數(shù)字信號(hào)處理與DSP實(shí)現(xiàn)技術(shù)（陳帥）第1章

緒論.ppt第2章

離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng).ppt第3章

序列的傅里葉變換與Z變換.ppt第4章

離散傅立葉變換與快速傅里葉變換.ppt第5章

數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu).ppt第6章

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì).ppt第7章

FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì).ppt第8章

TMS320C550xDPS處理器.ppt第9章

數(shù)字信號(hào)的DSP處理器實(shí)現(xiàn).ppt全套可編輯PPT幻燈片課件（共9章）第一章目錄1.1數(shù)字信號(hào)與處理1.2數(shù)字信號(hào)處理的內(nèi)容與特點(diǎn)1.3數(shù)字信號(hào)處理的應(yīng)用緒論重點(diǎn)：數(shù)字信號(hào)處理過程數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)方法難點(diǎn)：數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)方法1.1數(shù)字信號(hào)與處理1.1.1信號(hào)、系統(tǒng)1.信號(hào)信號(hào)是傳遞信息的載體，是信息的物理表現(xiàn)形式。信號(hào)可以表現(xiàn)為多種形式，如電信號(hào)、磁信號(hào)、聲信號(hào)、光信號(hào)、機(jī)械信號(hào)、熱信號(hào)等。信號(hào)可以從不同角度進(jìn)行分類。（1）按照自變量的個(gè)數(shù)，信號(hào)可以分為一維信號(hào)、二維信號(hào)、多維信號(hào)。（2）按照信號(hào)是否具有重復(fù)性，信號(hào)可以分為周期信號(hào)和非周期信號(hào)。（3）按照信號(hào)取值是否確定不變性，信號(hào)可以分為確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)。（4）按照信號(hào)的能量有限性，信號(hào)可以分為能量信號(hào)和功率信號(hào)。（5）按照信號(hào)自變量和幅度的連續(xù)或離散性，信號(hào)可以分為模擬信號(hào)、離散時(shí)間信號(hào)和數(shù)字信號(hào)。在連續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)有定義且幅值也連續(xù)的信號(hào)稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，連續(xù)時(shí)間信號(hào)也稱為模擬信號(hào)。離散時(shí)間信號(hào)—序列量化信號(hào)若時(shí)間和幅度都離散，即信號(hào)的時(shí)間取離散的值，幅度也取離散的取值，則稱為數(shù)字信號(hào)四種信號(hào)對(duì)比根據(jù)信號(hào)自變量（時(shí)間）和幅度是否連續(xù)的信號(hào)分類

幅度時(shí)間連續(xù)離散

連續(xù)模擬信號(hào)量化信號(hào)

離散離散時(shí)間信號(hào)數(shù)字信號(hào)數(shù)字信號(hào)2、系統(tǒng)系統(tǒng)定義為處理（或變換）信號(hào)的物理設(shè)備，是將信號(hào)進(jìn)行加工、變換、運(yùn)算等處理，以達(dá)到人們要求的各種設(shè)備。系統(tǒng)分類按照所處理信號(hào)是否連續(xù)，系統(tǒng)可以分為：模擬系統(tǒng)、數(shù)字系統(tǒng)。模擬系統(tǒng)輸入模擬信號(hào)，輸出也是模擬信號(hào)，例如晶體管放大電路就是一個(gè)模擬系統(tǒng)。數(shù)字系統(tǒng)是對(duì)輸入的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行處理，輸出數(shù)字信號(hào)的系統(tǒng)。例如，計(jì)算機(jī)數(shù)字圖像處理。根據(jù)處理前后的信號(hào)是否滿足比例、疊加性，系統(tǒng)還可以分為線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)。根據(jù)處理前后的信號(hào)是否滿足移位特性，系統(tǒng)可以分為：時(shí)（移）不變、時(shí)（移）變系統(tǒng)。根據(jù)處理后信號(hào)是否與歷史處理信號(hào)相關(guān)，系統(tǒng)可以分為因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)。1.1.2數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)的處理是由數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)完成的。凡是對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行處理的物理裝置都可以看成是數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)。狹義的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)指輸入的是數(shù)字信號(hào)，經(jīng)過處理后輸出也是數(shù)字信號(hào)的系統(tǒng)。例如，數(shù)字濾波器。本書所涉及的數(shù)字信號(hào)處理指狹義的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的處理。廣義的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)不但包括狹義的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)，還可能包含模擬低通濾波器、A/D變換器（模擬/數(shù)字變換器）、D/A變換器（數(shù)字/模擬變換器）等，如圖1-4為廣義的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的組成框圖。經(jīng)過廣義數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的信號(hào)狹義數(shù)字信號(hào)處理是指在數(shù)字領(lǐng)域進(jìn)行數(shù)字信號(hào)的加工（變換、運(yùn)算等），即輸入是數(shù)字信號(hào)，采用數(shù)字信號(hào)處理方法進(jìn)行處理，輸出仍然是數(shù)字信號(hào)的系統(tǒng)。1.1.3數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)方法

1、通用軟件方法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)2、專用加速處理機(jī)方法3、軟硬件結(jié)合的嵌入式處理方法①采用數(shù)字信號(hào)處理器結(jié)合嵌入式軟件進(jìn)行數(shù)字信號(hào)的處理。②采用單片機(jī)的方法。4、硬件方法1.2數(shù)字信號(hào)處理的內(nèi)容與特點(diǎn)1.2.1數(shù)字信號(hào)處理的內(nèi)容數(shù)字信號(hào)處理涉及的內(nèi)容非常廣泛，數(shù)字信號(hào)處理主要內(nèi)容包括：①離散線性時(shí)不變系統(tǒng)理論。包括時(shí)域、頻域、各種變換域。②頻譜分析。FFT譜分析方法及統(tǒng)計(jì)分析方法，也包括有限字長(zhǎng)效應(yīng)譜分析。③數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)及濾波過程的實(shí)現(xiàn)（包括有限字長(zhǎng)效應(yīng)）。④時(shí)頻-信號(hào)分析（短時(shí)付氏變換）〔ShortFourierTransform〕，小波變換(WaveletAnalysis),時(shí)-頻能量分布（WignerDistribution）。⑤多維信號(hào)處理（壓縮與編碼及其在多煤體中的應(yīng)用）。⑥非線性信號(hào)處理。⑦隨機(jī)信號(hào)處理。⑧模式識(shí)別人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。⑨信號(hào)處理單片機(jī)(DSP)及各種專用芯片(ASIC)，信號(hào)處理系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。1.2.2數(shù)字信號(hào)處理的特點(diǎn)1、數(shù)字信號(hào)精度高。2、數(shù)字信號(hào)處理靈活性強(qiáng)。3、數(shù)字信號(hào)處理可以實(shí)現(xiàn)模擬信號(hào)難以實(shí)現(xiàn)的特性。4、數(shù)字信號(hào)處理可以實(shí)現(xiàn)多維信號(hào)處理。1.3數(shù)字信號(hào)處理的應(yīng)用

通信計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)雷達(dá)自動(dòng)控制地球物理聲學(xué)天文生物醫(yī)學(xué)消費(fèi)電子產(chǎn)品1、通信手機(jī)

2、數(shù)字無線電

3、雷達(dá)4、生物指紋系統(tǒng)

5、DSP在圖像擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中的應(yīng)用框圖6、數(shù)字語音

