2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)馬爾可夫鏈技術(shù)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.馬爾可夫鏈的核心性質(zhì)是（）A.狀態(tài)空間有限性B.無(wú)記憶性（馬爾可夫性）C.遍歷性D.周期性2.設(shè)隨機(jī)變量序列${X_n}$為馬爾可夫鏈，已知$P(X_3=2|X_2=1,X_1=3,X_0=0)=0.4$，則$P(X_3=2|X_2=1)=$（）A.0.1B.0.4C.0.6D.無(wú)法確定3.某質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上隨機(jī)游走，每次以概率0.3向左移動(dòng)1單位，0.5向右移動(dòng)1單位，0.2原地不動(dòng)，則其轉(zhuǎn)移概率滿足（）A.$P(i\toi-1)=0.3$，$P(i\toi)=0.2$，$P(i\toi+1)=0.5$B.$P(i\toi-1)=0.5$，$P(i\toi)=0.3$，$P(i\toi+1)=0.2$C.$P(i\toi-1)=0.2$，$P(i\toi)=0.5$，$P(i\toi+1)=0.3$D.以上均不正確4.若馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為$\begin{pmatrix}0.2&0.8\0.5&0.5\end{pmatrix}$，則從狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2的概率是（）A.0.2B.0.5C.0.8D.0.35.賭徒模型中，當(dāng)賭徒本金為$n$元時(shí)，最終輸光的概率為$P(n)$，已知$P(0)=1$，$P(N)=0$（$N$為目標(biāo)金額），則${P(n)}$滿足（）A.等比數(shù)列B.等差數(shù)列C.二次函數(shù)關(guān)系D.指數(shù)函數(shù)關(guān)系6.甲、乙兩盒各有2個(gè)黑球和1個(gè)紅球，每次交換兩盒中各1個(gè)球，記$X_n$為$n$次交換后甲盒中紅球數(shù)，則$X_n$的可能取值是（）A.0,1B.0,1,2C.1,2D.0,27.若馬爾可夫鏈的初始分布為$\pi_0=(0.3,0.7)$，轉(zhuǎn)移矩陣為$P=\begin{pmatrix}0.4&0.6\0.1&0.9\end{pmatrix}$，則$\pi_1$（第一次轉(zhuǎn)移后的分布）為（）A.$(0.3×0.4,0.7×0.9)$B.$(0.3×0.4+0.7×0.1,0.3×0.6+0.7×0.9)$C.$(0.3+0.4,0.7+0.9)$D.$(0.3×0.6,0.7×0.1)$8.下列實(shí)際問(wèn)題中，不能用馬爾可夫鏈建模的是（）A.天氣預(yù)報(bào)（晴/雨?duì)顟B(tài)轉(zhuǎn)移）B.股票價(jià)格每日漲跌C.學(xué)生成績(jī)隨年級(jí)線性提升D.機(jī)器故障維修狀態(tài)切換二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.馬爾可夫鏈的“無(wú)記憶性”是指________。10.設(shè)轉(zhuǎn)移矩陣$P=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$，則$a+b=$________。11.一維隨機(jī)游走中，若向左、向右移動(dòng)概率均為0.5，從原點(diǎn)出發(fā)，則第2步回到原點(diǎn)的概率是________。12.傳球游戲中，甲、乙、丙三人傳球，每次甲傳給乙、丙的概率各0.5，乙、丙均傳給甲，初始球在甲手中，則第2次傳球后球在甲手中的概率是________。三、解答題（本大題共6小題，共90分）13.（14分）現(xiàn)有A、B兩個(gè)盒子，A盒裝有2個(gè)黑球和1個(gè)紅球，B盒裝有1個(gè)黑球和2個(gè)紅球。