2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)普通學(xué)校達(dá)標(biāo)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-5x+6=0})，(B={x|\log_2(x-1)=1})，則(A\cupB=)（）A.({2,3})B.({2,3,4})C.({3,4})D.({2,4})函數(shù)(f(x)=\sqrt{4-x^2}+\ln(x+1))的定義域是（）A.([-2,2])B.((-1,2])C.([-1,2))D.((-1,2))若復(fù)數(shù)(z=(1+2i)(a-i))（(a\in\mathbb{R})）為純虛數(shù)，則(a=)（）A.(-2)B.(-1)C.(1)D.(2)已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_3=5)，(S_5=25)，則(a_7=)（）A.(10)B.(11)C.(12)D.(13)函數(shù)(f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right))的圖像可由函數(shù)(g(x)=\sin2x)的圖像（）A.向左平移(\frac{\pi}{6})個單位B.向右平移(\frac{\pi}{6})個單位C.向左平移(\frac{\pi}{3})個單位D.向右平移(\frac{\pi}{3})個單位曲線(y=x^3-2x+1)在點((1,0))處的切線方程為（）A.(y=x-1)B.(y=-x+1)C.(y=2x-2)D.(y=-2x+2)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（注：此處應(yīng)配三視圖，實際考試中需提供圖形，本文以文字描述：正視圖和側(cè)視圖均為邊長為2的正方形，俯視圖為邊長為2的正方形中間有一個直徑為2的圓）A.(8-\pi)B.(8-2\pi)C.(16-\pi)D.(16-2\pi)從分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取2張，則抽取的2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{5})已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)，則函數(shù)(f(x))的極大值點為（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，則數(shù)列({a_n})的前(n)項和(S_n=)（）A.(2^{n+1}-n-2)B.(2^{n+1}-n)C.(2^n-n-1)D.(2^n-n)若對任意(x\in[1,2])，不等式(x^2-ax+3\geq0)恒成立，則實數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,4])B.((-\infty,2\sqrt{3}])C.([4,+\infty))D.([2\sqrt{3},+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知向量(\vec{a}=(2,1))，(\vec=(m,3))，若(\vec{a}\perp\vec)，則(m=)__________．((x-\frac{1}{x})^6)的展開式中常數(shù)項為__________（用數(shù)字作答）．在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpBC)，(PA=AB=BC=2)，則直線(PC)與平面(PAB)所成角的正弦值為__________．已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}\log_2x,&x>0,\2^x,&x\leq0,\end{cases})若(f(a)=f(b)=f(c))（(a<b<c)），則(a+b+c)的取值范圍是__________．三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知(\triangleABC)的內(nèi)角(A,B,C)的對邊分別為(a,b,c)，且(a\cosB+b\cosA=2c\cosC)．（1）求角(C)的大?。唬?）若(c=2\sqrt{3})，(\triangleABC)的面積為(2\sqrt{3})，求(a+b)的值．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點．（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求異面直線(A_1D)與(AC_1)所成角的余弦值．（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機抽取了100名高一學(xué)生進行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，將成績整理后得到如下頻率分布直方圖：（注：此處應(yīng)配頻率分布直方圖，實際考試中需提供圖形，本文以文字描述：分組為[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]，對應(yīng)的頻率分別為0.05、0.10、0.20、0.30、0.25、0.10）（1）求圖中(a)的值（若有）及這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若從成績在[80,100]的學(xué)生中隨機抽取2人，求至少有1人成績在[90,100]的概率．（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))．（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，(O)為坐標(biāo)原點，若(OA\perpOB)，求(\triangleAOB)面積的最大值．