2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)空中技術(shù)應(yīng)用試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）無人機(jī)巡航路徑規(guī)劃某農(nóng)業(yè)無人機(jī)從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，沿向量$\vec{v}=(4,3)$方向飛行200米后到達(dá)農(nóng)田邊界，其終點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.$(120,160)$B.$(160,120)$C.$(100,150)$D.$(150,100)$衛(wèi)星軌道離心率計(jì)算地球同步衛(wèi)星軌道近似為橢圓，半長軸$a=42164$km，半短軸$b=42163$km，其離心率$e=\frac{c}{a}$（$c$為焦距）的值最接近（）A.$0.001$B.$0.01$C.$0.1$D.$0.5$航天信號(hào)傳播模型深空探測器與地球的通訊信號(hào)強(qiáng)度$I$（單位：dB）隨距離$d$（單位：天文單位AU）衰減的關(guān)系為$I=60-20\log_{10}d$。當(dāng)信號(hào)強(qiáng)度衰減至$30$dB時(shí)，探測器與地球的距離為（）A.$10$AUB.$\sqrt{10}$AUC.$100$AUD.$10\sqrt{10}$AU空間站太陽能板展開面積國際空間站某太陽能板初始面積為$100m^2$，按指數(shù)規(guī)律擴(kuò)張，$t$分鐘后面積$S(t)=100e^{0.02t}$。則$t=50$分鐘時(shí)的瞬時(shí)擴(kuò)張速率為（）A.$2e\m^2/$分鐘B.$e\m^2/$分鐘C.$2\m^2/$分鐘D.$e^2\m^2/$分鐘無人機(jī)集群覆蓋問題某區(qū)域?yàn)榘霃?100$米的圓形區(qū)域，單架無人機(jī)探測半徑為$30$米，若采用正六邊形網(wǎng)格布局，至少需要（）架無人機(jī)才能完全覆蓋該區(qū)域（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{3}\approx1.732$）A.$7$B.$19$C.$21$D.$25$火箭燃料消耗率某火箭燃料消耗速率$r(t)=2t+5$（單位：kg/s），則從點(diǎn)火（$t=0$）到第$10$秒內(nèi)的總消耗量為（）A.$150$kgB.$200$kgC.$250$kgD.$300$kg空間坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換在空間站坐標(biāo)系中，某設(shè)備坐標(biāo)為$(2,3,4)$，若將坐標(biāo)系繞$z$軸旋轉(zhuǎn)$90^\circ$，新坐標(biāo)為（）A.$(-3,2,4)$B.$(3,-2,4)$C.$(2,-3,4)$D.$(-2,3,4)$衛(wèi)星軌道周期計(jì)算根據(jù)開普勒第三定律，衛(wèi)星軌道周期$T$（單位：小時(shí)）與半長軸$a$（單位：萬公里）滿足$T^2=ka^3$。若地球同步衛(wèi)星$a=4.2$萬公里，$T=24$小時(shí)，則某低軌衛(wèi)星$a=0.7$萬公里時(shí)，周期約為（）A.$1.5$小時(shí)B.$2$小時(shí)C.$3$小時(shí)D.$4$小時(shí)無人機(jī)避障概率某無人機(jī)在$1000$米航線上隨機(jī)出現(xiàn)$3$個(gè)障礙物，每個(gè)障礙物占據(jù)$10$米長度，則無人機(jī)隨機(jī)飛行時(shí)撞上障礙物的概率為（）A.$0.03$B.$0.057$C.$0.06$D.$0.09$航天材料疲勞強(qiáng)度某鈦合金材料的疲勞強(qiáng)度$y$（單位：MPa）與循環(huán)次數(shù)$x$的關(guān)系為$y=500-0.01x$，當(dāng)強(qiáng)度降至$300$MPa時(shí)，循環(huán)次數(shù)$x$為（）A.$20000$B.$25000$C.$30000$D.$35000$衛(wèi)星信號(hào)覆蓋區(qū)域某極地衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的區(qū)域?yàn)榍蚬?，球冠?h=R$（$R$為地球半徑），則該區(qū)域面積與地球表面積之比為（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{2}{3}$深空探測最優(yōu)路徑探測器從地球到火星的轉(zhuǎn)移軌道為橢圓，太陽位于橢圓焦點(diǎn)，近日點(diǎn)距離$1.5$億公里，遠(yuǎn)日點(diǎn)距離$2.5$億公里，則軌道離心率為（）A.$0.25$B.$0.4$C.$0.5$D.