每次從兩盒中各隨機(jī)取1個(gè)球交換，記$n$次交換后A盒中紅球數(shù)為$X_n$，恰有1個(gè)紅球的概率為$p_n$。（1）求$p_1$，$p_2$；（2）證明：$p_{n+1}=-\frac{1}{3}p_n+\frac{2}{3}$；（3）求$\lim\limits_{n\to\infty}p_n$。14.（15分）某質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上的整數(shù)點(diǎn)隨機(jī)游走，每次以概率0.2向左移動(dòng)1單位，0.5向右移動(dòng)1單位，0.3原地不動(dòng)。記$P(n)$為質(zhì)點(diǎn)從位置$n$出發(fā)，最終到達(dá)位置5的概率，已知$P(5)=1$，$P(0)=0$（0為吸收壁）。（1）寫出$P(n)$的遞推關(guān)系；（2）證明${P(n)}$為等差數(shù)列，并求公差；（3）求$P(3)$的值。15.（15分）甲、乙兩人輪流投籃，甲每次投中的概率為0.6，乙每次投中的概率為0.5，約定先投中者獲勝。設(shè)甲先投，求甲獲勝的概率。16.（16分）轉(zhuǎn)移矩陣為$P=\begin{pmatrix}0.1&0.9\0.4&0.6\end{pmatrix}$的馬爾可夫鏈，初始分布為$\pi_0=(0.2,0.8)$。（1）求$\pi_1$（第一次轉(zhuǎn)移后的分布）；（2）若平穩(wěn)分布$\pi=(\pi_1,\pi_2)$滿足$\piP=\pi$，求$\pi$。17.（15分）賭徒模型中，本金為$n$元時(shí)最終輸光的概率為$P(n)$，已知$P(-A)=1$（輸光并欠債$A$元），$P(B)=0$（贏到$B$元）。（1）寫出$P(n)$的遞推關(guān)系；（2）當(dāng)$A=100$，$B=300$時(shí)，求$P(100)$；（3）解釋當(dāng)$B\to+\infty$時(shí)，$P(A)$的統(tǒng)計(jì)含義。18.（15分）某機(jī)器有“正?！薄熬S修”兩種狀態(tài)，正常時(shí)次日轉(zhuǎn)為維修的概率為0.1，維修時(shí)次日轉(zhuǎn)為正常的概率為0.8。記$a_n$為第$n$天機(jī)器正常的概率，初始$a_0=1$。（1）求$a_1$，$a_2$；（2）求$a_n$的通項(xiàng)公式；（3）若機(jī)器正常時(shí)每日獲利2000元，維修時(shí)每日虧損500元，求長(zhǎng)期運(yùn)行下的日均利潤(rùn)。四、附加題（共20分，不計(jì)入總分）19.隱馬爾可夫模型（HMM）中，觀測(cè)序列為$O=(o_1,o_2,...,o_T)$，狀態(tài)序列為$I=(i_1,i_2,...,i_T)$，已知轉(zhuǎn)移概率$a_{ij}=P(i_{t+1}=j|i_t=i)$，發(fā)射概率$b_j(k)=P(o_t=k|i_t=j)$，初始分布$\pi_i=P(i_1=i)$。（1）寫出觀測(cè)序列概率$P(O|\lambda)$的前向算法公式（$\lambda$為模型參數(shù)）；（2）若狀態(tài)數(shù)為2，觀測(cè)符號(hào)數(shù)為2，$\pi=(0.6,0.4)$，$a=\begin{pmatrix}0.7&0.3\0.4&0.6\end{pmatrix}$，$b=\begin{pmatrix}0.5&0.5\0.8&0.2\end{pmatrix}$，求觀測(cè)序列$O=(1,2)$的概率。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（此處省略，實(shí)際試卷需附詳細(xì)解析）命題說(shuō)明：試卷覆蓋馬爾可夫鏈核心概念（無(wú)記憶性、轉(zhuǎn)移矩陣、平穩(wěn)分布）、經(jīng)典模型（賭徒輸光、隨機(jī)游走、狀態(tài)轉(zhuǎn)移）及應(yīng)用（