2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與未來預(yù)測模型試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.集合與函數(shù)基礎(chǔ)設(shè)集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，集合(B={x|\ln(x-1)<0})，則(A\capB=)（）A.([1,2])B.((1,2))C.([1,2))D.((1,2])2.向量與幾何應(yīng)用在平面直角坐標系中，向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-1))，若(\vec{a})與(\vec)的夾角為銳角，則實數(shù)(m)的取值范圍是（）A.(m<2)B.(m>2)C.(m<2)且(m\neq-2)D.(m>2)且(m\neq2)3.概率統(tǒng)計初步某學(xué)校為預(yù)測高三學(xué)生高考數(shù)學(xué)成績，收集了100名學(xué)生的模擬考試成績（單位：分），經(jīng)統(tǒng)計得到成績服從正態(tài)分布(N(105,\sigma^2))，若(P(90<X\leq105)=0.3)，則(P(X>120)=)（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.44.三角函數(shù)模型某港口的水深(y)（米）與時間(t)（小時，(0\leqt\leq24)）的關(guān)系可近似用函數(shù)(y=3\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)+10)表示，則一天中港口水深不低于12米的時長為（）A.4小時B.6小時C.8小時D.10小時5.數(shù)列與遞推關(guān)系已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，則其前5項和(S_5=)（）A.31B.32C.63D.646.立體幾何體積計算在棱長為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，三棱錐(A-B_1CD_1)的體積為（）A.(\frac{4}{3})B.(\frac{8}{3})C.4D.(\frac{16}{3})7.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.((-\infty,0))B.((0,2))C.((2,+\infty))D.((-\infty,0)\cup(2,+\infty))8.預(yù)測模型基礎(chǔ)某城市2019-2024年的人口數(shù)量（單位：萬人）分別為(120,125,132,140,148,155)，若用線性回歸模型預(yù)測2025年人口數(shù)量，設(shè)年份代碼(t=1)（2019年），則預(yù)測值為（）A.162萬人B.164萬人C.166萬人D.168萬人二、多選題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）9.解析幾何綜合已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，右焦點為(F(2\sqrt{3},0))，則下列說法正確的有（）A.橢圓(C)的標準方程為(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1)B.過點(F)的直線與橢圓交于(A,B)兩點，則(\triangleAOB)面積的最大值為4C.橢圓上存在點(P)，使得(\angleF_1PF_2=90^\circ)（(F_1)為左焦點）D.橢圓的離心率越大，橢圓越扁10.數(shù)學(xué)建模與預(yù)測某電商平臺根據(jù)用戶歷史消費數(shù)據(jù)建立線性回歸模型預(yù)測月消費額(y)（元），自變量包括“日均在線時長(x_1)”（小時）和“歷史消費次數(shù)(x_2)”（次），回歸方程為(\hat{y}=50x_1+30x_2+100)。下列說法正確的有（）A.若日均在線時長增加1小時，月消費額預(yù)計增加50元B.若歷史消費次數(shù)增加1次，月消費額預(yù)計增加30元C.模型中(x_1)和(x_2)的系數(shù)均為正數(shù)，說明兩者與消費額正相關(guān)D.該模型可用于預(yù)測所有用戶的消費額，無需考慮數(shù)據(jù)異常值三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.復(fù)數(shù)運算已知復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)________。12.數(shù)列求和若數(shù)列({a_n})的前(n)項和(S_n=n^2-2n+1)，則(a_5+a_6=)________。13.立體幾何表面積已知圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為(15\pi)，則該圓錐的母線長為________。14.