4.3多邊形和圓的初步認識xixix

快速定位題型題型目錄【題型1】多邊形的認識 3【題型2】多邊形的對角線 6【題型3】正多邊形 9【題型4】多邊形的周長和面積 10【題型5】圓的認識 12【題型6】圓與扇形的周長面積 13xixix

夯實必備知識新知梳理【知識點1】多邊形（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．

（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．

（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．

（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個多邊形都在此直線的同一側(cè)．②每個內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．

（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時的支撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心．

常見圖形的重心（1）線段：中點（2）平行四邊形：對角線的交點（3）三角形：三邊中線的交點（4）任意多邊形．1.（2023秋?榆中縣期末）把一張形狀是四邊形的紙片剪去其中某一個角，剩下的部分的形狀不可能是（）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形【答案】D【分析】把一張形狀是四邊形的紙片剪去其中某一個角，剩下的部分的形狀可能是三角形或四邊形或五邊形．【解答】解：把一張形狀是四邊形的紙片剪去其中某一個角，剩下的部分的形狀可能是三角形或四邊形或五邊形，不可能是六邊形．

故選：D．【知識點2】圓的認識（1）圓的定義

定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．

（2）與圓有關(guān)的概念

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．

連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?/p>

（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．1.（2022春?莘縣期末）下列說法：

①直徑是弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等??；④長度相等的兩條弧是等??；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓．

正確的說法有（）A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別進行判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：①直徑是弦，正確，符合題意；

②弦不一定是直徑，錯誤，不符合題意；

③半徑相等的兩個半圓是等弧，正確，符合題意；

④能夠完全重合的兩條弧是等弧，故原命題錯誤，不符合題意；

⑤根據(jù)半圓的定義可知，半圓是弧，但弧不一定是半圓，正確，符合題意，

正確的有3個，

故選：C．【題型1】多邊形的認識【典型例題】如圖所示的圖形是多邊形的有()A.5個B.4個C.3個D.2個【答案】D【解析】第一個是多邊形，第二個不是多邊形，第三個是多邊形，第四個不是多邊形，第五個不是多邊形，共2個．故選D．

【舉一反三1】有下列說法：①由許多條線段連結(jié)而成的圖形叫做多邊形；②多邊形的邊數(shù)是不小于4的自然數(shù)；③從一個多邊形(邊數(shù)為n)的同一個頂點出發(fā)，分別連結(jié)這個頂點和其余與之不相鄰的各頂點，可以把這個多邊形分割成(n－2)個三角形；④在平面內(nèi)，由5條線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做五邊形．其中正確的說法有()A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】B【解析】(1)因為沒說“在同一平面內(nèi)”，所以①中說法錯誤；(2)因為“多邊形中邊數(shù)最少的是三角形，只有3條邊”，所以②中說法錯誤；(3)因為“從n邊形的一個頂點出發(fā)引出的所有對角線剛好把多邊形分成(n-2)個三角形”，所以③中說法正確；(4)因為“五邊形的定義是：在平面內(nèi)，由五條線段首尾順次連接形成的封閉圖形叫做五邊形”，所以④中說法正確.綜上所述，上述四種說法中正確的有2個.故選B.【舉一反三2】下列說法中，正確的有()①由幾條線段連接起來組成的圖形叫多邊形；②三角形是邊數(shù)最少的多邊形；③n邊形有n條邊、n個頂點.A.0個B.1個C.2個D.3個【答案】C【解析】在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形，所以①不正確；易知②③正確.故選C.【舉一反三3】下列說法中，正確的有()①由幾條線段連接起來組成的圖形叫多邊形；②三角形是邊數(shù)最少的多邊形；③n邊形有n條邊、n個頂點.A.0個B.1個C.2個D.3個【答案】C【解析】在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形，所以①不正確；易知②③正確.故選C.【舉一反三4】下列選項表示六邊形的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)多邊形的定義可知，B表示六邊形.故選B