7、汽車多媒體8、數(shù)字馬達(dá)9、MP310、ADSL

ADSL的DMT調(diào)制解調(diào)框圖：11、網(wǎng)絡(luò)安全攝象機(jī)

12、網(wǎng)絡(luò)音頻系統(tǒng)13、醫(yī)院監(jiān)視系統(tǒng)

14、數(shù)字掃描儀15、機(jī)頂盒第2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)《數(shù)字信號(hào)處理》內(nèi)容2.1離散時(shí)間信號(hào)-序列2.2離散時(shí)間系統(tǒng)2.3線性常系數(shù)差分方程2.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理2.5MATLAB在離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的應(yīng)用

重點(diǎn)、難點(diǎn)周期序列序列卷積，序列相關(guān)線性時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性，系統(tǒng)因果性$2.1離散時(shí)間信號(hào)－序列（Sequence）

離散時(shí)間信號(hào)又稱作序列。通常，離散時(shí)間信號(hào)的間隔為T，且是均勻的，故應(yīng)該用x(nT）表示在nT的值,由于x(nT)存在存儲(chǔ)器中,加之非實(shí)時(shí)處理,可以用x(n)表示x(nT),即第n個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)的值,這樣x(n)就表示一序列數(shù),即序列：﹛x(n)﹜。為了方便，通常用x(n)表示序列﹛x(n)﹜。2.1.1、序列

2.1.2.序列的表示

1、枚舉表示

2、公式表示

x(n)的全部用集合{x(n)}或用x(n)表示。

3、圖形表示

2.1.3、序列的運(yùn)算1.序列的加、減運(yùn)算序列的加減指將兩序列序號(hào)相同的數(shù)值相加減，

其中的操作符號(hào)“

”是當(dāng)進(jìn)行相加運(yùn)算時(shí)取“+”，相減運(yùn)算時(shí)取“-”。其中y(n)值為當(dāng)n取相同值時(shí)的x1(n)和x2(n)值的加或減運(yùn)算結(jié)果值。

例2-1：已知兩個(gè)序列x(n)、y(n)如下圖2-4（a）、(b)，求z(n)=x(n)+y(n)。解：根據(jù)序列加法的定義，得Z(-1)=x(-1)+y(-1)Z(0)=x(0)+y(0)Z(1)=x(1)+y(1)……用MATLAB實(shí)現(xiàn)該過程的程序：n=-4:4;x=[-3-3-2-101233];y=[221.510-1-1.5-2-2];z=x+y;%序列相加subplot(311);stem(n,x);ylabel('x(n)');xlabel('(a)');gridon;subplot(312);stem(n,y);ylabel('y(n)');xlabel('(b)');gridon;subplot(313);stem(n,z);ylabel('z(n)');xlabel('(c)');gridon;2.序列的乘積運(yùn)算

序列的乘積指將兩序列序號(hào)相同的數(shù)值相乘積例2-2：已知兩個(gè)序列x(n)、y(n)如圖2-5(a)、(b)，求：z(n)=x(n)y(n)解：根據(jù)序列乘積的定義，得用MATLAB實(shí)現(xiàn)該運(yùn)算的程序：n=-4:4;x=[-3-3-2-101233];y=[221.510-1-1.5-2-2];z=x.*y;%序列相乘subplot(311);stem(n,x);ylabel('x(n)');xlabel('(a)');gridon;subplot(312);stem(n,y);ylabel('y(n)');xlabel('(b)');gridon;subplot(313);stem(n,z);ylabel('z(n)');xlabel('(c)');gridon;是將序列的全體在時(shí)間軸上進(jìn)行右移動(dòng)。其中n0>0表示延時(shí)數(shù)。x(n-n0)是將x(n)序列整體向右移n0位得到。3.序列的時(shí)延

例2-3：已知序列x(n)如圖2-6（a）,求序列y(n)=x(n-2)。解：根據(jù)序列乘積的定義，采用MATLAB實(shí)現(xiàn)的程序：x=[3,11,7,0,-1,4,2];nx=[-3:3];[y,ny]=sigshift(x,nx,2);%調(diào)用移位函數(shù)實(shí)現(xiàn)延時(shí)subplot(211);stem(nx,x);ylabel('x(n)');xlabel('(a)');gridon;subplot(212);stem(ny,y);ylabel('y(n)');xlabel('(b)');gridon;其中移位函數(shù)sigshift為function[y,ny]=sigshift(x,nx,n0)ny=nx+n0;y=x;4.序列乘常數(shù)

即幅度發(fā)生了改變

5.序列反褶

以n=0為對(duì)稱軸進(jìn)行對(duì)褶如果有x(n),則x(-n)是以n=0為對(duì)稱軸將x(n)加以翻褶的序列例2-4：已知序列x(n)如圖2-7（a）,求序列y(n)=x(-n)。解：采用MATLAB提供的左右反褶的函數(shù)fliplr來完成該題，MATLAB程序：x=[3,11,7,0,-1,4,2];nx=[-3:3];ny=nx;y=fliplr(x);%調(diào)用函數(shù)fliplrsubplot(211);stem(nx,x);ylabel('x(n)');xlabel('(a)');gridon;subplot(212);stem(ny,y);ylabel('y(n)');xlabel('(b)');gridon;6.序列的差分運(yùn)算

指同一序列相鄰的兩個(gè)樣點(diǎn)之差，分前向差分和后向差分：前向差分：后向差分：關(guān)系：7.序列的抽取與插值（尺度變換）

（1）抽?。簩⒃瓉硇蛄忻縈個(gè)抽取一個(gè)點(diǎn)組成新序列：

（1）抽取：x(n)x(mn),m為正整數(shù)。例如，

m=2，

x(2n)，相當(dāng)于兩個(gè)點(diǎn)取一點(diǎn)；以此類推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n（2）插值：將原來的序列每個(gè)序列點(diǎn)之間插入L個(gè)樣點(diǎn)，形成新序列：（2）插值：x(n)x(n/m),m為正整數(shù)。例如，

m=2，

x(n/2)，相當(dāng)于兩個(gè)點(diǎn)之間插一個(gè)點(diǎn)；以此類推。通常，插值用

I倍表示，即插入（I-1）個(gè)值。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n。。8.移位

當(dāng)m為正時(shí)，

x(n-m)表示依次右移m位；（時(shí)延）

x(n+m)表示依次左移m位。-1012x(n)11/21/41/8...-2n例：1/21/41/81x(n+1)n0-1-219.

累加設(shè)某一序列為x(n),則x(n)的累加序列

y(n)定義為即表示n以前的所有x(n)的和。10.卷積和(序列卷積)設(shè)序列x(n),h(n),它們的卷積和y(n)定義為

卷積和的性質(zhì)

（1）交換律

（2）結(jié)合律

（3）對(duì)加法的分配律

卷積（和）計(jì)算分四步：（1）翻褶（2）位移（3）相乘（4）相加例2-5：求：解：1.翻褶.以m=0為對(duì)稱軸，折迭h(m)

得到h(-m)，對(duì)應(yīng)序號(hào)相乘，相加得y(0)；2.位移一個(gè)單元，對(duì)應(yīng)序號(hào)相乘，相加得y(1)；3.重復(fù)步驟2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

x(m)01231/213/2m012m1h(m)在亞變量坐標(biāo)m上作出x(m),h(m)01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得y(0)得y(1)x(m)翻褶位移1對(duì)應(yīng)相乘，逐個(gè)相加。解法二（分段）：

