2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)每日一練（Day5）一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2解析：解方程x2-3x+2=0得A={1,2}。方程x2-ax+a-1=0可因式分解為(x-1)(x-(a-1))=0，故B={1,a-1}。由A∪B=A知B?A，因此a-1=1或a-1=2，解得a=2或a=3。驗(yàn)證當(dāng)a=2時(shí)B={1}，當(dāng)a=3時(shí)B={1,2}，均滿足條件，選C。函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(3,+∞)D.(-∞,-1)解析：由x2-2x-3>0得定義域?yàn)?-∞,-1)∪(3,+∞)。令t=x2-2x-3，y=lnt在t>0時(shí)單調(diào)遞增。根據(jù)復(fù)合函數(shù)"同增異減"原則，需求t=x2-2x-3的增區(qū)間。t的對(duì)稱軸為x=1，在(3,+∞)上單調(diào)遞增，選C。已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a-b)，則m=（）A.-3B.3C.-5D.5解析：a-b=(1-m,3)，由a⊥(a-b)得a·(a-b)=0，即1×(1-m)+2×3=0，解得1-m+6=0，m=7。（注：原題選項(xiàng)無7，可能題目數(shù)據(jù)有誤，按計(jì)算邏輯應(yīng)為7）雙曲線x2/4-y2/5=1的離心率為（）A.3/2B.√5/2C.3√5/5D.2/3解析：由雙曲線方程知a2=4，b2=5，c2=a2+b2=9，c=3，離心率e=c/a=3/2，選A。已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則tan(α+π/4)=（）A.-7B.-1/7C.1/7D.7解析：由α∈(π/2,π)得cosα=-4/5，tanα=sinα/cosα=-3/4。tan(α+π/4)=(tanα+1)/(1-tanα)=(-3/4+1)/(1+3/4)=1/7，選C。某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πB.18πC.24πD.36π解析：由三視圖知該幾何體為底面半徑3cm、高4cm的圓柱，體積V=πr2h=π×32×4=36π。（注：若題目含圓錐等組合體需重新計(jì)算，此處按圓柱默認(rèn)處理）已知等比數(shù)列{an}中，a3=2，a5=8，則a7=（）A.16B.32C.64D.128解析：設(shè)公比為q，a5/a3=q2=4，a7=a5·q2=8×4=32，選B。若x,y滿足約束條件{x+y≥2,x-y≤2,y≤2}，則z=x+2y的最大值為（）A.4B.6C.8D.10解析：可行域?yàn)槿切螀^(qū)域，頂點(diǎn)為(0,2),(4,2),(2,0)。代入z=x+2y得：(0,2)→4，(4,2)→8，(2,0)→2，最大值為8，選C。函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的圖象可由函數(shù)g(x)=cos2x的圖象（）A.向左平移π/12個(gè)單位B.向右平移π/12個(gè)單位C.向左平移π/6個(gè)單位D.向右平移π/6個(gè)單位解析：g(x)=cos2x=sin(2x+π/2)，f(x)=sin[2(x+π/6)+π/6]=sin(2x+π/3)。設(shè)平移φ個(gè)單位，則2(x+φ)+π/2=2x+π/3+2kπ，解得φ=-π/12，即向右平移π/12個(gè)單位，選B。從5名男生和3名女生中選3人參加志愿者活動(dòng)，至少有1名女生的選法種數(shù)為（）A.45B.56C.30D.26解析：間接法：總選法C(8,3)=56，全男生選法C(5,3)=10，至少1名女生的選法=56-10=46。（注：選項(xiàng)無46，可能題目數(shù)據(jù)有誤，按計(jì)算邏輯應(yīng)為46）二、填空題（共4題，每題5分，共20分）計(jì)算：log?8+2?-(1/2)?1=______解析：原式=3+1-2=2，答案：2函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,2]上的最小值為______解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-1-3+2=-2，f(0)=0-0+2=2，f(2)=8-12+2=-2，最小值為-2，答案：-2已知直線l:y=kx+1與圓C:x2+y2-2x-3=0相交于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=2√3，則k=______解析：圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4，圓心(1,0)，半徑2。弦長|AB|=2√(r2-d2)=2√3，得d=1。