)生的概率是否相等.在游戲過程中甲發(fā)現(xiàn)：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700次.據(jù)此，甲認為游戲不公平，但乙認為游戲是公平的.你更支持誰的結(jié)論？為什么？【變式9-3】下面的三個游戲都是在袋子中裝球，然后從袋子中不放同地取球，分別計算三個游戲中甲獲勝的概率，你認為哪個游戲是公平的？游戲1游戲2游戲3袋子中球的數(shù)量和顏色1個紅球和1個白球2個紅球和2個白球3個紅球和1個白球取球規(guī)則取1個球依次取出2個球依次取出2個球獲勝規(guī)則取到紅球→甲勝兩個球同色→甲勝兩個球同色→甲勝取到白球→乙勝兩個球不同色→乙勝兩個球不同色→乙勝【題型10概率模擬問題】【方法點撥】求解概率模擬問題的注意點(1)選擇適當?shù)奶娲?，因為替代物的選取是否合理決定了試驗結(jié)果的可信度，因此在用替代物模擬試驗中，要求必須在相同條件下進行.(2)用計算機(器)模擬試驗時對隨機數(shù)范圍的確定.例如，有20張大小相同的卡片，分別寫有1~20的數(shù)，從中隨機抽取一張，求結(jié)果是5的倍數(shù)的概率，在這種情況下，隨機數(shù)的范圍應是1~20內(nèi)的整數(shù).【例10】在一個實驗中，某種豚鼠被感染A病毒的概率均為40%，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計三只豚鼠中被感染的概率：先由計算機產(chǎn)生出[0，9]之間整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：192

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