分段求解析式的關(guān)鍵是確定卷積求和式的起點(diǎn)和終點(diǎn)。方法三、用MATLAB實(shí)現(xiàn)nx=0:3;%x序列時(shí)間范圍x=nx/2;nh=[0,1,2];%h序列時(shí)間范圍h=[111];subplot(3,1,1);stem(nx,x);ylabel('x(n)');xlabel('(a)');gridon;subplot(3,1,2);stem(nh,h);ylabel('h(n)');xlabel('(b)');gridon;nyb=nx(1)+nh(1);%卷積序列的起始位置nye=nx(length(x))+nh(length(h));%卷積序列的結(jié)束位置ny=[nyb:nye];%卷積序列的范圍y=conv(x,h);%求卷積subplot(3,1,3);stem(ny,y);ylabel('y(n)');xlabel('(c)');gridon;11.序列線性相關(guān)

1、定義設(shè)序列x(n)和y(n),它們的線性相關(guān)(互相關(guān))序列定義為

（1）x(n)和y(n)的線性互線關(guān)

（2）y(n)和x(n)的線性互線關(guān)

2、線性相關(guān)序列特點(diǎn)

（1）不滿足交換律

（2）自相關(guān)（3）線性互相關(guān)的計(jì)算步驟：

移位、相乘、相加

例2-6：已知計(jì)算x與y的線性互相關(guān)rxy、y與x的線性互相關(guān)ryx。解：MATLAB程序如下nx=1:5;%x序列時(shí)間范圍x=1:5;ny=[1,2,3];%y序列時(shí)間范圍y=[786];subplot(4,1,1);stem(nx,x);ylabel('x(n)');xlabel('(a)');gridon;subplot(4,1,2);stem(ny,y);ylabel('y(n)');xlabel('(b)');gridon;nrl=2*max(length(x),length(y))-1;%相關(guān)序列的長(zhǎng)度nr=[-(nrl-1)/2:(nrl-1)/2];%相關(guān)序列時(shí)間的范圍rxy=xcorr(x,y);%x與y相關(guān)ryx=xcorr(y,x);%y與x相關(guān)subplot(4,1,3);stem(nr,rxy);ylabel('rxy(n)');xlabel('(c)');gridon;subplot(4,1,4);stem(nr,ryx);ylabel('ryx(n)');xlabel('(d)');gridon;（4）線性相關(guān)與卷積的關(guān)系

1.單位取樣序列1-2-1012n1-2-1012n2.1.4常見序列

2.單位階躍序列u（n）...0123-1nu(n)3.矩形序列4.實(shí)指數(shù)序列

例2-7：求，n=0:50解：用運(yùn)算符“.^”來實(shí)現(xiàn)指數(shù)運(yùn)算。MATLAB程序如下：n=0:1:50;%取序列顯示范圍x=(0.9).^n%指數(shù)運(yùn)算plot(n,x);stem(n,x);5.復(fù)指數(shù)序列正弦型序列余弦型序列其中，ω為數(shù)字頻率。數(shù)字信號(hào)可以通過對(duì)模擬信號(hào)取樣得到。設(shè)模擬信號(hào)為：其中取樣周期為T，其中：為模擬域頻率，單位為rad/s；則取樣后信號(hào)為：與正弦信號(hào)式（2.24）比較，得到：注意:（1）正弦序列和復(fù)指數(shù)序列對(duì)數(shù)字頻率變化以為周期（2）當(dāng)時(shí)，變化最慢（不變化）；當(dāng)時(shí)，變化最快。故在DSP中，在主值區(qū)間上，將附近稱為數(shù)字低頻；而將附近稱為數(shù)字高頻。這一特點(diǎn)與模擬正弦信號(hào)截然不同，模擬正弦信號(hào)中越大，f越大，變化越快。如果存在一個(gè)最小的正整數(shù)N,滿足x(n)=x(n+N),則序列x(n)為周期性序列,N為周期。2.1.5序列的周期性

例2-8：判斷序列是否為周期序列，若是求出其周期

（1）解：假設(shè)序列周期為N，則滿足周期存在即要下式成立：即要滿足：根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，所以要求：從而得到，由于k為整數(shù)，所以不存在最小正整數(shù)N能使式（2.30）成立。故序列不是周期序列。（2）解：假設(shè)序列周期為N，則滿足要該式成立，則要求滿足：周期存在則要求滿足：也即要滿足：取140和220的最小公倍數(shù)1540，得到：，其中k1=11,k2=7。序列x(n)

的周期為20。MATLAB程序：n=1:80;pi=3.1415926;x=cos(11*pi/10.*n-pi/2)+2*sin(7*pi.*n);stem(x);xlabel('n');ylabel('x(n)');gridon;輸出序列x(n)如圖2-17。從圖可見序列周期的確為20。2.1.6用單位抽樣序列表示任意序列1.任意序列可表示成單位抽樣序列的移位加權(quán)和.例2-9：將序列表示成單位取樣序列的加權(quán)和形式

解：可以表示為：例2-10已知序列，寫出其單位取樣序列的加權(quán)和形式

解：2.1.7序列的能量與功率

有界信號(hào)x(n)的能量定義為

1、有界信號(hào)3、當(dāng)E有界時(shí)，稱信號(hào)為能量有限信號(hào)4、若序列長(zhǎng)度有限，則有限信號(hào)能量就是有限的2、若信號(hào)x(n)有界，則不能保證E是有限的信號(hào)功率對(duì)于非周期序列x(n),若序列為無限長(zhǎng)，其平均功率為：當(dāng)信號(hào)平均功率為有限值，稱信號(hào)為功率信號(hào)

當(dāng)信號(hào)能量為有限，稱能量信號(hào)

2.2離散時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)可以看作是對(duì)信號(hào)進(jìn)行的操作或函數(shù)，系統(tǒng)可以分為：（1）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)（模擬系統(tǒng)）；（2）離散時(shí)間系統(tǒng)（數(shù)字系統(tǒng)）。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)是對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行操作處理的系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)是對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行處理并輸出數(shù)字序列的系統(tǒng)。2.2.1線性時(shí)不變系統(tǒng)1.線性系統(tǒng)系統(tǒng)實(shí)際上表示對(duì)輸入信號(hào)的一種運(yùn)算，所以離散時(shí)間系統(tǒng)就表示對(duì)輸入序列的運(yùn)算，即x(n)離散時(shí)間系統(tǒng)

T[x(n)]y(n)y(n)=T[x(n)]

設(shè)系統(tǒng)具有：

那么該系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)，即線性系統(tǒng)具有均勻性和迭加性。*加權(quán)信號(hào)和的響應(yīng)=響應(yīng)的加權(quán)和。*先運(yùn)算后系統(tǒng)操作=先系統(tǒng)操作后運(yùn)算。2.時(shí)不變系統(tǒng)如T[x(n)]=y(n),則T[x(n-m)]=y(n-m),滿足這樣性質(zhì)的系統(tǒng)稱作時(shí)不變系統(tǒng)，也稱移不變。即系統(tǒng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)，亦即輸出波形不隨輸入加入的時(shí)間而變化的系統(tǒng)。

3.單位脈沖響應(yīng)與線性時(shí)不變系統(tǒng)的卷積表示

（1）單位抽樣響應(yīng)h(n)

