2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與頭發(fā)模擬數(shù)學(xué)技術(shù)試卷一、選擇題（每題5分，共60分）在頭發(fā)模擬的粒子系統(tǒng)中，若每根發(fā)絲被抽象為沿曲線運(yùn)動的質(zhì)點，其軌跡方程滿足(\vec{r}(t)=(t^2,\sint,e^{-t}))，則(t=0)時的速度向量為（）A.(0,0,0)B.(0,1,-1)C.(2,1,-1)D.(0,1,1)某3D建模軟件使用B樣條函數(shù)描述單根頭發(fā)的幾何形狀，已知三次B樣條曲線的控制頂點為(P_0(0,0))、(P_1(1,2))、(P_2(3,3))、(P_3(4,0))，則參數(shù)(u=0.5)處的曲線點坐標(biāo)為（）A.(2.0,1.875)B.(2.5,2.25)C.(1.5,1.5)D.(3.0,2.0)在頭發(fā)碰撞檢測算法中，子空間粒子密度(\rho)與阻尼系數(shù)(d)的關(guān)系滿足(d=k\cdot\rho^2)（(k)為常數(shù)）。若某區(qū)域粒子密度從(20,\text{個/mm}^3)增加到(40,\text{個/mm}^3)，則阻尼系數(shù)變?yōu)樵瓉淼模ǎ〢.2倍B.4倍C.8倍D.16倍高斯分布在頭發(fā)建模中用于描述發(fā)絲的空間分布，已知某發(fā)絲簇的位置分布服從三維高斯分布(N(\mu,\Sigma))，其中(\mu=(0,0,0))，協(xié)方差矩陣(\Sigma=\text{diag}(1,4,9))，則該簇發(fā)絲在(z)軸方向的離散程度是(x)軸方向的（）A.3倍B.6倍C.9倍D.無法確定頭發(fā)運(yùn)動方程中，單根發(fā)絲的彎曲剛度系數(shù)(E)與彈性牽引系數(shù)(k)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(k=\frac{EI}{L^3})（(I)為截面慣性矩，(L)為發(fā)絲長度）。若某發(fā)絲長度增加一倍，其他參數(shù)不變，則彈性牽引系數(shù)變?yōu)樵瓉淼模ǎ〢.(\frac{1}{2})B.(\frac{1}{4})C.(\frac{1}{8})D.(\frac{1}{16})在DynamicGrooming插件中，形狀鍵動畫通過控制頭發(fā)粒子的位移實現(xiàn)動態(tài)效果。若某粒子的位移函數(shù)為(s(t)=3\sin(2t)+4\cos(2t))，則其運(yùn)動的最大速度為（）A.5B.10C.12D.13StrandDesigner系統(tǒng)采用多尺度放大策略生成頭發(fā)，已知初始引導(dǎo)發(fā)絲為800根，每次放大階段發(fā)絲數(shù)量按等比數(shù)列增長，經(jīng)過2次放大后達(dá)到12000根，則該等比數(shù)列的公比為（）A.(\sqrt{15})B.(\sqrt{10})C.3.87D.15頭發(fā)渲染中的光照模型需計算漫反射分量(I_d=k_d\cdotI\cdot\cos\theta)（(k_d)為漫反射系數(shù)，(I)為入射光強(qiáng)，(\theta)為入射角）。若光線與發(fā)絲表面法線夾角從(30^\circ)增大到(60^\circ)，則漫反射分量變?yōu)樵瓉淼模ǎ〢.(\frac{1}{2})B.(\frac{\sqrt{3}}{3})C.(\sqrt{3})D.2倍某虛擬人物頭發(fā)含(10^5)根發(fā)絲，每根發(fā)絲用10個質(zhì)點模擬，若每幀需計算質(zhì)點間的碰撞forces，且相鄰幀計算量按指數(shù)規(guī)律增長，已知第1幀計算量為(10^6)次運(yùn)算，則第5幀的運(yùn)算量為（）A.(10^6\timese^4)B.(10^6\times2^4)C.(10^6\times5^4)D.無法確定在參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用中，頭發(fā)卷曲軌跡可表示為(\rho=2+\cos\theta)（極坐標(biāo)），其在直角坐標(biāo)系下的對稱軸方程為（）A.(x=1)B.(x=2)C.(y=1)D.(y=2)頭發(fā)密度場的梯度計算中，若密度函數(shù)(\rho(x,y,z)=x^2y+yz^2)，則在點(1,1,1)處的梯度向量為（）A.(2,2,2)B.(2,3,2)C.(1,2,1)D.(2,1,2)基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的頭發(fā)重建中，輸入圖像分辨率為(256\times256)，經(jīng)卷積層后特征圖尺寸變?yōu)?64\times64)，則該卷積層的步長（stride）可能為（）A.2B.4C.8D.16二、填空題（每題5分，共30分）單根頭發(fā)的B樣條曲線方程為(\vec{r}(u)=\sum_{i=0}^3B_{i,3}(u)P_i)，其中(B_{i,3}(u))為三次B樣條基函數(shù)。