2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)模型構(gòu)建能力試題一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模型構(gòu)建題（25分）試題情境某新能源企業(yè)計劃在校園內(nèi)安裝光伏板陣列，以滿足教學(xué)樓的部分用電需求。已知光伏板的發(fā)電效率與太陽高度角θ（單位：弧度）的關(guān)系為二次函數(shù)模型P(θ)=-0.02θ2+0.3θ+0.1（效率單位：kWh/m2），太陽高度角θ在一天中隨時間t（單位：小時，以當(dāng)?shù)卣?2點(diǎn)為t=0）的變化規(guī)律滿足θ(t)=0.8cos(πt/12)。教學(xué)樓每日用電高峰期為8:00-18:00，需確保此時間段內(nèi)光伏系統(tǒng)的總發(fā)電量不低于150kWh。若光伏板安裝面積為S平方米，忽略天氣影響，試解決以下問題：建立一天內(nèi)光伏板發(fā)電效率P關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系P(t)，并求出t∈[-4,4]（即8:00-16:00）范圍內(nèi)的最大發(fā)電效率及對應(yīng)時間。若安裝面積S=200m2，計算在用電高峰期（t∈[-4,6]）內(nèi)的總發(fā)電量是否滿足需求，并求出滿足需求的最小安裝面積S_min?？紤]到冬季太陽高度角整體降低10%（即θ'(t)=0.9θ(t)），重新計算問題2中的最小安裝面積，分析氣候變化對模型的影響。解題思路與模型構(gòu)建方法復(fù)合函數(shù)模型構(gòu)建：先將θ(t)=0.8cos(πt/12)代入P(θ)，得到P(t)=-0.02[0.8cos(πt/12)]2+0.3[0.8cos(πt/12)]+0.1，化簡為P(t)=-0.0128cos2(πt/12)+0.24cos(πt/12)+0.1。利用二倍角公式cos2x=(1+cos2x)/2轉(zhuǎn)化為P(t)=-0.0064cos(πt/6)+0.24cos(πt/12)+0.036，通過換元法設(shè)u=πt/12，轉(zhuǎn)化為關(guān)于u的三角函數(shù)求最值問題，求得t=0（正午12點(diǎn)）時效率最大，P_max=0.85kWh/m2。積分模型求總量：總發(fā)電量Q=S·∫P(t)dt（積分區(qū)間t=-4到6），通過定積分計算得∫P(t)dt≈0.78kWh/m2，當(dāng)S=200m2時，Q=156kWh>150kWh，滿足需求。令S_min·0.78=150，解得S_min≈192.3m2。參數(shù)敏感性分析：冬季θ'(t)=0.9θ(t)，代入得新的效率函數(shù)P'(t)=-0.02[0.72cos(πt/12)]2+0.3[0.72cos(πt/12)]+0.1，重新積分得∫P'(t)dt≈0.65kWh/m2，解得S_min'≈230.8m2，較原面積增加約20%，說明模型對太陽高度角參數(shù)敏感，需在實(shí)際應(yīng)用中預(yù)留冗余量。二、立體幾何與優(yōu)化模型題（25分）試題情境某快遞公司計劃在社區(qū)建立智能快遞柜，需設(shè)計一個正四棱柱型柜體，內(nèi)部由若干個相同的正方體儲物格組成。已知柜體總高度不超過2.2米，底面正方形邊長x（米）與深度y（米）滿足x+2y=3（受場地限制），每個儲物格棱長為0.3米，且柜體外殼厚度忽略不計。建立柜體容積V關(guān)于底面邊長x的函數(shù)模型，并求出V(x)的最大值及對應(yīng)尺寸。若每個儲物格需安裝一個電子鎖，成本為50元/個，柜體材料成本為200元/m3，總預(yù)算不超過10000元，在問題1的最優(yōu)尺寸下，最多可設(shè)計多少個儲物格？考慮到快遞包裹多為長方體，現(xiàn)調(diào)整設(shè)計：將儲物格沿深度方向改為0.3×0.4×0.3米的長方體（長×寬×高），且保持總高度和底面邊長不變，分析此調(diào)整對儲物格數(shù)量的影響。解題思路與模型構(gòu)建方法空間優(yōu)化模型：由x+2y=3得y=(3-x)/2，容積V(x)=x2y=x2(3-x)/2=(3x2-x3)/2，定義域x∈(0,3)。求導(dǎo)得V’(x)=(6x-3x2)/2，令V’(x)=0解得x=2（x=0舍去），此時y=0.5，V_max=22×0.5=2m3。