當(dāng)線性移不變系統(tǒng)的輸入為δ(n)，

其輸出h(n)稱為單位抽樣響應(yīng)，即

h(n)=T[δ(n)](n)h(n)T[δ(n)]線性移不變系統(tǒng)

h(n)x(n)y(n)2.系統(tǒng)輸出

y(n)=x(n)*h(n)4.線性移不變系統(tǒng)的性質(zhì)（1）交換律

（2）結(jié)合律3.對(duì)加法的分配律例2-11：分別判斷下列系統(tǒng)的線性性、時(shí)不變性。(1)（2），a為非零常數(shù)。解:(1)設(shè)，，則是線性系統(tǒng)因而：所以為時(shí)變系統(tǒng)因?yàn)槎詾橄到y(tǒng)為非線性系統(tǒng)。由于：所以為系統(tǒng)為移不變系統(tǒng)。1.穩(wěn)定系統(tǒng)對(duì)于一個(gè)有界的輸入，產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)，稱系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。即如果：，則穩(wěn)定系統(tǒng)必然有：。

線性移不變穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是2.2.2系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性例2-12：判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：設(shè)，則：，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。2.因果系統(tǒng)如果輸出的變化不會(huì)領(lǐng)先于輸入的變化的系統(tǒng)，即為因果系統(tǒng)。即因果系統(tǒng)的輸出值不取決于輸入的將來值，只與的現(xiàn)在值及過去值等有關(guān)，與將來值無關(guān)。線性移不變因果系統(tǒng)的充要條件為

h(n)=0，n<0。注：系統(tǒng)的“穩(wěn)定性”和“因果性”與系統(tǒng)的輸入無關(guān)，而取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)。[例2-13]若系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性與因果性

2-3常系數(shù)線性差分方程2.3.1線性時(shí)不變系統(tǒng)的差分方程描述

一般線性時(shí)不變系統(tǒng)常用以下的差分方程表示線性時(shí)不變系統(tǒng)可以表示為卷積形式：在已知取樣響應(yīng)h的情況下，這是一個(gè)線性常系數(shù)差分方程

*常系數(shù)：a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM

均是常數(shù)（不含n）.*階數(shù)：y(n)變量n的最大序號(hào)與最小序號(hào)之差，如N=N-0.*線性：y(n-k),x(n-m)等各項(xiàng)只有一次冪,不含它們的乘積項(xiàng)。2.3.2差分方程的求解求解差分方程的方法：遞推法；經(jīng)典法；Z變換法例2-14：求差分方程的單位取樣響應(yīng)，初始條件：解：采用遞推法。當(dāng)輸入單位取樣信號(hào)時(shí)，輸出即為單位取樣響應(yīng)，即：所以……所以系統(tǒng)單位取樣響應(yīng)為：

例2-15：已知系統(tǒng)的差分方程

，初始條件：

求系統(tǒng)單位取樣響應(yīng)。解：輸入單位取樣響應(yīng)的輸出即為單位取樣響應(yīng)。采用經(jīng)典法：（1）當(dāng)n=0時(shí)，得到：由初始條件得：（2）當(dāng)n>0，輸入取樣信號(hào)時(shí)，。方程變?yōu)椋?，這是齊次方程。于是得：，所以：齊次方程的特征方程為：解為：所以方程的解為：代入初始條件得到：綜合得到差分方程的解為：所以系統(tǒng)單位取樣響應(yīng)為：2.3.3FIR系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)的差分方程線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)差分方程表示為：當(dāng)其中的系數(shù)a全為零，則變?yōu)椋篎IR（有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)）數(shù)字濾波器的差分方程表示當(dāng)線性時(shí)不變系統(tǒng)的差分方程（2.46）中的系數(shù)a不全為零，即：該式實(shí)際上表示了IIR（無限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)）數(shù)字濾波器的差分方程。

連續(xù)時(shí)間信號(hào)要經(jīng)過A/D轉(zhuǎn)換器才能變?yōu)閿?shù)字信號(hào)。經(jīng)過數(shù)字信號(hào)處理后的輸出數(shù)字信號(hào)，如果要變?yōu)槟M信號(hào)，還得經(jīng)過D/A轉(zhuǎn)換器。2.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理（1）理想抽樣2.4.1抽樣定理與AD轉(zhuǎn)換

1.理想抽樣及其頻譜（2）理想抽樣信號(hào)的頻譜假設(shè)：理想抽樣的頻譜可以是對(duì)（2.49）兩邊取傅里葉變換得到：

根據(jù)頻域卷積定理性質(zhì)繼續(xù)得到：由于于是：代入（2.52）式，得到頻譜：即：可見，該頻譜為周期性信號(hào)，其周期為：

且當(dāng)k=0時(shí)，取得頻譜段為，所以的頻譜是頻譜以為間隔的重復(fù)，這種情況稱為周期延拓。頻譜周期延拓2．抽樣定理由圖2-25可知，用一截止頻率為的低通濾器對(duì)抽樣信號(hào)濾波即得到原模擬信號(hào)。如果當(dāng)，則的頻譜和周期延拓部分的存在重疊，從而將無法通過低通濾波器濾波得到頻譜段的頻譜，造成“混疊失真”。因此，要想能從抽樣后的信號(hào)中不失真的還原出原模擬信號(hào)，則必須滿足：即：因?yàn)椋海虼耍阂簿褪钦f：對(duì)頻帶有限的模擬信號(hào)，要抽樣后能夠不失真地還原出原模擬信號(hào)，則抽樣頻率必須大于等于兩倍模擬信號(hào)最高頻率。這就是奈奎斯特抽樣定理。常稱為折疊頻率或奈奎斯特頻率，即奈奎斯特頻率為抽樣頻率的一半。3、A/D轉(zhuǎn)換原理

抽樣：時(shí)間離散化，抽樣頻率需滿足抽樣定理；量化：將無限精度的抽樣信號(hào)幅度離散化；編碼：將數(shù)字信號(hào)表示成數(shù)字系統(tǒng)所能接受的形式；保持：在量化編碼時(shí)間內(nèi)維持抽樣信號(hào)不變。

2.4.2抽樣信號(hào)的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換1．抽樣信號(hào)的恢復(fù)將抽樣信號(hào)轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)，稱為抽樣信號(hào)的恢復(fù)。設(shè)理想低通濾波器：抽樣信號(hào)的頻譜為：（1）從頻域恢復(fù)用理想低通濾波器對(duì)抽樣信號(hào)進(jìn)行濾波，濾波后得到：取傅里葉反變換，由于：即恢復(fù)出了原模擬信號(hào)。（2）從時(shí)域恢復(fù)理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為：（2.65）式（2.65）為內(nèi)插函數(shù)。濾波是頻域相乘，則根據(jù)卷積定理，對(duì)應(yīng)時(shí)域?yàn)橄嗑?，則：式中：為內(nèi)插函數(shù)圖2-28為通過內(nèi)插函數(shù)對(duì)抽樣信號(hào)的恢復(fù)。通過濾波器后，在各抽樣點(diǎn)可以得到原抽樣信號(hào)值,而在非抽樣點(diǎn)（各抽樣點(diǎn)之間）的信號(hào)則由幅度為抽樣值的各內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加而成。5、D/A轉(zhuǎn)換原理圖2-29是數(shù)字信號(hào)模擬化過程。其中D/A轉(zhuǎn)換(DAC)是將數(shù)字信號(hào)變成模擬信號(hào)的處理。DAC包括譯碼、保持器。

