2026屆山東省青島育才中學(xué)九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．在平面直角坐標中，把△ABC以原點O為位似中心放大，得到△A'B'C'，若點A和它對應(yīng)點A'的坐標分別為(2，5)，(-6，-15)，則△A'B'C'與△ABC的相似比為()A．-3 B．3 C． D．2．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，則在下列五個條件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能滿足△ADE∽△ACB的條件有()A．1個 B．2 C．3個 D．4個3．順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形4．如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∠CAB=20°，則∠BOD等于（）A．20° B．30° C．40° D．60°5．如圖，已知，，，的長為（）A．4 B．6 C．8 D．106．如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在射線BC上，且PE=PB．設(shè)AP=x，△PBE的面積為y．則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．7．如圖，某停車場人口的欄桿，從水平位置AB繞點O旋轉(zhuǎn)到A'B′的位置已知AO＝4m，若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝50°時，欄桿A端升高的高度是（）A． B．4sin50° C． D．4cos50°8．書架上放著三本古典名著和兩本外國小說，小明從中隨機抽取兩本，兩本都是古典名著的概率是（）A． B． C． D．9．如圖所示的幾何體為圓臺，其俯視圖正確的是A． B． C． D．10．已知點在拋物線上，則點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點坐標為（）A． B． C． D．11．拋物線與y軸的交點為（）A． B． C． D．12．在中，，點，分別是邊，的中點，點在內(nèi)，連接，，．以下圖形符合上述描述的是（）A． B．C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．若拋物線經(jīng)過（3，0)，對稱軸經(jīng)過（1，0)，則_______．14．如圖，三個小正方形的邊長都為1，則圖中陰影部分面積的和是(結(jié)果保留π).15．如圖，為的直徑，則_______________________．16．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，點A、B為切點，點C在⊙O上，且∠ACB＝55°，則∠APB=___°．17．某校數(shù)學(xué)興趣小組為測量學(xué)校旗桿AC的高度，在點F處豎立一根長為1．5米的標桿DF，如圖所示，量出DF的影子EF的長度為1米，再量出旗桿AC的影子BC的長度為6米，那么旗桿AC的高度為_______米．18．兩個函數(shù)和（abc≠0）的圖象如圖所示，請直接寫出關(guān)于x的不等式的解集_______________．三、解答題（共78分）19．（8分）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點A（-3，0），與y軸交于點B（0，4），在第一象限內(nèi)有一點P（m,n)，且滿足4m+3n=12.（1）求二次函數(shù)解析式.（2）若以點P為圓心的圓與直線AB、x軸相切，求點P的坐標.（3）若點A關(guān)于y軸的對稱點為點A′，點C在對稱軸上，且2∠CBA+∠PA′O=90?.求點C的坐標.20．（8分）LED顯示屏（LEDdisplay）是一種平板顯示器，可以顯示計算機生成的動態(tài)圖文畫面.如圖1是屏幕顯示的一個正三角形網(wǎng)格的示意圖，其中每個小正三角形的邊長均為l.位于中點處的輸入光點按圖2的程序移動.（1）請在圖1中畫出光點經(jīng)過的路徑：（2）求光點經(jīng)過的路徑總長.21．（8分）總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動，利用節(jié)假日面向社會開放學(xué)校圖書館．據(jù)統(tǒng)計，第一個月進館人次，進館人次逐月增加，到第三個月末累計進館人次，若進館人次的月平均增長率相同．（1）求進館人次的月平均增長率；（2）因條件限制，學(xué)校圖書館每月接納能力不超過人次，在進館人次的月平均增長率不變的條件下，校圖書館能否接納第四個月的進館人次，并說明理由．22．（10分）如圖，與關(guān)于O點中心對稱，點E、F在線段AC上，且AF=CE．求證：FD=BE．23．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，＝，對角線AC與BD交于點O，AC＝10，∠ABD＝∠ACB，點E在CB延長線上，且AE＝AC．（1）求證：△AEB∽△BCO；（2）當AE∥BD時，求AO的長．24．（10分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA與⊙O相切于A點，點C是⊙O上的一點，且PC=PA．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若∠BAC=45°，AB=4，求PC的長．25．（12分）一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：如圖1，是的直徑，點在上，，垂足為，，分別交、于點、.求證：.圖1圖2（1）本題證明的思路可用下列框圖表示：根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程.（2）如圖2，若點和點在的兩側(cè)，、的延長線交于點，的延長線交于點，其余條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；（3）在（2）的條件下，若，，求的長.26．