2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)試卷一、函數(shù)與生活應(yīng)用1.1糖水濃度與不等式證明某食品加工廠計劃改進糖水配方，現(xiàn)有兩杯濃度不同的糖水：A杯：15克糖溶于85克水中，得到100克糖水B杯：20克糖溶于100克水中，得到120克糖水（1）分別計算兩杯糖水的濃度，判斷哪杯更甜；（2）若將兩杯糖水混合，混合后的濃度是否介于A、B兩杯濃度之間？用不等式證明你的結(jié)論；（3）若向A杯中繼續(xù)加入m克糖（m>0），糖水濃度如何變化？用數(shù)學(xué)語言解釋"糖水加糖變甜"的生活現(xiàn)象。1.2神舟飛船的函數(shù)模型"神舟十八號"飛船升空過程中，距地面高度h（千米）與時間t（分鐘）的關(guān)系如下表：時間t（分鐘）01234高度h（千米）040120240400（1）判斷h與t是否為函數(shù)關(guān)系，若為函數(shù)，嘗試建立h(t)的數(shù)學(xué)模型（可選用一次函數(shù)、二次函數(shù)或冪函數(shù)）；（2）根據(jù)模型預(yù)測第5分鐘時飛船的高度，并分析該模型是否適用于飛船進入軌道后的持續(xù)飛行。二、三角函數(shù)與跨學(xué)科融合2.1月相變化的周期性我國古代詩詞中蘊含著豐富的月相觀察記錄，如白居易《暮江吟》"可憐九月初三夜，露似真珠月似弓"描繪的蛾眉月，李白《靜夜思》"窗前明月光"對應(yīng)的滿月。某天文小組連續(xù)30天觀測月相，記錄每天20:00時的月相可見面積（單位：平方度）如下：日期151015202530面積015406040150（1）在直角坐標系中描點，判斷月相面積變化是否符合三角函數(shù)模型；（2）若以日期為x軸，面積為y軸，建立y=Asin(ωx+φ)+b的函數(shù)模型，求出A、ω、φ、b的值；（3）預(yù)測第35天的月相面積，并解釋"月有陰晴圓缺"的科學(xué)原理。2.2物理簡諧運動與三角函數(shù)某彈簧振子在光滑水平面上做簡諧運動，位移x（厘米）與時間t（秒）的關(guān)系滿足x=5sin(2πt+π/3)。（1）求振子的振幅、周期和初相位；（2）畫出該函數(shù)在[0,2]區(qū)間內(nèi)的圖像，標出振動的最大位移點和平衡位置；（3）計算t=0.5秒時振子的速度v（v=x'，導(dǎo)數(shù)表示瞬時變化率），解釋速度與位移的關(guān)系。三、概率統(tǒng)計與決策分析3.1疫苗接種的概率問題某地區(qū)爆發(fā)流感，現(xiàn)有A、B兩種疫苗可供選擇，其有效率和副作用概率如下表：疫苗有效率（預(yù)防感染）副作用概率A80%5%B90%10%（1）若隨機選擇1人接種A疫苗，求其"未感染且無副作用"的概率；（2）若1000人接種A疫苗，估計有多少人會感染流感？（3）從安全性和有效性綜合考慮，你會推薦哪種疫苗？用概率數(shù)據(jù)說明理由。3.2足球比賽的排列組合2026年世界杯亞洲區(qū)預(yù)選賽中，中國隊與韓國、伊朗、沙特分在同一小組，每隊需與其他三隊各賽2場（主客場）。（1）計算該小組共需進行多少場比賽；（2）若每場比賽有勝、平、負三種結(jié)果，求中國隊小組賽全負的概率；（3）某球迷購買了小組賽所有場次的門票，若想觀看中國隊的所有主場比賽和韓國隊的所有客場比賽，共有多少種不同的觀賽順序？四、立體幾何與工程實踐4.1橋梁承重的幾何優(yōu)化某橋梁設(shè)計團隊擬建造一座拋物線形拱橋，跨度AB=20米，拱高OC=5米（O為AB中點，OC⊥AB）。（1）以O(shè)為原點建立直角坐標系，求拱橋輪廓線的拋物線方程；（2）若橋下水面寬度為16米時，計算此時的拱頂距水面高度；（3）為保證船只通航，要求橋下水面以上高度不低于3米，求此時允許的最大水面寬度。4.2晶體結(jié)構(gòu)的空間幾何氯化鈉（NaCl）晶體的晶胞為立方體結(jié)構(gòu)，鈉離子（Na?）和氯離子（Cl?）交替排列，晶胞邊長為a=5.64?（1?=10?1?米）。（1）計算一個晶胞的體積（用科學(xué)記數(shù)法表示）；（2）若鈉離子位于立方體頂點和面心，氯離子位于棱心和體心，求一個晶胞中Na?和Cl?的數(shù)量比；（3）已知氯化鈉的摩爾質(zhì)量為58.5g/mol，阿伏伽德羅常數(shù)N?=6.02×1023mol?1，估算晶體的密度（單位：g/cm3）。