譯碼：將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為抽樣信號(hào)；零階保持器：實(shí)際為一個(gè)低通濾波器，將每個(gè)抽樣信號(hào)保持一個(gè)抽樣時(shí)間段，變成階梯信號(hào)；平滑濾波：將階梯信號(hào)變?yōu)槟M連續(xù)信號(hào)。2.5MATLAB在離散信號(hào)與系統(tǒng)中的應(yīng)用2.5.1MATLAB在離散時(shí)間信號(hào)中的應(yīng)用例題2-16：用MATLAB產(chǎn)生并輸出隨機(jī)序列，序列長(zhǎng)度取100。len=100;%序列長(zhǎng)度n=[1:len];x=rand(1,len);%產(chǎn)生隨機(jī)序列stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');gridon;例題2-17：用MATLAB求復(fù)數(shù)序列：

n=[-10:1:10];alpha=-0.1+0.3j;x=exp(alpha*n);subplot(2,2,1);stem(n,real(x));title('實(shí)部');xlabel('n');gridon;subplot(2,2,2);stem(n,imag(x));title('虛部');xlabel('n');gridon;subplot(2,2,3);stem(n,abs(x));title('振幅');xlabel('n');gridon;subplot(2,2,4);stem(n,(180/pi)*angle(x));title('相位');xlabel('n');gridon;2.5.2MATLAB在離散時(shí)間系統(tǒng)中的應(yīng)用

1、數(shù)字系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)—impz函數(shù)調(diào)用格式：1）其中t記錄取樣點(diǎn)矢量，取樣點(diǎn)由系統(tǒng)自動(dòng)選取。b、a分別為差分方程的系數(shù)向量。2）其中用戶指定取樣點(diǎn)n,當(dāng)n為標(biāo)量時(shí)，t=[0:n-1]。不帶輸出變量的impz將在當(dāng)前圖形窗口利用stem(t,h)繪出脈沖響應(yīng)。例題2-18:已知系統(tǒng)的差分方程：，繪出單位脈沖響應(yīng)。程序：b=[0.31];a=[20.51];[H,T]=impz(b,a,50);plot(T,H,'.');holdon;plot(T,H);title('脈沖響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('h(n)');gridon;2、數(shù)字系統(tǒng)的階躍響應(yīng)對(duì)于數(shù)字系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，可以將階躍信號(hào)輸入數(shù)字系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字濾波，得到濾波后的輸出即為階躍響應(yīng)式。1）x為輸入序列，b,a為系統(tǒng)函數(shù)的分子分母系數(shù)，y為系統(tǒng)濾波后的輸出序列。2）Zi指定輸入信號(hào)x的初始狀態(tài)，zf為最終狀態(tài)矢量，其余同上例題2-19：已經(jīng)差分方程(1)計(jì)算并畫出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)h(n),n=-20,…,120；

(2)計(jì)算并畫出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)s(u),n=-20,…,120；

(3)判斷根據(jù)此h(n)規(guī)定的系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

解：(1)b=[1];a=[1,-1,0.9];x=impseq(0,-20,120);n=[-20:120];h=filter(b,a,x);stem(n,h);axis([-20,120,-1.1,1.1]);xlabel('n');ylabel('h(n)');title('脈沖響應(yīng)');其中產(chǎn)生脈沖信號(hào)的函數(shù)impseq為：function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2))error('必須滿足n1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];x=[(n-n0)==0];也可用下面的MATLAB代碼實(shí)現(xiàn)：b=[1];a=[1,-1,0.9];impz(b,a);（2）b=[1];a=[1,-1,0.9];x=stepseq(0,-20,120);%實(shí)際上系統(tǒng)是對(duì)階躍序列濾波,得到濾波后的序列即為階躍響應(yīng)n=[-20:120];s=filter(b,a,x);stem(n,s);axis([-20,120,-1.5,2.5]);xlabel('n');ylabel('s(n)');title('階躍響應(yīng)');其中產(chǎn)生階躍信號(hào)的函數(shù)stepseq為：function[x,n]=stepseq(n0,n1,n2)n=[n1:n2];x=[n>=n0];輸出結(jié)果如圖2-35。（3）若，則系統(tǒng)穩(wěn)定。從單位脈沖響應(yīng)圖可見，|h(n)|是逐漸減小的。在MATLAB命令行下輸入sum(abs(h))，得到ans=14.8785，為有限值，故系統(tǒng)穩(wěn)定。第3章序列的傅里葉變換與Z變換

3.1序列傅立葉變換3.2周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換3.3Z變換3.4離散系統(tǒng)變換域分析3.5Z變換的MATLAB實(shí)現(xiàn)3.1.1序列的傅里葉變換定義$3.1序列的傅立葉變換是數(shù)字頻率ω的復(fù)函數(shù)，可以表示為幅度譜和相位譜形式：因而序列的FT為周期函數(shù)，周期為2π。由于FT收斂條件FT收斂的充分條件是序列絕對(duì)可和有界，即：若不滿足，則傅里葉變換不收斂。例3-1:設(shè)x(n)=RN(n)為有限長(zhǎng)序列，求x(n)的傅里葉變換,當(dāng)N=4時(shí)求其幅頻和相頻特性。解其幅度譜和相位譜分別為：matlab程序：clf%清除所有的圖形窗口N1=4;%設(shè)置DFT的長(zhǎng)度n=0:N1-1;k1=n;w=(0:2047)*2*pi/2048;%將w在0~2*pi區(qū)間分成2048點(diǎn)Xw=(1-exp(-j*4*w))./(1-exp(-j*w));%對(duì)x(n)的頻譜采樣2048點(diǎn)xn=[n>=0&n<4];%產(chǎn)生序列x(n)Xk1=fft(xn,N1);%計(jì)算序列x(n)的4點(diǎn)DFTsubplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(Xw));%繪制序列x(n)的FT的幅頻曲線holdH1=stem(k1*2/N1,abs(Xk1),'*');set(H1,'color','r')legend('幅頻特性','傅里葉序列幅度');subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(Xw));%繪制序列x(n)的FT的相頻曲線legend('相頻特性');例：求因果指數(shù)序列

的傅立葉變換，討論其收斂條件解：收斂條件：3.1.2序列的傅里葉反變換有些序列不滿足絕對(duì)和有界收斂條件但是可以引入沖激函數(shù)，也可以求出它們的傅立葉變換

【例3-2】已知求傅里葉反變換x(n)解：$3.1.3序列傅立葉變換的基本性質(zhì)

1．FT的周期性（1）序列傅里葉變換為數(shù)字頻率的周期函數(shù)（2）表示了信號(hào)在頻域的分布規(guī)律(3)在ω＝0,±2π,±4π…表示信號(hào)的直流分量，在ω＝±(2M＋1)π時(shí)是最高的頻率分量。所以分析信號(hào)頻譜時(shí)一般只需分析在一個(gè)周期（-π，π）的FT即可。2．線性3．序列的時(shí)移和頻移性

設(shè)，則：

4、FT的對(duì)稱性（1）共軛對(duì)稱性設(shè)序列滿足則稱序列為共軛對(duì)稱序列。

共軛對(duì)稱序列的性質(zhì)：共軛對(duì)稱序列的實(shí)部是偶序列，而虛部是奇序列（2）共軛反對(duì)稱性滿足下式的序列稱共軛反對(duì)稱序列：共軛反對(duì)稱序列的性質(zhì)：共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。（3）任何序列都可以表示為共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列之和（4）FT的對(duì)稱性將序列x(n)分成實(shí)部和虛部，即可以證明：序列實(shí)部的FT為序列頻譜的共軛對(duì)稱部分；序列虛部（包含j）的FT為序列頻譜的共軛反對(duì)稱部分將序列x(n)分成共軛對(duì)稱和共軛反對(duì)稱部分，即可以證明：序列的共軛對(duì)稱部分的FT為序列頻譜的實(shí)部；共軛的反對(duì)稱部分的FT為序列頻譜的虛部（包含j）部分5．時(shí)域卷積定理若：則：6．頻域卷積定理若：則：