某市2017年對市區(qū)綠化工程投入的資金是5000萬元，為爭創(chuàng)全國文明衛(wèi)生城，加大對綠化工程的投入，2019年投入的資金是7200萬元，且從2017年到2019年，兩年間每年投入資金的年平均增長率相同.（1）求該市對市區(qū)綠化工程投入資金的年平均增長率；（2）若投入資金的年平均增長率不變，那么該市在2020年預(yù)計需投入多少萬元？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)和坐標與圖形的性質(zhì)，進行解答即可．【詳解】解：∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于原點位似，且點A和它的對應(yīng)點A′的坐標分別為（2，5），（-6，-15），∴對應(yīng)點乘以-1，則△A′B′C′與△ABC的相似比為：1．故選：B.本題考查的是位似變換，熟知在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或-k是解答此題的關(guān)鍵．2、D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理判斷即可．【詳解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，則可判斷△ADE∽△ACB；②DE∥BC，則有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，則可判斷△ADE∽△ACB；③＝，∠A=∠A，則可判斷△ADE∽△ACB；④AD·BC＝DE·AC，可化為，此時不確定∠ADE=∠ACB，故不能確定△ADE∽△ACB；⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，則可判斷△ADE∽△ACB；所以能滿足△ADE∽△ACB的條件是：①②③⑤，共4個，故選：D．此題考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握相似三角形的三種判定定理．3、C【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，得新四邊形各邊都等于原四邊形的對角線的一半，進而可得連接對角線相等的四邊形各邊中點得到的四邊形是菱形．【詳解】解：如圖，矩形中，分別為四邊的中點，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形．故選C．本題主要考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定，以及三角形中位線定理，關(guān)鍵是掌握三角形的中位線定理及菱形的判定．4、C【解析】試題分析：由線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，根據(jù)垂徑定理的即可求得：，然后由圓周角定理可得∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．故選C．考點：圓周角定理；垂徑定理．5、D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得到，即，可計算出.【詳解】解：，即，解得.故選D本題主要考查平行線段分線段成比例定理，熟練掌握并靈活運用定理是解題的關(guān)系.6、D【詳解】解：過點P作PF⊥BC于F，∵PE=PB，∴BF=EF，∵正方形ABCD的邊長是1，∴AC=，∵AP=x，∴PC=-x，∴PF=FC=，∴BF=FE=1-FC=，∴S△PBE=BE?PF=，即（0＜x＜），故選D．本題考查動點問題的函數(shù)圖象．7、B【分析】過點A'作AO的垂線,則垂線段為高度h,可知AO=A'O,則高度h=A'O×sin50°，即為答案B.【詳解】解：欄桿A端升高的高度＝AO?sin∠AOA′＝4×sin50°，故選：B．本題的考點是特殊三角形的三角函數(shù).方法是熟記特殊三角形的三角函數(shù).8、C【分析】畫樹狀圖（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示兩本外國小說）展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，找出從中隨機抽取2本都是古典名著的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖為：（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示兩本外國小說），共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中從中隨機抽取2本都是古典名著的結(jié)果數(shù)為6，所以從中隨機抽取2本都是古典名著的概率=．故選：C．本題考查了樹狀圖法或列表法求概率，解題的關(guān)鍵是正確畫出樹狀圖或表格，然后用符合條件的情況數(shù)m除以所有等可能發(fā)生的情況數(shù)n即可,即.9、C【解析】試題分析：俯視圖是從物體上面看，所得到的圖形．從幾何體的上面看所得到的圖形是兩個同心圓.故選C．考點：簡單幾何體的三視圖10、A【分析】先將點A代入拋物線的解析式中整理出一個關(guān)于a,b的等式，然后利用平方的非負性求出a,b的值，進而可求點A的坐標，然后求出拋物線的對稱軸即可得出答案．【詳解】∵點在拋物線上，∴，整理得，，解得，，．拋物線的對稱軸為，∴點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點坐標為．故選：A．本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用、平方的非負性和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11、C【解析】令x=0，則y=3，拋物線與y軸的交點為（0，3）．【詳解】解：令x=0，則y=3，

