軸對稱第十五章數(shù)學(xué)

人教版

八年級上冊§15.3.2等邊三角形（2）第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.經(jīng)歷含30°角的直角三角形的性質(zhì)的探究過程，理解特殊的直角三角形的相關(guān)性質(zhì).（難點(diǎn)）2.能用含30°角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算及證明.（重點(diǎn)）3.用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題.（重點(diǎn)）問題1

如圖，將兩個(gè)相同的含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個(gè)圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？分離拼接ACB情景引入問題2

將一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對折，如圖所示，你有什么發(fā)現(xiàn)？性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.ABCD如圖，△ADC是△ABC的軸對稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個(gè)等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你還能用其他方法證明嗎？探究新知證法1證明：在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延長BC到D，使BD=AB，連接AD，則△ABD

是等邊三角形．又∵AC⊥BD,已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD

證明方法：倍長法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

探究新知EABC

證明2：在BA上截取BE=BC，連接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

證明方法：截半法在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.應(yīng)用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

探究新知例1

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時(shí)，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.故選D.例題與練習(xí)例2

如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故選C.EC例題與練習(xí)方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形．例3

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點(diǎn)D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，例題與練習(xí)在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.例題與練習(xí)方法總結(jié)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個(gè)重要的依據(jù)，如果問題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系的結(jié)論時(shí)，要聯(lián)想此性質(zhì)．想一想：圖中BC、DE分別是哪個(gè)直角三角形的直角邊？它們所對的銳角分別是多少度？例4如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D

是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC，DE

垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多長？ABCDE例題與練習(xí)ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m.例5

已知:等腰三角形的底角為15°,腰長為20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:過C作CD⊥BA,交BA的延長線于點(diǎn)D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.例題與練習(xí)方法總結(jié)：在求三角形邊長的一些問題中，可以構(gòu)造含30°角的直角三角形來解決．本題的關(guān)鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質(zhì)，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解決問題.1.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米2.某市在舊城改造中，計(jì)劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購買這種草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元BB例題與練習(xí)4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,則BC

=

.55.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，則AB=______.ACB83.如圖，在△ABC

中，∠ACB=90°，CD

是高，∠A=30°，AB=4．則BD=

.A

B

C

D

1第3題圖第5題圖6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分線，BE=5，則求AC的長．解：連接AE，∵DE是A