.【舉一反三5】一個n邊形有個頂點，

條邊，

個內(nèi)角，

個外角．【答案】n；n；n；2n【解析】一個n邊形有n個頂點，n條邊，n個內(nèi)角，2n個外角．故答案為：n，n，n，2n．【舉一反三6】(1)從n邊形的一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點(相鄰頂點除外)，可把這個n邊形分割成________個三角形．(2)從n邊形一邊上任一點(除頂點)出發(fā)，分別連接這個點與其余各頂點(左、右相鄰頂點除外)，可把這個n邊形分割成________個三角形．(3)從n邊形內(nèi)部任意一點出發(fā)，分別連接這個點與各頂點，可把這個n邊形分割成________個三角形．【答案】(1)n-2(2)n-1(3)n【解析】(1)從n邊形的一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點(相鄰頂點除外)，得到(n-3)條線段，可把這個n邊形分割成(n-2)個三角形；(2)從n邊形的一邊上任一個點(除頂點外)出發(fā)，分別連接這個點與其余各頂點(左右兩個相鄰頂點除外)，得到(n-2)條線段，可把這個n邊形分割成(n-1)個三角形；(3)從n邊形的內(nèi)部任意一個點出發(fā)，分別連接這個點與其余各頂點，得到n條線段，可把這個n邊形分割成n個三角形．故答案為(1)n-2；(2)n-1；(3)n．【舉一反三7】如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有個．【答案】3【解析】所示的圖形中，屬于多邊形的有第一個、第二個、第五個，共有3個．故答案是：3．【舉一反三8】一個n邊形有個頂點，

條邊，

個內(nèi)角，

個外角．【答案】n；n；n；2n【解析】一個n邊形有n個頂點，n條邊，n個內(nèi)角，2n個外角．故答案為：n，n，n，2n．【題型2】多邊形的對角線【典型例題】從九邊形的一個頂點出發(fā)可以引出的對角線條數(shù)為()A.3B.4C.6D.9【答案】C【解析】9-3=6，故答案為：C【舉一反三1】n邊形所有對角線的條數(shù)有()A.n(n?1)2B.n(n?2)2C.n(n?3)2D.n(n?4)2【答案】C【解析】n邊形有n個頂點，從一個頂點有(n-3)條對角線，共有n(n?3)2條對角線．故答案為：C．【舉一反三2】觀察、探究及應(yīng)用.(1)觀察如圖所示的圖形并填空.一個四邊形有___________條對角線；一個五邊形有___________條對角線；一個六邊形有___________條對角線；一個七邊形有___________條對角線.(2)分析探究：由n邊形的一個頂點出發(fā)，可作___________條對角線.(3)結(jié)論：一個n邊形有___________條對角線.(4)應(yīng)用：一個十二邊形有__________條對角線.【答案】(1)2；5；9；14(2)(3)(4)54【舉一反三3】讓我們一起來探究“邊數(shù)大于或等于3的多邊形的內(nèi)角和問題”．嘗試：從多邊形某一個頂點出發(fā)的對角線可以把一個多邊形分成若干個三角形，……．這樣，就把“多邊形內(nèi)角和問題”轉(zhuǎn)化為“三角形內(nèi)角和問題”了．……(1)請你在下面表格中，試一試，做一做，并將表格補充完整：(2)根據(jù)上面的表格，請你猜一猜，七邊形的內(nèi)角和等于

；……．如果一個多邊形有n條邊，請你用含有n的代數(shù)式表示這個多邊形的內(nèi)角和

．(3)如果一個多邊形的內(nèi)角和是1260°，請判斷這個多邊形是幾邊形．【答案】解：(1)(2)900°；(n-2)180°(3)1260°÷180°+2=9,這個多邊形是九邊形.【舉一反三4】已知從一個七邊形的某一個頂點出發(fā)的所有對角線將這個七邊形分成了x個三角形，且這些對角線的條數(shù)是y，求x-xy的值．【答案】解：x=7-2=5,y=7-3=4,x-xy=5-5×4=-15.【題型3】正多邊形【典型例題】下列幾何圖形是正多邊形的是()A.圓B.三角形C.長方形D.正方形【答案】D【解析】正方形四個角相等，四條邊都相等，故選：D．

【舉一反三1】下列關(guān)于正n邊形正確的有()①各邊相等；②各個內(nèi)角相等；③各條對角線都相等；④從一個頂點可以引(n－2)條對角線；⑤從一個頂點引出的對角線將正n邊形分成面積相等的(n－2)個三角形．A.2個B.3個C.4個D.5個【答案】A【解析】正n邊形各邊相等，各內(nèi)角相等，從一個頂點可以引(n－3)條對角線，把n邊形分成(n-2)個三角形，這些三角形面積不一定相等．故①②正確，其余錯誤．故選A．【舉一反三2】若一個正n邊形的邊長為2cm，則其周長為