∴拋物線與y軸的交點為（0，3），

故選：C．本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，會求函數(shù)與坐標軸的交點是解題的關(guān)鍵．12、C【解析】依次在各圖形上查看三點的位置來判斷;或用排除法來排除錯的，選擇正確也可以．【詳解】根據(jù)點在內(nèi)，則A、B都不符合描述,排除A、B；又因為點，分別是邊，的中點，選項D中點D在BC上不符合描述，排除D選項，只有選項C符合描述．故選：C本題考查了根據(jù)數(shù)學(xué)語言描述來判斷圖形.二、填空題（每題4分，共24分）13、1【分析】由題意得，由函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1，根據(jù)點（3，1），求得圖象過另一點（?1，1），代入可得a?b＋c＝1．【詳解】解：由題意得：拋物線對稱軸為直線x＝1，又圖象過點（3，1），∵點（3，1）關(guān)于直線x=1對稱的點為（-1,1），

則圖象也過另一點（?1，1），即x＝?1時，a?b＋c＝1．

故答案為：1．本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系以及二次函數(shù)的對稱行，重點是確定點（3，1）關(guān)于直線x=1對稱的點為（-1,1）．14、【解析】試題分析：將左下陰影部分對稱移到右上角，則陰影部分面積的和為一個900角的扇形面積與一個450角的扇形面積的和：．15、60°【分析】連接AC，根據(jù)圓周角定理求出∠A的度數(shù)，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到∠ACB=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：連接AC，

由圓周角定理得，∠A=∠CDB=30°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CBA=90°-∠A=60°，

故答案為：60°．本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半、直徑所對的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．16、70°【分析】連接OA、OB，根據(jù)圓周角定理求得∠AOB，由切線的性質(zhì)求出∠OAP=∠OBP=90°，再由四邊形的內(nèi)角和等于360°，即可得出答案【詳解】解：連接OA、OB，∠ACB＝55°，∴∠AOB=110°∵PA、PB是⊙O的兩條切線，點A、B為切點，∴∠OAP=∠OBP=90°∵∠APB+∠OAP+∠AOB+∠OBP=360°∴∠APB=180°-(∠OAP+∠AOB+∠OBP)=70°故答案為：70本題考查了切線的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理以及圓周角定理，利用切線性質(zhì)和圓周角定理求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵17、2【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求解．【詳解】解：∵DE∥AB，DF∥AC，