7．帕斯維爾（Parseval）定理若返回8.尺度變換：設(shè)，a為常數(shù)，則$3.2周期序列的傅立葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換3.2.1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)DFS周期為N的周期序列滿足其中k為任意整數(shù)。周期序列在n取0~N-1的區(qū)間稱為主值區(qū)間，周期序列在主值區(qū)間的取值稱為主值序列。周期序列可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)：ak為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)基頻序列：

K次諧波序列：又因?yàn)椋核灾芷谛蛄械碾x散傅里葉級(jí)數(shù)中只有N個(gè)獨(dú)立的諧波成分，取k=0~N-1的N個(gè)獨(dú)立諧波，其中k=0表示周期序列的直流分量。

因此周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)可以寫成：求得系數(shù)：令

得到：

周期序列傅里葉級(jí)數(shù)的反變換（IDFS）：

也為周期序列，k=0~N-1為主值區(qū)間，在主值區(qū)間的值稱為主值序列。稱為周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)，用DFS表示?！纠?-4】設(shè)周期序列的主值序列為

，求周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)DFS解3.2.2周期序列的傅里葉變換表達(dá)式

可以證明：對(duì)于時(shí)域周期序列：其傅里葉變換對(duì)為：其中表示單位沖擊函數(shù)對(duì)于一般的周期序列的傅里葉變換（FT）為

式中周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）

基本序列的傅里葉變換

返回§3.3Z變換3.3.1Z變及其換收斂域

1、Z變換的定義其中z為復(fù)數(shù)平面的變量。該變換稱為雙邊Z變換單邊Z變換定義為：

即只對(duì)單邊序列（n>=0部分）進(jìn)行z變換。單邊z變換可以看成是雙邊z變換的一種特例，即因果序列情況下的雙邊z變換。2、Z變換的收斂域1）定義:使序列x(n)的z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱作X(z)的收斂域.2）收斂條件：X(z)收斂的充要條件是絕對(duì)可和。對(duì)于實(shí)數(shù)序列應(yīng)滿足

因此，|z|值在一定范圍內(nèi)才能滿足絕對(duì)可和條件，這個(gè)范圍一般表示為這就是收斂域，一個(gè)以Rx+和Rx-為半徑的兩個(gè)圓所圍成的環(huán)形區(qū)域，Rx+和Rx-稱為收斂半徑，Rx+和Rx-的大小即收斂域的位置與具體序列有關(guān)，特殊情況Rx+和Rx-等于0，這時(shí)圓環(huán)變成圓或空心圓如圖3-2所示0n2n1n(n)...3、四種序列的Z變換收斂域(1).有限長(zhǎng)序列【例3-5】求序列x(n)=δ(n)的Z變換的收斂域。解:由于n1=n2-0，其收斂域?yàn)檎麄€(gè)閉域子平面，。【例3-6】

求矩形序列x（n）=RN（n）的Z變換的收斂域。解:利用等比級(jí)數(shù)求和公式得到：x(n)n0n1..1...(2).右邊序列*第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，第二項(xiàng)為z的負(fù)冪級(jí)數(shù),收斂域第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列,其收斂域?yàn)?<|z|<∞;第二項(xiàng)為z的負(fù)冪次級(jí)數(shù)，其收斂域?yàn)?/p>

Rx-<|z|≤∞;兩者都收斂的域亦為Rx-<|z|<∞;

Rx-為最小收斂半徑。因果序列它是一種最重要的右邊序列,收斂域?yàn)椋?3)左邊序列x(n)0n

n2

第二項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列,其收斂域;

第一項(xiàng)為z的正冪次級(jí)數(shù)，其收斂域?yàn)?為最大收斂半徑.雙邊序列指n為任意值時(shí),x(n)皆有值的序列，即左邊序列和右邊序列之和。

(4)雙邊序列0nx第二項(xiàng)為左邊序列，其收斂域?yàn)椋旱谝豁?xiàng)為右邊序列(因果)其收斂域?yàn)椋寒?dāng)Rx-<Rx+時(shí)，其收斂域?yàn)椤纠?-7】

x(n)=a|n|,a為實(shí)數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。解:

第一部分收斂域?yàn)閨az|<1，得|z|<|a|－1;第二部分收斂域?yàn)閨az－1|<1,得到|z|>|a|。如果|a|<1,兩部分的公共收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a|－1,其Z變換如下式:

如果|a|≥1，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。當(dāng)0<a<1時(shí)，

X(z)的收斂域如圖3-3所示。其收斂域應(yīng)包括即 充滿整個(gè)Z平面。[例]求序列

的Z變換及收斂域。解：這相當(dāng) 時(shí)的有限長(zhǎng)序列，當(dāng) 時(shí)，這是無窮遞縮等比級(jí)數(shù)。[例]求序列

的Z變換及收斂域。

解：*收斂域一定在模最大的極點(diǎn)所在的圓外。收斂域：[例]求序列

變換及收斂域。同樣的，當(dāng)|b|>|z|時(shí)，這是無窮遞縮等比級(jí)數(shù)，收斂。收斂域：*收斂域一定在模最小的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)。 §3.3.2逆Z變換定義：已知X(z)及其收斂域,反過來求序列x(n)的變換稱作逆Z變換。逆z變換公式：C為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合單圍線.0c1.留數(shù)法由留數(shù)定理可知：

為c內(nèi)的第k個(gè)極點(diǎn)， 為c外的第m個(gè)極點(diǎn)，Res[]表示極點(diǎn)處的留數(shù)。求Z反變換的方法2）當(dāng)Zr為l階(多重)極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：留數(shù)的求法：1）當(dāng)Zr為一階極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：例3-8:

已知，|z|>a，求其逆Z變換x(n)。解:由于收斂域是|z|>a，根據(jù)前面分析的序列特性對(duì)收斂域的影響知道，x(n)一定是因果的右序列，這樣n<0部分一定為零，只需求n>=0部分。當(dāng)n>=0時(shí)，F(xiàn)（z）只有一個(gè)極點(diǎn)a,所以∴所以：[例]已知解:1）當(dāng)n≥-1時(shí), 不會(huì)構(gòu)成極點(diǎn)，所以這時(shí)C內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn) 因此，求z反變換。2）當(dāng)n≤-2時(shí)，X(z)zn+1中的zn+1構(gòu)成n+1階極點(diǎn)。因此C內(nèi)有極點(diǎn)：z=1/4(一階),z=0為(n+1)階極點(diǎn)；而在C外僅有z=4(一階)這個(gè)極點(diǎn):2.冪級(jí)數(shù)展開法(長(zhǎng)除法)因?yàn)閤(n)的Z變換為Z-1

的冪級(jí)數(shù)，即

所以在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展為冪級(jí)數(shù)，其系數(shù)就是序列x(n)。如收斂域?yàn)閨z|>Rx+，x(n)為因果序列，則X(z)展成Z的負(fù)冪級(jí)數(shù)。

若收斂域|Z|<Rx-,x(n)必為左邊序列，主要展成

Z的正冪級(jí)數(shù)。[例]試用長(zhǎng)除法求

的z反變換。解:收斂域?yàn)榄h(huán)狀，極點(diǎn)z=1/4對(duì)應(yīng)因果序列，極點(diǎn)z=4對(duì)應(yīng)左邊序列(雙邊序列)*雙邊序列可分解為因果序列和左邊序列。*應(yīng)先展成部分分式再做除法。

4-Z)

4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24

Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z

2233314141444411655116...

