2025年上學期高二數(shù)學兩角和與差公式試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）已知$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5}$，且$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，則$\sin\alpha$的值為（）A.$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$B.$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$C.$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$D.$\frac{3\sqrt{3}-4}{5}$若$\tan\alpha=2$，$\tan(\alpha-\beta)=-\frac{1}{3}$，則$\tan\beta$的值為（）A.7B.-7C.$\frac{1}{7}$D.$-\frac{1}{7}$在$\triangleABC$中，$\cosA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{5}{13}$，則$\cosC$的值為（）A.$\frac{33}{65}$B.$-\frac{33}{65}$C.$\frac{63}{65}$D.$-\frac{63}{65}$函數(shù)$f(x)=\sinx\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cosx\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$的最小正周期為（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$已知$\alpha$，$\beta$均為銳角，且$\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos\beta=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，則$\alpha+\beta$的值為（）A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\frac{3\pi}{4}$D.$\pi$若$\sin\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\frac{1}{3}$，則$\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$的值為（）A.$\frac{1}{3}$B.$-\frac{1}{3}$C.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$D.$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$已知$\tan\alpha+\tan\beta=2$，$\tan(\alpha+\beta)=4$，則$\tan\alpha\tan\beta$的值為（）A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{2}$C.2D.-2在$\triangleABC$中，若$\sinA\cosB+\sinB\cosA=\sin2C$，則$\triangleABC$的形狀是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計算$\sin75^\circ+\sin15^\circ$的值為________。已知$\cos\alpha=-\frac{3}{5}$，$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，則$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$________。若$\tan\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=3$，則$\tan\theta=$，$\sin2\theta=$。（本小題第一空2分，第二空3分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對的邊分別為$a$，$b$，$c$，若$a=2$，$b=3$，$\cosC=\frac{1}{3}$，則$\sinA=$________。三、解答題（本大題共6小題，共90分）（15分）已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，$\cos\beta=-\frac{5}{13}$，$\beta\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$，求$\sin(\alpha+\beta)$和$\cos(\alpha-\beta)$的值。（15分）已知$\tan\alpha=3$，計算下列各式的值：（1）$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$；（2）$\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+2\cos^2\alpha$；（3）$\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$。（15分）化簡下列各式：（1）$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$；（2）$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)$；（3）$\frac{\tan75^\circ-\tan15^\circ}{1+\tan75^\circ\tan15^\circ}$。（15分）已知函數(shù)$f(x)=\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos^2x-\frac{\sqrt{3}}{2}$。（1）求函數(shù)$f(x)$的最小正周期；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值和最小值。（15分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對的邊分別為$a$，$b$，$c$，已知$\cosA=\frac{1}{3}$，$\sinB=2\sinC$。（1）求$\tanC$的值；（2）若$a=3$，求$\triangleABC$的面積。（15分）如圖，在平面直角坐標系中，角$\alpha$的終邊與單位圓交于點$A\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$，角$\beta$的終邊與單位圓交于點$B\left(\frac{5}{13},-\frac{12}{13}\right)$，其中$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)