驗(yàn)證二階導(dǎo)數(shù)V''(2)=-3<0，確為最大值。整數(shù)規(guī)劃模型：在x=2m，y=0.5m，高度h≤2.2m的條件下，沿x方向可劃分2/0.3≈6個（取整），y方向0.5/0.3≈1個，高度方向2.2/0.3≈7個，總儲物格數(shù)量n=6×1×7=42個。成本C=42×50+2×200=2100+400=2500元<10000元，預(yù)算充足。若充分利用預(yù)算，設(shè)n個儲物格，50n+200×2≤10000，解得n≤192，但受空間限制實(shí)際最多n=6×(0.5/0.3)×7≈6×1×7=42個（深度方向只能取1列）。離散優(yōu)化調(diào)整：調(diào)整后儲物格深度0.4m，y方向可劃分0.5/0.4=1.25→1列，數(shù)量n'=6×1×7=42個（無變化）；若將y方向改為0.6m（即x=3-2×0.6=1.8m），則y方向可劃分0.6/0.4=1.5→1列，x方向1.8/0.3=6列，容積V=1.82×0.6=1.944m3<2m3，儲物格數(shù)量仍為6×1×7=42個，說明深度方向尺寸變化對數(shù)量影響不顯著，需優(yōu)先優(yōu)化底面邊長。三、概率統(tǒng)計與決策模型題（25分）試題情境某中學(xué)為優(yōu)化課后服務(wù)安排，對高二學(xué)生參加興趣社團(tuán)的情況進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：社團(tuán)類型男生人數(shù)女生人數(shù)每周參與時長（小時）滿意度評分（1-5分）科技創(chuàng)新452554.2文藝表演155534.5體育競技602044.0學(xué)科競賽303063.8若隨機(jī)抽取一名學(xué)生，求該學(xué)生是“科技創(chuàng)新社團(tuán)且滿意度≥4分”的概率，并分析性別與社團(tuán)類型是否獨(dú)立（列出2×4列聯(lián)表，計算χ2值）。以每周參與時長為權(quán)重，計算全體社團(tuán)學(xué)生的加權(quán)平均滿意度μ，并建立滿意度Y關(guān)于參與時長t的線性回歸模型Y=at+b，預(yù)測參與時長為7小時的社團(tuán)滿意度。學(xué)校計劃新增一個社團(tuán)，預(yù)算允許每周總活動時長不超過20小時，男生女生參與比例不低于1:1，從“機(jī)器人”（類似科技創(chuàng)新，滿意度4.3分）和“辯論社”（類似學(xué)科競賽，滿意度3.9分）中選擇，哪種方案能獲得更高的總滿意度？解題思路與模型構(gòu)建方法概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停嚎側(cè)藬?shù)N=45+25+15+55+60+20+30+30=280人，科技創(chuàng)新社團(tuán)滿意度≥4分的人數(shù)為45+25=70人（表中滿意度4.2≥4），概率P=70/280=0.25。性別與社團(tuán)列聯(lián)表如下：科技創(chuàng)新文藝表演體育競技學(xué)科競賽合計男生45156030150女生25552030130合計70708060280計算χ2=280×(45×55×80×60-15×25×20×30)2/[(150×130×70×70×80×60)]≈18.7>13.277（自由度3，α=0.01），拒絕獨(dú)立性假設(shè)，認(rèn)為性別與社團(tuán)類型顯著相關(guān)。加權(quán)回歸模型：各組權(quán)重w_i=參與人數(shù)×?xí)r長，計算得：μ=(70×5×4.2+70×3×4.5+80×4×4.0+60×6×3.8)/(70×5+70×3+80×4+60×6)=(1470+945+1280+1368)/(350+210+320+360)=5063/1240≈4.08分。用最小二乘法擬合回歸模型，得a=-0.08，b=4.64，當(dāng)t=7時，Y=-0.08×7+4.64=4.08分。多目標(biāo)決策模型：設(shè)機(jī)器人社團(tuán)男生x人，女生y人，滿足x≥y，5(x+y)≤20→x+y≤4，總滿意度S=4.3(x+y)；辯論社滿足6(x+y)≤20→x+y≤3，S=3.9(x+y)。取最大值時，機(jī)器人社團(tuán)x=y=2（4人），S=4.3×4=17.2；辯論社x=y=1（2人），S=3.9×2=7.8，選擇機(jī)器人社團(tuán)更優(yōu)。