2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)海洋探索試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）海洋聲波傳播模型中，某潛艇發(fā)出的聲波信號(hào)強(qiáng)度$I$（單位：dB）與傳播距離$r$（單位：km）滿足關(guān)系$I(r)=120-20\log_2r$。當(dāng)信號(hào)強(qiáng)度衰減至60dB時(shí)，傳播距離為（）A.2kmB.4kmC.8kmD.16km潮汐運(yùn)動(dòng)規(guī)律顯示，某港口的水深$h(t)$（單位：m）隨時(shí)間$t$（單位：h，$0\leqt<24$）的變化近似滿足函數(shù)$h(t)=5+3\sin\left(\frac{\pi}{6}t+\frac{\pi}{3}\right)$。則該港口一天內(nèi)水深不低于8m的時(shí)長(zhǎng)為（）A.4hB.6hC.8hD.12h海底地形測(cè)繪中，某區(qū)域的海拔高度$z$（單位：m，海平面以下為負(fù)）與平面坐標(biāo)$(x,y)$滿足$z=2x^2+3y^2-12x+6y+10$。則該區(qū)域的最深處海拔為（）A.-15mB.-10mC.-5mD.0m海洋生態(tài)系統(tǒng)中，某魚類種群數(shù)量$N(t)$（單位：萬(wàn)尾）的增長(zhǎng)模型為$\frac{dN}{dt}=0.2N\left(1-\frac{N}{50}\right)$，其中$t$為時(shí)間（單位：年）。若初始種群數(shù)量$N(0)=10$萬(wàn)尾，則當(dāng)$t=5\ln2$時(shí)，種群數(shù)量為（）A.20萬(wàn)尾B.25萬(wàn)尾C.30萬(wàn)尾D.40萬(wàn)尾洋流速度分析中，某海域的洋流速度向量場(chǎng)為$\vec{v}=(x-2y,3x+y)$（單位：km/h）。則在點(diǎn)$(1,1)$處的洋流速度大小為（）A.$\sqrt{5}$km/hB.$\sqrt{10}$km/hC.$\sqrt{13}$km/hD.5km/h海洋藍(lán)碳儲(chǔ)量估算中，某海域的碳儲(chǔ)量$C$（單位：噸）與海藻覆蓋面積$S$（單位：km2）的關(guān)系為$C(S)=\int_0^S(2t+\sqrt{t})dt$。當(dāng)覆蓋面積從1km2增加到4km2時(shí)，碳儲(chǔ)量的增量為（）A.18噸B.24噸C.30噸D.36噸船舶導(dǎo)航系統(tǒng)中，某船從點(diǎn)$A(0,0)$出發(fā)，沿向量$\vec{a}=(3,4)$航行至點(diǎn)$B$，再沿向量$\vec=(1,-2)$航行至點(diǎn)$C$。則點(diǎn)$C$到原點(diǎn)的直線距離為（）A.$\sqrt{10}$B.$2\sqrt{5}$C.5D.10海洋污染物擴(kuò)散模型中，污染物濃度$c(x,y)$（單位：mg/m3）滿足方程$\frac{\partialc}{\partialt}=0.1\left(\frac{\partial^2c}{\partialx^2}+\frac{\partial^2c}{\partialy^2}\right)$。若$c(x,y,t)=e^{-0.5t}\sinx\cosy$是該方程的解，則$\frac{\partial^2c}{\partialx^2}+\frac{\partial^2c}{\partialy^2}=$（）A.$-e^{-0.5t}\sinx\cosy$B.$-0.5e^{-0.5t}\sinx\cosy$C.$0.5e^{-0.5t}\sinx\cosy$D.$e^{-0.5t}\sinx\cosy$二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，錯(cuò)選或不選得0分）海洋溫度垂直分布中，某海域的水溫$T(z)$（單位：℃）與深度$z$（單位：m）的關(guān)系如圖所示（假設(shè)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)）。則下列說法正確的有（）A.在$z=100$m處，水溫隨深度增加而降低B.水溫變化率的絕對(duì)值在$z=200$m處達(dá)到最大C.存在深度$z_0$，使得$T'(z_0)=0$D.水溫在$[0,500]$m深度范圍內(nèi)的平均值不低于10℃海底電纜鋪設(shè)工程中，需計(jì)算兩點(diǎn)間的最短路徑。若海床可近似為半徑為5km的球面的一部分，A、B兩點(diǎn)在球面上的球心角為$\frac{\pi}{3}$，則下列結(jié)論正確的有（）A.A、B兩點(diǎn)的球面距離為$\frac{5\pi}{3}$kmB.A、B兩點(diǎn)的直線距離為5kmC.若沿球面最短路徑鋪設(shè)電纜，長(zhǎng)度為$\frac{5\pi}{3}$kmD.若沿球心與A、B構(gòu)成的平面內(nèi)直線鋪設(shè)，長(zhǎng)度為$5\sqrt{3}$km海洋聲學(xué)定位中，三個(gè)接收站$P(0,0)$、$Q(2,0)$、$R(1,\sqrt{3})$同時(shí)接收到某聲源信號(hào)。已知聲速為1km/s，且$P$比$Q$晚1s接收到信號(hào)，$Q$比$R$晚1s接收到信號(hào)。則聲源的可能位置為（）A.$(1,\sqrt{3})$B.$(1,-\sqrt{3})$C.$(2,\sqrt{3})$D.$(0,\sqrt{3})$海浪能量計(jì)算中，某周期波的波高為$H$，波長(zhǎng)為$\lambda$，波速為$v$，其能量密度$E=\frac{1}{8}\rhogH^2$（$\rho$為海水密度，$g$為重力加速度）。