2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與科技試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.函數(shù)與編程基礎(chǔ)已知函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，使用Python計算其在區(qū)間$[1,e^2]$上的最大值點時，下列代碼片段正確的是（）A.scipy.optimize.minimize(f,x0=1,bounds=[(1,e**2)])B.egrate.quad(f,1,e**2)C.numpy.argmax(f(np.linspace(1,e**2,1000)))D.sympy.diff(f(x),x).solve()2.立體幾何與3D建模在棱長為4的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，使用GeoGebra繪制過$P,B,D$三點的截面（點$P$在棱$AA_1$上運動），當(dāng)截面面積取得最小值時，點$P$的位置特征是（）A.$AP=1$B.$AP=2$C.$AP=3$D.截面為正六邊形時3.概率統(tǒng)計與數(shù)據(jù)分析某城市2015-2024年空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）數(shù)據(jù)中存在缺失值，使用Pandas處理時最合理的方法是（）A.直接刪除含缺失值的行B.用前一天數(shù)據(jù)填充C.根據(jù)季節(jié)特征進行插值D.用平均值替換4.參數(shù)方程與動態(tài)模擬參數(shù)方程$\begin{cases}x=t\cost\y=t\sint\end{cases}$（$t\in[0,4\pi]$）所表示的曲線在天體運動模擬中可用于描述（）A.行星橢圓軌道B.彗星拋物線軌跡C.衛(wèi)星螺旋運動D.雙星系統(tǒng)軌跡5.算法復(fù)雜度分析對比求解10個城市旅行商問題的三種算法，時間復(fù)雜度最低的是（）A.貪心算法$O(n^2)$B.動態(tài)規(guī)劃法$O(n^22^n)$C.遺傳算法$O(n^3)$D.量子退火算法$O(n\logn)$6.數(shù)據(jù)可視化使用Matplotlib繪制AQI與機動車保有量的散點圖時，為突出數(shù)據(jù)趨勢，應(yīng)添加（）A.箱線圖B.核密度曲線C.多項式擬合線D.熱力圖7.復(fù)數(shù)與量子計算量子比特的狀態(tài)可用復(fù)數(shù)表示為$|\psi\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$，其中$|a|^2+|b|^2=1$。當(dāng)$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$b=\frac{1}{2}i$時，該量子態(tài)的概率分布為（）A.$|0\rangle:75%,|1\rangle:25%$B.$|0\rangle:50%,|1\rangle:50%$C.$|0\rangle:100%,|1\rangle:0%$D.$|0\rangle:0%,|1\rangle:100%$8.線性回歸與預(yù)測模型根據(jù)某地區(qū)10年氣溫數(shù)據(jù)建立的線性回歸方程為$\hat{y}=0.5x+12$（$x$為年份，$y$為年均溫），預(yù)測2025年氣溫時需考慮（）A.殘差平方和B.多重共線性C.時間序列自相關(guān)性D.樣本量大小9.動態(tài)幾何與物理模擬在GeoGebra中設(shè)置彈簧振子模型時，若將彈性系數(shù)增大為原來的4倍，則振動周期變?yōu)樵瓉淼模ǎ〢.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.2倍D.4倍10.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)簡化版LSTM模型處理時間序列數(shù)據(jù)時，核心功能是（）A.特征降維B.記憶長期依賴C.防止過擬合D.加速收斂二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.數(shù)值計算用梯形公式計算$\int_{1}^{e}\frac{\lnx}{x}dx$的近似值時，取$n=4$等分，計算結(jié)果為________（精確到小數(shù)點后3位）。12.算法設(shè)計用偽代碼描述求解旅行商問題的貪心算法步驟：從隨機城市出發(fā)，每次選擇最近未訪問城市重復(fù)步驟2直至回到起點13.數(shù)據(jù)清洗處理異常AQI值（如超過500的極端值）時，應(yīng)采用________方法（填寫具體技術(shù)名稱）。14.跨學(xué)科建模在新冠疫情傳播模型中，SEIR模型的四個狀態(tài)變量是________。三、解答題（本大題共6小題，共80分）15.函數(shù)與編程實現(xiàn)（12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，完成以下任務(wù)：（1）用Python繪制函數(shù)在$x\in[0,4]$的圖像，標(biāo)注極值點；（2）編寫二分法求$f(x)=0$在$[2,4]$區(qū)間內(nèi)的根，精度要求$10^{-4}$；（3）分析該函數(shù)導(dǎo)數(shù)值與圖像斜率的對應(yīng)關(guān)系。16.立體幾何與3D打?。?4分）某工廠用3D打印機制作正四棱錐零件，底面邊長為10cm，高為12cm：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各頂點坐標(biāo)；（2）計算側(cè)面三角形的法向量；（3）若打印精度為0.1mm，估算模型表面三角形網(wǎng)格的數(shù)量。17.數(shù)據(jù)分析與預(yù)測（14分）附件為某城市2015-2024年AQI數(shù)據(jù)（Excel格式），完成：（1）用Pandas清洗數(shù)據(jù)，處理缺失值和異常值；（2）繪制年度AQI箱線圖，分析季節(jié)差異；（3）建立LSTM簡化模型，預(yù)測2025年12月AQI峰值（需寫出激活函數(shù)選擇理由）。18.參數(shù)方程與天體運動（12分）研究參數(shù)方程$\begin{cases}x=2\cost+\cos2t\y=2\sint+\sin2t\end{cases}$（$t\in[0,2\pi]$）：（1）用GeoGebra繪制曲線并判斷其對稱性；（2）計算曲線與直線$x=1$的交點坐標(biāo)；（3）說明該曲線在衛(wèi)星變軌過程中的應(yīng)用原理。19.算法設(shè)計與復(fù)雜度分析（14分）針對10個城市的旅行商問題（經(jīng)緯度坐標(biāo)見表1）：（1）用偽代碼描述動態(tài)規(guī)劃解法；（2）計算當(dāng)城市數(shù)量增加到20時，時間復(fù)雜度的變化率；（3）討論量子計算中量子隧穿效應(yīng)對NP問題求解的突破。20.綜合創(chuàng)新題（14分）某科技公司設(shè)計智能倉儲系統(tǒng)，需解決以下問題：（1）已知貨架坐標(biāo)為$(x_i,y_i)$，用K-means算法劃分3個揀貨區(qū)域（寫出距離計算公式）；（2）建立AGV機器人路徑規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型（考慮轉(zhuǎn)彎半徑約束）；（3）用蒙特卡洛模擬評估系統(tǒng)效率提升百分比。四、技術(shù)操作題（本大題共2小題，共20分）21.動態(tài)幾何操作（10分）使用GeoGebra完成：（1）繪制函數(shù)$y=\sinx$與$y=\sin(x+\frac{\pi}{3})$的圖像，標(biāo)記相位差；（2）制作滑動條控制參數(shù)$a$，觀察$y=a\sin(x+\varphi)$的圖像變換；（3）導(dǎo)出動畫GIF并說明其在教學(xué)中的應(yīng)用價值。22.編程實踐題（10分）使用Python完成：（1）編寫函數(shù)實現(xiàn)快速傅里葉變換（FFT）對音頻信號的頻譜分析；（2）對比時域波形與頻域特征的差異；（3）提交代碼及運行結(jié)果截圖。（注：本試卷配套提供在線編程環(huán)境及數(shù)據(jù)附件，所有技術(shù)操作題需在規(guī)定時間內(nèi)提交電子答卷）該試卷通過