$0.6$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）空間向量導(dǎo)航空間站A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為$(0,0,0)$、$(2,0,0)$、$(0,3,4)$，則向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影為__________。火箭推進(jìn)劑混合比例某推進(jìn)劑由甲、乙兩種燃料按$x:y$混合，當(dāng)$x=3$，$y=2$時(shí)燃燒效率為$E=100$，且效率函數(shù)$E(x,y)=kxy$，則當(dāng)$x=4$，$y=1$時(shí)效率$E=$__________。無人機(jī)電池續(xù)航模型某無人機(jī)電池容量$6000mAh$，飛行功耗$P=10+0.1v^2$（$v$為速度km/h），續(xù)航時(shí)間$t=\frac{6000}{P}$小時(shí)，則最節(jié)能速度為__________km/h。衛(wèi)星軌道攝動(dòng)某衛(wèi)星軌道受月球引力影響，半長軸$a(t)=a_0e^{0.001t}$，初始$a_0=7000$km，則$t=1000$天時(shí)軌道半長軸為__________km（結(jié)果保留整數(shù)，$e\approx2.718$）。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）無人機(jī)物流路徑優(yōu)化某快遞公司使用無人機(jī)從倉庫$O(0,0)$向$A(3,0)$、$B(0,4)$兩個(gè)配送點(diǎn)送貨，無人機(jī)最大載重$5kg$，$OA$段消耗電量$0.5$單位/kg·km，$OB$段消耗$0.8$單位/kg·km。（1）若無人機(jī)滿載出發(fā)，分別向$A$、$B$配送$x$kg、$y$kg貨物，求$x$、$y$滿足的約束條件；（2）為使總耗電量最小，求最優(yōu)配送方案。（12分）衛(wèi)星軌道參數(shù)計(jì)算某衛(wèi)星橢圓軌道的近地點(diǎn)距離地球表面$200$km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離$36000$km，地球半徑$R=6400$km。（1）求軌道半長軸$a$和離心率$e$；（2）若衛(wèi)星在近地點(diǎn)速度$v_1=10.2$km/s，遠(yuǎn)地點(diǎn)速度$v_2=3.1$km/s，驗(yàn)證開普勒第二定律（單位時(shí)間掃過面積相等）。（12分）空間站生命維持系統(tǒng)某空間站氧氣生成速率$v(t)=10+2\sin\left(\frac{\pit}{12}\right)$（單位：m3/h），$t\in[0,24]$。（1）求一天內(nèi)氧氣生成總量；（2）若宇航員呼吸消耗速率為$8$m3/h，空間站初始氧氣量$100$m3，判斷第$24$小時(shí)末氧氣是否充足。（12分）無人機(jī)編隊(duì)表演$100$架無人機(jī)在坐標(biāo)平面內(nèi)形成正弦曲線$y=50\sin\left(\frac{\pix}{100}\right)$隊(duì)形，每架無人機(jī)橫坐標(biāo)間隔$2$米。（1）求第$50$架無人機(jī)的坐標(biāo)；（2）若無人機(jī)同時(shí)沿$y$軸方向平移$A\sin\left(\frac{\pit}{5}\right)$個(gè)單位（$t$為時(shí)間秒），求$t=2.5$秒時(shí)隊(duì)形曲線方程。（12分）航天材料熱脹冷縮模型某鈦合金構(gòu)件在溫度$T(^\circ\text{C})$時(shí)的長度$L(T)=100+0.02T+0.0001T^2$（單位：cm）。（1）求$T=20^\circ\text{C}$時(shí)的線膨脹系數(shù)$\alpha=\frac{L'(T)}{L(T)}$；（2）若溫度從$-100^\circ\text{C}$升至$100^\circ\text{C}$，求長度變化量$\DeltaL$。（14分）深空探測軌道設(shè)計(jì)探測器從地球沿雙曲線路徑飛往火星，雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，太陽位于右焦點(diǎn)$F(c,0)$，地球位置$E(2a,0)$，火星位置$M(3c,4b)$。（1）證明：$c=2a$；（2）若$a=1$億公里，求探測器從$E$到$M$的航程（結(jié)果保留整數(shù)）。四、選做題（共10分，從23、24題中任選一題作答）（10分）量子通信加密某量子密鑰生成器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列滿足$x_{n+1}=2x_n\mod5$，初始值$x_1=1$。（1）寫出前5項(xiàng)序列；（2）求序列周期及第100項(xiàng)$x_{100}$。（10分）太空電梯力學(xué)模型某太空電梯纜繩張力$T(h)=k\rho\pir^2(h)g(h)$，其