圓心到直線距離d=|k+1|/√(k2+1)=1，平方得(k+1)2=k2+1，解得k=0，答案：0在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a=2，b=√3，A=π/3，則B=______解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB得2/sin(π/3)=√3/sinB，sinB=√3×(√3/2)/2=3/4，B=arcsin(3/4)或π-arcsin(3/4)。因b<a，故B<A=π/3，答案：arcsin(3/4)三、解答題（共6題，共80分）（12分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1。（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。解析：（1）f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，T=2π/2=π；（2）x∈[0,π/2]時(shí)2x+π/4∈[π/4,5π/4]，sinθ∈[-√2/2,1]，故f(x)∈[-1,√2]，最大值√2，最小值-1。（12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D為BC中點(diǎn)。（1）求證：AD⊥平面BCC1B1；（2）求異面直線A1B與AD所成角的余弦值。解析：（1）∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC；又AA1⊥底面ABC，AD?面ABC，∴AA1⊥AD，且BC∩AA1=A，故AD⊥平面BCC1B1；（2）以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),D(1,1,0)，向量A1B=(2,0,-2),AD=(1,1,0)，cosθ=|A1B·AD|/(|A1B||AD|)=2/(√8×√2)=1/2。（14分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=5，S5=25。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=2^an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。解析：（1）設(shè)公差為d，由{a1+2d=5,5a1+10d=25}解得a1=1,d=2，∴an=2n-1；（2）bn=2^(2n-1)=1/2×4^n，Tn=1/2×(4+42+…+4^n)=1/2×4(4^n-1)/(4-1)=(2^(2n+1)-2)/3。（14分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，右焦點(diǎn)為F(√3,0)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=4，求直線l的方程。解析：（1）由e=c/a=√3/2，c=√3得a=2，b2=a2-c2=1，方程為x2/4+y2=1；（2）設(shè)直線l:x=my+√3，聯(lián)立橢圓方程得(m2+4)y2+2√3my-1=0。|AB|=√(1+m2)|y1-y2|=√(1+m2)×√[(2√3m/(m2+4))2+4/(m2+4)]=4，解得m=±√2，直線方程為x±√2y-√3=0。（14分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2在x=-1處取得極值。（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。解析：（1）f'(x)=3x2-6x+a，f'(-1)=3+6+a=0，解得a=-9；（2）f(x)=x3-3x2-9x+2，f'(x)=3(x+1)(x-3)。在[-2,2]上，極值點(diǎn)x=-1，端點(diǎn)x=-2,2。f(-2)=-8-12+18+2=0，f(-1)=-1-3+9+2=7，f(2)=8-12-18+2=-20，最大值7，最小值-20。（16分）某工廠生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品，每件A產(chǎn)品可獲利100元，每件B產(chǎn)品可獲利180元。生產(chǎn)過程中需使用甲、乙兩種設(shè)備，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需甲設(shè)備1小時(shí)，乙設(shè)備2小時(shí)；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需甲設(shè)備2小時(shí)，乙設(shè)備3小時(shí)。甲設(shè)備每天最大使用時(shí)間不超過12小時(shí)，乙設(shè)備每天最大使用時(shí)間不超過24小時(shí)。（1）設(shè)每天生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，寫出x,y滿足的約束條件；（2）如何安排生產(chǎn)才能使每天獲利最大？最大利潤是多少？解析：（1）約束條件：{x+2y≤12,2x+3y≤24,x≥0,y≥0,x,y∈N}；（2）目標(biāo)函數(shù)z=100x+180y?？尚杏蝽旤c(diǎn)為(0,0),(0,6),(12,0),(6,3)。代入得