2025年下學(xué)期高中虛擬現(xiàn)實(shí)教育數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共12題，每題5分）在虛擬坐標(biāo)系中，將函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2x)的圖像繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，其導(dǎo)數(shù)圖像與原函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3學(xué)生在VR空間向量實(shí)驗(yàn)室中，對棱長為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)進(jìn)行操作：沿體對角線(AC_1)方向平移虛擬正方體，使其頂點(diǎn)(A)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合。若向量(\overrightarrow{A_1E})在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為((1,-1,2))，則點(diǎn)(E)的原坐標(biāo)是（）A.(3,1,0)B.(1,3,4)C.(-1,1,2)D.(2,2,2)在概率統(tǒng)計(jì)虛擬實(shí)驗(yàn)中，通過擲虛擬骰子模擬獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：連續(xù)擲10次質(zhì)地均勻的正六面體骰子，設(shè)事件(A)為“至少出現(xiàn)2次6點(diǎn)”，事件(B)為“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)次數(shù)不超過3次”。利用VR環(huán)境實(shí)時(shí)生成的頻率分布直方圖，計(jì)算(P(A\cupB))的近似值為（）A.0.38B.0.52C.0.67D.0.81虛擬幾何體切割實(shí)驗(yàn)中，用一個(gè)平面截半徑為5的球，得到的截面圓半徑為3。若將該截面繞球的直徑旋轉(zhuǎn)一周，在VR空間中形成的旋轉(zhuǎn)體體積是（）A.(36\pi)B.(72\pi)C.(144\pi)D.(288\pi)在動態(tài)函數(shù)實(shí)驗(yàn)室中，學(xué)生調(diào)節(jié)參數(shù)(k)觀察VR界面中曲線(y=\lnx-kx)的變化。當(dāng)函數(shù)存在兩個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，(k)的取值范圍在虛擬數(shù)軸上的表示正確的是（）A.((0,\frac{1}{e}))B.((\frac{1}{e},+\infty))C.((-\infty,0)\cup(\frac{1}{e},+\infty))D.((-\frac{1}{e},0))二、填空題（共4題，每題5分）6.在VR解析幾何實(shí)驗(yàn)室中，雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的虛擬模型滿足：過右焦點(diǎn)(F)且斜率為(\sqrt{3})的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)(P)，若(\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{FP})（(O)為原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率在虛擬儀表盤上顯示為______。虛擬傅里葉級數(shù)模擬器中，函數(shù)(f(x)=x^2)（(x\in[-\pi,\pi])）展開為余弦級數(shù)(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cosnx)。當(dāng)學(xué)生在VR界面中將展開項(xiàng)數(shù)調(diào)節(jié)至第5項(xiàng)時(shí)，在(x=\frac{\pi}{2})處的近似值與精確值的誤差為______（保留3位小數(shù)）。在空間向量虛擬實(shí)驗(yàn)中，已知非零向量(\vec{a},\vec,\vec{c})滿足(|\vec{a}|=2,|\vec|=3,|\vec{c}|=4)，且(\vec{a}\perp\vec,(\vec{a},\vec{c})=60^\circ,(\vec,\vec{c})=120^\circ)。學(xué)生通過手勢操作將向量(\vec{c})分解為(\vec{c}=\lambda\vec{a}+\mu\vec+\veclhhrftd)（其中(\veclpdbzdb\perp\vec{a},\vecjbpxldz\perp\vec)），則(\lambda+\mu=)______。虛擬概率樹狀圖生成器中，某通信系統(tǒng)采用三重冗余編碼：發(fā)送端每次發(fā)送3個(gè)相同信號，接收端收到后按“少數(shù)服從多數(shù)”原則解碼。若單個(gè)信號傳輸正確率為(p)，當(dāng)學(xué)生在VR控制面板中將(p)調(diào)節(jié)為______時(shí)，系統(tǒng)解碼正確率首次超過99%。三、解答題（共6題，共70分）10.（12分）在VR立體幾何實(shí)驗(yàn)室中，直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)的底面(ABC)為等腰直角三角形，(AB=AC=2)，側(cè)棱長(AA_1=3)。（1）利用虛擬切割工具過點(diǎn)(A_1)作與平面(BCC_1B_1)平行的截面，在VR坐標(biāo)系中寫出截面與三棱柱表面交線的方程；（2）學(xué)生在虛擬環(huán)境中旋轉(zhuǎn)該三棱柱，當(dāng)(BC_1)與平面(ABB_1A_1)所成角的正切值為(\frac{\sqrt{2}}{4})時(shí)，求旋轉(zhuǎn)軸（中軸線(OO_1)）旋轉(zhuǎn)的角度。