若$\lambda=\frac{gT^2}{2\pi}$，$v=\frac{\lambda}{T}$（$T$為周期），則下列說法正確的有（）A.當(dāng)$T$增大時(shí)，$\lambda$與$v$均增大B.能量密度$E$與周期$T$無關(guān)C.若波高$H$翻倍，則能量密度變?yōu)樵瓉淼?倍D.波長(zhǎng)$\lambda$與波速$v$的平方成正比三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）海洋鉆探工程中，某鉆井平臺(tái)的鉆頭垂直向下鉆進(jìn)，其位移$s(t)$（單位：m）與時(shí)間$t$（單位：min）的關(guān)系為$s(t)=t^3-6t^2+9t$。則在$t=2$min時(shí)，鉆頭的瞬時(shí)速度為______m/min。海水鹽度測(cè)量中，鹽度$S$（單位：‰）與電導(dǎo)率$\sigma$（單位：S/m）的關(guān)系為$S=0.05\sigma^2+1.2\sigma+20$。若電導(dǎo)率$\sigma$從4S/m增加到6S/m，則鹽度的平均變化率為______‰/(S/m)。海洋環(huán)流模型中，某區(qū)域的流函數(shù)$\psi(x,y)=x^2y-xy^2$，則該區(qū)域的散度$\nabla\cdot(\nabla\psi)=$______。深海探測(cè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡由參數(shù)方程$\begin{cases}x=2\cost+\sint\y=2\sint-\cost\z=3t\end{cases}$（$t$為時(shí)間，單位：s）給出。則在$t=0$時(shí)，機(jī)器人的加速度向量為______。四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）海洋溫度分層某海域的水溫$T(z)$（單位：℃）隨深度$z$（單位：m）的變化如下表所示：|深度$z$/m|0|100|200|300|400|500||-----------|---|-----|-----|-----|-----|-----||水溫$T$/℃|20|15|10|8|7|6|（1）用線性回歸模型$T=az+b$擬合$z\geq200$時(shí)的水溫變化，求$a$、$b$的值（精確到0.01）；（2）預(yù)測(cè)深度為600m處的水溫。（12分）海底管道鋪設(shè)為連接A、B兩個(gè)島嶼，計(jì)劃在海底鋪設(shè)一條管道。A島坐標(biāo)為$(0,0)$，B島坐標(biāo)為$(8,0)$，兩島之間的海域被一條拋物線形海溝隔開，海溝截面方程為$y=-0.01x^2+0.08x$（單位：km），其中$y$為深度（負(fù)值表示海平面以下）。（1）求海溝的最深處坐標(biāo)；（2）若管道鋪設(shè)路徑為從A出發(fā)，沿直線經(jīng)過點(diǎn)$(4,k)$到達(dá)B，求$k$的取值范圍，確保管道最低點(diǎn)距離海溝底部不小于0.5km。（12分）海洋漁業(yè)資源管理某漁場(chǎng)的年捕撈量為$x$（單位：萬(wàn)噸），魚群自然增長(zhǎng)率為$r$，資源再生量為$F(x)=rx\left(1-\frac{x}{K}\right)$（$K$為環(huán)境容量）。已知$r=0.4$，$K=100$萬(wàn)噸，且捕撈成本函數(shù)為$C(x)=2x+0.01x^2$（單位：百萬(wàn)元），銷售收入為$R(x)=8x$（單位：百萬(wàn)元）。（1）求可持續(xù)捕撈量$x$（即$F(x)=x$）的值；（2）求最大利潤(rùn)時(shí)的捕撈量及最大利潤(rùn)。（12分）海洋波浪運(yùn)動(dòng)某海浪的波形可近似為沿$x$軸正方向傳播的正弦波，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為$y(x,t)=0.5\sin(2\pix-4\pit+\varphi)$（單位：m，s）。（1）求該波的振幅、波長(zhǎng)、周期和波速；（2）若$t=0$時(shí)，$x=0$處的質(zhì)點(diǎn)位移為$0.25$m且向$y$軸正方向運(yùn)動(dòng)，求初相位$\varphi$；（3）求$t=1$s時(shí)，$x=0.5$m處質(zhì)點(diǎn)的速度。（12分）深海探測(cè)器軌跡規(guī)劃某探測(cè)器從點(diǎn)$A(0,0,0)$出發(fā)，沿空間曲線$\Gamma:\begin{cases}x=t\y=t^2\z=t^3\end{cases}$（$t\geq0$，單位：km）探測(cè)，其動(dòng)力系統(tǒng)功率$P(t)=1+x^2+y^2+z^2$（單位：kW）。（1）求$t=2$時(shí)探測(cè)器的位置和加速度向量；（2）計(jì)算探測(cè)器從$t=0$到$t=2$的過程中，動(dòng)力系統(tǒng)所做的總功（功$W=\intP(t)v(t)dt$，$v(t)$為速率）。（12分）海洋環(huán)境數(shù)學(xué)建模某海灣的污染物濃度$c(x,t)$（單位：mg/L）隨距離$x$（單位：km）和時(shí)間$t$（單位：h）的變化滿足擴(kuò)散方程$\frac{\partialc}{\partialt}=0.04\frac{\partial^2c}{\partialx^2}$。初始時(shí)刻$t=0$時(shí)，污染物集中在原點(diǎn)，濃度分布為$c(x,0)=\begin{cases}100,&|x|\leq0.1\0,&|x|>0.1\end{cases}$