五、數(shù)學(xué)建模與綜合實踐5.1校園奶茶店的定價策略某高中奶茶店銷售一款"學(xué)霸特飲"，成本為5元/杯，售價x（元）與日銷量y（杯）的關(guān)系如下：售價x（元）810121416日銷量y（杯）2001601208040（1）判斷y與x是否為線性關(guān)系，若為線性函數(shù)，求出y=kx+b的表達式；（2）設(shè)日利潤為W元，寫出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出最大利潤及對應(yīng)的售價；（3）若考慮學(xué)生消費能力，售價不得超過13元，此時最大利潤是多少？5.2垃圾分類的優(yōu)化方案某校推行"垃圾分類積分制"，學(xué)生可通過分類投放垃圾獲得積分兌換獎品?，F(xiàn)需設(shè)計積分規(guī)則：可回收物（紙類、塑料等）每千克得a分有害垃圾（電池、燈管等）每千克得b分其他垃圾每千克扣c分（1）若小明一周投放3kg可回收物、0.5kg有害垃圾、2kg其他垃圾，共得20分，寫出關(guān)于a、b、c的方程；（2）為鼓勵有害垃圾回收，規(guī)定b=2a，c=a/2，求a的值；（3）若學(xué)校每天產(chǎn)生1000kg垃圾，其中可回收物占40%，有害垃圾占5%，其他垃圾占55%，按此積分規(guī)則，全校學(xué)生每天的總積分是多少？六、概率與游戲設(shè)計6.1"三個臭皮匠頂個諸葛亮"的驗證民間俗語"三個臭皮匠頂個諸葛亮"常用來形容集體智慧。假設(shè)諸葛亮解出數(shù)學(xué)難題的概率為0.8，三個臭皮匠A、B、C解出難題的概率分別為0.5、0.45、0.4，且各人獨立解題。（1）計算三個臭皮匠中至少有一人解出難題的概率；（2）比較"三個臭皮匠"與"諸葛亮"解出難題的概率，判斷俗語是否成立；（3）若增加臭皮匠人數(shù)，解出難題的概率是否一定增大？用極限思想解釋。6.2抽獎游戲的公平性某商場設(shè)計抽獎游戲：一等獎：從編號1-100的球中抽中1號球，概率1%，獎金100元二等獎：抽中2-10號球，概率9%，獎金10元三等獎：抽中11-30號球，概率20%，獎金2元（1）計算單次抽獎的期望獎金；（2）若每次抽獎需支付5元，判斷游戲是否公平；（3）若商場每天有1000人參與抽獎，預(yù)計每天的利潤是多少？七、信息技術(shù)與數(shù)學(xué)實驗7.1用GeoGebra探究函數(shù)圖像使用動態(tài)幾何軟件GeoGebra完成以下任務(wù)：（1）繪制函數(shù)y=x3-3x的圖像，找出其極值點和單調(diào)區(qū)間；（2）在同一坐標系中繪制y=kx的圖像，調(diào)整k值，觀察直線與曲線的交點個數(shù)變化；（3）記錄k=-2、0、2時的交點坐標，總結(jié)k與交點個數(shù)的關(guān)系。7.2數(shù)據(jù)擬合與預(yù)測某城市2015-2024年的常住人口（萬人）數(shù)據(jù)如下：年份201520172019202120232024人口200220245270295305（1）用Excel或Python繪制散點圖，選擇線性回歸或指數(shù)回歸模型；（2）根據(jù)模型預(yù)測2025年的常住人口；（3）分析該模型的局限性，說明實際人口增長可能受到哪些因素影響。八、開放探究題8.1數(shù)學(xué)史中的情境問題古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德曾提出"圓柱容球"定理：球的體積是其外切圓柱體積的2/3。（1）若球的半徑為r，證明該定理；（2）類比"圓柱容球"，設(shè)計一個"正方體容球"模型，求球體積與正方體體積的比值；（3）查閱資料，說明阿基米德為何將該定理刻在墓碑上，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的什么文化價值？8.2疫情防控中的數(shù)據(jù)分析某社區(qū)在疫情期間統(tǒng)計了每日新增病例數(shù)（y）與密切接觸者人數(shù)（x）的關(guān)系，得到數(shù)據(jù)如下：x（密切接觸者）1020304050y（新增病例）2581114（1）判斷y與x是否為線性相關(guān)，計算相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01）；（2）建立回歸直線方程y=bx+