.【答案】2ncm【解析】正n邊形各邊相等，邊長為2cm,共有n條邊，其周長為2ncm.【舉一反三3】如圖，將標號為A、B、C、D的正方形沿圖中的虛線剪開后得P、Q、M、N的四組圖形，哪個正方形剪開后得到哪組圖形？【答案】解：A被虛線分成3個三角形，應(yīng)與M對應(yīng);B被虛線分成1個三角形和兩個直角梯形，應(yīng)與P對應(yīng);C被虛線分成1個等腰直角三角形和2個四邊形，應(yīng)與Q對應(yīng);D被虛線分成2個直角三角形和一個四邊形，應(yīng)與N對應(yīng).【題型4】多邊形的周長和面積【典型例題】用邊長為1的正方形做了一套七巧板，拼成如圖所示的一座橋，則橋中陰影部分的面積為原正方形面積的()A.B.C.D.不能確定【答案】A【解析】陰影部分原來是正方形左下部分，占正方形面積的一半.【舉一反三1】某正方形園地是由邊長為1的四個小正方形組成的，現(xiàn)要在園地上建一個花壇(陰影部分)使花壇面積是園地面積的一半，以下圖中設(shè)計不合要求的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】正方形面積為4，A、陰影部分面積2×2÷2=2，占正方形面積的一半；B、陰影部分面積4-1-0.5=2.5，超過正方形面積的一半；C、陰影部分面積為2，占正方形面積的一半；D、通過割補，陰影部分面積為2，占正方形面積的一半.故選B.【舉一反三2】各頂點都在方格紙橫豎格子線的交錯點上的多邊形稱為格點多邊形，奧地利數(shù)學(xué)家皮克(G.Pick，1859～1942年)證明了格點多邊形的面積公式：S＝a＋b－1，其中a表示多邊表內(nèi)部的格點數(shù)，b表示多邊形邊界上的格點數(shù)，S表示多邊形的面積．如圖格點多邊形的面積是________．【答案】6【解析】由圖可知，a=4,b=6,∴S＝a＋b－1=6.【舉一反三3】計算陰影部分的面積．

【答案】解：為了方便，標上字母如下：S陰=SCDEF-S三角形CDG=12×10-12×8÷2=120-48=72(m2).【題型5】圓的認識【典型例題】下列說法中，正確的是A.弦是直徑B.半圓是弧C.過圓心的線段是直徑D.圓心相同半徑相同的兩個圓是同心圓【答案】B【解析】A、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故錯誤；B、半圓是弧，正確；C、過圓心的弦是直徑，故錯誤；D、圓心相同半徑不同的兩個圓是同心圓，故錯誤，故選：B．【舉一反三1】下列命題中，正確的個數(shù)是()①直徑是弦，弦是直徑；②弦是圓上的兩點間的部分；③半圓是弧，但弧不一定是半圓；④直徑相等的兩個圓是等圓；⑤等于半徑兩倍的線段是直徑．A.2個B.3個C.4個D.5個【答案】A【解析】①直徑是弦，弦不一定是直徑，故錯誤；②圓上的兩點間的部分是弧，不是弦，故錯誤；③半圓是弧，但弧不一定是半圓，正確；④直徑相等的兩個圓是等圓，正確；⑤等于半徑兩倍的弦才是直徑，故錯誤．故選A.【舉一反三2】點A、O、D與點B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】由圖可知，點A、B、E、C是⊙O上的點，圖中的弦有AB、BC、CE，一共3條．故選B．【舉一反三3】下列說法中，正確的是()A.兩個半圓是等弧B.同圓中優(yōu)弧與半圓的差必是劣弧C.長度相等的弧是等弧D.同圓中優(yōu)弧與劣弧的差必是優(yōu)弧【答案】B【解析】A、兩個半圓的半徑不一定相等，故錯誤；B、同圓中優(yōu)弧與半圓的差必是劣弧，正確；C、長度相等的弧是等弧，錯誤；D、同圓中優(yōu)弧與劣弧的差比一定是優(yōu)弧，故錯誤，故選B．【題型6】圓與扇形的周長面積【典型例題】半徑為1的圓中，扇形AOB的圓心角為120°，則扇形AOB的面積為()A.πB.πC.2D.π【答案】B【解析】扇形AOB的面積是圓的面積的，13π?12=故選B.【舉一反三1】由所有到已知點O的距離大于或等于3，并且小于或等于5的點組成的圖形的面積為()A.4B.9C.16D.25【答案】C【解析】圓環(huán)的面積：52π-32π=16π，故選C.【舉一反三2】如