∴△DEF∽△ABC，

∴，

即，

∴AC=6×1.5=2米．

故答案為：2．本題考查了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．18、或；【分析】由題意可知關(guān)于x的不等式的解集實際上就是一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時自變量x的取值范圍，由于反比例函數(shù)的圖象有兩個分支，因此可以分開來考慮．【詳解】解：關(guān)于x的不等式的解集實際上就是一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時自變量x的取值范圍，觀察圖象的交點坐標可得：或.本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及一次函數(shù)、反比例函數(shù)與一次不等式的關(guān)系，理解不等式與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式解決問題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）；（2）P(,)；（3）C(-3,-5)或(-3，)【分析】（1）設(shè)頂點式，將B點代入即可求；（2）根據(jù)4m+3n=12確定點P所在直線的解析式，再根據(jù)內(nèi)切線的性質(zhì)可知P點在∠BAO的角平分線上，求兩線交點坐標即為P點坐標；（3）根據(jù)角之間的關(guān)系確定C在∠DBA的角平分線與對稱軸的交點或∠ABO的角平分線與對稱軸的交點，通過求角平分線的解析式即可求.【詳解】（1）∵拋物線的頂點坐標為A(-3,0),設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+3)2，將B（0，4）代入得，4=9a∴a=∴（2）如圖∵P（m,n)，且滿足4m+3n=12∴∴點P在第一象限的上，∵以點P為圓心的圓與直線AB、x軸相切，∴點P在∠BAO的角平分線上，∠BAO的角平分線：y=，∴，∴x=,∴y=∴P(,)(3)C(-3,-5)或(-3，)理由如下：如圖，A′(3，0),可得直線LA′B的表達式為，∴P點在直線A′B上，∵∠PA′O=∠ABO=∠BAG,2∠CBA+∠PA′O=90°,∴2∠CBA=90°-∠PA′O=∠GAB,在對稱軸上取點D,使∠DBA=∠DAB,作BE⊥AG于G點,設(shè)D點坐標為(-3,t)則有(4-t)2+32=t2t=,∴D(-3,),作∠DBA的角平分線交AG于點C即為所求點，設(shè)為C1∠DBA的角平分線BC1的解析式為y=x+4,∴C1的坐標為(-3,)；同理作∠ABO的角平分線交AG于點C即為所求，設(shè)為C2，∠ABO的角平分線BC2的解析式為y=3x+4,∴C2的坐標為(-3,-5).綜上所述，點C的坐標為(-3,)或(-3,-5).本題考查了二次函數(shù)與圖形的結(jié)合，涉及的知識點角平分線的解析式的確定，切線的性質(zhì)，勾股定理及圖象的交點問題，涉及知識點較多，綜合性較強，根據(jù)條件，結(jié)合圖形找準對應(yīng)知識點是解答此題的關(guān)鍵.20、（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；

（2）光點經(jīng)過的路徑總長為圓的周長，利用圓的周長公式計算即可．【詳解】解（1）光點經(jīng)過的路徑如圖所示，（2）光點經(jīng)過的路徑總長本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換作圖，以及圓的周長公式.根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵.21、（1）進館人次的月平均增長率為．（2）校圖書館能接納第四個月的進館人次．【分析】（1）先分別表示出第二個月和第三個月的進館人次，再根據(jù)第一個月的進館人次加第二和第三個月的進館人次等于，列方程求解；（2）根據(jù)（1）所計算出的月平均增長率，計算出第四個月的進館人次，再與比較大小即可．【詳解】（1）設(shè)進館人次的月平均增長率為，則由題意得：化簡得：，或（舍）答：進館人次的月平均增長率為．（2）∵進館人次的月平均增長率為，第四個月的進館人次為：答：校圖書館能接納第四個月的進館人次．本題屬于一元二次方程的應(yīng)用題，列出方程是解題的關(guān)鍵．本題難度適中，屬于中檔題．22、詳見解析【分析】根據(jù)中心對稱得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根據(jù)SAS推出△DOF≌△BOE即可．【詳解】證明：∵△ABO與△CDO關(guān)于O點中心對稱，∴OB=OD，OA=OC．∵AF=CE，∴OF=OE．∵在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE（SAS）．∴FD=BE．23、（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（2）過作與，過作與，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，推出，求得，，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，于是得到，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1），，，，，，，在△AEB和△BCO中，，；（2）過作于，過作于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24、（1）見解析；（2）2【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC=∠OCA，求得PC⊥CO，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）連接BC，先根據(jù)△ACB是等腰直角三角形，得到AC和，從而推出△PAC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到PC的值．【詳解】（1）連接CO，∵