（12分）動態(tài)函數(shù)VR實(shí)驗(yàn)室中，已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax^2-bx-1)（(a,b\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=0,b=1)時(shí)，學(xué)生通過手勢縮放虛擬坐標(biāo)系，觀察函數(shù)圖像在點(diǎn)((0,f(0)))處的切線與函數(shù)圖像的另一交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若函數(shù)(f(x))在VR界面中顯示有兩個(gè)極值點(diǎn)(x_1,x_2)（(x_1<x_2)），且滿足(x_2-x_1<\ln2)，求(2a+b)的取值范圍。（12分）虛擬解析幾何實(shí)驗(yàn)室中，橢圓(C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1)的左、右頂點(diǎn)分別為(A,B)，過右焦點(diǎn)(F)的直線(l)與橢圓交于(M,N)兩點(diǎn)（(M)在(x)軸上方）。（1）學(xué)生在VR界面中拖動點(diǎn)(M)，當(dāng)(\triangleAMN)的面積為(\frac{12\sqrt{2}}{7})時(shí)，求直線(l)的方程；（2）若在虛擬坐標(biāo)系中存在點(diǎn)(P(4,t))（(t>0)），使得直線(PM,PN)的斜率之積為(-\frac{1}{4})，求(t)在虛擬儀表盤上的顯示值。（12分）在概率虛擬仿真實(shí)驗(yàn)中，某工廠的VR質(zhì)量檢測系統(tǒng)顯示：產(chǎn)品分為正品（概率0.7）、次品（概率0.2）、廢品（概率0.1）。（1）連續(xù)檢測10件產(chǎn)品，利用VR生成的二項(xiàng)分布模型，求至少有2件廢品且次品不多于1件的概率；（2）若正品獲利100元，次品修復(fù)后獲利20元，廢品虧損50元。學(xué)生在虛擬控制臺調(diào)節(jié)檢測樣本量(n)，當(dāng)期望利潤達(dá)到5000元時(shí)，求(n)的最小值。（10分）虛擬微分方程模擬器中，學(xué)生探究二階線性微分方程(y''-2y'+y=e^x)的解。（1）在VR界面中輸入初始條件(y(0)=1,y'(0)=2)，生成特解的圖像；（2）觀察當(dāng)(x\to+\infty)時(shí)解函數(shù)的漸近行為，解釋該現(xiàn)象與方程特征根的關(guān)系。（12分）在VR數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)室中，某虛擬城市的供水系統(tǒng)模型滿足：水塔水位(h(t))（單位：米）隨時(shí)間(t)（單位：小時(shí)）的變化遵循規(guī)律(h(t)=10+3\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)-2\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right))（(t\geq0)）。（1）學(xué)生在虛擬時(shí)間軸上拖動指針，找到一天內(nèi)水位首次低于8米的時(shí)刻；（2）若水泵在水位低于9米時(shí)自動啟動，計(jì)算24小時(shí)內(nèi)水泵的運(yùn)行總時(shí)長（精確到0.1小時(shí)）。四、VR操作題（共20分）16.虛擬空間幾何實(shí)驗(yàn)：（1）在VR環(huán)境中構(gòu)建底面邊長為4、高為6的正四棱錐模型，利用“截面工具”作一個(gè)與底面成45°二面角的截面，截圖保存截面多邊形并計(jì)算其面積；（2）通過“動態(tài)縮放”功能將棱錐體積變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{8})，記錄此時(shí)底面邊長和高的變化參數(shù)；（3）使用“空間測量儀”驗(yàn)證該棱錐的內(nèi)切球半徑是否滿足(r=\frac{3V}{S_{全}})（(V)為體積，(S_{全})為表面積）。概率模擬實(shí)驗(yàn)：（1）在VR拋硬幣模擬器中設(shè)置“不均勻硬幣”參數(shù)：正面朝上概率(p=0.4)，連續(xù)拋擲1000次，導(dǎo)出頻率分布表；（2）利用虛擬統(tǒng)計(jì)軟件繪制二項(xiàng)分布(B(1000,0.4))的正態(tài)近似曲線，計(jì)算模擬結(jié)果與理論分布的均方誤差；（3）解釋當(dāng)拋擲次數(shù)增加到10000次時(shí)，誤差變化的趨勢及其統(tǒng)計(jì)學(xué)原理。試卷設(shè)計(jì)說明本試卷基于2025年虛擬現(xiàn)實(shí)教育技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)命制，融合以下創(chuàng)新特點(diǎn)：沉浸式情境：所有題目依托VR教學(xué)場景設(shè)計(jì)，如動態(tài)函數(shù)實(shí)驗(yàn)室、空間向量模擬器等，體現(xiàn)“做中學(xué)”理念；交互性操作：解答題需結(jié)合虛擬工具操作（如截面繪制、參數(shù)調(diào)節(jié)），考察實(shí)踐能力；跨學(xué)科融合：如數(shù)學(xué)建模題融入物理運(yùn)動規(guī)律，概率題結(jié)合計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)；分層評價(jià)：基礎(chǔ)題（1-8題）考察知識掌握，解答題（10-15題）強(qiáng)調(diào)綜合應(yīng)用，VR操作題（16-17題）評估技術(shù)素養(yǎng)?？忌柙谂鋫銿R頭顯的特殊考場完成，考試系統(tǒng)自動記錄操作過程并生成過程性評價(jià)報(bào)告。（注：實(shí)際考試中，VR操作題需通過專用教學(xué)系統(tǒng)提交截圖、數(shù)據(jù)文件及文字說明，本試卷僅呈現(xiàn)題干要求。）命題依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》必修與選擇性必修內(nèi)容《虛擬現(xiàn)實(shí)教育應(yīng)用指南（2025版）》數(shù)學(xué)學(xué)科實(shí)施標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向：注重直觀想象（如空間幾何體操作）、數(shù)學(xué)建模（如水位變化模型）、數(shù)據(jù)分析（如概率模擬實(shí)驗(yàn)）等素養(yǎng)的考察技術(shù)支持本試卷需在“元宇宙教育平臺”V3.2版本運(yùn)行，支持手勢識別