Z-—)Z141+—

Z+—Z+—Z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—

Z116-1—

Z116-1—

Z116-1-—

Z164-2—

Z164-2—

Z164-2-——

Z1256-3——

Z1256-3...3.部分分式法

通常，X(z)可

表成有理分式形式：因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，M≥N時(shí)，才存在Bn；Zk為X(z)的各單極點(diǎn)，Zi為X(z)的一個(gè)r階極點(diǎn)。而系數(shù)Ak，Ck分別為：

Z變換的基本形式：分別求出各部分分式的Z反變換（可記得常用序列

的Z變換或查表），然后相加即得X(z)的z反變換。【例3-9】已知收斂域?yàn)?，試求|z|>1的反變換。解：所以其反變換為：的z反變換。[例]利用部分分式法，求解： §3.3.3Z變換的基本性質(zhì)和定理如果 則有：*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域?yàn)閮烧咧丿B部分。1.線性[例]已知,求其z變換。解：2.序列的移位如果 則有：[例]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。3.Z域尺度變換(乘以指數(shù)序列)如果，則證明：4.序列的線性加權(quán)(Z域求導(dǎo)數(shù))如果，則證明：5.共軛序列如果，則證明：6.翻褶序列如果，則證明：7.初值定理證明：8.終值定理證明：又由于只允許X(z)在z=1處可能有一階極點(diǎn)，故因子（z-1)將抵消這一極點(diǎn)，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z1的極限。9.有限項(xiàng)累加特性證明：10.序列的卷積和(時(shí)域卷積定理)

證明：[例]解：11.序列相乘(Z域卷積定理)其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內(nèi)環(huán)原點(diǎn)的一條逆時(shí)針單封閉圍線。

[例]解：

12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示復(fù)共軛，閉合積分圍線C在公共收斂域內(nèi)。（證明從略）如果則有:*幾點(diǎn)說明：§3.4離散系統(tǒng)的變換域分析3.4.1傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，進(jìn)行傅里葉變換：稱為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率特性線性移不變系統(tǒng)h(n)為單位抽樣響應(yīng)h(n)x(n)(n)

H(z)稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而且

在單位圓 上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率

響應(yīng)（傳輸函數(shù)）。系統(tǒng)函數(shù):系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布影響系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。由于在時(shí)域：一線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是h(n)必須滿足絕對(duì)可和：∑|h(n)|<∞。

Z變換H(z)的收斂域由滿足∑|h(n)z-n|<∞的那些z值確定。如單位圓上收斂，此時(shí)則有∑|h(n)|<∞，即系統(tǒng)穩(wěn)定；也就是說，系統(tǒng)函數(shù)H(z)收斂域包括單位圓的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

因果系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為因果序列，

其收斂域?yàn)镽+<|z|≤∞。因而因果、穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)收斂域?yàn)?≤|z|≤∞，也就是說,因果穩(wěn)定系統(tǒng)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。3.4.2系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性變換域分析【例3-10】系統(tǒng)函數(shù)用下式表示：試分析該系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。

解：

該系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)，即z=a和z=a-1。根據(jù)系統(tǒng)極點(diǎn)分布情況，系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性有三種情況，分別分析如下：(1)收斂域取a-1<|z|≤∞。由于收斂域包含∞點(diǎn)，因此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。但由于a-1>1，收斂域不包含單位圓，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2)收斂域取a<|z|<a-1。由于收斂域包含單位圓，系統(tǒng)穩(wěn)定；但收斂域不包含∞點(diǎn)，系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。(3)收斂域取|z|<a。因?yàn)槭諗坑蚣炔话撄c(diǎn)，也不包含單位圓，因此系統(tǒng)既不穩(wěn)定也不是因果系統(tǒng)。3.4.3系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布于系統(tǒng)函數(shù)特性線性移不變系統(tǒng)常用差分方程表示：取z變換得：對(duì)上式因式分解，令得：頻率響應(yīng)的幾何確定1.頻響的零極點(diǎn)表達(dá)式模：相角：幾點(diǎn)說明(1).

表示原點(diǎn)處零極點(diǎn)，它到單位圓的距離恒為1，故對(duì)幅度響應(yīng)不起作用只是給出線性相移分量ω(N-M)。(2).單位圓附近的零點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的谷點(diǎn)的位置與深度有明顯影響，當(dāng)零點(diǎn)位于單位圓上時(shí)，谷點(diǎn)為零。零點(diǎn)可在單位圓外。(3).單位圓附近的極點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的峰點(diǎn)位置和高度有明顯影響。極點(diǎn)在圓外，系統(tǒng) 不穩(wěn)定。零點(diǎn)在單位圓上0,

處；極點(diǎn)在,處。ω0。。[例3-12]設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為:[解]:對(duì)差分方程兩邊取Z變換:

，a為實(shí)數(shù),求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。這是一因果系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為而頻率響應(yīng)為:幅度響應(yīng)為:相位響應(yīng)為:3.5Z變換的MATLAB實(shí)現(xiàn)3.5.1MATLAB的Z變換函數(shù)ztrans用法ztrans(F);ztrans(F,z);ztrans(F,n,z);【例3-13】求的z變換。程序:clearall;closeall;clc;symsn;%定義n為符號(hào)變量f=0.5^n+(1/3)^n;%定義離散信號(hào)的表達(dá)式F=ztrans(f);%z變換pretty(F);運(yùn)行結(jié)果：

3.5.2MATLAB的Z反變換函數(shù)逆Z變換：iztrans繪制零極點(diǎn)圖：zplane求留數(shù)：residuez[例3-14]求反z變換。程序：clearall;closeall;clc;symskz;%定義k、z為符號(hào)變量F=z*(z-1)/(z^2+2*z+1);%定義z反變換的表達(dá)式f=iztrans(F);%z反變換pretty(f);運(yùn)行結(jié)果：例3-16:求系統(tǒng)響應(yīng)的零極點(diǎn)分布。程序：clearall;closeall;clc;b=[00100];%分子的系數(shù)向量a=[1-58-4];%分母的系數(shù)向量zplane(b,a);%使用zplane函數(shù)繪制如下系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布運(yùn)行結(jié)果：例3-17：求的反變換。程序：clear

all;close

all;clc;

b=[0

0

10

0];

%分子的系數(shù)向量

a=[1

-5

8

-4];

%分母的系數(shù)向量

[r,p,C]=residuez(b,a);%將H(z)分解成為多個(gè)簡(jiǎn)單有理分式之和運(yùn)行結(jié)果：r=-15.00005.000010.0000p=2.00002.00001.0000C=0分解如下：所以：第4章離散傅立葉變換與快速傅里葉變換4.1離散傅里葉變換4.2快速傅里葉變換4.3FFT的MATLAB實(shí)現(xiàn)$4.1離散傅里葉變換（DFT）學(xué)過的DFS,IDFS如下：DFT:N為DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度,W為旋轉(zhuǎn)因子IDFT:例4-1：已知x(n)=R4(n)