預(yù)測模型誤差分析某氣象站用線性回歸模型預(yù)測日最高氣溫，收集了10天的實際氣溫與預(yù)測氣溫數(shù)據(jù)（單位：℃）：|實際氣溫|20|22|24|26|28|30|32|34|36|38||----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----||預(yù)測氣溫|19|23|25|25|29|31|31|35|37|39|則該模型的平均絕對誤差為________℃。四、解答題（本大題共6小題，共80分）15.三角函數(shù)與解三角形（12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)的對邊分別為(a,b,c)，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(\cosB=\frac{5}{13})，(b=3)。（1）求(\sinC)的值；（2）求(\triangleABC)的面積。16.數(shù)列與遞推應(yīng)用（13分）某企業(yè)2025年第一季度產(chǎn)值為100萬元，計劃通過技術(shù)升級使后續(xù)每個季度的產(chǎn)值比上一季度增長(x%)，建立數(shù)列({a_n})表示第(n)季度的產(chǎn)值（(n=1,2,3,\cdots)）。（1）寫出數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）若2025年四個季度的總產(chǎn)值為450萬元，求(x)的值（精確到0.1%）；（3）若增長率(x=10%)，預(yù)測2026年第一季度的產(chǎn)值。17.立體幾何與空間向量（13分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)中點。（1）求證：(A_1D\perp)平面(B_1C_1D)；（2）求二面角(A_1-B_1D-C_1)的余弦值。18.概率統(tǒng)計與預(yù)測模型（14分）某中學(xué)為研究學(xué)生每周運動時間(t)（小時）與數(shù)學(xué)成績(y)（分）的關(guān)系，隨機抽取50名學(xué)生進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：|運動時間(t)|[0,3)|[3,6)|[6,9)|[9,12]||---------------|-------|-------|-------|--------||人數(shù)|10|20|15|5||平均成績(y)|70|75|85|90|（1）繪制散點圖（無需作答），判斷(t)與(y)是否線性相關(guān)；（2）求(y)關(guān)于(t)的線性回歸方程(\hat{y}=\hatt+\hat{a})（精確到0.01）；（3）若某學(xué)生每周運動時間為8小時，預(yù)測其數(shù)學(xué)成績。（參考公式：(\hat=\frac{\sum_{i=1}^n(t_i-\bar{t})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(t_i-\bar{t})^2})，(\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{t})）19.解析幾何與動態(tài)問題（14分）已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點為(F)，過點(F)的直線(l)與拋物線交于(A,B)兩點（(A)在第一象限）。（1）若直線(l)的斜率為1，求(|AB|)；（2）設(shè)點(M)為線段(AB)的中點，過點(M)作(y)軸的垂線交拋物線于點(N)，證明：拋物線在點(N)處的切線與直線(AB)平行。20.函數(shù)導(dǎo)數(shù)與預(yù)測模型綜合（14分）某公司研發(fā)新產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)研建立成本函數(shù)(C(x)=2x^2+5x+100)（萬元）和收入函數(shù)(R(x)=-x^3+12x^2+20x)（萬元），其中(x)為產(chǎn)量（千件）。（1）求利潤函數(shù)(L(x)=R(x)-C(x))的解析式；（2）求產(chǎn)量(x)為何值時，利潤最大，并求出最大利潤；（3）若根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，產(chǎn)量(x)與時間(t)（月）的關(guān)系為(x(t)=t+1)（(t\geq0)），預(yù)測第6個月的利潤。五、附加題（本大題共2小題，共20分，不計入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）21.數(shù)學(xué)建模與非線性預(yù)測某地區(qū)近5年的新能源汽車保有量(y)（萬輛）數(shù)據(jù)如下：|年份|2020|2021|2022|2023|2024||------|------|------|------|------|------||保有量|5|8|13|20|29|（1）若用指數(shù)模型(y=ab^t)（(t=0)對應(yīng)2020年）擬合數(shù)據(jù)，求(a,b)的值（精確到0.1）；（2）用（1）中的模型預(yù)測2025年的保有量，并與線性回歸模型的預(yù)測結(jié)果比較誤差（線性回歸方程參考(\hat{y}=6t+4)）。22.未來預(yù)測模型探索隨著人