2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)發(fā)明技術(shù)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的定義域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.[-1,3]已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.y=x3B.y=sinxC.y=log?xD.y=2?已知直線l?:ax+2y+6=0與直線l?:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12cm3B.18cm3C.24cm3D.36cm3已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cos(α-π/4)的值為（）A.-√2/10B.√2/10C.-7√2/10D.7√2/10從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求至少有1名女生，不同的選法共有（）A.70種B.80種C.90種D.100種已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，則其漸近線方程為（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值是（）A.2B.0C.-2D.-4已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?=1，S?=25，則公差d的值為（）A.2B.3C.4D.5已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為π，且f(π/3)=2，則φ的值為（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z|=________。已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為________。已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|=3，則|BF|=________。已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)=x2，則f(2025)=________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{a?}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)b?=1/(a?a???)，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和S?。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=1/3。（1）求c的值；（2）求sinA的值。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)。（1）求證：A?B//平面ADC?；（2）求異面直線A?B與AC?所成角的余弦值。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1件A產(chǎn)品需消耗甲材料1kg，乙材料2kg，可獲利300元；生產(chǎn)1件B產(chǎn)品需消耗甲材料2kg，乙材料1kg，可獲利400元。該工廠現(xiàn)有甲材料100kg，乙材料120kg。（1）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，寫出x，y滿足的約束條件；（2）如何安排生產(chǎn)才能使該工廠獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(diǎn)(2,1)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求m2/(k2+1)的值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x(a∈R)。（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C:x2+y2-4x-6y+9=0，過點(diǎn)P(0,1)作圓C的切線，切點(diǎn)為A，B，求線段AB的長(zhǎng)。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題C2.A3.A4.A5.A6.B7.A8.B9.A10.A11.A12.A二、填空題√214.y=-2x15.3/216.1三、解答題解：（1）因?yàn)閿?shù)列{a?}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以a?=1+2(n-1)=2n-1。（3分）（2）由（1）知，a?=2n-1，所以a???=2n+1，因此b?=1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]。（6分）所以S?=b?+b?+...+b?=1/2[(1-1/3)+(1/3-1/5)+...+(1/(2n-1)-1/(2n+1))]=1/2[1-1/(2n+1)]=n/(2n+1)。（10分）解：（1）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×1/3=9，所以c=3。（5分）（2）因?yàn)閏osC=1/3，所以sinC=√(1-cos2C)=2√2/3。（7分）由正弦定理得a/sinA=c/sinC，所以sinA=asinC/c=2×(2√2/3)/3=4√2/9。（12分）（1）證明：連接A?C，交AC?于點(diǎn)O，連接OD。因?yàn)樗倪呅蜛CC?A?是平行四邊形，所以O(shè)是A?C的中點(diǎn)。又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D//A?B。（3分）因?yàn)镺D?平面ADC?，A?B?平面ADC?，所以A?B//平面ADC?。（6分）（2）解：以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA?所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A?(0,0,2)，C?(0,2,2)。所以A?B=(2,0,-2)，AC?=(0,2,2)。（8分）設(shè)異面直線A?B與AC?所成角為θ，則cosθ=|A?B·AC?|/(|A?B||AC?|)=|0+0-4|/(√8×√8)=4/8=1/2。（12分）解：（1）由題意得x，y滿足的約束條件為：x+2y≤1002x+y≤120x≥0，y≥0x，y∈N（6分）（2）設(shè)利潤(rùn)為z元，則z=300x+400y。作出可行域如圖所示，由z=300x+400y得y=-3/4x+z/400，當(dāng)直線y=-3/4x+z/400經(jīng)過點(diǎn)(40,30)時(shí)，z取得最大值，最大值為300×40+400×30=24000元。（12分）解：（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為√3/2，所以c/a=√3/2，即c=√3/2a。又因?yàn)閍2=b2+c2，所以a2=b2+3/4a2，即a2=4b2。（3分）因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)(2,1)，所以4/a2+1/b2=1，即4/(4b2)+1/b2=1，解得b2=2，所以a2=8，因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/8+y2/2=1。（6分）（2）設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，聯(lián)立方程組x2/8+y2/2=1和y=kx+m，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0。（8分）因?yàn)镺A⊥OB，所以x?x?+y?y?=0，即x?x?+(kx?+m)(kx?+m)=0，整理得(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0。（10分）由韋達(dá)定理得x?+x?=-8km/(1+4k2)，x?x?=(4m2-8)/(1+4k2)，代入上式得(1+k2)(4m2-8)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0，整理得5m2=8(k2+1)，所以m2/(k2+1)=8/5。（12分）解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=xlnx-x2+x，所以f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2。（2分）令g(x)=lnx-2x+2，則g'(x)=1/x-2，當(dāng)x∈(0,1/2)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/2,+∞)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減。（4分）因?yàn)間(1)=ln1-2+2=0，g(1/2)=ln(1/2)-1+2=1-ln2>0，g(e2)=2-2e2+2=4-2e2<0，所以存在x?∈(1/2,1)，使得g(x?)=0。因此當(dāng)x∈(0,x?)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x?,+∞)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。（6分）（2）因?yàn)閒(x)在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f'(x)=lnx+1-2ax+2a-1=lnx-2ax+2a≤0在x∈(1,+∞)上恒成立。（8分）令h(x)=lnx-2ax+2a，則h'(x)=1/x-2a，當(dāng)a≤0時(shí)，h'(x)>0，h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(1)=0，不符合題意；（10分）當(dāng)a>0時(shí)，令h'(x)=0，得x=1/(2a)，當(dāng)x∈(0,1/(2a))時(shí)，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/(2a),+∞)時(shí)，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減。若1/(2a)≤1，即a≥1/2時(shí)，h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)<h(1)=0，符合題意；若1/(2a)>1，即0<a<1/2時(shí)，h(x)在(1,1/(2a))上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(1)=0，不符合題意。綜上，a的取值范圍是[1/2,+∞)。（12分）四、附加題解：因?yàn)閒(x)=|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3，當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤1時(shí)取等號(hào)，所以f(x)的最小值為3。（5分）因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對(duì)任意x∈R恒成立，所以3≥a2-2a，即a2-2a-3≤0，解得-1≤a≤3。因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,3]。（10分）解：圓C的方程可化為(x-2)2+(y-3)2=4，所以圓心C(2,3)，半徑r=2。（2分）因?yàn)辄c(diǎn)P(0,1)，所以|PC|=√[(2-0)2+(3-1)2]=