當(dāng)參數(shù)(u=0)時，曲線點坐標(biāo)為__________。頭發(fā)碰撞監(jiān)測中，子空間粒子密度(\rho=\frac{N}{V})（(N)為粒子數(shù)，(V)為子空間體積）。若某立方體子空間邊長為2mm，內(nèi)含16個粒子，則其密度為__________(\text{個/mm}^3)。3D高斯模型中，發(fā)絲方向的概率密度函數(shù)為(f(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(\theta-\mu)^2}{2\sigma^2}})。若(\mu=0)，(\sigma=\frac{\pi}{6})，則方向角(\theta\in[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}])的概率約為__________（保留兩位小數(shù)）。頭發(fā)運(yùn)動的阻尼力公式為(F_d=-d\cdotv)（(v)為速度），若某發(fā)絲質(zhì)點的速度向量為((3,4),\text{m/s})，阻尼系數(shù)(d=0.5,\text{N·s/m})，則阻尼力的大小為__________N。GaussianHaircut技術(shù)從單目視頻重建頭發(fā)時，若視頻幀率為30fps，重建一幀需2分鐘，則處理10秒視頻的數(shù)據(jù)量為__________幀。多尺度頭發(fā)生成中，從800根引導(dǎo)發(fā)絲到12000根完整發(fā)絲，若每次放大的發(fā)絲增長率為(r)，則滿足方程(800\timesr^2=12000)，其解為(r=)__________（保留一位小數(shù)）。三、解答題（共60分）（12分）某虛擬角色的直發(fā)發(fā)型采用粒子系統(tǒng)模擬，每根發(fā)絲視為長度為(L=0.1,\text{m})的剛體鏈，由5個質(zhì)點串聯(lián)而成（相鄰質(zhì)點間距相等）。已知質(zhì)點質(zhì)量(m=1\times10^{-5},\text{kg})，彈性牽引系數(shù)(k=10,\text{N/m})，重力加速度(g=10,\text{m/s}^2)。（1）建立質(zhì)點在豎直方向的平衡方程，求最下端質(zhì)點的位移；（2）若發(fā)絲受到水平風(fēng)力(F=5\times10^{-4},\text{N})，求質(zhì)點的水平偏移量（忽略阻尼）。（12分）頭發(fā)渲染中的光照模型需計算高光分量(I_s=k_s\cdotI\cdot(\vec{n}\cdot\vec{h})^p)，其中(\vec{n})為法線向量，(\vec{h})為半程向量，(p)為高光指數(shù)。已知某發(fā)絲表面法線(\vec{n}=(0,\cos\theta,\sin\theta))，光線方向(\vec{l}=(0,0,1))，視線方向(\vec{v}=(0,1,0))。（1）求半程向量(\vec{h})；（2）當(dāng)(\theta=30^\circ)，(p=10)時，計算((\vec{n}\cdot\vec{h})^p)的值（結(jié)果保留整數(shù)）。（14分）DynamicGrooming插件的形狀鍵動畫中，某頭發(fā)簇的位移函數(shù)為(s(t)=A\sin(\omegat+\phi))，已知動畫周期(T=0.5,\text{s})，振幅(A=0.02,\text{m})，初始相位(\phi=\frac{\pi}{3})。（1）求位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(v(t))（速度）；（2）計算(t=0.1,\text{s})時的加速度大?。唬?）若該動畫需適配60fps的渲染幀率，求相鄰關(guān)鍵幀的時間間隔。（10分）在極坐標(biāo)與參數(shù)方程的應(yīng)用中，卷發(fā)的平面軌跡可表示為(\begin{cases}x=t\cost\y=t\sint\end{cases})（(t\geq0)）。（1）求(t=\pi)時的切線方程；（2）計算(t\in[0,2\pi])時曲線的長度（結(jié)果保留一位小數(shù)）。（12分）復(fù)旦大學(xué)StrandDesigner系統(tǒng)的多尺度生成算法中，頭發(fā)生成分為三個階段：引導(dǎo)發(fā)絲（800根）→中等密度（3000根）→完整發(fā)型（12000根）。（1）分別計算相鄰階段的發(fā)絲增長率(r_1)（引導(dǎo)→中等）和(r_2)（中等→完整）；（2）若采用等比數(shù)列增長模型，求從引導(dǎo)發(fā)絲到完整