（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx+ax^2-(2a+1)x)（(a\in\mathbb{R})）．（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(a>0)，且(f(x)\geq-1)在(x\in(0,+\infty))上恒成立，求(a)的取值范圍．（本小題滿分12分）已知數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，且(S_n=2a_n-n)（(n\in\mathbb{N}^*)）．（1）證明：數(shù)列({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）設(shè)(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(T_n)；（3）若不等式((-1)^n\lambda<S_n+n-2^n)對任意(n\in\mathbb{N}^*)恒成立，求實數(shù)(\lambda)的取值范圍．（注：本試卷共22題，滿分150分，考試時間120分鐘）參考答案及解析（供閱卷參考）一、選擇題B2.B3.A4.D5.B6.A7.A8.B9.A10.A11.A12.A二、填空題(-\frac{3}{2})14.(-20)15.(\frac{\sqrt{3}}{3})16.((1,2))三、解答題（1）由正弦定理得(\sinA\cosB+\sinB\cosA=2\sinC\cosC)，即(\sin(A+B)=2\sinC\cosC)，因為(A+B=\pi-C)，所以(\sinC=2\sinC\cosC)，解得(\cosC=\frac{1}{2})，故(C=\frac{\pi}{3})．（2）由面積公式(\frac{1}{2}ab\sinC=2\sqrt{3})得(ab=8)，再由余弦定理(c^2=a^2+b^2-ab)得(a^2+b^2=20)，則((a+b)^2=a^2+b^2+2ab=36)，故(a+b=6)．（1）連接(A_1C)交(AC_1)于點(O)，連接(OD)，則(O)為(A_1C)中點，(D)為(BC)中點，故(OD\parallelA_1B)，又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，所以(A_1B\parallel)平面(ADC_1)．（2）以(A)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，得(A_1(0,0,2))，(D(1,1,0))，(A(0,0,0))，(C_1(0,2,2))，向量(\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2))，(\overrightarrow{AC_1}=(0,2,2))，夾角余弦值為(\frac{\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{AC_1}}{|\overrightarrow{A_1D}||\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{0+2-4}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}}=-\frac{\sqrt{3}}{6})，故異面直線所成角的余弦值為(\frac{\sqrt{3}}{6})．（1）平均數(shù)為(45\times0.05+55\times0.10+65\times0.20+75\times0.30+85\times0.25+95\times0.10=74.5)．（2）[80,90)有25人，[90,100]有10人，總?cè)》?\text{C}{35}^2)，至少1人在[90,100]的概率為(1-\frac{\text{C}{25}^2}{\text{C}_{35}^2}=\frac{11}{23})．（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2)，代入點((2,1))得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，故橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)．（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，由(OA\perpOB)得(x_1x_2+y_1y_2=0)，化簡得(4m^2=8k^2+2)，即(m^2=2k^2+\frac{1}{2})，面積(S=\frac{1}{2}|m|\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{2k^2+\frac{1}{2}}\cdot\sqrt{\frac{8(8k^2+2-4m^2)}{1+4k^2}})，代入(m^2)得(S=\sqrt{2})，故最大值為(\sqrt{2})．（1）(f'(x)=\frac{1}{x}+2ax-(2a+1)=\frac{(2ax-1)(x-1)}{x})，當(dāng)(a\leq0)時，(f(x))在((0,1))上單調(diào)遞增，在((1,+\infty))上單調(diào)遞減；當(dāng)(0<a<\frac{1}{2})時，(f(x))在((0,1))和((\frac{1}{2a},+\infty))上單調(diào)遞增，在((1,\frac{1}{2a}))上單調(diào)遞減；當(dāng)(a=\frac{1}{2})時，(f(x))在((0,+\infty))上單調(diào)遞增；當(dāng)(a>\frac{1}{2})時，(f(x))在((0,\frac{1}{2a}))和((1,+\infty))上單調(diào)遞增，在((\frac{1}{2a},1))上單調(diào)遞減．（2）由（1）知當(dāng)(a>0)時，(f(x))的最小值為(f(1)=-a-1)，令(-a-1\geq-1)得(a\leq0)，與(a>0)矛盾，故無解（注：此處需重新檢查