四、數(shù)列與遞推模型題（25分）試題情境某社區(qū)推行“綠色積分”制度，居民通過垃圾分類獲得積分，積分可兌換生活用品。規(guī)則如下：初始積分為0，每月首次分類得2分，之后每次分類得分為前一次的1.1倍（最高不超過5分/次），每月分類次數(shù)最多10次，積分年底清零。建立第n次分類得分a_n的遞推關(guān)系模型，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（n≤10）。若居民每月分類k次（1≤k≤10），求每月總積分S_k的表達(dá)式，并計算k=10時的總積分。若積分兌換規(guī)則為：100分兌換價值15元的商品，200分兌換35元商品（可累計兌換，如200分可兌換2次15元或1次35元），某居民全年每月分類10次，求最優(yōu)兌換方案使兌換價值最大。解題思路與模型構(gòu)建方法分段遞推模型：首項(xiàng)a?=2，a?=1.1a???（n≥2），但需滿足a?≤5。計算得a?=2.2，a?=2.42，…，a?=2×1.1??1≤5，解得n≤log?.?(2.5)≈9.6→第10次a??=5。通項(xiàng)公式為：a?=2×1.1??1（n=1,2,…,9），a??=5。錯位相減求和模型：前9項(xiàng)為等比數(shù)列，S?=2(1.1?-1)/(1.1-1)=20(1.1?-1)≈20(2.3579-1)=27.158，加上a??=5，S??≈32.158分/月，全年總積分S=32.158×12≈385.9分。動態(tài)規(guī)劃模型：設(shè)f(m)為m分的最大兌換價值，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：f(m)=max{f(m-100)+15,f(m-200)+35}（m≥100），邊界f(0)=0，f(m)=0（m<100）。計算f(385)=max{f(285)+15,f(185)+35}=max{f(185)+15+15,f(-15)+35+35}=max{[f(85)+15]+30,0+70}=max{45,70}=70元，即兌換1次200分+1次100分+剩余85分（未兌換），總價值35+15=50元？修正：385=200+100×1+85，f(385)=35+15=50元；若385=100×3+85，f=15×3=45元，故最優(yōu)為兌換1次200分和1次100分，總價值50元。五、綜合實(shí)踐模型題（附加20分）試題情境結(jié)合2025年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D題“礦井突水水流漫延模型”的簡化場景：某礦井隧道為長度1000米的直巷道，突水點(diǎn)位于中點(diǎn)500米處，水流沿巷道雙向擴(kuò)散，擴(kuò)散速度v（米/分鐘）與時間t（分鐘）的關(guān)系為v(t)=0.5√t，假設(shè)巷道橫截面為0.8m×0.8m的正方形，試建立水流漫延的數(shù)學(xué)模型，解決以下問題：求t分鐘后水流擴(kuò)散的總長度L(t)及漫延到巷道兩端（即L(t)=1000米）所需的時間T。計算從突水開始到時間T內(nèi)，流過巷道某橫截面的總水量Q（立方米）。若在距離突水點(diǎn)x米處設(shè)置防水閘門，閘門關(guān)閉需要10分鐘，為確保閘門關(guān)閉前水流不漫延到閘門位置，求x的最小值。解題思路與模型構(gòu)建方法積分求位移模型：水流沿單向擴(kuò)散的距離s(t)=∫v(t)dt=∫0.5√tdt=(0.5×2/3)t^(3/2)=(1/3)t^(3/2)，總長度L(t)=2s(t)=(2/3)t^(3/2)。令L(T)=1000，解得T=(1500)^(2/3)=(1500)^(0.666)≈63分鐘。體積流量模型：橫截面積A=0.8×0.8=0.64m2，流量Q(t)=A·v(t)=0.64×0.5√t=0.32√t，總水量Q=∫Q(t)dt（0到T）=0.32×(2/3)t^(3/2)|??3=0.64/3×63^(3/2)≈0.64/3×500=106.7m3。安全距離模型：閘門關(guān)閉前水流擴(kuò)散距離s(t)≤x，t=10分鐘時，s(10)=(1/3)(10)^(3/2)≈10.54米，故x_min=10.54米，即閘門應(yīng)設(shè)置在距離突水點(diǎn)至少10.6米處。模型構(gòu)建能力評價標(biāo)準(zhǔn)問題轉(zhuǎn)化能力：能否從實(shí)際情境中提取關(guān)