，求x(n)的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT。

解：N=8時(shí)N=16時(shí)：例4-2：試求的N點(diǎn)DFT。解

§4.1.2DFT的性質(zhì)1.線性性質(zhì)1）兩序列都是N點(diǎn)時(shí)如果

則有：2）和的長(zhǎng)度N1和N2不等時(shí)，選擇為變換長(zhǎng)度,短者進(jìn)行補(bǔ)零達(dá)到N點(diǎn)。3.隱含周期性通過以N為周期對(duì)序列進(jìn)行延拓，就得到周期序列：和其中周期數(shù)r為整數(shù)。對(duì)周期序列進(jìn)行求周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)（DFS），仍然得到周期為N的周期序列和的主值序列恰好分別為有限長(zhǎng)序列和。因此，DFT可以看成是將有限長(zhǎng)序列x(n)周期延拓成周期序列，然后求周期序列傅里葉級(jí)數(shù)DFS，再取結(jié)果的主值序列；IDFT可以看成將有限長(zhǎng)序列X(k)周期延拓為周期序列，然后求周期序列的IDFS，再取結(jié)果的主值序列。這一特性稱為DFT的隱含周期性。3.序列的循環(huán)移位(圓周移位)1）定義一個(gè)有限長(zhǎng)序列

的循環(huán)移位定義為這里包括三層意思：①先將

進(jìn)行周期延拓②再進(jìn)行移位③最后取主值序列：

n0N-1n0周期延拓n0左移2n0N-1n0取主值N-1n0取主值N-12）循環(huán)（圓周）位移的含義

由于取主值序列，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時(shí)，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來。如果把

排列一個(gè)N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于

在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾圈時(shí)，看到就是周期序列:

。4.循環(huán)（圓周）卷積（1）兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積設(shè)序列x1(n)和x2(n)的長(zhǎng)度分別為N1和N2，取N=max［N1,N2］。x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT分別為X1(k)=DFT［x1(n)］，X2(k)=DFT［x2(n)］，則x1(n)和x2(n)的循環(huán)卷積定義為：為了區(qū)分前面章節(jié)提到的線性卷積，此處用

代表循環(huán)卷積。為了體現(xiàn)是N點(diǎn)的循環(huán)卷積，用N來表示N點(diǎn)的循環(huán)卷積為：

同樣，對(duì)于L點(diǎn)循環(huán)卷積，可以表示為：將n用m代替，得到x(m)和h(m);1)周期延拓h(m)，得到周期序列;2)反折得到的周期序列；4）對(duì)周期序列進(jìn)行移位n；5）將移位得到的周期序列與序列x(m)相乘，再相加各積即為y(n)例：求兩個(gè)長(zhǎng)度為6的序列x(n)和h(n)的6點(diǎn)循環(huán)卷積y(n)=x(n)⑥h(n)0mN-1m0N-1m0周期延拓n0反折(2）時(shí)域卷積定理設(shè)和均為長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，且，如果，則NN(3)DFT的頻域循環(huán)卷積定理設(shè)序列x1(n)和x2(n)的長(zhǎng)度分別為N1和N2的有限長(zhǎng)序列，N=max［N1,N2］。且N點(diǎn)DFT分別為X1(k)=DFT［x1(n)］，X2(k)=DFT［x2(n)］,如果x(n)=x1(n)

x2(n)則有由此可見，循環(huán)卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算，也可按照?qǐng)D示的框圖計(jì)算（在頻域計(jì)算）。由于DFT有快速算法FFT，當(dāng)N很大時(shí)，在頻域計(jì)算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)計(jì)算循環(huán)卷積。（4）有限長(zhǎng)序列的線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系1）線性卷積的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為它們線性卷積為的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為兩不等式相加得也就是不為零的區(qū)間.例如:1012n1012n3m-1-2-3mm1012mmn2103145233211012m2）用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積

若將循環(huán)卷積看作線性卷積的周期延拓序列的主值序列，則可以用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積.

的長(zhǎng)度為N,的長(zhǎng)度為M,先構(gòu)造長(zhǎng)度均為L(zhǎng)長(zhǎng)的序列,即將補(bǔ)零點(diǎn);然后再對(duì)它們進(jìn)行周期延拓，即所以得到周期卷積：可見,周期卷積為線性卷積的周期延拓,其周期為L(zhǎng).由于有N+M-1個(gè)非零值,所以周期L必須滿足:

又由于循環(huán)卷積是周期卷積的主值序列,所以循環(huán)卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列,即例4-3：已知x(n)=R5(n),h(n)=R4(n),分別求其線性卷積和6點(diǎn)，8點(diǎn)，10點(diǎn)周期卷積。例4-4：若x(n)={4，2，1，2，1，2}，0≤n≤5，

(1)求序列x(n)的6點(diǎn)DFT，X(k)=？

(2)若，試確定6點(diǎn)序列g(shù)(n)=?

(3)若y(n)=x(n)⑨x(n)，求y(n)=？解：(1)(2)(3)返回4.2快速傅立葉變換-FFT

快速傅里葉變換FFT分為兩大類：時(shí)域抽取法FFT(DecimationInTimeFFT,簡(jiǎn)稱DIT-FFT)頻域抽取法FFT(DecimationInFrequencyFFT,簡(jiǎn)稱DIF―FFT)1.DFT的計(jì)算工作量

兩者的差別僅在指數(shù)的符號(hào)和因子1/N.4.2.1直接計(jì)算DFT的特點(diǎn)及其改進(jìn)

通常x(n)和 都是復(fù)數(shù),所以計(jì)算一個(gè)

X(k)的值需要N次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算,和 次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算.那么,所有的X(k)就要N2次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算,N(N-1)次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算.當(dāng)N很大時(shí),運(yùn)算量將是驚人的,如N=1024,則要完成1048576次(一百多萬次)運(yùn)算.這樣,難以做到實(shí)時(shí)處理.一個(gè)X(k)的值的工作量,如X(1)2.改進(jìn)的途徑

的對(duì)稱性和周期性得:對(duì)稱性:周期性:可把N點(diǎn)DFT分解為幾個(gè)較短的DFT，可使乘法次數(shù)大大減少。

利用上述特性,可以將有些項(xiàng)合并,并將DFT分解為短序列,從而降低運(yùn)算次數(shù),提高運(yùn)算速度.1965年,庫(kù)利(cooley)和圖基(Tukey)首先提出FFT算法.對(duì)于N點(diǎn)DFT,僅需(N/2)log2N次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算.例如N=1024=210

時(shí)，需要(1024/2)log2210=512*10=5120次。5120/1048576=4.88%,速度提高20倍§4.2.2按時(shí)間抽取(DIT)的FFT算法

1.基2DITFFT算法原理(1)N點(diǎn)DFE分解為N/2點(diǎn)DFT①先將按n的奇偶分為兩組作DFT,設(shè)N=2L,不足時(shí),可補(bǔ)些零。這樣有:n為偶數(shù)時(shí):n為奇數(shù)時(shí):則由于:

所以,上式可表示為:(n為偶數(shù))

(n為奇數(shù))

其中,結(jié)論:X1(k),X2(k)均為N/2點(diǎn)的DFT。只能確定出

X(k)的k=個(gè)；即前一半的結(jié)果。為兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT,k=0，1，…,N/2-1

同理,

這就是說,X1(k),X2(k)的后一半,分別等于其前一半的值。②X(k)的后一半（k=N/2,N/2+1,…,N-1）的確定由于（周期性）,所以:k=0，1，…,N/2-1

可見,X(k)的后一半，也完全由X1(k),X2

(k)的前一半所確定。

*N點(diǎn)的DFT可由兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT來計(jì)算。又由于